Period and toroidal knot mosaics
纽结镶嵌理论是由Lomonaco和Kauffman在“量子纽结和镶嵌”的论文中引入的，以给出量子纽结的精确和可行的定义，旨在表示实际的物理量子系统。节点（m，n）-马赛克是一个$m \! \times \! n$矩阵，其元素是11个马赛克块，通过适当的邻接来表示一个节点或一个链接.本文介绍了纽结镶嵌的两种变体：周期纽结镶嵌和环形纽结镶嵌，它们是物理和数学中的共同特征。给出了一个算法，该算法能精确计算任意正整数m和n的周期纽结（m，n）-镶嵌图，互质整数m和n的环形纽结（m，n）-镶嵌图，以及素数p的环形纽结（p，p）-镶嵌图.
2017-03-15 math.GT
Tabulation of knots up to five triple-crossings and moves between oriented diagrams
本文枚举了三交叉数不超过五的所有素纽结极小图表，推导了连接同一有向纽结三交叉图的有向移动极小生成集，并提出三交叉数下界与亚历山大多项式宽度相关的猜想。
2021-06-05 math.CO math.GT
Rectangular mosaics for virtual knots
本文引入虚拟纽结的矩形马赛克定义，修改Ganzell和Henrich的马赛克移动至矩形设定，提供若干不变量及常见虚拟纽结不变量的计算算法。
2024-12-19 math.GT
Spherical Knot Mosaics
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文提出球面结马赛克概念，通过11种标准瓷砖表示结，并引入多种新的结和链环不变量，展示了其在改进经典马赛克方法方面的应用。
2026-01-23 math.GT
Virtual Mosaic Knot Theory
2008年，Lomanoco和Kauffman首次引入了节点的镶嵌图，目的是构建量子结系统。从那时起，许多其他人探索了这些结镶嵌图的结构，因为它们本身就是有趣的研究对象。Garduño已将结马赛克概括为虚拟结，包括一个额外的瓷砖类型来表示虚拟交叉。然而，还有另一种对虚拟结的解释，即表面上的结图，这激发了这项工作。通过查看经典的马赛克图作为$4n$ -粘合这些多边形的边缘，我们得到的表面上的节点，可以被视为虚拟节点。这些虚拟马赛克是我们目前的研究对象。在本文中，我们提供了一组移动，可以执行虚拟马赛克，保持结和链接类型，我们表明，任何虚拟结或链接可以表示为虚拟马赛克，我们提供了几个计算结果，虚拟马赛克数为小的经典和虚拟结。
2020-04-09 math.GT
Crossing Number Bound in Knot Mosaics
纽结镶嵌用于模拟物理量子态。结的马赛克数是最小整数$m$，使得结可以表示为结$m$ -马赛克。本文利用镶嵌数建立了纽结交叉数的一个上界。给定一个$m$ -马赛克和在该马赛克上表示的任何结$K$，如果$m$是奇数，则其交叉数$c$上界为$(m - 2)^{2} - 2$，如果$m$是偶数，则其交叉数$c$上界为$(m - 2)^{2} - (m - 3)$。
2018-05-26 math.GT
Tabulating Knot Mosaics: Crossing Number 10 or Less
本研究通过算法编程方法计算了交叉数10或更少的所有素纽结的马赛克数和瓷砖数，并建立了包含马赛克表和用户创作识别工具的在线存储库。
2023-03-21 math.GT
Space-Efficient Prime Knot 7-Mosaics
最早由Heap和Knowles（arXiv：1702.06462）提出了节点镶嵌的瓦片数和空间效率的概念，他们确定了镶嵌数为6或更少的素数节点的可能瓦片数和空间效率布局，本文将这些结果推广到镶嵌数为7的素数节点。
2019-12-30 math.GT
Quantum knot mosaics and the growth constant
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了一个量子纽结系统的精确和可行的定义，其状态被称为量子纽结。本文的灵感来自于他们提出的一个关于纽结镶嵌计数的公开问题。结$n$ -马赛克是由11个马赛克瓦片组成的$n \times n$阵列，通过适当邻接表示结或链接图，称为适当连接。结$n$ -镶嵌的总数由$D_n$表示，已知其以二次指数速率增长。本文证明了纽结镶嵌常数$δ= \lim_{n \rightarrow \infty} D_n^{\ \frac{1}{n^2}}$的存在性，并证明了$$4 \leq δ\leq \frac{5+ \sqrt{13}}{2} \ (\approx 4.303).$$
2016-09-02 math.GT
Taming Wild Knots with Mosaics
本文提出用镶嵌图理论研究具有孤立野点的野结子类，引入镶嵌结团和镶嵌刚性顶点空间图概念，拓展了传统结分类方法。
2026-05-13 math.GT
Mosaic number of knots
Lomonaco和Kauffman发展了纽结镶嵌，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$n$ -马赛克是表示结或链接的11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵。结$K$的镶嵌数$m(K)$是$K$可表示为结$n$ -镶嵌的最小整数$n$。本文利用交叉数$c(K)$建立了纽结或链环$K$的镶嵌数的一个上界。设$K$是一个非平凡纽结或一个除Hopf环以外的非分裂环。然后是$m(K) \leq c(K) + 1$。此外，如果$K$是素数且除$6^3_3$链外是非交错的，则$m(K) \leq c(K) - 1$。
2014-11-26 math.GT
Tile Number and Space-Efficient Knot Mosaics
在本文中，我们介绍了一个空间有效的节点马赛克的概念。也就是说，我们试图确定如何使用最少数量的非空白瓷砖来描绘结。这个最小的数称为节点的瓦片数。我们确定严格的界限的瓷砖数的一个结的马赛克数的结。特别地，如果$t$是具有马赛克编号$m$的素结的瓦片编号，则如果$m$是偶数则为$5m-8 \leq t \leq m^2-4$，并且如果$m$是奇数则为$5m-8 \leq t \leq m^2-8$。我们还确定了几个节点的瓷砖数量，并为每个节点提供了空间有效的节点马赛克。
2018-03-21 math.GT
Small knot mosaics and partition matrices
Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结$(m,n)$ -马赛克是马赛克拼块的$m \times n$矩阵，其是如下所述的$T_0$到$T_{10}$，通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。在研究镶嵌理论中一个有趣的问题是有多少结$(m,n)$ -镶嵌。$D_{m,n}$表示所有结$(m,n)$ -镶嵌的总数。这个计数是非常重要的，因为结镶嵌的总数确实是这些量子结镶嵌的希尔伯特空间的维数。在本文中，我们找到了一个表的精确值$D_{m,n}$为$4 \leq m \leq n \leq 6$如下。我们主要使用一个分割矩阵参数，这被证明是非常有效的计数小结马赛克。\begin{center} \begin{tabular}{|c|r|r|r|} \hline $D_{m,n}$ & $n=4$ & $n=5$ & $n=6$ \\ \hline $m=4$ & $2594$ & $54,226$ & $1,144,526$ \\ \hline $m=5$ & & $4,183,954$ & $331,745,962$ \\ \hline $m=6$ & & & $101,393,411,126$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
2014-11-10 math.GT
Mirror-Curves and Knot Mosaics
受量子纽结和纽结镶嵌[23]以及Heegaard-Floer纽结同调[2，3，7，24]计算中广泛使用的网格图（或弧表示）的启发，我们通过镜像曲线构造了纽结镶嵌和网格图的更简洁表示。驯服纽结理论等同于纽结镶嵌图[23]、镜像曲线和网格图[3，7，22，24]。因此，我们介绍代码的镜像曲线视为结或链接图放置在矩形正方形网格，适合于软件实现。我们提供了从大小为3x 3和px 2（p<5）的矩形网格获得的节点和连接的最小镜像曲线代码表，并描述了直接从镜像曲线表示计算考夫曼括号和L多项式的有效算法[18，19，20]。
2011-12-28 math.GT
Bounding Crossing Number in Rectangular and Hexagonal Knot Mosaics
本文推广 Howards–Kobin 的矩形结镶嵌交叉数上界证明，得到三种自然六边形镶嵌情形的新上界，并简化原矩形证明。
2024-10-25 math.GT
Bounds on Mosaic Knots
我们调查的交叉数和镶嵌数的马赛克节的界限之间的关系。
2010-04-13 math.GT
Knot Mosaics with Corner Connection Tiles
本文提出角连接瓦片，将纽结马赛克连接点从边中点移至瓦片角上，从而为交叉数不超过8的纽结构造更高效的马赛克，在不超过传统尺寸的前提下减少非空白瓦片数量。
2024-04-02 math.GT
Bounds on the mosaic number of Legendrian Knots
本文计算Legendrian纽结镶嵌数的下界与上界，提供紧性例子，并给出算法及计算机普查，覆盖镶嵌数≤6的所有情况。
2024-10-10 math.GT
Upper bound on the total number of knot $n$-mosaics
Lomonaco和Kauffman引入了一个纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，它可以被看作是构建实际物理量子系统的蓝图。结$n$ -马赛克是11种特定马赛克瓦片的$n \times n$矩阵，其通过适当地邻接来表示结或链接，这被称为适当地连接。$D_n$表示所有结$n$ -镶嵌的总数。已知的是$D_1=1$、$D_2=2$和$D_3=22$。本文建立了$D_n$ $$\frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot 2^{(n-3)^2} \ \leq \ D_n \ \leq \ \frac{2}{275}(9 \cdot 6^{n-2} + 1)^2 \cdot (4.4)^{(n-3)^2}.$$的上下界，并求出了$D_4 = 2594$的确切个数.
2014-11-10 math.GT
The KnotMosaics Package for SageMath
University of Washington（华盛顿大学）；Seattle University（西雅图大学）
本文介绍了一个SageMath工具包，用于构建、可视化和分析结马赛克图。该工具包实现了验证马赛克、追踪丝线和组件、计算平面图代码等功能，支持结和链的计算。
2026-05-13 math.GT
Tile Numbers of Knot Corner Mosaics
本文研究纽结角镶嵌的瓦片数，证明角瓦片数严格介于瓦片数与其3倍之间，并完全分类了角瓦片数小于12且不含非链接非打结分支的纽结和链环。
2024-11-13 math.GT
Quantum knots and the number of knot mosaics
Lomonaco和Kauffman开发了一个纽结镶嵌系统，以引入量子纽结系统的精确和可行的定义。这个定义旨在表示实际的物理量子系统。结（m，n）-马赛克是马赛克瓦片的$m \times n$矩阵（在引言中描述的$T_0$至$T_{10}$），其通过适当地邻接来表示结或链接，其被称为适当地连接。$D^{(m,n)}$是所有结（m，n）-马赛克的总数。这个值表示这些量子纽结系统的希尔伯特空间的维数。作者已经为$m,n \leq 6$找到了$D^{(m,n)}$。在本文中，我们构建了一个算法产生的精确值的$D^{(m,n)}$的$m,n \geq 2$，使用状态矩阵的递归关系，原来是非常有效的计数结马赛克。其中$$ D^{(m,n)} = 2 \, \| (X_{m-2}+O_{m-2})^{n-2} \| $$矩阵$X_{m-2}$和$O_{m-2}$由用于$k=0,1, \cdots, m-3$的$$ X_{k+1} = \begin{bmatrix} X_k & O_k \\ O_k & X_k \end{bmatrix} \ \mbox{and } \ O_{k+1} = \begin{bmatrix} O_k & X_k \\ X_k & 4 \, O_k \end{bmatrix} $$定义，具有$1 \times 1$矩阵$X_0 = \begin{bmatrix} 1 \…
2014-12-15 math.GT
Constructions of and Bounds on the Toric Mosaic Number
本文研究环面表面上的纽结马赛克，提出两种构造环面纽结的环面马赛克算法并给出环面马赛克数的上界，同时结合计算机搜索汇总了已知环面马赛克数。
2025-04-03 math.GT
Enumeration on graph mosaics
自从琼斯多项式被发现以来，纽结理论和量子物理学之间的联系一直引起人们极大的兴趣。Lomonaco和Kauffman引入了纽结镶嵌系统，给出了量子纽结系统的定义，旨在表示实际的物理量子系统。最近，作者开发了一种算法产生的确切枚举的节点马赛克，它使用的状态矩阵的递推公式。作为本研究计划的续集，我们同样定义的（嵌入式）图形马赛克系统，使用16个图形马赛克瓷砖，表示图形图的顶点价3和4。我们扩展了算法，以产生所有图马赛克的确切数量。主要使用作为状态矩阵的扩展的放大状态矩阵。
2017-03-15 math.GT
Mosaic number and Tile number of Corner Connection Tiles
本文通过证明角连接镶嵌能用更少块数表示所有结点或链环，定义了基于交叉数的尺寸界限，并构建了无限链环族及分析工具，解决了结点镶嵌领域的开放问题。
2023-11-28 math.GT
Mosaics for immersed surface-links
本文利用奇异标记图将镶嵌系统推广至浸入曲面链环，并定义其镶嵌数，为量子纽结系统研究提供新方向。
2023-08-30 math.GT
Maps on Surfaces and the Tabulation of Knots and Links in the Thickened Torus Through Ten Crossings
Constructor University Bremen（不来梅构造大学）
该研究提出了一种基于曲面映射的组合框架，用于系统地枚举单生成虚拟结，并通过规范代表和位数据实现无重复的交叉分配。
2026-08-31 math.CO math.GT
Profiles of Critical Flat Ribbon Knots
本文针对理想纽结例子稀缺的问题，计算了Salomon纽结、Turk's head纽结、granny纽结和square纽结等的最小带状长度，并给出无限类临界带状纽结的带状长度及与纽结不变量相关的猜想。
2025-06-04 math.GT
An infinite family of knots whose hexagonal mosaic number is only realized in non-reduced projections
本文研究了一类无限结，其六边形马赛克数在非简化投影中才能实现，并引入新工具系统寻找所有可能的飞越，简化寻找素结的最小交叉嵌入。
2026-04-17 math.GT math.QA
Quantum Knots and Mosaics
本文给出了一个精确而可行的量子纽结系统的定义，其状态称为量子纽结。这个定义可以被看作是构建实际物理量子系统的蓝图。此外，量子结系统的这个定义旨在表示闭合打结的物理绳子的“量子体现”。量子结，作为这个系统的一种状态，代表这样一个打结的闭合绳子的状态，即，绳子上打结的特殊空间结构。与量子结系统相关的是一组幺正变换，称为环境群，它代表了所有可能的移动绳子的方式（不切断绳子，也不让绳子穿过自己）。当然，与经典的闭合绳子不同，量子结可以表现出非经典的行为，比如量子叠加和量子纠缠。这就提出了一些关于拓扑和量子纠缠之间关系的有趣而令人困惑的问题。量子结的结型就是量子结在环境群作用下的轨道。我们研究量子可观测量是量子结型的不变量。我们还研究了与周围群的生成元相关的哈密顿量，并简要地研究了量子隧穿的过渡到下渡。本文的一个基本构建块是一个马赛克系统，这是一个正式的（重写）系统的符号串。我们猜想，这个正式的系统完全捕获在一个公理化的方式驯服纽结理论的所有属性。
2008-05-03 math.GT quant-ph
On Upper Bounds for Toroidal Mosaic Numbers
在本文中，我们的工作是构建马赛克表示的环面上的结，而不是在平面上。这包括环境组的特定选择，以及连续和适当连接的不同定义。我们提出的条件下，镶嵌数字可能会减少这个投影，并提出了一个工具来衡量这种减少。我们表明，在建设的环面的边缘识别的顺序有时会产生不同的结从一个给定的马赛克时，逆转。此外，在附录中，我们给出了所有2 × 2环面镶嵌的目录。
2013-04-08 math.GT quant-ph
On a Lomonaco-Kauffman conjecture
Samuel J. Lomonaco Jr和Louis H. Kauffman证明了驯服纽结理论和纽结镶嵌理论是等价的。给出了Lomonaco-Kauffman猜想的一个证明。
2008-11-07 math.GT
Quantum knots and knotted zeros
在本文中，我们将展示如何将迈克尔·贝里的发现打结的零的量子态的氢在一般的纽结理论的背景下，在我们的配方的量子结。贝里给了一个时间无关的波函数氢，作为一个地图从三个空间的复平面，使逆像零在复平面包含一个打结曲线在三个空间。我们证明了对于三空间中的纽结，这是一个一般的情形，即三空间中的每个光滑纽结K都有一个从三空间到复平面的光滑分类映射f，使得零的逆像是纽结K。这就留下了一个问题，即当这样的f是量子系统的波函数时，如何表征它。我们可以将这个结果与马克·丹尼斯和他的合作者的工作、丹尼尔·佩拉尔塔-萨拉斯和他的合作者的工作以及李·鲁道夫的工作进行比较。我们的方法提供了很大的一般性的波函数的打结零点的结构，并开辟了许多新的途径，研究量子理论和纽结理论的关系。我们展示了这种分类建设可以与我们以前的工作在二维和三维马赛克和晶格量子结。
2019-04-15 math.GT quant-ph
