Finding Large Clique Minors is Hard
David Eppstein
我们证明了，给定图G和参数h，判定G是否包含完全图K_h作为子图是NP-完全的。
We prove that it is NP-complete, given a graph G and a parameter h, to determine whether G contains a complete graph K_h as a minor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Clique-coloring of $K_{3,3}$-minor free graphs
给定图$G$的团染色是对$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。证明了可平面图是$3$ -团可染的，而不同于奇圈的无爪可平面图是$2$ -团可染的.本文将这些结果推广到$K_{3,3}$ -minor free（$K_{3,3}$ -subdivision free）图.
Clique-width and induced topological minors
研究证明，当图H不包含诱导子图H的子图时，团宽有界当且仅当H是P4、paw或diamond的诱导子图，解答了Dabrowski等人提出的问题。
Induced Minor Free Graphs: Isomorphism and Clique-width
给定两个图$G$和$H$，我们说$G$包含$H$作为导出子图，如果一个图同构于$H$，可以从$G$通过一系列的顶点删除和边收缩得到.本文研究了图同构的复杂性，其中不包括一个固定的图作为诱导子图。更准确地说，我们确定每个图$H$，图同构是多项式时间可解的$H$ -诱导-次要-自由图或它是GI-完全的。此外，我们还对那些$H$ -诱导-子图-自由图具有有界宽度的图$H$进行分类。这两个结果补充了类似的二分法的图，排除一个固定的图作为诱导子图，未成年人，或子图。
Fast clique minor generation in Chimera qubit connectivity graphs
当前一代的D-Wave量子退火处理器被设计为最小化伊辛自旋配置的能量，该伊辛自旋配置的成对相互作用位于{ \em Chimera}图$\mathcal C_{M,N,L}$的边缘上。为了求解具有任意两两相互作用结构的Ising自旋问题，必须将相应的图小嵌入到一个Chimera图中.我们定义了一个组合类{ \em本地团未成年人}的嵌合体图的顶点图像的统一，接近最小的大小，并提供了一个多项式时间的算法，找到一个最大的本地团未成年人在一个给定的诱导子图的嵌合体图。这些未成年人允许改进最近的工作，并在量子退火领域的直接实际应用。
On the number of cliques in graphs with a forbidden minor
Reed和Wood以及Norine、Seymour、Thomas和Wollan分别证明了对于每一个正整数$t$都存在一个常数$c(t)$，使得在$n$顶点上没有$K_t$ -minor的每一个图至多有$c(t)n$团。伍德在2007年提出，我们是否可以把$c(t) = c^t$当作某个绝对常数$c$。这个问题最近得到了Lee和Oum的肯定回答。在本文中，我们确定的指数常数。证明了$n$顶点上的无$K_t$ -子图至多有$3^{2t/3+o(t)}n$团.这个界对于$n \geq 4t/3$是紧的。更一般地，令$H$是$t$顶点上的连通图，并且$x$表示大小（即，数边）的最大匹配的补充$H$。通过一个简单的构造证明了$n$顶点上的无$H$ -子图最多有$\max(3^{2t/3-x/3+o(t)}n,2^{t+o(t)}n)$团，并且这个界对于$n \geq \max (4t/3-2x/3,t)$是紧的.更一般地说，我们明确地确定了指数常数的最大数目的团的$n$顶点图可以在一个小的封闭的家庭的图，这是封闭下不相交的工会。
Infinitely many minimal classes of graphs of unbounded clique-width
著名的Robertson和Seymour定理指出，在小闭图类族中，存在唯一的树宽无界的极小图类，即可平面图类。在树宽的情况下，限制到子闭类是合理的，因为一个图的树宽绝不会小于它的任何子闭类的树宽。然而，这不是相对于图的宽度的情况，因为图的宽度可以比它的子图的宽度小小于。另一方面，图的cn-width永远不会小于它的任何诱导子图的cn-width，这使得我们在研究cn-width时，只能局限于遗传类（即在取诱导子图下封闭的类）。到目前为止，文献中只发现了200多个具有无界宽度的图的极小遗传类。在本文中，我们证明了这样的类的家庭是无限的。此外，我们表明，同样是真实的关于线性的candle-width。
Clique Minors in Cartesian Products of Graphs
图G中的“团子图”可以被认为是G中的一组连通子图，它们是两两不相交的，两两相邻的。Hadwiger数h（G）是G中团子式的最大基数。本文研究了笛卡儿积G*H中的团子式.我们的主要结果是有界Hadwiger数的笛卡儿积的一个粗略的结构特征定理。它意味着，如果产品的两个足够大的图有界Hadwiger数，那么它是以下图形之一：-一个平面网格与有界宽度的涡流在outerface，-一个圆柱形网格与有界宽度的涡流在每两个'大'面，或-一个环形网格。研究图的Hadwiger数的动机包括Hadwiger猜想，该猜想指出色数chi（G）<= h（G）。Hadwiger猜想是否对任何笛卡儿积都成立是一个未知数。证明了：当|V（H）|-1>= chi（G）>= chi（H）则Hadwiger猜想对G*H成立。另一方面，我们证明了Hadwiger猜想对所有的笛卡儿积成立当且仅当它对所有的G * K_2成立。然后我们证明了h（G * K_2）与G的树宽有关。我们还开发了连接与伪消色差着色和连接的控制集，这意味着近紧边界上的Hadwiger数的网格图（笛卡儿积的路径）和Hamming图（笛卡儿积的派系）。
Treewidth versus clique number. I. Graph classes with a forbidden structure
树宽是一个重要的图不变量，与结构和算法原因有关。图类具有有界树宽的一个必要条件是不存在大的团。我们研究了图类在导出子图下的闭性，在导出子图下的闭性条件也是充分的，我们称之为$(tw,ω)$ -有界的。已知这样的图类具有与团和$k$着色问题的变体相关的有用的算法应用。我们考虑六个著名的图包含关系：子图，拓扑子图，子图，诱导子图，诱导拓扑子图，和诱导子图关系。对于它们中的每一个，我们给出了图$H$的一个完全特征，使得除$H$之外的图类是$(tw,ω)$ -有界的。我们的结果得到了一个无限族的$χ$ -有界诱导子闭图类，并暗示了这类$1$ -完全可定向图是$(tw,ω)$ -有界的，从而对每个固定的~ $k$给出了$k$ $k$ -着色$1$ -完全可定向图的线性时间算法.这分别回答了2018年Bre \v sar、Hartinger、Kos和Milani{ \v c}的问题以及2019年Beisegel、Chudnovsky、Gurvich、Milani{ \v c}和Servatius的问题。我们还揭示了一些进一步的算法的影响$(tw,ω)$ -有界列表$k$ -着色和集团问题。此外，我们提出了一个问题的复杂性的最大重量独立集问题的$(tw,ω)$ -有界图类，并证明了这个问题是多项式时间可解的，除了一个固定的明星作为一个诱导子图的每一类图。
Clique in 3-track interval graphs is APX-hard
Butman、Hermelin、Lewenstein和Rawitz证明了当t >= 3时，t-区间图中的团是NP-难的。我们加强了这个结果，证明了3-轨区间图中的团是APX-困难的。
Strong chromatic index and Hadwiger number
研究了多重图和单图中固定的禁止团子图对强色指数的影响。对每一个$k\ge 4$，我们猜想任何最大度$Δ$的$K_k$ -minor free重图的强色指数至多为$\frac32(k-2)Δ$ .我们提出了一个结构证明，如果真的猜想是渐近尖锐的$Δ\to\infty$。为了支持这一猜想，我们在$k=4$的情形下证明了这一猜想，并证明了用强团数代替强色指数的说法。与此相反，我们做了一个基本的观察，对于$K_k$ -minor-free单图，强边着色问题是“之间”Hadwiger猜想和它的分数松弛。对于$k\geq5$，我们还证明了边直径至多为$2$的$K_k$ -minor free重图的强团数至多为$(k-\frac{1}{2})Δ$ .
Combinatorial Problems on $H$-graphs
Biró、Hujter和Tuza在1992年引入了$H$ -图的概念，即图$H$的一个细分的连通子图的交图。它们自然地推广了许多重要的图类，例如，区间图和圆弧图。我们继续研究这些图类考虑着色，集团，同构问题的$H$ -图。我们证明了对于任何固定的包含某个3-结点6-边多重图作为子图的$H$，团问题在$H$ -图上是APX-困难的，同构问题是同构完全的.我们还提供了$H$ -图的积极结果。也就是说，当$H$是仙人掌时，团问题可以在多项式时间内求解。另外，当图$G$具有Helly $H$ -表示时，团问题可以在多项式时间内解决。最后，我们观察到，可以使用树宽技术，以显示这两个$k$ -团和列表$k$ -着色问题是FPT的$H$ -图。这些FPT结果更普遍地适用于树宽有界的图形类，其中树宽是有界的一个函数的团数。
Clique-width of Graph Classes Defined by Two Forbidden Induced Subgraphs
如果一个图没有与有限族$\{H_1,\ldots,H_p\}$中的任何图同构的导出子图，则称它是$(H_1,\ldots,H_p)$ -free的.无$H$图类有界圈宽当且仅当$H$是4-顶点路$P_4$的导出子图.研究了由两个禁止导出子图$H_1$和$H_2$定义的图类的宽度的有界性.在我们的研究之前，尚不清楚开放病例的数量是否有限。我们对这个问题提供了肯定的答案。为了减少开放的情况下，我们确定新的图形类的有界宽度和新的图形类的无界宽度。为了获得后者的结果，我们首先提出了一个新的，通用的建设图类的无界的宽度。我们的结果解决了一类$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的有界性或无界性问题：（i）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了两个非等价的情形外，两者都是连通的;（ii）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了11个非等价的情形外，其中至少有一个是不连通的.我们还考虑类的特点是禁止一个有限的家庭的图$\{H_1,\ldots,H_p\}$作为子图，未成年人和拓扑未成年人，分别，并完全确定这些类有界的宽度。最后，我们展示了我们的结果对图颜色的算法后果
Constructing dense graphs with sublinear Hadwiger number
马德尔要求明确构建稠密图的最大团未成年人的大小是次线性的顶点数。这样的图作为随机图存在，几乎必然具有这个性质。这个问题和变体被Mrsason在几篇文章中推广。我们回答这些问题，展示如何明确地构建这样的图形使用爆破的小图与此属性。这导致了研究的一个分数变量的团未成年人的数量，这可能是独立的利益。
W[1]-Hardness of Upper Clique Transversal
证明判定图是否存在规模至少为k的包含极小团横贯是W[1]-难的。
NP-hardness results for partitioning graphs into disjoint cliques and a triangle-free subgraph
研究了判定图的顶点是否可划分为不相交的团并和无三角形子图的计算复杂性。这个问题在任意图上都是$\NP$ -完全的。我们表明，这个问题仍然是$\NP$ -完全的，即使限制到平面图和完美图。
On the Parameterized Complexity of Relaxations of Clique
我们调查的参数化复杂性的几个问题正式集群识别图。换句话说，我们问一个图是否包含一个足够大和足够连通的子图。本文研究了CLIQUE的三种松弛：$s$ -CLUB和$s$ -CLIQUE，其中松弛分别集中在簇和原始图中的距离上，以及$γ$ -COMPLENT SUBGRAPH，其中松弛集中在簇中的最小度上.由于这三个问题都是NP难的，我们在这里研究它们的参数化复杂性。我们证明了$s$和$s$是NP-难的，甚至仅限于退化图$\le 3$（当$s \ge 3$时）和退化图$\le 2$（当$s \ge 5$时），这是一个严格强于以退化度为参数的W[1]-难性的结果.我们还得到了这些问题在退化图$1$上是多项式时间可解的。对于$γ$ -完全子图，我们证明了它是W[1]-硬的，它由退化度和$γ$ -完全子图外部的元素数两个参数表示，其中退化度表示W[1]-硬，而W[1]-硬是由$γ$-完全子图的顶点数表示的.
On the Clique-Width of Unigraphs
图的宽度是一个研究得很好的图参数。对于有界宽度的图，许多NP-困难的问题可以是多项式时间可解的。这一事实激发了一些研究，以调查是否在某一类图的campus宽度是有界的或没有。我们专注于unigraphs，也就是说，图是唯一确定的度序列同构。我们证明了每一个幺图的cum-width至多为4。由此可见，许多NP-困难的问题对于单图来说是多项式时间可解的。
The Upper Clique Transversal Problem: Hardness and Algorithms
本文首次研究上团横贯数问题，分析其在多种图类中的算法复杂度，给出不同图类的NP完全性或多项式/线性时间可解结论，并提出开放问题。
Graph Operations on Clique-Width Bounded Graphs
candle-width是一个众所周知的图形参数。许多NP-困难图问题在限制于有限宽度的图时，允许多项式时间解。这同样适用于NLC宽度。本文研究了在各种图操作和图变换下的cn-width和NLC-width的行为。我们根据所涉及的图的连通宽度和NLC宽度，给出了修正图的连通宽度和NLC宽度的上界和下界。
Cliquewidth and dimension
本文证明有界团宽且维数足够大的偏序集必含标准例子或Kelly例子，并据此完整刻画了覆盖图在子图封闭图类中时偏序集维数有界的条件，同时证明有界团宽蕴含布尔维数有界。
A stronger structure theorem for excluded topological minors
Grohe和Marx证明了，如果G不包含H作为拓扑子式，则存在常数g=O（|V（H）|4），D和t仅依赖于H，使得G是至多包含t个度大于大于D的顶点或几乎嵌入至多g的亏格的某个曲面的图的团和.我们加强了这一结果，给出了更精确的描述后一种基本图的分解-我们只允许图（几乎）嵌入的方式是不可能的H（类似于未成年人的结构定理，其中只有图形几乎嵌入在表面中，H不嵌入是允许的）。这使我们能够给图结构的结果，避免固定的图作为一个浸入和有界无穷大的图的容许性。
The structure of quasi-transitive graphs avoiding a minor with applications to the domino problem
该研究得到禁子式局部有限准传递图的典范树分解结构定理，推广了多项图论与群论结果，并证明了排除子式有限生成群上多米诺问题可判定性猜想。
Complexity lower bounds for succinct binary structures of bounded clique-width with restrictions
本文研究了具有受限团宽的简洁二元结构的复杂性下界，提出了一种扩展框架，允许多个二元关系并限制新符号的解释，证明了某些问题的NP难、coNP难或P难性。
Is it possible to find the maximum clique in general graphs?
寻找最大团是一个已知的NP完全问题，也很难近似。本文提出了两种有效的算法来获得它。尽管如此，第一种算法能够在某些特殊情况下找到最大值，而第二种算法的执行时间受每个顶点所属的团数的限制。
Additive non-approximability of chromatic number in proper minor-closed classes
罗宾·托马斯（Robin Thomas）问，是否对每一个适当的小闭类C，都存在一个多项式时间算法，该算法将图的色数从C逼近到一个与类C无关的常数加性误差。我们证明了这是不可能的：除非P=NP，对于任意整数k>=1，没有多项式时间算法可以用至多chi（G）+k-1种颜色给无K_{4k+1} -minor图G着色.更一般地，对于每个k>=1和1<=β<=4 - 3，不存在多项式时间算法来使用少于β χ（G）+（4- 3 β）k种颜色对无K_{4k+1} -minor图G着色。据我们所知，这是第一个关于真次闭类中色数的非平凡不可逼近性结果。我们还给出了一些较弱的非逼近界的K_{4k+1} -minor-free图，没有大小为4的团。在积极的一面，我们提出了一个加性近似算法，其误差取决于禁止子图的顶点数，并在附加假设图没有4-圈的情况下，提出了一个加性误差为6的算法.
On $H$-Topological Intersection Graphs
Biró等人（1992）引入了$H$ -图，即图$H$的一个细分的连通子图的交图。它们与许多类几何交图有关，例如，区间图、圆弧图、分裂图和弦图。我们否定地回答了Biró等人25年前提出的一个问题，即对于一个固定的图$H$，$H$ -图是否可以在多项式时间内被识别。证明了如果$H$包含钻石图作为子图，则它是NP-完全的.对于每棵固定树$T$，我们提供了一个识别$T$ -图的多项式时间算法。当$T$是次数为$d$的星形$S_d$时，我们有一个$O(n^{3.5})$ -时间算法。分别给出了求解以$d$和$H$为参数的$S_d$ -图和$H$ -图的最小支配集问题的FPT-时间算法和XP-时间算法. $H$ -图的算法适用于$H$ -图的独立集和独立控制集问题的XP-时间算法。如果$H$包含双三角形作为子图，我们证明了$H$ -图是GI-完全的，团问题是APX-困难的.如果$H$是一个仙人掌图，那么团问题可以在多项式时间内得到解决.当图$G$具有Helly $H$ -表示时，团问题可以在多项式时间内得到解决.我们证明了在$H$ -图（由$k$和$H$的树宽参数化）上，$k$ -团和列表$k$ -着色问题都是FPT-时间可解的.事实上，这些结果适用于图类的树宽有界的一个函数的团数。我们观察到$H$ -图最多有$n^{O(\|H\|)}$最小分隔符，这允许我们应用Fomin et al.（2…
Finding Cliques in Geometric Intersection Graphs with Grounded or Stabbed Constraints
研究在接地或刺穿约束下几何交图中寻找最大团的问题，证明其NP难性并提出多项式时间算法及近似算法。
Polynomial Bounds for the Graph Minor Structure Theorem
本文证实了关于图子式结构定理的猜想，证明了相关函数界可改进为多项式级 $\mathbf{O}(t^{2300})$，并给出了完全构造性的多项式时间算法。
Long induced paths in minor-closed graph classes and beyond
本文证明了路宽小于$k$且有一条阶为$n$的路的图也有一条阶至少为$\frac{1}{3} n^{1/k}$的诱导路。这是Esperet，Lemoine和Maffray（2016）针对有界团数的区间图获得的多对数界的指数改进和推广。我们补充这个结果的上限。这个结果被用来证明以下两个推广：-每个树宽小于$k$的图，如果它有一条阶为$n$的路，它就包含一条阶至少为$\frac{1}{4} (\log n)^{1/k}$的导出路;- 对于每一个非-一个在拓扑子式下封闭的平凡图类，存在一个常数$d \in (0,1)$，使得来自这个类的每个具有$n$阶路的图都包含至少一个阶的导出路$(\log n)^d$。我们还描述了这些结果的后果超出了图类下拓扑未成年人关闭。
On the generalized Helly property of hypergraphs, cliques, and bicliques
一个集合族是$(p,q)$ -相交的，如果$p$或更少的集合的每个非空子族在它的总交中至少有$q$元素.一个集合族具有$(p,q)$ -Helly性质，如果每个非空的$(p,q)$ -相交子族的基数的全交至少为$q$ . $(2,1)$ -Helly属性是通常的Helly属性。一个超图是$(p,q)$ -Helly，如果它的边族具有$(p,q)$ -Helly性质，如果它的每个子超图都具有$(p,q)$ -Helly性质，则它是遗传的$(p,q)$-Helly.一个图是$(p,q)$ -candle-Helly，如果它的最大团族具有$(p,q)$ -Helly性质，如果它的每个诱导子图都是$(p,q)$ -candle-Helly，则它是遗传的$(p,q)$-candle-Helly.类似地定义了$(p,q)$ -双连通-Helly图类和遗传$(p,q)$ -双连通-Helly图类。我们证明了遗传$(p,q)$ -Helly超图的几个特征，其中一个特征是用最小禁止部分超图刻画的.对于每个固定的$q$，我们给出了一个改进的识别$(p,q)$ -Helly超图的时间界，并证明了如果$p$和$q$是固定的，则遗传的$(p,q)$ -Helly超图的识别可以在多项式时间内解决，但如果$p$是输入的一部分，则是co-NP-完全的.此外，我们还将$p$-cohes-Helly图的扩张刻画推广到…
Using Edge Contractions and Vertex Deletions to Reduce the Independence Number and the Clique Number
我们考虑以下问题：对于给定的图G和两个整数k和d，我们可以应用一个固定的图操作最多k次，以减少一个给定的图参数$π$至少d？我们发现，这个问题是NP-困难的参数是独立数和图形操作是顶点删除或边收缩，即使固定d=1时，限制弦图。当操作为边收缩，参数为独立数，d固定时，我们还给出了二部图的一个多项式时间算法。此外，我们完成的复杂性二分法的H-自由图的参数是团数和操作是边收缩，通过证明这个问题是NP-困难的（$C_3+P_1$）-自由图，即使固定d=1。我们的结果回答了[Diner et al.，Theoretical Computer Science，746，p.49 -72（2012）]。
Solving NP-hard Problems on \textsc{GaTEx} Graphs: Linear-Time Algorithms for Perfect Orderings, Cliques, Colorings, and Independent Sets
本文研究 $\mathsf{GaTEx}$ 图上的 NP-hard 问题，利用 galled-tree 结构作为指导，提出了在线性时间内求解最大团、最优顶点着色、完美排序和最大独立集的算法。
Automorphisms of Set Families and of Families of Cliques in an Interval Graph in FPT Time
我们考虑以下与图同构密切相关的问题。在简化的版本中，任务是计算给定集合族（或超图）的自同构群，即给定集合的所有自同构与其元素的某些置换相容的群。在一般情况下，所讨论的集合族是给定区间图的团（称为标记团）的集合，任务是计算由底层区间图的自同构产生的团的所有排列的群。这个问题显然是至少一样难的图同构（GI-硬）已经在简化版本-考虑一个图的边缘集家庭，我们给出了一个FPT时间算法参数化的最大数量的集在家庭中是不可比拟的包含（其反链大小）。据我们所知，一般版本的问题还没有制定在文献中。该问题受到弦图同构问题的特殊情况研究的启发;即，简化的集合族版本是我们用于所谓的Sd-图同构的FPT算法[MFCS 2021]的核心，而通用版本扩展并改进了我们用于有界叶数弦图同构的FPT算法[WALCOM 2022]中的繁琐技术步骤。新算法结合了两个经典的工具-PQ-树的区间图和Babai的塔的群体，在一个非平凡的方式。
Edge Clique Partition and Cover Beyond Independence
本文研究了边团覆盖和划分问题高于最大独立集α的参数化，证明了ECP/α固定参数可解，而ECC/α在k≥2时NP完全，并在以k+ω(G)为参数时变得固定参数可解。
Subchromatic numbers of powers of graphs with excluded minors
该研究改进了平面图及含禁用子式图类的图的幂的次色数上界，引入强弱着色数间的梯度参数族，还给出有界分层团宽图类次色数的2-近似算法。
Killing a Vortex
本文对图子式结构定理中涡旋的可避免性进行了完全分类，引入参数图S_t，证明不含S_t子式的图可用无涡旋结构表示，并据此给出多项式时间计算完美匹配的算法，实现了复杂性二分法。
A Weakly-Robust PTAS for Minimum Clique Partition in Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图的顶点划分问题。这个问题是NP困难的，已知有各种常数因子近似，目前最好的比率是3。我们的主要结果是对用边长表示的UDG的一个{ \em弱鲁棒}多项式时间近似方案（PTAS），它（i）计算团划分或（ii）证明图不是UDG：对于（i）计算团划分的情况，我们证明了如果输入是UDG，它保证在最优值的$(1+\eps)$比之内;然而，如果输入不是UDG，则它或者如在情况（i）中那样计算团分区而不保证团分区的质量，或者检测到它不是UDG。注意到，识别UDG的是NP难的，即使我们给定的边长，我们的PTAS是一个弱鲁棒算法。我们的算法可以转化为一个$O(\frac{\log^* n}{\eps^{O(1)}})$时间分布的PTAS。我们考虑一个加权版本的团划分问题的顶点加权UDG，推广的问题。我们注意到与未加权版本的一些关键区别，其中的想法有助于获得PTAS细分。然而，令人惊讶的是，它承认一个$(2+\eps)$ -近似算法的加权的情况下，图表示，说，作为一个邻接矩阵。这改进了以标准形式表示的UDG的{ \em未加权}情况的最佳已知的8-近似。
Fully polynomial FPT algorithms for some classes of bounded clique-width graphs
参数化的复杂性理论已经能够对图上NP难优化问题的关键结构属性进行精细分类，从而更好地理解其真正的困难。最近，P中的问题的硬度结果是使用合理的复杂性理论假设实现的，例如：强指数时间假设（SETH），3SUM和所有对最短路径（APSP）。根据这些假设，许多图论问题不承认真正的次二次算法，甚至不承认真正的次三次算法（Williams and Williams，FOCS 2010 and Abboud，Grandoni，Williams，SODA 2015）。解决上述问题的一个核心技术是固定参数多项式时间问题的固定参数算法（P-FPT）。该技术由Abboud、Williams和Wang在SODA 2016中引入，并由Husfeldt（IPEC 2016）和Fomin等人（SODA 2017）继续使用树宽作为参数。将这种技术应用于另一个重要的图形参数candle-width，仍有待完成。在本文中，我们研究了几个图论问题的硬度结果存在，如周期问题（三角形检测，三角形计数，周长，直径），距离问题（直径，偏心率，Gromov双曲，介数中心）和最大匹配。我们提供了硬度的结果和完全多项式FPT算法，使用cnum-width和它的一些上界作为参数（分裂宽度，模宽度和$P\_4$ -稀疏）。我们认为，我们最重要的结果是一个${\cal O}(k^4 \cdot n + m)$时间算法计算的最大匹配，其中$…
FPT Algorithms for Finding Near-Cliques in $c$-Closed Graphs
寻找大的团或团缺少一些边缘是一个基本的算法任务，在现实世界的图的研究，在社区检测，模式识别和聚类的应用。从最近的社会网络分析的实证工作中，已经出现了许多针对这些问题的有效的基于回溯的算法。鉴于集团计数的NP-困难的变种，这些结果提出了一个挑战，超越最坏情况下分析这些问题。受现实世界图的三元闭包的启发，Fox等人（SICOMP 2020）引入了$c$ -闭图的概念，并证明了最大团枚举相对于$c$是固定参数可处理的。在实践中，由于数据中的噪声，人们希望实际上发现“近团”，其可以被表征为具有稀疏子图的团。本文证明了对于$c$ -闭图，可以在多项式时间内（以及在$c$中的FPT）枚举出许多不同种类的极大近团.我们研究了各种已建立的概念，这样的子结构，包括$k$ -丛，有界退化和有界树宽图的补充。有趣的是，我们的算法遵循相对简单的回溯程序，类似于实践中所做的。我们的研究结果强调的意义的$c$ -封闭的图形类的社会网络分析的理论理解。
A Novel Approach to Finding Near-Cliques: The Triangle-Densest Subgraph Problem
许多图挖掘应用依赖于检测近团的子图。在现有的工作与这个问题有关的结果之间存在着二分法：一方面，最大化所有子图的平均度的dennial子图问题（DSP）是在多项式时间内可解的，但对于许多网络未能找到子图的近团。另一方面，面向寻找近似团的公式是NP困难的，并且由于与最大团问题的联系而经常不可近似。在这项工作中，我们提出了一个配方，结合了最好的两个世界：它是可解的多项式时间，发现近团时，DSP失败。令人惊讶的是，我们的配方是DSP的简单变体。具体地说，我们定义了三角形可分解子图问题（TDSP）：给定$G(V,E)$，找到顶点$S^*$的子集，使得$τ(S^*)=\max_{S \subseteq V} \frac{t(S)}{|S|}$，其中$t(S)$是由集合$S$诱导的三角形的数量。我们提供了各种精确和近似算法，有效地解决了TDSP。此外，我们展示了我们的算法如何适应更一般的问题，最大化的$k$ -团平均密度。最后，我们提供的经验证据表明，TDSP应该使用时，DSP的输出未能输出近团。
Max Independent Set Remains NP-hard when Excluding a Planar Induced Minor
本文证明存在固定平面图（5×5网格）作为诱导子式排除后，最大独立集问题仍为NP难，反驳了相关猜想。
Decomposition algorithms for solving NP-hard problems on a quantum annealer
NP难问题在计算化学、生物化学和计算机网络安全等领域有着广泛的应用，其中最大团问题和最小顶点覆盖问题是Karp提出的21个NP难问题中的两个。绝热量子退火器可以搜索这种NP-难优化问题的最优值，只要问题可以嵌入到它们的硬件上。然而，由于退火炉的硬件连接结构的某些限制，这通常是不可能的。本文研究了NP-难图问题的分解算法的一般框架，旨在确定一个最佳的顶点集。我们的通用算法允许我们递归地划分一个实例，直到生成的子问题可以嵌入到量子退火机硬件上并随后解决。该框架被应用到最大团和最小顶点覆盖问题，我们提出了一些修剪和减少技术，以加快递归分解。这两种算法的性能进行了评估，在一个详细的模拟研究。
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