On a Lomonaco-Kauffman conjecture
Takahito Kuriya
Samuel J. Lomonaco Jr和Louis H. Kauffman证明了驯服纽结理论和纽结镶嵌理论是等价的。给出了Lomonaco-Kauffman猜想的一个证明。
Samuel J. Lomonaco Jr and Louis H. Kauffman conjectured that tame knot theory and knot mosaic theory are equivalent. We give a proof of the Lomonaco-Kauffman conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On a Conjecture by Kauffman on Alternative and Pseudoalternating Links
已知替代链路是伪交替链路。1983年，路易斯·考夫曼（Louis Kauffman）证实这两个类是相同的。本文证明了Kauffman猜想对第一个贝蒂数至多为2的环成立。然而，当这个值增加时，一般情况下这是不正确的，因为我们也通过找到两个反例来证明：一个链接和一个结，其第一个贝蒂数分别等于3和4。
Kauffman-Harary conjecture for alternating virtual knots
1999年，Kauffman-Harary证明了具有素行列式$p$的约化交错纽结图的每一个非平凡Fox $p$ -染色都是异质的. 10年后，这个猜想被W.马特曼和P.索利斯。马修·威廉姆森将这个猜想推广到交替虚纽结，并证明了它的某些家庭的虚纽结。在本文中，我们使用W. Mattman和P. Solis对交错虚纽结的Kauffman-Harary猜想给出了肯定的回答。
A proof of the Kauffman-Harary Conjecture
我们证明了1999年提出的Kauffman-Harary猜想：给定一个具有素行列式p的纽结的简化交替图D，D的每个非平凡Fox p-染色将为不同的弧分配不同的颜色。
Kauffman-Harary conjecture holds for Montesinos Knots
Kauffman-Harary猜想指出，对于任意一个具有素行列式p的纽结的约化交错图K，K的每一个非平凡Fox p-染色都赋予它的弧不同的颜色。我们推广了这个猜想，用沿链环分支的S^3的双覆盖的同调来说明它。这样，我们扩大范围的猜想，以所有总理交替联系的任意决定因素。我们首先证明了Kauffman-Harary猜想的椒盐卷饼结，然后我们推广我们的论点，以显示广义Kauffman-Harary猜想的所有Montesinos链接。最后，我们推测之间的关系猜想和Menasco的工作不可压缩曲面的外部交替链接。
On the Harary-Kauffman Conjecture and Turk's Head Knots
m，n Turk's Head Knot，THK（m，n），是一个“交替（m，n）环面结”。“我们证明了Harary-Kauffman猜想对所有THK（m，n），除了m \geq 5是奇数和n \geq 3与m互素的情况。在这种情况下，我们也给出了证据支持的猜想。我们的证明基于这样的观察：当P_m是佩尔素数时，除了THK（m，2）之外，这些纽结都没有素行列式。
Enumeration on graph mosaics
自从琼斯多项式被发现以来，纽结理论和量子物理学之间的联系一直引起人们极大的兴趣。Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，旨在表示实际的物理量子系统。最近，作者开发了一种算法产生的确切枚举的节点马赛克，它使用的状态矩阵的递推公式。作为本研究计划的续集，我们同样定义的（嵌入式）图形马赛克系统，使用16个图形马赛克瓷砖，表示图形图的顶点价3和4。我们扩展了算法，以产生所有图马赛克的确切数量。主要使用作为状态矩阵的扩展的放大状态矩阵。
Constructions of and Bounds on the Toric Mosaic Number
本文研究环面表面上的纽结马赛克，提出两种构造环面纽结的环面马赛克算法并给出环面马赛克数的上界，同时结合计算机搜索汇总了已知环面马赛克数。
Counterexamples to Kauffman's Conjectures on Slice Knots
1982年，路易斯·考夫曼（Louis Kauffman）提出，如果一个3-球面中的纽结是一个切片纽结，那么在该纽结的任何塞弗特曲面上，都存在一条自链接零的同调本质简单闭曲线，它本身就是一个切片纽结，或者至少具有Arf不变零。从那时起，大量的证据被收集起来支持这个猜想。特别是，许多不变量，阻碍一个结是一个切片结已明确表示在塞弗特表面上的这种曲线的不变量。我们给出了Kauffman猜想的反例，也就是说，我们展示（光滑）切片结，承认（唯一的最小属）塞弗特表面上的每一个同调基本的简单闭曲线的自链接零有非零的Arf不变和非零的签名。
The Generalized Kauffman-Harary Conjecture is True
本文证明了Asaeda、Przytycki和Sikora提出的广义Kauffman-Harary猜想：素链环的约化交错图中任意两条不同弧都可被某个Fox $δ$-着色区分。
Taming Wild Knots with Mosaics
本文提出用镶嵌图理论研究具有孤立野点的野结子类，引入镶嵌结团和镶嵌刚性顶点空间图概念，拓展了传统结分类方法。
The coefficients of the HOMFLYPT and the Kauffman polynomials are pointwise limits of Vassiliev invariants
瓦西里耶夫猜想指出，瓦西里耶夫不变量在所有数值链接不变量的空间中是稠密的，因为任何链接不变量都是瓦西里耶夫不变量的逐点极限。本文证明了Vassiliev猜想在HOMFLY多项式和Kauffman多项式系数的情形下成立。
Knot mosaic tabulation
2008年，Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统来定义量子纽结系统。量子结是用来描述一个物理量子系统的拓扑结构或状态，如发生在小尺度上的涡旋所不能看到的。Kuriya和Shehab证明了纽结镶嵌型是驯服纽结的完全不变量。在这篇文章中，我们考虑的镶嵌数的纽结，这是一个自然的和基本的纽结不变量中定义的纽结镶嵌系统。我们确定所有八个交叉或更少的素数结的马赛克数。这篇文章是在介绍性的水平上写的，以鼓励其他本科生理解和探索这个主题。没有假定或要求纽结理论的先验。
Quantum knot mosaics and the growth constant
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了一个量子纽结系统的精确和可行的定义，其状态被称为量子纽结。本文的灵感来自于他们提出的一个关于纽结镶嵌计数的公开问题。结$n$ -马赛克是由11个马赛克瓦片组成的$n \times n$阵列，通过适当邻接表示结或链接图，称为适当连接。结$n$ -镶嵌的总数由$D_n$表示，已知其以二次指数速率增长。本文证明了纽结镶嵌常数$δ= \lim_{n \rightarrow \infty} D_n^{\ \frac{1}{n^2}}$的存在性，并证明了$$4 \leq δ\leq \frac{5+ \sqrt{13}}{2} \ (\approx 4.303).$$
The Bennequin number, Kauffman polynomial, and ruling invariants of a Legendrian link: the Fuchs conjecture and beyond
我们证明了Legendrian环的未分次统治不变量可以实现为Kauffman多项式的某些系数，这些系数是非零的当且仅当Kauffman多项式给出的Bennequin数的上界是尖锐的。这解决了积极的一个猜想富克斯。用类似的方法证明了一个涉及由HOMFLY多项式和2-阶定则给出的上界的结果。
Mosaic number of knots
Lomonaco和Kauffman发展了纽结镶嵌，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$n$ -马赛克是表示结或链接的11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵。结$K$的镶嵌数$m(K)$是$K$可表示为结$n$ -镶嵌的最小整数$n$。本文利用交叉数$c(K)$建立了纽结或链环$K$的镶嵌数的一个上界。设$K$是一个非平凡纽结或一个除Hopf环以外的非分裂环。然后是$m(K) \leq c(K) + 1$。此外，如果$K$是素数且除$6^3_3$链外是非交错的，则$m(K) \leq c(K) - 1$。
Period and toroidal knot mosaics
纽结镶嵌理论是由Lomonaco和Kauffman在“量子纽结和镶嵌”的论文中引入的，以给出量子纽结的精确和可行的定义，旨在表示实际的物理量子系统。节点（m，n）-马赛克是一个$m \! \times \! n$矩阵，其元素是11个马赛克块，通过适当的邻接来表示一个节点或一个链接.本文介绍了纽结镶嵌的两种变体：周期纽结镶嵌和环形纽结镶嵌，它们是物理和数学中的共同特征。给出了一个算法，该算法能精确计算任意正整数m和n的周期纽结（m，n）-镶嵌图，互质整数m和n的环形纽结（m，n）-镶嵌图，以及素数p的环形纽结（p，p）-镶嵌图.
Mosaics for immersed surface-links
本文利用奇异标记图将镶嵌系统推广至浸入曲面链环，并定义其镶嵌数，为量子纽结系统研究提供新方向。
Upper bound on the total number of knot $n$-mosaics
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，它可以被看作是构建实际物理量子系统的蓝图。结$n$ -马赛克是11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵，其通过适当地邻接来表示结或链接，这被称为适当地连接。$D_n$表示所有结$n$ -镶嵌的总数。已知的是$D_1=1$、$D_2=2$和$D_3=22$。本文建立了$D_n$ $$\frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot 2^{(n-3)^2} \ \leq \ D_n \ \leq \ \frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot (4.4)^{(n-3)^2}.$$的上下界，并求出了$D_4 = 2594$的确切个数.
Space-Efficient Knot Mosaics for Prime Knots with Mosaic Number 6
在2008年，Kauffman和Lomonaco引入了节点马赛克和节点或链接的马赛克数的概念，最小整数$n$使得节点或链接可以在$n$ -马赛克上表示。在arXiv：1702.06462中，作者探索了节省空间的节点马赛克和节点或链接的瓷砖数量，即在马赛克上描绘节点或链接所需的最小非空白瓷砖数量。它们根据镶嵌数确定图块数的界限。在本文中，我们特别关注镶嵌数为6的素数结。我们确定这些节点的完整列表，为每个节点提供最小的、节省空间的节点马赛克，并确定每个节点的瓦片数量（或最小马赛克瓦片数量）。
String theory and the Kauffman polynomial
我们提出了一个新的，精确的完整性猜想的有色Kauffman多项式的结和链接的启发大N对偶和结构的拓扑弦论上orientifolds。根据这个猜想，无向理论中的自然纽结不变量涉及复合表示的有色考夫曼多项式和有色HOMFLY多项式，即它涉及环的全部HOMFLY绞。该猜想揭示了考夫曼多项式和HOMFLY多项式之间的关系，并暗示了鲁道夫定理。我们提供了各种非平凡的测试的猜想，我们素描的弦论的论点，导致它。
An effective proof of finiteness for Kauffman bracket skein modules
本文通过构造性方法证明了带边 3-流形 Kauffman 括号 skein 模的有限性猜想，并给出闭 3-流形 Witten 有限性猜想的替代证明，同时证明任意链环的 peripheral 理想非空。
Infinite families of hyperbolic $3$-manifolds with finite dimensional skein modules
一个$3$ -流形$M$的Kauffman括号skein模$K(M)$是由$M$中链的合痕类通过Kauffman关系张成的$\mathbb{Q}(A)$ -向量空间的商。Witten的一个猜想指出，如果$M$是封闭的，那么$K(M)$是有限维的。我们介绍了一个版本的这个猜想的流形与边界，并证明了稳定性的一般Dehn填充的结。因此，我们提供了第一个双曲的猜想的例子，证明几乎所有的Dehn填充的任何两桥结满足猜想。
Cyclotomic expansion and volume conjecture for superpolynomials of colored HOMFLY-PT homology and colored Kauffman homology
我们首先研究了三阶约化有色HOMFLY-PT同调的超多项式。给出了它的同余关系和分圆展开式，证明了环面纽结情形下的$N=1$猜想，并由此得到了相应的不变量$α(T(m,n))=-(m-1)(n-1)/2$。这与Milnor猜想密切相关。许多例子，包括同调厚结和更高的代表性也进行了测试。基于这些例子，我们进一步提出了一个猜想：在$N=1$上分圆展开确定的不变$α$是光滑4球亏格的一个下界.根据分圆展开式的结构，提出了与约化有色HOMFLY同调相关的$SU(n)$特化超多项式的体积猜想.我们还证明了这个新的体积猜想的数字8的情况下。然后研究了三阶约化色Kauffman同调的超多项式。我们提出了它的割圆展开猜想，并对同调厚的例子和更高的表示进行了检验。最后，我们将同样的思想应用于Heegaard-Floer结同调，并得到了我们测试的所有例子的展开公式。
Kauffman bracket intertwiners and the volume conjecture
本文针对考夫曼括号缠结算子与体积猜想，通过代数嵌入显式计算闭环面缠结算子并证明其迹的上极限为零，还对负欧拉特征曲面的周期微分同胚提出并证明了相应极限为零的猜想。
Bounds on the mosaic number of Legendrian Knots
本文计算Legendrian纽结镶嵌数的下界与上界，提供紧性例子，并给出算法及计算机普查，覆盖镶嵌数≤6的所有情况。
A note on amphicheiral alternating links
在重新考虑交错纽结上考夫曼猜想的Dasbach-Hougardy反例后，我们重新表述了这个猜想，并根据这个猜想考虑了Dasbach-Hougardy反例和类似的反例.
A counterexample to the wrapping number conjecture
本文构造了一个环带数为四的环带纽结，其Kauffman括号环带度至多二，从而否证了环带数猜想。
Small knot mosaics and partition matrices
Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$(m,n)$ -马赛克是马赛克拼块的$m \times n$矩阵，其是如下所述的$T_0$到$T_{10}$，通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。在研究镶嵌理论中一个有趣的问题是有多少结$(m,n)$ -镶嵌。$D_{m,n}$表示所有结$(m,n)$ -镶嵌的总数。这个计数是非常重要的，因为结镶嵌的总数确实是这些量子结镶嵌的希尔伯特空间的维数。在本文中，我们找到了一个表的精确值$D_{m,n}$为$4 \leq m \leq n \leq 6$如下。我们主要使用一个分割矩阵参数，这被证明是非常有效的计数小结马赛克。\begin{center} \begin{tabular}{|c|r|r|r|} \hline $D_{m,n}$ & $n=4$ & $n=5$ & $n=6$ \\ \hline $m=4$ & $2594$ & $54,226$ & $1,144,526$ \\ \hline $m=5$ & & $4,183,954$ & $331,745,962$ \\ \hline $m=6$ & & & $101,393,411,126$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
On the volume conjecture for polyhedra
我们将体积猜想推广到可平面图.用<G，c>表示图G的Kauffman括号，其边由实“颜色”c装饰，猜想指出，在适当的条件下，当k趋于无穷大时，kc>呈指数增长，增长率为单骨架为G的截断双曲超理想多面体的体积（直到围绕所有顶点的局部修改）并且具有由c给出的二面角。我们通过推导可平面图的考夫曼括号的递归系统，推广量子6 j-符号的戈登-舒尔滕递归，提供了证据。假设<G，kc>确实呈指数增长，这些递归提供了增长率的微分方程，体积确实满足这些方程（Schlafli方程）;此外，体积函数的任何小扰动仍然是这些方程的解，是一个附加常数的扰动。在附录中，我们还提供了一个证明概述其他地方的猜想，一个无限家庭的可平面图，包括四面体。
A Counterexample to the Generalisation of Witten's Conjecture
本文给出了Marché关于Laurent多项式环上闭紧定向3-流形的Kauffman括号skein模的结构的一个猜想的一个反例。
Asymptotics of quantum invariants of surface diffeomorphisms I: conjecture and algebraic computations
Kashaev-Murakami-Murakami体积猜想将纽结补的双曲体积与纽结的有色琼斯多项式的某些估计的渐近性联系起来。我们介绍了一个密切相关的猜想，支持的数值证据的曲面的仿射。该猜想涉及同构之间的某些表示的考夫曼括号绞代数的表面，和大部分的文章致力于发展明确的方法来计算这些同构。这些组合和代数技术被利用在随后的两篇文章中，证明了猜想的一个大家庭的一个穿刺环面和更多的分析。
Quantum knots and the number of knot mosaics
Lomonaco和Kauffman开发了一个纽结镶嵌系统，以引入量子纽结系统的精确和可行的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结（m，n）-马赛克是马赛克瓦片的$m \times n$矩阵（在引言中描述的$T_0$至$T_{10}$），其通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。$D^{(m,n)}$是所有结（m，n）-马赛克的总数。这个值表示这些量子纽结系统的希尔伯特空间的维数。作者已经为$m,n \leq 6$找到了$D^{(m,n)}$。在本文中，我们构建了一个算法产生的精确值的$D^{(m,n)}$的$m,n \geq 2$，使用状态矩阵的递归关系，原来是非常有效的计数结马赛克。其中$$ D^{(m,n)} = 2 \, \| (X_{m-2}+O_{m-2})^{n-2} \| $$矩阵$X_{m-2}$和$O_{m-2}$由用于$k=0,1, \cdots, m-3$的$$ X_{k+1} = \begin{bmatrix} X_k & O_k \\ O_k & X_k \end{bmatrix} \ \mbox{and } \ O_{k+1} = \begin{bmatrix} O_k & X_k \\ X_k & 4 \, O_k \end{bmatrix} $$定义，具有$1 \times 1$矩阵$X_0 = \begin{bmatrix} 1 \…
Introduction to Virtual Knot Theory
本文介绍虚纽结理论，阐述了新的概念和构造，包括奇偶括号多项式、箭多项式、奇偶箭多项式和箭多项式的推广。本文是相对独立的，它描述了虚拟的纽结理论组合，并在加厚表面的纽结理论。箭头多项式（Dye和Kauffman）是琼斯多项式的自然推广，通过使用状态和中的图的定向结构获得。本文讨论了Vassily Manturov开创的宇称的应用，并用他的宇称括号多项式给出了Fenn，Kauffman和Manturov的一个猜想的反例。该文件给出了一个阐述的分类的箭头多项式由于染料，考夫曼和Manturov和它给出了一个例子（从许多发现亚伦Kaestner）的一对虚拟的结，没有区分的Khovanov同源性（模2），或箭头多项式，但区别于一个分类的箭头多项式。奇偶校验计算的其他示例被指示。例如，同一对通过奇偶括号多项式来区分。
Mosaic number and Tile number of Corner Connection Tiles
本文通过证明角连接镶嵌能用更少块数表示所有结点或链环，定义了基于交叉数的尺寸界限，并构建了无限链环族及分析工具，解决了结点镶嵌领域的开放问题。
Topological Insights from the Chinese Rings
L.考夫曼指出，中国环之谜的一个特解是最简单的可能。我们利用低维拓扑和群论证明了他的猜想。我们还注意到中国环和哈比罗移动（与瓦西里耶夫不变量有关）之间的惊人联系。
Chern-Simons Invariants of Torus Links
本文计算了Chern-Simons理论中环面纽结算符的真空期望值，得到了所有经典规范群和任意表示的真空期望值的显式表达式。我们重现一个已知的公式的HOMFLY不变量的环面链接，我们得到一个类似的公式考夫曼不变量。我们还推导出一个公式的电缆结。我们用我们的结果来测试最近提出的猜想，涉及HOMFLY和考夫曼不变量。
On Knot Polynomials of Annular Surfaces and their Boundary Links
Stoimenow和Kidwell提出了以下问题：让$K$是一个非平凡的结，并让$W(K)$是一个怀特黑德双$K$。设$F(a,z)$为考夫曼多项式，$P(v,z)$为绞股多项式。那么总是$\max°_z P_{W(K)} - 1 = 2 \max°_z F_K$吗？在这里这个问题是重新措辞在更一般的条款之间的最大$z$ -度的考夫曼多项式的环形表面$A$一方面，和鲁道夫多项式另一方面，后者被定义为某种莫比乌斯变换的绞股多项式的边界链接$\partial A$。这种关系被证明是持有代数交替链接，从而同时解决了猜想基德韦尔和Stoimenow和一个相关的猜想特里普为这类链接。此外，尽管链路$K$的鲁道夫多项式$\{K\}$的重量级定义，建立了用于链路组成的非常简单的公式$\{\bigcirc\}\{L#M\}=\{L\}\{M\}$。这最后一个结果可以用来减少猜想的问题的情况下，总理的联系。
A Disproof of Santharoubane's Conjecture on Presentations of Generic Skein Algebras
本文针对亏格至少3且至多1个边界分支的紧连通定向曲面的一般Kauffman括号skein代数，通过证明其不存在单位特征而Santharoubane构造的对应代数存在增广特征，给出了Santharoubane猜想的反例。
On knots, complements, and 6j-symbols
本文研究了有色HOMFLY-PT与Kauffman同调、$\text{SO}(N)$量子$6j$ -符号和$(a,t)$ -变形$F_K$之间的关系.首先，我们提出了一个简单的规则的分级变化，使我们能够获得$[r]$ -彩色四阶-分级考夫曼同源性从$[r^2]$ -彩色四阶-分级HOMFLY-PT薄节同源。这个规则源于表示$(\mathfrak{so}_6,[r]) \cong (\mathfrak{sl}_4,[r^2])$的同构。同时，我们发现SO型和SU型的$A$ -多项式之间的关系来自Kauffman同调的微分。其次，我们给出了对称表示的$\text{SO}(N)(N\geq 4)$量子$6j$ -符号的封闭形式表达式，并计算了当表示为$R = [1],[2]$时相应的$\text{SO}(N)$融合矩阵。第三，我们猜想了正辫双扭纽结的补的$(a,t)$ -变形$F_K$的封闭形式表达式。利用这些表达式，我们导出了$t$变形的ADO多项式.
Quantum trace map for 3-manifolds and a 'length conjecture'
我们引入了理想三角化双曲纽结补$S^3\backslash \mathcal{K}$的量子迹映射。该映射为3-流形的Kauffmann Skein模的每个元素分配一个量子算子。量子算子存在于理想三角剖分的量子化边参数模由胶合方程确定的一些等价关系的乘积所生成的模中。将量子映射与$SL(2,\mathbb{C})$ Chern-Simons理论的态积分模型相结合，可以定义纽结$K$在纽结补中的微扰不变量，纽结补的前导部分由其复双曲长度决定.然后，我们推测，微扰不变量确定的琼斯多项式的渐近展开组成的链接的$\mathcal{K}$和$K$。我们提出了8字形纽结补的显式量子迹映射，并在数值和解析两方面证实了长度猜想的二阶渐近展开。
Ribbonlength of torus knots
使用考夫曼的模型，平面打结丝带，我们演示了如何所有的正多边形的至少七个方面可以实现带状结构的环面结。我们计算这些结构的长宽比，从而确定结的长度。特别地，我们证明了（q+1，q）环面纽结的闭（截断）带长是（2 q +1）cot（π/（2 q +1））（分别为，2qcot（π/（2q+1）。利用这些计算，我们给出了Kusner猜想中与带长R（K）和交叉数C（K）有关的常数c_1和c_2的界c_1 \leq 2/π和c_2 \geq 5/3 cot（π/5）：c_1 C（K）\leq R（K）\leq c_2 C（K）.
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