Space-Efficient Prime Knot 7-Mosaics
最早由Heap和Knowles（arXiv：1702.06462）提出了节点镶嵌的瓦片数和空间效率的概念，他们确定了镶嵌数为6或更少的素数节点的可能瓦片数和空间效率布局，本文将这些结果推广到镶嵌数为7的素数节点。
2019-12-30 math.GT
Quantum knot mosaics and the growth constant
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了一个量子纽结系统的精确和可行的定义，其状态被称为量子纽结。本文的灵感来自于他们提出的一个关于纽结镶嵌计数的公开问题。结$n$ -马赛克是由11个马赛克瓦片组成的$n \times n$阵列，通过适当邻接表示结或链接图，称为适当连接。结$n$ -镶嵌的总数由$D_n$表示，已知其以二次指数速率增长。本文证明了纽结镶嵌常数$δ= \lim_{n \rightarrow \infty} D_n^{\ \frac{1}{n^2}}$的存在性，并证明了$$4 \leq δ\leq \frac{5+ \sqrt{13}}{2} \ (\approx 4.303).$$
2016-09-02 math.GT
Knot mosaic tabulation
2008年，Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统来定义量子纽结系统。量子结是用来描述一个物理量子系统的拓扑结构或状态，如发生在小尺度上的涡旋所不能看到的。Kuriya和Shehab证明了纽结镶嵌型是驯服纽结的完全不变量。在这篇文章中，我们考虑的镶嵌数的纽结，这是一个自然的和基本的纽结不变量中定义的纽结镶嵌系统。我们确定所有八个交叉或更少的素数结的马赛克数。这篇文章是在介绍性的水平上写的，以鼓励其他本科生理解和探索这个主题。没有假定或要求纽结理论的先验。
2016-02-11 math.GT
Taming Wild Knots with Mosaics
本文提出用镶嵌图理论研究具有孤立野点的野结子类，引入镶嵌结团和镶嵌刚性顶点空间图概念，拓展了传统结分类方法。
2026-05-13 math.GT
Mosaic number of knots
Lomonaco和Kauffman发展了纽结镶嵌，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$n$ -马赛克是表示结或链接的11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵。结$K$的镶嵌数$m(K)$是$K$可表示为结$n$ -镶嵌的最小整数$n$。本文利用交叉数$c(K)$建立了纽结或链环$K$的镶嵌数的一个上界。设$K$是一个非平凡纽结或一个除Hopf环以外的非分裂环。然后是$m(K) \leq c(K) + 1$。此外，如果$K$是素数且除$6^3_3$链外是非交错的，则$m(K) \leq c(K) - 1$。
2014-11-26 math.GT
Tile Number and Space-Efficient Knot Mosaics
在本文中，我们介绍了一个空间有效的节点马赛克的概念。也就是说，我们试图确定如何使用最少数量的非空白瓷砖来描绘结。这个最小的数称为节点的瓦片数。我们确定严格的界限的瓷砖数的一个结的马赛克数的结。特别地，如果$t$是具有马赛克编号$m$的素结的瓦片编号，则如果$m$是偶数则为$5m-8 \leq t \leq m^2-4$，并且如果$m$是奇数则为$5m-8 \leq t \leq m^2-8$。我们还确定了几个节点的瓷砖数量，并为每个节点提供了空间有效的节点马赛克。
2018-03-21 math.GT
Small knot mosaics and partition matrices
Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$(m,n)$ -马赛克是马赛克拼块的$m \times n$矩阵，其是如下所述的$T_0$到$T_{10}$，通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。在研究镶嵌理论中一个有趣的问题是有多少结$(m,n)$ -镶嵌。$D_{m,n}$表示所有结$(m,n)$ -镶嵌的总数。这个计数是非常重要的，因为结镶嵌的总数确实是这些量子结镶嵌的希尔伯特空间的维数。在本文中，我们找到了一个表的精确值$D_{m,n}$为$4 \leq m \leq n \leq 6$如下。我们主要使用一个分割矩阵参数，这被证明是非常有效的计数小结马赛克。\begin{center} \begin{tabular}{|c|r|r|r|} \hline $D_{m,n}$ & $n=4$ & $n=5$ & $n=6$ \\ \hline $m=4$ & $2594$ & $54,226$ & $1,144,526$ \\ \hline $m=5$ & & $4,183,954$ & $331,745,962$ \\ \hline $m=6$ & & & $101,393,411,126$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
2014-11-10 math.GT
Mirror-Curves and Knot Mosaics
受量子纽结和纽结镶嵌[23]以及Heegaard-Floer纽结同调[2，3，7，24]计算中广泛使用的网格图（或弧表示）的启发，我们通过镜像曲线构造了纽结镶嵌和网格图的更简洁表示。驯服纽结理论等同于纽结镶嵌图[23]、镜像曲线和网格图[3，7，22，24]。因此，我们介绍代码的镜像曲线视为结或链接图放置在矩形正方形网格，适合于软件实现。我们提供了从大小为3x 3和px 2（p<5）的矩形网格获得的节点和连接的最小镜像曲线代码表，并描述了直接从镜像曲线表示计算考夫曼括号和L多项式的有效算法[18，19，20]。
2011-12-28 math.GT
Bounding Crossing Number in Rectangular and Hexagonal Knot Mosaics
本文推广 Howards–Kobin 的矩形结镶嵌交叉数上界证明，得到三种自然六边形镶嵌情形的新上界，并简化原矩形证明。
2024-10-25 math.GT
Bounds on Mosaic Knots
我们调查的交叉数和镶嵌数的马赛克节的界限之间的关系。
2010-04-13 math.GT
Knot Mosaics with Corner Connection Tiles
本文提出角连接瓦片，将纽结马赛克连接点从边中点移至瓦片角上，从而为交叉数不超过8的纽结构造更高效的马赛克，在不超过传统尺寸的前提下减少非空白瓦片数量。
2024-04-02 math.GT
Bounds on the mosaic number of Legendrian Knots
本文计算Legendrian纽结镶嵌数的下界与上界，提供紧性例子，并给出算法及计算机普查，覆盖镶嵌数≤6的所有情况。
2024-10-10 math.GT
Upper bound on the total number of knot $n$-mosaics
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，它可以被看作是构建实际物理量子系统的蓝图。结$n$ -马赛克是11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵，其通过适当地邻接来表示结或链接，这被称为适当地连接。$D_n$表示所有结$n$ -镶嵌的总数。已知的是$D_1=1$、$D_2=2$和$D_3=22$。本文建立了$D_n$ $$\frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot 2^{(n-3)^2} \ \leq \ D_n \ \leq \ \frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot (4.4)^{(n-3)^2}.$$的上下界，并求出了$D_4 = 2594$的确切个数.
2014-11-10 math.GT
The KnotMosaics Package for SageMath
University of Washington（华盛顿大学）；Seattle University（西雅图大学）
本文介绍了一个SageMath工具包，用于构建、可视化和分析结马赛克图。该工具包实现了验证马赛克、追踪丝线和组件、计算平面图代码等功能，支持结和链的计算。
2026-05-13 math.GT
Tile Numbers of Knot Corner Mosaics
本文研究纽结角镶嵌的瓦片数，证明角瓦片数严格介于瓦片数与其3倍之间，并完全分类了角瓦片数小于12且不含非链接非打结分支的纽结和链环。
2024-11-13 math.GT
Quantum knots and the number of knot mosaics
Lomonaco和Kauffman开发了一个纽结镶嵌系统，以引入量子纽结系统的精确和可行的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结（m，n）-马赛克是马赛克瓦片的$m \times n$矩阵（在引言中描述的$T_0$至$T_{10}$），其通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。$D^{(m,n)}$是所有结（m，n）-马赛克的总数。这个值表示这些量子纽结系统的希尔伯特空间的维数。作者已经为$m,n \leq 6$找到了$D^{(m,n)}$。在本文中，我们构建了一个算法产生的精确值的$D^{(m,n)}$的$m,n \geq 2$，使用状态矩阵的递归关系，原来是非常有效的计数结马赛克。其中$$ D^{(m,n)} = 2 \, \| (X_{m-2}+O_{m-2})^{n-2} \| $$矩阵$X_{m-2}$和$O_{m-2}$由用于$k=0,1, \cdots, m-3$的$$ X_{k+1} = \begin{bmatrix} X_k & O_k \\ O_k & X_k \end{bmatrix} \ \mbox{and } \ O_{k+1} = \begin{bmatrix} O_k & X_k \\ X_k & 4 \, O_k \end{bmatrix} $$定义，具有$1 \times 1$矩阵$X_0 = \begin{bmatrix} 1 \…
2014-12-15 math.GT
Constructions of and Bounds on the Toric Mosaic Number
本文研究环面表面上的纽结马赛克，提出两种构造环面纽结的环面马赛克算法并给出环面马赛克数的上界，同时结合计算机搜索汇总了已知环面马赛克数。
2025-04-03 math.GT
Enumeration on graph mosaics
自从琼斯多项式被发现以来，纽结理论和量子物理学之间的联系一直引起人们极大的兴趣。Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，旨在表示实际的物理量子系统。最近，作者开发了一种算法产生的确切枚举的节点马赛克，它使用的状态矩阵的递推公式。作为本研究计划的续集，我们同样定义的（嵌入式）图形马赛克系统，使用16个图形马赛克瓷砖，表示图形图的顶点价3和4。我们扩展了算法，以产生所有图马赛克的确切数量。主要使用作为状态矩阵的扩展的放大状态矩阵。
2017-03-15 math.GT
Mosaic number and Tile number of Corner Connection Tiles
本文通过证明角连接镶嵌能用更少块数表示所有结点或链环，定义了基于交叉数的尺寸界限，并构建了无限链环族及分析工具，解决了结点镶嵌领域的开放问题。
2023-11-28 math.GT
Mosaics for immersed surface-links
本文利用奇异标记图将镶嵌系统推广至浸入曲面链环，并定义其镶嵌数，为量子纽结系统研究提供新方向。
2023-08-30 math.GT
On hyperbolic knots realizing the maximal distance between toroidal surgeries
对于3-球面中的双曲结，环形手术之间的距离最多为5，8字形结除外。在本文中，我们确定所有双曲结，承认两个环形手术的距离为5。
2004-11-17 math.GT
Toroidal Seifert fibered surgeries on Montesinos knots
我们表明，如果Montesinos结承认Dehn手术产生的环形塞弗特纤维3流形，那么结是三叶结和手术斜率为0。
2010-09-24 math.GT
The classification of Toroidal Dehn surgeries on Montesinos knots
特殊的Dehn手术被分类为2桥结和长度至少为4的Montesinos结。在本文中，我们对所有长度为3的Montesinos结的环形Dehn手术进行了分类。
2009-10-23 math.GT
Toroidal Seifert fibered surgeries on alternating knots
我们给出了一个完整的分类环形塞弗特纤维手术交替结。准确地说，我们表明，如果一个交替的结承认环形塞弗特纤维手术，那么结要么是三叶结和手术斜率为零，或（2，p）-环面结和（2，q）-环面结和手术斜率为2（p+q）与|p|，|q|至少三。
2014-03-11 math.GT
Distance between toroidal surgeries on hyperbolic knots in the 3-sphere
对于3-球面中的双曲纽结，最多1000次Dehn手术产生非双曲3-流形。作为这种特殊手术的典型情况，环面手术是产生包含不可压缩环面的闭合3-流形的手术。对应于环形手术的斜率，称为环形斜率，已知为积分或半积分。我们表明，除了8字形结的双曲结的两个积分环形斜率之间的距离是最多4。因此，任何双曲结最多允许5次环形手术。
2004-12-02 math.GT
On Upper Bounds for Toroidal Mosaic Numbers
在本文中，我们的工作是构建马赛克表示的环面上的结，而不是在平面上。这包括环境组的特定选择，以及连续和适当连接的不同定义。我们提出的条件下，镶嵌数字可能会减少这个投影，并提出了一个工具来衡量这种减少。我们表明，在建设的环面的边缘识别的顺序有时会产生不同的结从一个给定的马赛克时，逆转。此外，在附录中，我们给出了所有2 × 2环面镶嵌的目录。
2013-04-08 math.GT quant-ph
From annular to toroidal pseudo knots
本文将平面伪纽结理论推广到环形与环面情形，通过提升、O-混合与H-混合表示建立理论联系，并推广加权分解集以构造新不变量。
2024-09-05 math.GT
Non-integral toroidal surgery on hyperbolic knots in $S^3$
我们表明，在任何双曲结$S^3$有最多一个非积分德恩手术产生一个流形包含一个不可压缩的环面。
1997-04-17 math.GT
An infinite family of knots whose hexagonal mosaic number is only realized in non-reduced projections
本文研究了一类无限结，其六边形马赛克数在非简化投影中才能实现，并引入新工具系统寻找所有可能的飞越，简化寻找素结的最小交叉嵌入。
2026-04-17 math.GT math.QA
Hyperbolic knots with three toroidal Dehn surgeries
证明了一个双曲纽结最多允许三个Dehn变换，这三个Dehn变换产生三个包含不可压缩环面的闭流形。我们证明了存在无穷多个双曲纽结，并使其达到几何上的最大值。有趣的是，这些手术对应于连续的整数。
2007-05-25 math.GT
Hyperbolic knots with a large toroidal surgery
本文构造了无限族双曲纽结，其例外手术产生含五个互不相交非平行不可压缩环面的图流形。
2023-10-16 math.GT
On multiply twisted knots that are Seifert fibered or toroidal
我们考虑的结的图有大量的多股扭曲。通过用不打结的曲线环绕多股线上的扭曲，我们得到一个称为广义增广连杆的连杆。德恩填补这个环节给出了原来的结。我们对塞弗特纤维化的广义增广链路进行分类，并对环形的广义增广链路进行环面分解。特别是，我们发现，每个组件的环面分解是“平凡的”，在某种意义上说，或同胚的补充广义增广链接。我们发现，这种结构下持续高德恩填充，给出结果的环面分解的结与广义扭曲区域和大量的扭曲。作为应用，我们给出了这些纽结补和广义增广链的Gromov范数的下界。
2009-06-24 math.GT
From planar to annular to toroidal bracket polynomials for pseudo knots and links
本文将Kauffman括号和Jones型多项式从平面伪链环推广到环面和轮胎面伪链环，并针对其混合链环图表示引入相应多项式，为研究环面和轮胎面伪链环提供了新工具。
2025-08-19 math.GT
Quantum Knots and Mosaics
本文给出了一个精确而可行的量子纽结系统的定义，其状态称为量子纽结。这个定义可以被看作是构建实际物理量子系统的蓝图。此外，量子结系统的这个定义旨在表示闭合打结的物理绳子的“量子体现”。量子结，作为这个系统的一种状态，代表这样一个打结的闭合绳子的状态，即，绳子上打结的特殊空间结构。与量子结系统相关的是一组幺正变换，称为环境群，它代表了所有可能的移动绳子的方式（不切断绳子，也不让绳子穿过自己）。当然，与经典的闭合绳子不同，量子结可以表现出非经典的行为，比如量子叠加和量子纠缠。这就提出了一些关于拓扑和量子纠缠之间关系的有趣而令人困惑的问题。量子结的结型就是量子结在环境群作用下的轨道。我们研究量子可观测量是量子结型的不变量。我们还研究了与周围群的生成元相关的哈密顿量，并简要地研究了量子隧穿的过渡到下渡。本文的一个基本构建块是一个马赛克系统，这是一个正式的（重写）系统的符号串。我们猜想，这个正式的系统完全捕获在一个公理化的方式驯服纽结理论的所有属性。
2008-05-03 math.GT quant-ph
Exceptional Dehn surgery on large arborescent knots
如果在$S^3$中的结$K$上进行Dehn手术产生可约、环形或Seifert双曲流形，则该手术是例外的。众所周知，除非是II型树状结，否则大型树状结不允许进行此类手术。本文的主要定理表明，直到合线，正好有三个大的树状结承认例外手术，其中每一个承认只有一个例外手术，产生一个环面流形。
2006-10-27 math.GT
Dehn surgery on knots of wrapping number 2
假设$K$是与子午线圆盘$D$相交两次的实心环面$V$中的双曲结。我们将证明，如果$K$是不是怀特黑德结和边界的一个定期附近的$K \cup D$是不可压缩的结外部，然后$K$承认在最多一个特殊的手术，这必须是环形的。将$V$嵌入$S^3$中给出了无穷多个结$K_n$，其斜率$r_n$对应于$V$中的斜率为$K$的$r$。如果$V$中$K$的$r$手术是环形的，那么除了最多三个$K_n(r_n)$之外的所有$K_n(r_n)$都是环形的，或者它们都是可还原的或小的塞弗特纤维，具有两个共同的单一纤维指数。这些将用于对实心环面中包裹的Montesinos结上的特殊手术进行分类，通过将Montesinos缠结的顶部端点连接到实心环面周围的两个圆弧的底部端点来获得。
2011-05-21 math.GT
Exceptional surgeries on $(-2,p,p)$-pretzel knots
我们对使用$p \ge 5$的$(-2, p, p)$型椒盐卷饼结的特殊手术进行了完整描述。众所周知，这样的结承认一个独特的环形手术产生一个独特的不可压缩环面的环面流形。通过沿环面切割，我们得到两个连通分支，其中一个是克莱因瓶上的扭曲$I$ -丛.我们表明，另一个是同胚的一个通过一定的德恩填充上的魔流形。另一方面，我们表明，所有这些椒盐卷饼结承认没有塞弗特纤维手术。
2011-02-06 math.GT
On a Lomonaco-Kauffman conjecture
Samuel J. Lomonaco Jr和Louis H. Kauffman证明了驯服纽结理论和纽结镶嵌理论是等价的。给出了Lomonaco-Kauffman猜想的一个证明。
2008-11-07 math.GT
On chirality of toroidal embeddings of polyhedral graphs
研究了标准环面上的空间图的性质。已知可平面图在环面中的非平凡嵌入包含一个非平凡纽结或一个非分裂环。在此基础上，利用环面纽结和环的手征性[3]，[4]，我们证明了简单3-连通可平面图在标准环面中的非平凡嵌入是手征的。对于空间图包含非平凡纽结的情况，Castle [5]给出了该命题。我们给出了一个替代的证明，使用未成年人，而不是欧拉示性数。为了证明图嵌入含有非分裂链的情形，我们证明了至少有三个梯级的Hopf梯子的手征性，从而推广了Simon [6]的一个定理.
2017-04-06 math.GT
Spacefilling knots
本文描述了如何构造与给定纽结同伦且允许3-空间的一个等面镶嵌的环面多面体。
2001-07-03 math.GT math.MG
Slope detection and toroidal 3-manifolds
Université du Québec à Montréal（蒙特利尔大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Nebraska Omaha（内布拉斯加大学奥马哈分校）
本文研究环形3流形的斜率检测，证明环形整数同调球体的基群可左序化，并展示素卫星结的循环分支覆盖不是L-空间且基群可左序化，同时证明纤维化伴随的循环分支覆盖具有可定向紧致叶面分解。
2026-04-13 math.GT
Knots and solenoids that cannot be attractors of self-homeomorphisms of $\mathbb{R}^3$
作为理解动力系统的吸引子有多复杂的第一步，可以考虑以下的可实现性问题：给定一个连续统$K \subseteq \mathbb{R}^3$，决定何时$K$可以实现为$\mathbb{R}^3$的同胚的吸引子。在本文中，我们引入了环面集作为那些连续$K \subseteq \mathbb{R}^3$，有一个邻域基组成的固体环面和推广的经典概念的纽结的亏格，给出了一个自然的定义的亏格的环面集，并研究了它的一些性质。使用这些工具，我们展示了结和结，对于这些结和结，上述可实现性问题的答案是否定的。
2018-06-28 math.DS math.GT
Quantum knots and knotted zeros
在本文中，我们将展示如何将迈克尔·贝里的发现打结的零的量子态的氢在一般的纽结理论的背景下，在我们的配方的量子结。贝里给了一个时间无关的波函数氢，作为一个地图从三个空间的复平面，使逆像零在复平面包含一个打结曲线在三个空间。我们证明了对于三空间中的纽结，这是一个一般的情形，即三空间中的每个光滑纽结K都有一个从三空间到复平面的光滑分类映射f，使得零的逆像是纽结K。这就留下了一个问题，即当这样的f是量子系统的波函数时，如何表征它。我们可以将这个结果与马克·丹尼斯和他的合作者的工作、丹尼尔·佩拉尔塔-萨拉斯和他的合作者的工作以及李·鲁道夫的工作进行比较。我们的方法提供了很大的一般性的波函数的打结零点的结构，并开辟了许多新的途径，研究量子理论和纽结理论的关系。我们展示了这种分类建设可以与我们以前的工作在二维和三维马赛克和晶格量子结。
2019-04-15 math.GT quant-ph
