Long time dynamics for semirelativistic NLS and Half Wave in arbitrary dimension
本文考虑半相对论非线性最小二乘（sNLS）和半波（HW）的Cauchy问题.特别是，我们专注于以下两个主要问题：局部/整体柯西理论，存在性和稳定性/不稳定的基态。在其他结果之间，我们证明了在$L^2$超临界状态的sNLS基态的存在性和稳定性。这与相应的HW的基态的不稳定性形成鲜明对比，HW也是沿着论文建立的，通过显示范数的膨胀现象。关于柯西理论，我们表明，在径向对称假设下，以下结果：局部存在的结果在$H^1$的能量亚临界非线性和全球存在的结果在$L^2$亚临界制度。
2016-11-15 math-ph math.AP math.MP
Arnold-Liouville theorem for integrable PDEs: a case study of the focusing NLS equation
我们证明了无限维版本的Arnold-Liouville定理的可积非线性偏微分方程：在一个案例研究中，我们考虑了{ \em聚焦} NLS方程与周期边界条件。
2020-02-26 math.AP
Sharp scattering threshold for the cubic-quintic NLS in the focusing-focusing regime
我们考虑了聚焦-聚焦机制下二维和三维五次NLS的大数据散射问题。我们的注意力首先限于二维空间，其中立方非线性是$L^2$关键。我们建立了一种新的类型的散射准则，是唯一确定的初始数据的质量，这不同于经典的设置的基础上的李雅普诺夫功能。最后，我们还制定了一个单独的质量决定散射阈值的三维五次NLS在聚焦-聚焦制度。
2022-05-10 math.AP
Dynamics of Large Boson Systems with Attractive Interaction and a Derivation of the Cubic Focusing NLS in $\mathbb{R}^3$
考虑一个$N$玻色子系统，其中粒子经历由$N^{-1}v_N(x)=N^{3β-1}v(N^βx)$给出的短程两体相互作用，其中$v \in C^\infty_c(\mathbb{R}^3)$在$v$上没有明确的符号。推广了M. Grillakis和M. Machedon，Comm. Math. Phys.，$\textbf{324}$，601（2013）和E.库兹，迪弗。积分方程，$\textbf{137}$，1613（2015）关于$0<β<\frac{1}{2}$的排斥相互作用系统到吸引相互作用系统的平均场演化的二阶校正。我们的扩展允许一组更一般的初始数据，其中包括相干态。灵感来自X的作品。Chen和J. Holmer，Arch. Ration。机械分析：$\textbf{221}$，631（2016）和Int. Math. Res. Not.，$\textbf{2017}$，4173（2017）和P. T. Nam和M. Napiórkowski，Adv. Theor.数学物理，$\textbf{21}$，683（2017），我们还提供了$3$ D中聚焦非线性薛定谔方程（NLS）从多体系统的推导及其向$0<β<\frac{1}{3}$平均场的收敛速率。特别是，我们给出了两个推导的聚焦NLS，一个基于$N$ -范数近似的工作中的南和Napiórkowski和其他通过一个方法中…
2020-07-29 math-ph math.AP math.MP
Stable manifolds for all monic supercritical NLS in one dimension
我们证明了只要扰动选择在适当空间的小超曲面上，一维空间中所有的超临界一次聚焦NLS都表现出扰动驻波的渐近稳定性.
2005-01-09 math-ph math.AP math.MP
The focusing cubic NLS with inverse-square potential in three space dimensions
研究了三维空间中带平方反比势的聚焦立方非线性薛定谔方程。我们确定了一个尖锐的阈值之间的散射和爆破，建立一个类似的结果Duyckaerts，霍尔默，和Roudenko的标准聚焦立方NLS。我们还证明了在阈值处一致空间-时间界的失效。
2016-03-29 math.AP
A new proof of scattering below the ground state for the 3d radial focusing cubic NLS
我们重新回顾了Holmer和Roudenko在三维空间中对径向聚焦立方NLS的散射结果。使用径向Sobolev嵌入和维里/Morawetz估计，我们给出了一个简单的证明散射低于基态，避免使用浓度紧。
2016-11-13 math.AP
On the non-existence of local Birkhoff coordinates for the focusing NLS equation
我们证明了存在势，使得在它们附近聚焦非线性薛定谔方程不允许局部Birkhoff坐标.证明是基于在这样的潜力的方程的线性化的一个本地标准形式的建设。
2018-09-27 math.AP
A new proof of scattering below the ground state for the non-radial focusing NLS
我们重新讨论了Duyckaerts，Holmer和Roudenko对非径向$\dot H^{1/2}$临界聚焦NLS的散射结果。通过证明相互作用的Morawetz不等式，给出了$d\geq 3$维中基态以下散射的一个简单证明，避免了使用浓度紧性.
2017-12-28 math.AP
Variants of the focusing NLS equation. Derivation, justification and open problems related to filamentation
聚焦立方非线性最小二乘模型是研究激光束传输的正则模型。在2维和3维中，已知大类初始数据导致有限时间爆破。现在，物理实验表明，这种爆炸并不总是发生。这可能是由于标准NLS模型忽略的一些物理现象在大强度的光束下变得相关。已经提出了聚焦NLS方程的许多特别变体来捕获这种效应。在本文中，我们从麦克斯韦方程组推导出其中的一些变量，并提出了一些新的变量。我们还提供了严格的误差估计的所有模型考虑。最后，我们讨论了与这些修正的NLS方程有关的一些公开问题。
2014-06-25 math.AP
Approximate traveling waves for the focusing NLS with an external potential
University of Oregon（俄勒冈大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
针对受快速衰减外势扰动的三维聚焦三次非线性薛定谔方程构造近似行波解，以此证明在未受扰方程基态阈值以上的任意质量-能量值，都存在向前整体、H¹有界且非散射的解。
2026-08-05 math.AP
Mass-energy threshold dynamics for the focusing NLS with a repulsive inverse-power potential
在本文中，我们研究长时间动力学（即，散射和爆破）的解决方案，与排斥的反幂势和初始数据正好位于质能阈值，即当$E_{V}(u_{0})M(u_{0})=E_{0}(Q)M(Q)$的聚焦NLS。此外，我们证明了一致空间-时间界在质能阈值处的失效。
2022-02-23 math.AP
Scattering for the focusing energy-subcritical NLS
对于三维聚焦立方非线性薛定谔方程，Holmer和Roudenko~ \cite{HR2}（径向情形）和Duyckaerts，Holmer和Roudenko ~ \cite{DHR}（一般情形）建立了$H^1$解在（尺度不变）势阱中的散射.本文采用~ \cite{DHR}方法，将这一结果推广到任意空间维数和聚焦、质量-超临界和能量-亚临界功率非线性。
2011-01-16 math.AP
On the rigidity of solitary waves for the focusing mass-critical NLS in dimensions $d\ge 2$
对于聚焦质量临界NLS $iu_t+Δu=-|u|^{\frac 4d}u$，证明了在满足方程对称性的条件下，具有基态质量的唯一整体非散射解必定是一个孤波。本文解决了在具有球对称的$d=2,3$维和具有某些分裂球对称初值的$d\ge 4$维中关于$H^1_x$初值的猜想.
2009-04-10 math.AP
Normalized solutions of one-dimensional defocusing NLS equations with nonlinear point interactions
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究实线上双非线性Schrödinger方程的归一化解，探讨反聚焦标准非线性和聚焦点相互作用的相互作用，揭示新的物理现象。
2026-02-16 math-ph math.AP math.MP
A determination of the blowup solutions to the focusing, quintic NLS with mass equal to the mass of the soliton
该研究针对聚焦五次非线性薛定谔方程，证明了质量与孤子质量相等的爆破解仅为两类：重标度孤子及其伪共形变换，明确了该方程对应质量条件下爆破解的形式。
2021-04-23 math.AP
The focusing cubic NLS on exterior domains in three dimensions
我们考虑三维光滑、紧凑、严格凸障碍物外$Ω$中的聚焦立方NLS。我们证明了全局存在和散射的阈值是相同的欧几里得空间上的问题。具体地说，我们证明了如果$E(u_0)M(u_0)<E(Q)M(Q)$和$\|\nabla u_0\|_2\|u_0\|_2<\|\nabla Q\|_2\|Q\|_2$，则Dirichlet边值条件下的初值问题的解是全局存在的，并且在未来和过去渐近地分散到线性演化中.这里，$Q(x)$表示$\mathbb{R}^3$中的聚焦立方NLS的基态。
2015-01-21 math.AP
On the formation of singularities for the slightly supercritical NLS equation with nonlinear damping
本文研究了带非线性阻尼的聚焦质量超临界NLS方程，给出了有限时间爆破的充分条件，证明了阻尼项的非正则化效应，并通过调制分析证明了自相似爆破结构的近似保留。
2023-09-15 math-ph math.AP math.MP
Dynamics of the focusing 3D cubic NLS with slowly decaying potential
本文研究了具有慢衰减势的三维立方聚焦非线性薛定谔方程。采用\cite{IMN}的变分方法，得到了散射的条件。它实际上在某种意义上是尖锐的，因为如果它是假的，解决方案就会爆炸。爆破部分的证明依赖于杜-吴-张\cite{DWZ}方法
2018-12-01 math.AP
Threshold scattering for the focusing NLS with a repulsive potential
本文借鉴近期工作，建立了三维聚焦三次NLS在排斥势下尖锐阈值的散射结果，涵盖短程势与逆平方势两种情形。
2021-02-14 math.AP
Asymptotic stability of N-soliton states of NLS
聚焦非线性薛定谔方程具有特殊的非色散孤波型解，即孤子。在一定的谱假设下，我们证明了N个非碰撞孤子的线性组合解的存在性和渐近稳定性渐近稳定性.
2003-09-05 math-ph math.AP math.MP
A determination of the blowup solutions to the focusing NLS with mass equal to the mass of the soliton
本文证明了$2 \leq d \leq 15$维中聚焦的质量临界非线性薛定谔方程在质量等于孤子质量时爆破解的刚性.我们证明了只有这样的解决方案是孤子和孤子的伪共形变换。
2022-01-24 math.AP
Dynamics for the focusing, energy-critical nonlinear Hartree equation
在\cite{LiMZ:e-critical Har, MiaoXZ:09:e-critical radial Har}中，聚焦能量临界Hartree方程的解的动力学已被分类时，$E(u_0)<E(W)$，其中$W$是基态。在本文中，我们继续研究具有阈值能量的径向解的动力学。我们的论证与\cite{DuyMerle:NLS:ThresholdSolution, DuyMerle:NLW:ThresholdSolution, DuyRouden:NLS:ThresholdSolution, LiZh:NLS, LiZh:NLW}中的论证密切相关。新的内容是利用移动平面方法证明了$L^{\frac{2d}{d-2}}(\R^d)$中非局部椭圆型方程的正解是正则和唯一的，这在线性化算子的谱理论和阈值解的动力学行为中起着重要的作用.
2011-04-07 math-ph math.AP math.MP
On the Dirichlet to Neumann Problem for the 1-dimensional Cubic NLS equation on the Half-Line; Zero Initial Data
1维“完全可积”方程的初边值问题可以通过逆散射方法的扩展来解决，这是由于Fokas和他的合作者。这种方法的一个重要特点是，它需要更多的边界数据的值比给定的一个适定问题。在三次NLS的情况下，知识的Dirichet数据足以使问题适定，但Fokas方法还需要知识的诺依曼数据的值。因此，在应用“Fokas变换”之前，研究Dirichlet到Neumann映射是必要的。在本文中，我们提供了一个严格的研究这个地图的一大类衰减狄利克雷数据。我们表明，诺依曼数据也充分衰减，因此，可以应用Fokas方法。为了简单起见，我们在这里考虑零初始数据的情况。随后将提供一份附录，讨论非零初始数据的情况。
2016-09-02 math-ph math.AP math.MP
GBDT with nontrivial seeds: explicit solutions of the focusing NLS equations and the corresponding Weyl functions
University of Vienna（维也纳大学）
本文利用 GBDT 方法，针对指数型非平凡种子构造聚焦 NLS 方程的显式解，并给出相应 Baker-Akhiezer 函数与 Weyl 函数演化。
2026-10-28 math-ph math.AP math.CA
Global Well-posedness for the focusing cubic NLS on the product space $\mathbb{R} \times \mathbb{T}^3$
本文证明了在积空间$\mathbb{R} \times \mathbb{T}^3$上聚焦的三次非线性薛定谔方程的整体适定性，其初始值低于欧氏空间中基态的阈值.在Ionescu-Pausader \cite{IPRT3}（Comm.Math.Phys.312（2012），no.3，781-831）中讨论并证明了散焦类似物。
2020-09-02 math.AP
Scattering for 3d cubic focusing NLS on the domain outside a convex obstacle revisited
本文研究了具有Dirichlet边界条件的$\mathbb{R}^3$中凸障碍物外区域上的聚焦立方非线性薛定谔方程（NLS）.利用Dodson和Murphy的论证以及Ivanovici和Lebeau建立的色散估计，我们重新讨论了Killip-Visan-Zhang基态下的散射结果，避免了使用浓度紧性。我们通过建立边界的局部光滑效应克服了聚焦情况下边界的困难。基于这种效应和相互作用的Morawetz估计，我们证明了解在一个大的时间间隔内衰减，这满足散射准则。
2018-12-22 math.AP
On the focusing energy-critical inhomogeneous NLS: weighted space approach
研究了三维聚焦能量临界非齐次NLS的整体适定性和有限时间爆破问题。在以前的结果\cite{chkl2, chkl3}中，作者考虑了空间不均匀性系数$g$的相同问题，使得$g(x) \sim |x|^{-b}$为$0 \le b < \frac43$。这里我们将非齐次索引$b$扩展到$\frac32$。为此，我们改进了局部理论，提出了一种新的基于加权空间的剖面分解。
2020-07-24 math.AP
Optimal integrability threshold for Gibbs measures associated with focusing NLS on the torus
研究了一维环面上聚焦质量临界非线性薛定谔方程的Gibbs测度归一化的最佳质量阈值.在一篇有影响力的论文中，Lebowitz，Rose和Speer（1988）提出了一个临界质量阈值，由实数线上基态的质量给出。我们提供了一个证明这个临界质量阈值的最优性。证明也适用于单位圆盘上的二维径向问题。在这种情况下，我们回答了Bourgain和Bulut（2014）关于最佳质量阈值的问题。此外，在一维情况下，我们证明了吉布斯测度在最佳质量阈值处确实是可归一化的，从而回答了Lebowitz，Rose和Speer（1988）提出的一个公开问题。考虑到一维环面上聚焦五次非线性薛定谔方程的最小质量爆破解，这种在最佳质量阈值处的归一化性是相当惊人的。
2021-11-09 math-ph math.AP math.MP
Scattering for the focusing, $L^2$-supercritical fourth-order NLS in one dimension
本文证明一维聚焦 $L^2$ 超临界四阶 NLS 在偶性假设下基态阈值以下解的全局存在性与散射，推广了 Guo 和 Dinh 的高维径向结果。
2023-06-21 math.AP
Stable manifolds for an orbitally unstable NLS
我们构造了三维三次聚焦非线性最小二乘方程的孤立子周围的局部Lipschitz图，在该图上存在整体解，并且渐近稳定性和散射成立.
2004-09-11 math-ph math.AP math.MP
On long time behavior of the focusing energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ via semivirial-vanishing geometry
研究了波导流形$\mathbb{R}_x^d\times\mathbb{T}_y$上的聚焦能量临界非线性光学系统\begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+Δ_{x,y} u=-|u|^{\frac{4}{d-1}} u\tag{NLS} \end{align}，其中波导流形具有$d\geq 2$ .我们揭示了一个有点违反直觉的现象，尽管非线性势的能量临界性，\eqref{nls_abstract}的长时间动力学是纯粹由具有能量亚临界特性的半维里消失几何决定的。作为一个出发点，我们考虑一个极小化问题$m_c$上定义的半维里消失流形与规定的质量$c$。我们证明了对于所有足够大的质量的变分问题$m_c$有一个唯一的优化$u_c$满足$\partial_y u_c=0$，而对于所有足够小的质量，任何优化的$m_c$必须有非平凡的$y$依赖。然后，证明了$m_c$刻画了\eqref{nls_abstract}的有限时间爆破解（$d=2,3$）和全局散射解（$d=3$）分支的一个与半维里符号相关的尖锐阈值.据作者所知，本文还给出了第一个大数据散射的结果集中NLS产品空间中的能量临界设置。
2022-06-28 math.AP
Focusing NLS with inverse square potential
本文利用Dodson-Murphy [4]中的方法，在$d\geq3$维能量空间$H^1_a(\R^d)$中建立了具有平方反势$i\pa_tu-\la u=-|u|^{p-1}u$的聚焦非线性薛定谔方程的径向散射结果，将[10，11]中的结果推广到高维情况，但初始数据为径向.新的内容是建立径向函数的色散估计，克服了$a<0$时的弱色散估计。
2018-08-07 math.AP
Going beyond the threshold: scattering and blow-up in the focusing NLS equation
研究了$L^2$ -超临界区域中有限能量、有限方差初始数据的聚焦非线性薛定谔方程。我们调查的解决方案以上的能量（或质能）阈值。在我们的第一个结果中，我们扩展了已知的散射与爆破二分法以上的能量亚临界和能量临界制度的有限方差解决方案的阈值，获得散射和爆破标准的解决方案具有任意大的质量和能量。因此，我们描述了由二次相位调制的基态初始数据的行为。我们的第二个结果给出了两个爆破准则，这也适用于能量超临界NLS设置。最后，我们用各种例子来说明我们的结果。
2014-09-16 math.AP
Threshold scattering for the focusing NLS with a repulsive Dirac delta potential
建立了具有排斥狄拉克δ势\[ i\partial_{t}u+\partial^{2}_{x}u+γδ(x)u+|u|^{p-1}u=0, \quad (t,x)\in {\mathbb R}\times{\mathbb R}, \]的聚焦质量超临界非线性薛定谔方程在质能阈值下解的散射，即当$E_γ(u_{0})[M(u_{0})]^σ=E_{0}(Q)[M(Q)]^σ$，其中$u_{0}\in H^{1}({\mathbb R})$为初始数据，$Q$为实数线上自由非线性系统的基态，${\mathbb R}$为能量，$M$为质量，$σ=(p+3)/(p-5)$ .我们还证明了失败的统一时空界限的质能阈值。
2021-07-31 math.AP
The Rigorous Derivation of the 2D Cubic Focusing NLS from Quantum Many-body Evolution
考虑了在Gross-Pitaevskii标度下，具有简谐外约束和\emph{attractive}粒子间相互作用的二维含时$N$ -玻色子量子系统.我们得到的物质类型的估计表明，$k$ -次幂的能量控制的$H^{1}$ Sobolev范数的解决方案超过$k$ -粒子的稳定性。这种估计是新的，而且对于吸引相互作用比排斥相互作用更困难。为了证明，我们使用了[49]中的有限维量子di Finetti定理的一个版本。一个高的粒子数平均效应在证明中起作用，这是不需要在排斥的情况下相应的估计。这一先验界使我们能够证明，相应的BBGKY层次收敛到GP限制，在许多以前的作品治疗排斥相互作用的情况下。结果表明，具有吸引相互作用和渐近因式分解初始数据的二维含时量子多体系统的平均场极限是\emph{focusing}非线性薛定谔方程.需要对原子间相互作用势的$L^{1}$范数的大小进行假设，该假设对应于2D Gagliardo-Nirenberg不等式中的锐常数，尽管该不等式并不直接相关，因为我们处理的是迹而不是幂。
2015-10-02 math-ph math.AP math.MP
NLS ground states on the half-line with point interactions
本文研究半直线上带点相互作用的NLS基态，证明在L²次临界与临界情形下，吸引或排斥点相互作用对基态存在性与唯一性的影响，并揭示束缚态与基态的关系。
2023-05-15 math-ph math.AP math.MP
The semiclassical limit of focusing NLS for a family of non-analytic initial data
聚焦非线性薛定谔方程（NLS）的小色散极限表现出丰富的结构，在微观尺度上表现出不同的快速振荡的急剧分离的区域。聚焦NLS的非自伴散射问题和不适定的极限Whitham方程使得严格的渐近结果变得困难。以往的研究[KMM 03，TVZ 04，TVZ 06]主要集中在一类特殊的解析初值问题上，即极限椭圆型Whitham方程是适定的。在本文中，我们考虑另一个精确可解的初始数据族，平方障碍族，$ψ_0(x) = q χ_[-L,L]$实振幅q。利用Riemann-Hilbert技巧，我们得到了在空间中全局聚焦NLS的半激光极限的严格逐点渐近性，并得到了最大时间为O（1）.特别是，我们表明，初始数据中的不连续性通过立即生成发射到初始数据支持中的亏格一振荡来规则化。据我们所知，这是第一次在非解析初始数据下计算fNLS的半经典渐近的亏格结构。
2011-06-09 math.AP nlin.SI
Scattering for the focusing $L^{2}$ -supercritical and $\dot H^2$-subcritical biharmonic NLS Equations
考虑了聚焦$\dot H^{s_c}$ -临界双调和薛定谔方程，证明了满足$ M(u_0)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(u_0)<M(Q)^{\frac{2-s_c}{s_c}}E(Q) $和$ \|u_{0}\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{2}\|Δu_{0}\|_{2}<\|Q\|^{\frac{2-s_c}{s_c}}_{2}\|ΔQ\|_{2}, $的径向数据$u_0\in H^2(\mathbb R^N)$的整体适定性和散射结果，其中$s_c\in(0,2)$和$Q$是$Δ^2Q+(2-s_c)Q-|Q|^{p-1}Q=0$的基态.
2015-04-11 math.AP
On symmetry of traveling solitary waves for dispersion generalized NLS
考虑色散型广义非线性薛定谔方程$i \partial_t u = P(D) u - |u|^{2 σ} u$，其中$P(D)$表示任意阶的（伪）微分算子.作为主要结果，我们证明了在幂$σ\in \mathbb{N}$情形下行波孤波的对称性结果。参数是基于Steiner型重排在傅立叶空间。我们的结果适用于广泛的一类NLS型方程，如四阶（双调和）NLS，分数NLS，平方根Klein-Gordon和半波方程。
2019-08-19 math-ph math.AP math.MP
Resonant large deviations principle for the beating NLS equation
本文针对环面上拍频NLS方程，在随机初始数据仅支撑于两个Fourier模式的情形下证明了大偏差原理，并揭示共振能量交换会增大极端波出现的概率，表明非线性聚焦机制可使解的sup-范数概率分布尾部增厚。
2024-08-11 math-ph math.AP math.MP
Gibbs measure for the focusing fractional NLS on the torus
本文研究多维环面上聚焦质量临界分数阶非线性薛定谔方程的吉布斯测度构造，确定了其可正规化与不可正规化的尖锐质量阈值，并建立了几乎尖锐的分数阶 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式作为关键工具。
2023-04-17 math.AP
Initial boundary value problem for the focusing NLS equation with Robin boundary condition: half-line approach
考虑四分之一平面$x>0,t>0$中聚焦非线性薛定谔方程的初边值问题，在初始数据衰减的情况下（对于$t=0$，为$x\to +\infty$），Robin边界条件在$x=0$ .我们重新审视的方法的基础上的同时频谱分析的拉克斯对方程[Fokas，2002年; Fokas，其，宋，2005年]，并表明该方法可以实现没有任何先验假设的长期行为的边界值。
2012-02-13 math.AP nlin.SI
Characterization of minimal-mass blowup solutions to the focusing mass-critical NLS
令$d\geq 4$和$u$是具有球对称$H_x^1$初始数据和质量等于基态$Q$的聚焦质量临界非线性薛定谔方程$iu_t+Δu=-|u|^{\frac 4d}u$的整体解。我们证明，如果$u$不散射，然后，相位旋转和缩放，$u$是孤波$e^{it}Q$。结合Merle \cite{merle2}的结果，我们得到在$d\geq 4$维中，在相位旋转和标度下，唯一的球对称最小质量爆破解是赝共形基态和孤波.
2008-11-08 math.AP
Sharp scattering for focusing intercritical NLS on high-dimensional waveguide manifolds
利用$d\geq 5$和$α\in(\frac{4}{d},\frac{4}{d-1})$研究了半周期波导流形$\R^d_x\times \T_y$上的聚焦临界非线性光学系统\begin{align}\label{abstract_nls} i\pt_t u+Δ_{x,y}u=-|u|^αu\tag{NLS} \end{align}.在$d\leq 4$情形下，借助于半维里消失理论\cite{Luo_inter}，作者构造了一个由基态解唯一表征的尖锐阈值，它与半维里泛函的符号有关，尖锐地决定了全局散射解和有限时间爆破解的分支.由于$d\geq 5$中非线性势的导数不再是Lipschitz，且其下的区域具有各向异性性质，因此\cite{Luo_inter}中利用浓度紧性原理的证明不能推广到高维模型.在本文中，我们利用一个定制的适应的相互作用Morawetz-Dodson-Murphy（IMDM）的估计，这是只知道是适用于欧几里得空间，到波导设置，以证明大数据散射结果制定在\cite{Luo_inter}继续持有所有$d\geq 5$。与Tzvetkov-Visciglia \cite{TzvetkovVisciglia2016}和作者\cite{Luo_inter}一起，我们给出了在散焦和聚焦情况下以及在任意维数下\eqref{abstract_nls}的大数据散射的完整刻画.
2022-12-21 math.AP
Rotating points for the conformal NLS scattering operator
我们考虑非线性薛定谔方程，具有质量临界非线性，聚焦或散焦。对于任何给定的角度，我们建立了存在无穷多个函数的散射算子作为这个角度的旋转。利用透镜变换，我们将问题归结为一个具有调和势的非线性薛定谔方程解的存在性问题，该方程满足适当的周期性。由于约束最小化问题，证明了无限多个此类解的存在。
2009-02-12 math-ph math.AP math.MP
Global existence, scattering and blow-up for the focusing NLS on the hyperbolic space
证明了双曲空间上能量亚临界聚焦非线性薛定谔方程的整体适定性、散射和爆破结果。我们特别表明存在一个关键的元素散射的所有能量亚临界功率非线性。对于质量超临界非线性，我们显示了散射与爆破二分法的径向解决方案的方程在低维，低于自然的质量和能量阈值的基态方程。证明是基于质量和能量，紧性和刚性的陷阱，并类似于欧几里得空间上的，一个新的论点，基于广义Pohozaev恒等式，以获得适当的单调性公式。
2014-11-14 math.AP
Threshold solutions for the focusing $L^{2}$ -supercritical NLS Equations
研究了$H^1$中的$L^2$ -超临界和$\dot{H}^1$ -亚临界非线性薛定谔方程.在\cite{G1}和\cite{yuan}中，质能量$M(Q)^{\frac{1-s_{c}}{s_{c}}}E(Q)$已被证明是方程解的动力学行为的阈值。本文研究了$M(u)^{\frac{1-s_{c}}{s_{c}}}E(u)=M(Q)^{\frac{1-s_{c}}{s_{c}}}E(Q)$的临界态动力学，并利用调制理论对相应的解进行了分类，非平凡地推广了三维立方薛定谔方程的\cite{holmer3}的结果.
2011-11-24 math.AP
Long-time limit studies of an obstruction in the g-function mechanism for semiclassical focusing NLS
本文研究了一维非线性薛定谔方程在半经典极限下的Riemann-Hilbert聚焦方法中的障碍物的长时间性质。对于某些值的参数的大量的孤子在系统中的干扰与$g$ -函数机制在最速下降到振荡的黎曼-希尔伯特问题。该障碍阻碍了在$(x,t)$平面中的区域中的Riemann-Hilbert分析。我们得到了区域边界（阻塞曲线）的长时间渐近性。作为$t\to\infty$，阻塞曲线具有垂直渐近线$x=\pm \ln 2$。数值结果支持渐近分析。
2015-04-09 math.AP
Normalized ground states and threshold scattering for focusing NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ via semivirial-free geometry
研究了波导流形$\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$上的聚焦非线性光学系统\begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+Δ_{x,y} u=-|u|^αu\tag{NLS} \end{align}在临界区$α\in(\frac{4}{d},\frac{4}{d-1})$的特性。通过假设\eqref{nls_abstract}与$y$无关，它简化为$\mathbb{R}^d$上的聚焦临界NLS，已知其具有驻波和有限时间爆破解。自然，我们会问这些特殊的解决方案与非平凡$y$依赖是否存在。本文对此问题给予肯定的回答。为此，我们引入了\textit{semivirial}泛函的概念，并考虑了半维里消失流形上的一个极小化问题$m_c$。我们证明，对于任何$c\in(0,\infty)$的变分问题$m_c$有一个基态优化器$u_c$也解决了驻波方程$$-Δ_{x,y}u_c+β_c u_c=|u|^αu $$与一些$β_c>0$。此外，我们证明了存在一个临界数$c_*\in(0,\infty)$，使\begin{itemize} \item For $c\in(0,c_*)$, any optimizer $u_c$ of $m_c$ must satisfy $\pt_y u_c\neq 0$. \item For $c…
2023-01-30 math.AP
Traveling waves of the quintic focusing NLS-Szeg{ö} equation
研究了Szeg{<$}投影仪$Π$对L2临界一维非线性聚焦薛定谔方程的影响，得到了五次聚焦NLS Szeg {<$}方程iPDMATHABMN tu + $\partial$ 2 xu + $Π$（|u| 4 u）= 0，（t，x）$\in$ RxR，u（0，$\times$）= u 0.对任意初始数据u 0，该方程在H1 + = $Π$（H1（R））中是整体适定的.如果u 0具有足够小的质量，则解L2-在时间上向前和向后散射.我们用行波的尺度证明了轨道稳定性：u $ω$，c（t，x）= ei $ω$ t Q（x + ct），对于某些$ω$，c > 0，其中Q是与Gagliardo-Nirenberg型泛函I相关的基态（$γ$）（f）= $\partial$ x f 2 L 2 f 4 L 2 + $γ$ -i $\partial$ x f，f 2 L 2 f 2 L 2 f 6 L 6，$\forall$ f $\in$ H 1 + \{0}，对于某些$γ$ $\ge$ 0.在$γ$ = 2的情况下，基态被完全分类，从而导致实际的轨道稳定性，而无需对适当的行波进行缩放。因此，聚焦五次NLS-Szeg{<$}方程的散射质量阈值严格低于与泛函I（0）相关的基态质量，这与Dodson [6]最近对通常的五次聚焦非线性薛定谔方程的结果不同。
2019-12-23 math.AP
The interior-boundary Strichartz estimate for the Schrödinger equation on the half line revisited
第二作者在（CPAA，2019）中针对双调和薛定谔方程以及最近由Himonas和Mantzavinos（非线性，2020）针对二维薛定谔方程证明，基于Fokas方法的公式能够定义低于巴拿赫代数阈值的相关非线性初边值问题（ibvps）的弱解。鉴于这些结果，我们重新讨论了右射线上的薛定谔方程的边界Schehartz估计理论，考虑了Dirichlet和Neumann情形。最后，我们应用这些估计得到了具有Neumann边界条件的非线性薛定谔方程（NLS）和射线上具有Dirichlet/Neumann边界条件的耦合NLS方程组的低正则解。
2022-02-21 math-ph math.AP math.MP
Traveling waves for the quartic focusing Half Wave equation in one space dimension
考虑一维空间中的四次聚焦半波方程。首先证明了存在任意小$H^{\frac 12}(\R)$范数的行波解。这一事实表明，小数据散射是不可能的（HW）方程，并低于基态能量有解决方案，其能量作为一个本地化的包，并保持这种本地化的时间。（HW）的这种行为与任何维度的经典NLS和具有径向数据的分数NLS形成鲜明对比。第二个结果是不存在以光速运动的行波。证明的主要成分是换向器估计和仔细研究的空间衰减的行波轮廓使用谐波扩展到上半空间。
2018-04-19 math-ph math.AP math.MP
Energy cascades for NLS on the torus
CNRS & Univ. Montpellier 2（法国国家科学研究中心与蒙彼利埃第二大学）；INRIA & ENS Cachan（法国国家信息与自动化研究所与巴黎高等师范学校卡尚校区）
研究在环面上的非线性薛定谔方程中，通过特殊的小初始数据产生任意大的模式的时间层，采用多相弱非线性几何光学和特定二维离散动力系统进行分析。
2010-10-25 math-ph math.AP math.MP
