Minimal surfaces in sub-Riemannian manifolds and structure of their singular sets in the (2,3) case
本文研究了一般次黎曼流形中具有余秩1的次黎曼结构的极小曲面。这些表面可以被定义为与规范{ \it horizontal}面积形式相关联的所谓{\it horizontal}面积泛函的临界点。我们推导出的内在方程在一般情况下，然后考虑在更详细的二维表面接触流形的3维。我们表明，在这种情况下，极小曲面是一类特殊的二维曲面的水平球面丛的基础流形上的投影。极小曲面的通有奇性导致了这种投影的奇性，并给出了它们的一个完整的局部分类。我们用海森堡群和旋转平移群中的例子来说明我们的结果
2007-09-19 math.AP math.DG
Sub-Riemannian Geodesics on $SL(2, \mathbb{R})$
我们明确地描述了长度最小化测地线的子黎曼结构的椭圆型定义在$SL(2, \mathbb{R})$。我们的方法使用了一个对称性约简，将问题转化为一个二维商空间上的黎曼问题，测地线的投影可以很容易地可视化。作为一个副产品，我们获得了一个替代的推导的特点，在\cite{BoscaRossi}中获得的切割轨迹。我们利用李群\cite{AGBD}，\cite{Biggs}，\cite{HB2}上三维右不变亚黎曼结构的分类结果来精确地识别我们的结果所适用的自守结构.
2022-03-09 math.DG
Metric projections versus non-positive curvature
本文利用度量投影的方法在测地长空间上引入了两个度量性质，并研究了它们在Alexandrov和Busemann NPC空间上的有效性。特别地，我们证明了这两个性质刻画了黎曼流形上截面曲率的非正性。进一步的结果也建立在可逆/不可逆Finsler-Minkowski空间。
2016-02-12 math.DG
Equigeodesic vectors for homogeneous Riemannian submersions
Universidade Federal de Uberlândia, Instituto de Matemática e Estatística（Uberlandia联邦大学数学与统计学院）；Universidade Estadual de Maringá, Departamento de Matemática（Maringá州立大学数学系）；IMECC-Unicamp, Departamento de Matemática（坎皮纳斯州立大学计算科学与数学研究所数学系）
研究齐性纤维化的π-等测地线向量，通过代数准则刻画该向量并应用于相关空间，以李群关系为框架描述特定投影为黎曼浸没的度量族，并给出纤维全测地线的准则。
2026-07-10 math.DG
The Riemannian geometry of orbit spaces. The metric, geodesics, and integrable systems
本文研究了轨道空间$M/G$上李群在黎曼流形上的等距真作用的黎曼几何的基础。最短测地线弧是度量空间$M/G$中的长度最小化曲线，它们只能在端点处到达更奇异的层。这被表述为凸性结果。在$TM/G$上，测地线被看作是一个（地层保持的）向量场，这导致了$M/G$中测地线的概念，它是在$M\to M/G$下垂直于轨道的测地线的投影。它还导致“弹道曲线”，即其他测地线的投影。在例子中（厄米特和对称矩阵，更一般的极表示），我们计算他们的方程奇异辛约化，并获得推广的Calogero-Moser系统的自旋。
2001-02-20 math.DG math.RT math.SG
Quasi-invariance for heat kernel measures on sub-Riemannian infinite-dimensional Heisenberg groups
研究了亚黎曼无限维Heisenberg-like李群上的热核测度。特别是，我们证明了Cameron-Martin型准不变性结果在此次椭圆设置，并给出了$L^p$ -估计的Radon-Nikodym衍生物。在我们的证明中的主要成分是广义曲率维估计举行近似有限维投影群。Baudoin和Garofalo在\cite{BaudoinGarofalo2011}中首次提出了这种估计。
2011-08-07 math.DG math.PR
Metabelian distributions and sub-Riemannian geodesics
本文刻画了 metabelian 分布的主丛结构，并证明其严格奇异轨迹的投影位于解析簇内，从而得出秩 2 情形下测地线的 $C^1$ 正则性。
2024-05-23 math.DG math.OC
Modelling Anisotropic Covariance using Stochastic Development and Sub-Riemannian Frame Bundle Geometry
我们讨论了使用随机过程在光滑流形的标架丛中建立随机模型的几何基础，并将其应用于非线性数据的统计分析。在标架丛中发展的布朗运动到流形的投影的转移密度导致流形上的一族概率分布。我们解释如何数据的平均值和协方差可以被解释为点的标架丛，或更准确地说，在束对称正定2张量类似于描述欧几里得正态分布的参数。我们讨论了通过这个丛的标架丛投影映射的因式分解，标架丛的自然次黎曼结构，完整性的影响，以及满足Hormander条件使得布朗运动具有光滑转移密度的子丛的存在性.我们确定了最可能的路径为基础的欧几里德布朗运动和讨论小时间渐近的过渡密度的流形上。几何设置产生一个内在的方法来估计的均值和协方差在非线性空间。
2016-08-26 math.DG math.ST stat.TH
On surfaces with a prescribed curvilinear projection of one field of principal directions
考虑一类Riemannian 3-空间中的面图，其中一个主方向场具有到曲面$Π$上的预定投影。当两个主曲率都给定在$Π$中的一条直线上时，给出了确定这类曲面的一个问题。几何问题减少到柯西问题的拟线性偏微分方程的，在一定条件下的数据，是双曲的，并承认一个唯一的解决方案。证明了空间型中的平行曲面在较弱的正则性假设下为几何问题提供了一类特殊的整体解。这样的解可以通过迭代函数序列来找到。
2010-03-10 math.DG
Some Einstein Homogeneous Riemannian Fibrations
研究了紧致连通半单李群$G$在$G$ -等变纤维化$M=G/L\to G/K$的全空间上可投射的$G$ -不变Einstein度量的存在性.我们用适当的Casimir算子得到了这种Einstein度量存在的必要条件，推广了Wang和Ziller关于Einstein正规度量的结果.我们描述了双正规Einstein度量，它是光纤上正规度量和基底上正规度量的正交和。本文还考虑了光纤的约束和基底的投影也是爱因斯坦的特殊情况。作为应用，我们证明了Kowalski $n$ -对称空间上非标准Einstein不变度量的存在性。
2009-11-15 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the Heisenberg 3D nil-manifold
本文研究了3D Heisenberg群上次黎曼结构到Heisenberg 3D nil-manifold的投影，分析了测地流的动力学性质，并基于$G$中次黎曼球与距离的精确双边界估计了$M$中测地线的切割时间。
2024-11-17 math.DG math.DS math.OC
Sub-Riemannian structures corresponding to Kählerian metrics on the universal Teichmueller space and curve
我们考虑单位圆及其中心扩张Virasoro-Bott群的保义同构群$\Diff S^1$，它们各自的水平分布被选择为关于光滑泛Teichmüller空间和与正规化单叶函数空间相关联的泛Teichmüller曲线的投影的Ehresmann联络。我们找到了正规测地线关于不变Kählerian度量的拉回的公式，即正规单叶函数类上的Velling-Kirillov度量和泛Teichmüller空间上的Weil-Petersson度量。测地线方程是欧拉-阿诺德方程的次黎曼类似物，并导致CLM，KdV和其他已知的非线性PDE。
2012-02-28 math.AP math.DG
Smoothness of isometric flows on orbit spaces and applications to the theory of foliations
本文证明了：给定完备黎曼流形$M$上的适当等距作用$K\times M\to M$，则轨道空间$M/K$上的每个连续等距流都是光滑的，即，它是$K$等变光滑流在流形$M$上的投影。作为一个直接推论，我们推出轨道空间上等距作用的光滑性。我们的结果的另一个相关应用涉及Molino猜想，它指出，一个黎曼流形的分区到一个奇异黎曼叶理的叶子的闭包仍然是一个奇异黎曼叶理。我们证明莫利诺猜想的主要类叶理考虑在他的书中，即轨道状叶理。
2014-05-13 math.DG
Extremal mappings of tori, Teichmüller potentials and symmetric-space distance
University of Chicago（芝加哥大学）；Universiteit Utrecht（乌得勒支大学）
针对n≥3时对称空间 $X_n$ 度量 $d_{X_n}$ 缺乏模解释的问题，引入总扩张与希尔伯特-施密特扩张概念，证明保体积平坦环面间利普希茨映射的总扩张可由仿射映射最小化，且对应 $d_{X_n}$。
2026-08-18 math.AG math.DG math.GT
Sub-Riemannian geometry on infinite-dimensional manifolds
我们推广了次黎曼几何的概念，以方便的向量空间为模型的无限维流形。在次黎曼流形$M$上，度量仅定义在切丛$TM$的子丛$\calH$上，称为水平分布。与有限维情形类似，我们能够将最小化曲线的可能候选者分成两类：仅依赖于$\calH$的半刚性曲线，以及既依赖于$\calH$本身又依赖于$\calH$上的度量的正规测地线。在这个意义上，无限维情形下的半刚性曲线推广了有限维奇异曲线的概念。特别地，我们研究了正则李群的情况。作为例子，我们考虑单位圆和Virasoro-Bott群的保义同构群$\Diff S^1$，它们各自的水平分布被选择为关于归一化单叶函数空间的投影的Ehresmann联络。在这些情况下，我们证明了可控性，并找到正规测地线的公式，相对于拉回的不变凯勒度量类规范化单叶函数。测地线方程类似于Camassa-Holm、Huter-Saxton、KdV和其他已知的非线性偏微分方程。
2012-01-11 math.DG
Beyond the Hodge Theorem: curl and asymmetric pseudodifferential projections
Maxwell Institute for Mathematical Sciences & Department of Mathematics, Heriot-Watt University（赫瑞-瓦特大学麦克斯韦数学科学研究所与数学系）；Dipartimento di Matematica “Federigo Enriques”, Università degli Studi di Milano（米兰大学费德里戈·恩里克斯数学系）；Department of Mathematics, University College London（伦敦大学学院数学系）
本文提出了一种通过微局分析构造非对称伪微分算子的方法，用于研究黎曼流形的谱不对称性，推广了经典eta不变量。
2026-09-21 math-ph math.AP math.DG
Maxwell Strata and Cut Locus in Sub-Riemannian Problem on Engel group
我们考虑了Engel群上的幂零左不变子黎曼结构。这种结构给出了一个基本的局部近似的一般秩2子黎曼结构的4流形附近的一个泛点（特别是，一辆汽车的运动学模型与拖车）。另一方面，这是第三步中最简单的次黎曼结构。我们描述了割迹的全局结构（测地线失去其全局最优性的点集），麦克斯韦集（允许多个极小化的点集），以及割迹与焦散线（沿所有测地线的共轭点集）的交点。描述了割迹的对称性组：它是由一个单参数组的扩张$\mathbb{R}_+$和一个离散的反射组$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$产生的。割迹可分为6个三维层、12个二维层和2个一维层。割迹的三维地层是重数为2的Maxwell地层（每点有2个极小元）。割迹的二维地层由共轭点组成。最后，一维地层是无限重数的Maxwell地层，它们也是由共轭点组成的。亚黎曼测地线到分布的二维平面的投影是欧拉弹性线。对于割迹的每一点，我们描述了对应于到达这一点的极小值的欧拉弹性线。最后，我们描述了最佳合成的结构，即，恩格尔群中每个终点的最小值集。
2017-09-30 math.DG
Anisotropically Weighted and Nonholonomically Constrained Evolutions on Manifolds
我们提出了发展方程的路径，从各向异性加权曲线能量在非线性统计的流形值数据的家庭。当对具有非平凡协方差且各向异性分布的数据执行推断时，会出现这种情况。族可以被解释为驱动半鞅的最可能路径，通过随机发展映射到流形。我们讨论了路径如何是流形的标架丛上的次黎曼度量的测地线的投影，以及底层联络的曲率如何出现在次黎曼Hamilton-Jacobi方程中。导出了亚黎曼度规的度规和度量公式的发展方程。此外，我们展示了如何秩亏度量可以与一个基本的黎曼度量混合，我们与黎曼几何中的测地线和多项式的路径。从家庭的路径的例子被可视化的嵌入式表面上，我们探讨计算表示有限维地标流形的几何诱导右不变度量的仿射群。
2016-11-23 math.DG math.ST stat.TH
Weak Riemannian manifolds from finite index subfactors
设$N\subset M$是II个$_1$因子的有限Jones指数包含，用$U_N\subset U_M$表示它们的酉群.本文研究齐次空间$U_M/U_N$，它是一个（无穷维）可微流形，同构于包含的Jones投影$p$的轨道$$ {\cal O}(p) =\{u p u^*: u\in U_M\} $$.利用切空间上的迹，赋予${\cal O}(p) $一个黎曼度量.这些是前希尔伯特空间（切空间是不完备的），因此${\cal O}(p)$是弱黎曼流形。我们证明了${\cal O}(p)$具有某些类似于经典Hilbert-Riemann流形的性质.其中包括测地线距离的度量完备性、Levi-Civita联络的测地线作为极小曲线的唯一性以及极小测地线存在性的部分结果。例如，围绕${\cal O}(p)$的每个点$p_1$，存在具有$M$的通常范数的球$\{q\in {\cal O}(p):\|q-p_1\|<r\}$（具有均匀半径$r$），使得球中的任何点$p_2$通过唯一测地线连接到$p_1$，该测地线比位于该球内的任何其他分段平滑曲线短。我们还给出了包含${\cal O}(p)\subset {\cal P}(M_1)$的子流形的退化方向的内在（代数）刻画，其中最后一个集合表示由$M$和$p$生成的von Neumann代数的Grassmann流形.
2008-08-19 math.DG math.OA
An overview of the Riemannian metrics on spaces of curves using the Hamiltonian approach
这里的形空间是$\mathbb R^2$中的简单闭光滑非参数曲线的流形，或者是从$S^1$到$\mathbb R^2$模$S^1$的自同构群的浸入的轨道。本文研究了形状空间上的几种黎曼度量：$L^2$ -度量，它们分别由长度和曲率的表达式加权.这些度量包括尺度不变度量和夹在两个长度加权度量之间的Wasserstein型度量。描述了曲线上$n$阶的Sobolev度量.这里切场的水平投影由一个伪微分算子给出。最后讨论了由Sobolev度量在$\mathbb R^2$上的同构群上导出的度量.虽然商度量都是由伪微分算子给出的，但它们的逆是由光滑核的卷积给出的。我们能够证明这两种Sobolev度量的测地线方程解的局部存在唯一性。我们感兴趣的是所有的守恒量，所以本文从哈密顿设置和计算守恒动量和测地线一般的浸入空间。对于每个度量，我们计算形状空间上的测地线方程。最后，我们在一些例子中概述了这些指标之间的差异。
2006-07-11 math.DG math.SG
Riemannian Geometry with differentiable ambient space and metric operator
我们证明，可以通过将黎曼流形$\mathcal{M}$的切丛与平凡丛$\mathcal{M} \times \mathcal{E}$的子丛进行识别来研究黎曼几何，平凡丛是通过将$\mathcal{M}$可微嵌入到欧几里得空间$\mathcal{E}$中获得的。给定这样的嵌入，我们可以将$\mathcal{M}$上的度量张量扩展为作用在$\mathcal{E}$上的（正定）算子值函数，从而给出嵌入的环境结构。局部坐标系中的克里斯托弗符号和黎曼曲率的公式对这种设置有简单的推广。对于从嵌入流形$\mathcal{M}\subset \mathcal{E}$浸入的黎曼浸入$\mathfrak{q}:\mathcal{M}\to \mathcal{B}$，我们定义了浸入的环境结构，并得到了类似的公式，其中O'Neil张量用水平丛$\mathcal{H}\mathcal{M}$的投影表示.利用这个框架，我们给出了二重切丛$\mathcal{T}\mathcal{T}\mathcal{M}$和水平丛的切$\mathcal{T}\mathcal{H}\mathcal{M}$的嵌入和淹没的环境结构，描述了水平丛在基底流形的切丛上的纤维化，并将正则翻转的概念推广到淹没的情形.得到了自然约化齐性空间中Jacobi场的水平提升公式和Jacobi场的一个新的封闭形式公式。我们构造自然度量这些双切线丛，特别是…
2021-05-04 cs.LG cs.SY eess.SY
On Certain Rigidity Results of Compact Regular $(κ, μ) $-Manifolds
本文研究闭正则非 Sasakian $(κ, μ)$-流形 Boothby-Wang 纤维化底空间的度量刚性，利用保持双 Legendrian 结构的投影偏差，统一证明 Riemann 情形的 Sasakian 结构唯一性及半 Riemann 情形的有限仿切触结构分类。
2023-11-03 math-ph math.DG math.GT
