On sets represented by partitions
Jean-Christophe Aval
我们证明了一个引理，这是有用的，得到上界的分区数没有一个给定的子和。由此我们可以推导出一个改进的上界的集合数表示的（无限制或不平等的部分）分区的整数n。
We prove a lemma that is useful to get upper bounds for the number of partitions without a given subsum. From this we can deduce an improved upper bound for the number of sets represented by the (unrestricted or into unequal parts) partitions of an integer n.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Partitionable sets, almost partitionable sets and their applications
本文提出几乎可分拆集以推广可分拆集概念，为构造$\mathbb{Z}$-循环模式化起手惠斯特锦标赛和排除相邻单元的循环平衡抽样计划提供统一框架，并基于此构造了大量达到或接近Johnson界的光正交码。
Sets, Lists and Noncrossing Partitions
[n]={1，2，...，在On-Line Encyclopedia of Sequences中通过序列号A000262计数。它们的数量比将[n]划分为集合列表A000670要少一些。在这里，我们观察到，前者实际上是equinumerous与分区[n]到列表的 *noncrossing* 集，并给出一个双射证明。我们发现，分区[n]成组的非交叉列表计数A088368和推广这一结果引入一个变换的整数序列，我们称之为“非交叉分区”变换。我们还推导出递归关系来计算[n]到非交叉列表列表的划分。
Numerical Sets, Core Partitions, and Integer Points in Polytopes
我们研究了数值集和整数分区之间的对应关系，从而导致同时核心分区和某个多面体的整数点之间的双射。我们使用这种对应证明组合结果的核心分区。对于小的a值，我们给出了相应于数值半群的（a，b）-核划分数的计算公式。我们还研究了给定钩子集的划分数。
Sets of iterated Partitions and the Bell iterated Exponential Integers
众所周知，贝尔数表示一个n-集合的划分总数。类似地，第二类斯特林数表示n-集合的k-划分的数量。在本文中，我们介绍了一定的分区过程，产生了一系列的“嵌套”分区集。我们证明了在阶段m，结果集的基数将等于m阶贝尔数。这种集合论的解释使我们能够自然地定义高阶Stirling数，并研究这些实体的组合学。探讨了所构造的“超划分”集的元素的基数。
Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets
本文给出了“双曲”型强正则Cayley图的一个新的提升构造。基于Singer差集的次差集的划分，给出了有限域的可加群上强正则Cayley图的新构造.我们的结果统一了有限几何中与$m$ -卵形和$i$ -紧集有关的强正则Cayley图的一些新的构造.此外，本文所得到的强正则Cayley图中有一些是新的，或者与已知的具有相同参数的强正则图不同构.
New identities for the polarized partitions and partitions with $d$-distant parts
本文给出了一类新的整数分拆恒等式。具有d-远距离部分的分区的数量可以表示为具有1-远距离部分的分区的数量之和，所述分区的偶数部分大于奇数部分的数量的两倍。我们还提供了这些类别的分区之间的直接双射。
Statistics on ordered partitions of sets
我们介绍了几个统计有序分区的集合，即，集分区的块是任意排列。这些统计量的分布与第二类q-Stirling数密切相关。其中一些统计量是集合划分上已知统计量的推广，而另一些则是全新的。所有新的统计量都是两个统计量的和，灵感来自排列统计量，其中两个统计量之一是基于分区块的某种偏序。
A product of integer partitions
我提出了一个双射整数分区，导致递归表达式，封闭的公式和生成函数的基数的某些集的分区的正整数$n$。双射还导致分区上的产品是与一个自然的分级，从而定义一个自由的结合代数上的整数分区的集合。作为计算的结果，出现了某些整数集合，我称之为差集，并且差集中整数的乘积对于一个划分集合族是不变量。在这些结构中使用的主要组合对象是划分的费勒斯图的中心钩。
Infinite image partition regular matrices - Solution in C-sets
一个有限或无限矩阵$A$是图像划分规则的，只要$\mathbb{N}$是彩色的，就必须有一些$\overset{\rightarrow}{x}$具有来自$\mathbb{N}$的条目，使得$A \overset{\rightarrow}{x}$的所有条目都在同一个颜色类中。与有限情形相比，无限像分块正则矩阵的分析似乎更加困难。引入中心象分块正则矩阵的概念，将有限象分块正则矩阵的结果推广到无限象分块正则矩阵。在本文中，我们将介绍的概念，C-图像划分定期矩阵，一个有趣的子类中心图像划分定期矩阵。我们还将看到，许多已知的中心像划分正则矩阵是C-图像划分正则的。
The sets of flattened partitions with forbidden patterns
排列中的模式避免研究，特别是在扁平分区是当前研究的一个活跃领域。在本文中，我们计算[n]上避免单个模式以及一对两个模式的不同扁平分区的数量。出现了几个计数序列，即Catalan数、2的幂、斐波那契数和Motzkin数。我们还考虑其他组合统计，即运行和反转，并建立一些双射的情况下，统计相吻合。
AGC, t-designs and partition sets
AG码在几何上对应于定义在q个元素的有限域F_q上的n维射影空间PG（n，F_q）中k平面的格拉斯曼运动中的点。我们证明了不变subgrassmannian的三角形组的行动举行的t-设计确定的参数。
Nested sets, set partitions and Kirkman-Cayley dissection numbers
本文给出了著名的关于凸多边形剖分数的Kirkman-Cayley公式的一个显式双射证明。我们的出发点是由\(\{1,2,...,n\}\)的\(k\)子集与基数\(\geq 2\)构成的嵌套集合的集合与将\(\{1,2,...,n+k-1\}\)划分为具有基数\(\geq 2\)的\(k\)部分的集合之间的双射对应。
Values of binary partition function represented by a sum of three squares
令$m$是正整数，并且$b_{m}(n)$是$n$的分区的数量，其中部分是2的幂，其中每个部分可以采用$m$颜色。我们证明了如果$m=2^{k}-1$，则存在整数$n$的自然密度，使得$b_{m}(n)$不能表示为三个平方和，并且对于$k=1, 2$等于$1/12$，对于$k\geq 3$等于$1/6$.特别地，对于$m=1$，方程$b_{1}(n)=x^2+y^2+z^2$具有整数解当且仅当$n$不具有$2^{2k+2}(8s+2t_{s}+3)+i$的形式，因为$i=0, 1$和$k, s$是非负整数，并且其中$t_{n}$是Prouhet-Thue-Morse序列中的第$n$项。对方程$b_{2^k-1}(n)=x^2+y^2+z^2$的$n$解也得到了类似的特征。
Fair representation by independent sets
对于一个超图$H$，$β(H)$表示从$H$覆盖$V(H)$的最小边数. $H$的边$S$被称为公平地表示{ \em}（分别地，{ \em几乎相当}）如果$(V_1,V_2, \ldots, V_m)$（分别$|S\cap V_i|\ge \lfloor\frac{|V_i|}{β(H)}\rfloor-1$）用于所有$i \le m$。在拟阵中，$V(H)$的任何划分都可以用某个独立的集合公平地表示。我们寻找超图类$H$中的任何分区的$V(H)$可以表示几乎公平的一些边缘。我们表明，这是真的，当$H$是一组独立的路径集，并推测，这是真的，当$H$是一组匹配的$K_{n,n}$。我们证明，分区的$E(K_{n,n})$成三个集可以表示几乎公平。证明的方法是拓扑的。
Representations of infinite tree-sets
本文将有限树集的图论树表示理论推广至无限情形，刻画了可由普通无限树表示的树集，并引入带极限边的树状空间，证明所有无限树集均可由此表示。
Statistics on Ordered Partitions of Sets and q-Stirling Numbers
[n]的有序划分：={1，2，.，n}是其不相交子集的序列，其并集是[n]。[n]的k个块的有序分块的个数是k！S（n，k），其中S（n，k）是第二类Stirling数。在本文中，我们证明了这个公式的一些改进，通过显示的生成函数的一些统计集的有序分区[n]与k块是一个自然的$q$ -模拟的k！S（n，k）。特别地，我们证明了Steingr 'ımsson的几个构造。为此，我们构造了一个映射，从有序划分到一些有向图的行走，然后，由于转移矩阵方法，我们确定相应的生成函数的行列式计算。
Cross-intersection theorems for uniform partitions of finite sets
本文研究有限集 c-均匀划分中的交叉 t-相交族，证明乘积型极值结果，并刻画规模和最大的族，由此得到均匀集合划分的 EKR 与 Hilton-Milner 型定理。
Partition regularity of infinite parallelepiped sets
研究了半群中无限平行六面体集合的分区正则性，证明其等价于加法Ramsey理论中的基本概念。
Maximum Independent Sets Partition of (n,k)-Star Graphs
（n，k）-星图是一种非常重要的计算机建模方法。图的独立数和色数是图论中的两个重要参数。然而，我们并不知道这两个参数的值的（n，k）-星图，因为它被提出。[18]，Wei et. al.宣称他们确定了（n，k）-星图的独立数，可惜他们的证明是错误的。本文推广了他们的结果，给出了（n，k）-星图的极大独立集划分.由此我们可以立即推出（n，k）-星图的独立数和色数的精确值。
Containment in (s,t)-core Partitions
引入了（s，t）-闭包和δ-集的概念，证明了（s，t）-闭δ-集中的集合形式包含的（s，t）-闭β-集也是分块形式包含的.这意味着Olsson和Stanton的极大（s，t）-核划分定理。一路上，我们重新证明（s，s+1）-核心的情况下，最初证明的奥尔森和斯坦顿，使用新的技术，以及几个引理和命题的包含分区。最后，我们研究这些如何适用于分区的T-核心。
Schreier Sets in Ramsey Theory
我们表明，拉姆齐理论，域目前设想，以保证存在的大型齐次集的分区上的k元组的话（为每一个自然数k）在有限的字母表，可以扩展到一个分区上的Schreier型集的话（每一个可数序数）。事实上，我们建立了一个扩展的划分定理的卡尔森关于词和（更一般）划分定理的Furstenberg-Katznelson关于组合子空间的一组字（产生从k元组的话，任何固定的自然数k）到一个划分定理的组合子空间（产生从Schreier型集的字的顺序任何固定的可数序数）。进一步，我们得到了Carlson无穷Nash-Williams型的加强（和Ellentuck类型）划分定理关于可变字的无穷序列的一个定理，其中可变字的一个无穷序列和字的所有有限序列的二进制划分，其中一个组件是，此外，一棵树，被假定，结论是给定序列的无限约简的所有Schreier型有限约简具有由划分的树分量的Cantor-Bendixson序数指数确定的行为，落在该指数之上的树分量中，落在其下面的补数中。
Partitions of graphs into small and large sets
设$G$是$n$顶点上的图。我们称顶点集$V(G)$的子集$A$为\emph{$k$-small}，如果对于每个顶点$v \in A$，$°(v) \le n - |A| + k$。子集$B \subseteq V(G)$称为\emph{$k$-large}，如果对于每个顶点$u \in B$，$°(u) \ge |B| - k - 1$。此外，我们用$φ_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -小集合的划分，并且用$Ω_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -大集合的划分。本文证明了图的$k$ -小集、$k$ -大集与图的$k$ -独立数、团数和色数之间的紧密联系。我们将开发贪婪算法在线性时间内计算$φ_k(G)$和$Ω_k(G)$，并证明关于这些参数的各种尖锐的不等式，我们将使用这些不等式来获得Caro-Wei定理，Turán定理和Hansen-Zheng定理等的改进。
On the representation of finite convex geometries with convex sets
最近Richter和Rogers证明了任何凸几何都可以用平面上的一族凸多边形来表示。我们将推广它们的构造，并得到各种各样的凸形来表示凸几何。本文提出了一个Erdos-Szekeres型障碍，它否定地回答了Czedli的一个问题，即一般的凸几何不能用平面上的椭圆表示.此外，我们将证明，甚至不能限制的公共支持线的数量对的代表凸集。在更高的维度，我们证明了所有的凸几何可以表示为椭球。
N-graphs, modular Sidon and sum-free sets, and partition identities
使用一个新的图形表示分区，作者获得了一个家庭的分区身份与分区成不同的部分的算术级数，或者，更一般地说，与分区成不同的部分的一组，这是一个有限的工会的等差数列与模块化的和免费西顿集。划分单位也构造与模块和自由集的集合。
Descent sets on 321-avoiding involutions and hook decompositions of partitions
我们证明了避免模式321的S_n中的对合集上的主指数的分布由第n个中心二项式系数的q-模拟给出。证明由三个非平凡双射的组合组成，其中一个是罗宾逊-申斯特对应，最终将那些具有主索引m的对合映射到m的分区中，其杨氏图适合于n/2 × n/2的盒子。我们还得到了一个细化，跟踪下降集，我们推导出一个类似的结果为123-避免对合的comajor指数。
On partition and almost disjoint properties of combinatorial notions
本文研究半群中组合大性概念的划分与几乎不相交性质，将中心集定理的多项式扩展推广至交换可消半群，并证明 Cp-集及另三类集合的相关性质。
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
Partition regular linear equations over Sidon sets
该研究证明[N]^d的西顿子集是傅里叶一致的，结合高维Rado定理得出分块正则线性方程在其稠密子集有限分划下的单色解数量下界，还推导了其等分布性质，证明受Ortega与Prendiville的论证启发。
On the Activities and Partitions of the Vertex Subsets of Graphs
Crapo提出了一种构造具有拟阵结构的集合的布尔格的区间划分的方法。这种建设，在图形拟阵的背景下，是有关的概念，介绍了Tutte的边活动。这意味着连通图的每个生成子图可以通过删除内部活动边的唯一子集并添加外部活动边的唯一子集来从恰好一个生成树的边构造。由于顶点独立集族不产生拟阵结构，所以当使用独立集族作为生成集时，我们不能在顶点集上应用Crapo构造。本文引入顶点活动的概念来解决顶点集的布尔格的区间划分问题。我们展示了如何生成一个覆盖，提出了一些特殊的极大独立集的顶点活动相关的性质，并考虑了一些特殊的图。最后，我们将证明在修剪图的水平标号总是产生一个分区。
New polynomial and multidimensional extensions of classical partition results
在20世纪70年代Deuber介绍了概念的$(m,p,c)$ -集在$\mathbb{N}$和表明，这些集是分区定期和包含所有线性分区定期配置在$\mathbb{N}$。本文在两个方向上改进和推广了$(m,p,c)$ -集的经典结果。首先，我们表明，与超滤技术的帮助下，Deuber的结果扩展到多项式配置的阿贝尔群。特别地，我们在$\mathbb{Z}^d$中得到了新的分区正则多项式配置。其次，我们给出了Deuber的结果推广到一般交换半群的两个证明。我们还得到了Furstenberg中心集定理的多项式形式，推广了Deuber，Hindman和Lefmann的$(m,p,c)$ -系统理论，并将Rado关于$\mathbb{N}$上线性方程组的划分正则性的经典定理推广到交换半群上.
Partitions, pairs of trees and Catalan numbers
在“Square partitions and Catalan numbers”（arXiv 0912.4983）中，Bennett等人提出了一种递归算法，可以从一个或多个分区创建一个分区族。他们主要感兴趣的情况下，当我们开始与一个单一的广场分区或与几个分区只有一个部分。这些划分族的基数分别是加泰罗尼亚和选票数。在本文中，我们提出了一个封闭的描述这些家庭。我们还提出了双射之间的分区和集合的树木和森林列举的加泰罗尼亚投票号码。
Zero sum partition into sets of the same order and its applications
我们说一个$n$阶的阿贝尔群$Γ$有$m$ - \emph{zero-sum-partition property}（\textit{ZSP-property}），如果$m$划分$n$，$m\geq 2$，并且存在$Γ$划分成成对不相交的子集$A_1, A_2,\ldots , A_t$，使得对于$1 \leq i \leq t$，$|A_i| = m$和$\sum_{a\in A_i}a = g_0$，其中$g_0$是$Γ$的单位元。本文研究了$Γ$的$m$-ZSP性质.证明了$Γ$有$m$-ZSP当且仅当$|Γ|$是奇数或$m\geq 3$且$Γ$有多个对合.我们将把结果应用到群距离幻图的研究以及广义Kotzig阵列。
Partition Rank and Partition Lattices
本研究提出将分拆秩法应用于非对角张量的通用方法，通过推广相异性指示符为分拆指示符、结合有限集分拆格上的莫比乌斯反演，统一了该方法的分散应用，还推广了数论与组合几何中的多项已有结果。
A Note on a Nearly Uniform Partition into Common Independent Sets of Two Matroids
本说明是对K. Takazawa和Y. Yokoi（A generalized-polymatoid approach to disjoint common independent sets in two matroids，Discrete Mathematics（2019））.对于给定的$E$上的两个拟阵，在与他们论文中相同的假设下，保证存在$E$到两个拟阵的$k$公共独立集的划分，我们证明了存在$E$到$k$公共独立集的几乎一致的划分$\mathcal{P}$，其中$\mathcal{P}$中任何两个集合的基数之差最多为1。
Algebraic Structures on Sets of Partitions
受Robert Schneider工作的启发，本文探索分拆上的二元运算，发现受限分拆集合构成阿贝尔群、向量空间和交换环，为分拆分析提供代数工具。
Elements represented as intersections of sets
该数学研究确定了[n]的表示族集的最小基数为Sperner函数的离散逆s(n)，并给出相关推广、应用及渐近结果。
Equitable partitions of regular graphs, and perfect sets in normal Cayley graphs
本文研究了正则图的公平划分条件，并基于此推导了正常赛尔图中存在(a,b)-完美集的必要条件，涉及图的不可约特征标。
On Schreier-type Sets, Partitions, and Compositions
本文定义稀疏的 $\ell$-强 Schreier 集合，证明其与不含部分 $2$ 至 $\ell$ 的受限整数分拆之间存在双射计数关系，并进一步讨论整数组合。
Extremal Sidon sets are Fourier uniform, with applications to partition regularity
推广Erdens-Freud和Lindström的结果，我们证明了整数的有界区间的最大Sidon子集在玻尔邻域中是等分布的。我们建立这表明，极值西顿集是傅里叶伪随机，因为它们没有大的非平凡的傅里叶系数。作为进一步的应用，我们推出，任何分区正则方程在五个或更多的变量，每一个有限着色的极值西顿集有一个单色的解决方案。
Partitioning $H$-minor free graphs into three subgraphs with no large components
本文证明了：对于任意的图$H$，如果一个图$H$没有（奇数）$H$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以划分为三个集合$X_1$，$X_2$，$X_3$，使得对于每个$i$，在$X_i$上导出的子图没有大于$H$和$G$的最大度的函数的分支.这改进了Alon，Ding，Oporowski和Vertigan~（2003）的先前结果，即如果$G$没有$H$子式，则$V(G)$可以被划分为四个这样的集合。我们的定理推广了Esperet和Jaret ~（2014）的一个结果，他们证明了它对于可嵌入固定曲面上的图，并询问它是否对没有$H$子式的图成立。作为推论，我们证明了：对于每一个正整数$t$，如果图$G$没有$K_{t+1}$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以被划分成$3t$集$X_1,\ldots,X_{3t}$，使得对于每一个~ $i$，在$X_i$上导出的子图没有大于~ $t$的一个函数的分支.这个推论改进了Wood~（2010）的一个结果，该结果指出$V(G)$可以划分成$\lceil 3.5t+2\rceil$这样的集合。
Destroying Non-Complete Regular Components in Graph Partitions
我们证明，如果$G$是一个图和$r_1, ..., r_k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，使$\sum_{i=1}^k r_i \geq Δ(G) + 2 - k$，然后$V(G)$可以划分成集$V_1, ..., V_k$，使$Δ(G[V_i]) \leq r_i$和$G[V_i]$不包含任何非完整的$r_i$ -定期组件为每个$1 \leq i \leq k$。特别地，任何图$G$的顶点集可以被划分为$\left \lceil \frac{Δ(G) + 2}{3} \right \rceil$集，每个集合都导出三角形和路径的不交并。
Almost all friendly matrices have many obstructions
从$\{0,1,\ast\}$中提取元素的对称$m\times m$矩阵$M$引起图划分问题，询问图是否可以被划分为与行匹配的$m$顶点集（和对应的列），使得如果$M$，则对应顶点集之间的任何两个顶点通过边连接，如果是$M_{ij}=0$，则对应顶点集之间的任何两个顶点都没有边连接。条目$\ast$对相应集合之间的边没有限制。这个问题推广了图的着色和图的同态问题。没有$M$ -划分但每个真子图都有$M$ -划分的图称为最小障碍图。Feder、Hell和Xie定义了友好矩阵，并证明了非友好矩阵有无穷多个极小障碍。他们通过例子证明了友好矩阵可以有无穷多个或无穷多个最小障碍，并给出了一个友好矩阵的NP-难划分问题的例子。在这里，我们表明，几乎所有的友好矩阵有无穷多个最小障碍和NP-难划分问题。
On the partition regularity of arithmetic progressions and linear equations in k-IP-sets
本文将范德瓦尔登定理和拉多定理推广到IP集与k-IP集的有限着色情形，其中k-IP集限制每个被加项的重数不超过k-1，从而刻画了其中等差数列和线性方程的分割正则性。
Partition regularity and multiplicatively syndetic sets
我们展示了如何乘法syndetic集可以用于研究的伸缩不变系统的多项式方程的分割正则性。特别地，我们证明了一个膨胀不变的多项式方程组是划分正则的当且仅当它在每个乘法合集内都有解。我们还采用了Green-Tao和Chow-Lindqvist-Prendiville的方法来开发Roth密度增量策略的联合版本。然后，该参数用于获得形式为$\{x, d, x + d, x + 2d\}$的配置的Rado数的界限。
Polynomials associated with Partitions: Polynomials associated with Partitions: Their Asymptotics and Zeros
令$p_n$为整数$n$的分区数。对于计算其部分、秩或曲柄的每个分区统计，存在整数多项式的自然族。我们研究了它们的渐近性和它们的零点作为集合和密度的极限行为。
Isolation partitions in graphs
本文证明最大度至多k的连通图（除k-团外）可划分为k+1个k-团隔离集，无爪次三次图（除3-圈外）可划分为4个圈隔离集，并推论k-正则图可划分为k+1个k-团隔离集。
The covering number of the difference sets in partitions of $G$-spaces and groups
我们证明了，对于每个有限分区$G=A_1\cup\dots\cup A_n$的一组$G$要么$cov(A_iA_i^{-1})\le n$的所有细胞$A_i$或$cov(A_iA_i^{-1}A_i)<n$的一些细胞$A_i$的分区。这里$cov(A)=\min\{|F|:F\subset G,\;G=FA\}$是$G$中$A$的覆盖数。对$G$ -空间的划分也证明了类似的结果。这给出了两个部分回答问题的Protasov提出在1995年。
On upper bounds on the number of parts in the problem of partitioning sets into parts of smaller diameter
本文围绕经典Borsuk问题，针对将欧氏空间中直径为1的集合划分为直径严格小于给定$b∈(0,1]$的部分的问题，讨论量$χ(n,b)$，收集其已知上界信息并给出新的上界。
On the Schur-positivity of various sets of set partitions
研究两种下降概念下与集合划分相关的对称函数的Schur正性，通过Touchard-Riordan多项式和Bell数部分和给出系数，并利用可移除单点概念建立Schur展开的组合描述。
Partition of complement of good ideals and Apéry sets
好半群构成$\mathbb{N}^d$的一类包含曲线奇点的值半群的子幺半群。本文描述了好半群理想的补的一种划分，主要应用于好半群的Apéry集的描述.这推广到任何$d \geq 2$的结果，最近的文件D '安娜，Guerrieri和Micale，这是证明的情况下，$d=2$，只有标准的Apéry集关于最小的非零元素。给出了$\mathbb{N}^d$中描述好半群的几个新结果。
Identifying domatic partitions via graph dynamical systems
本文通过构造图动力系统，将图的支配集与动力系统作用映射的像一一对应，并从周期轨道中提取domatic-2-划分，进而扩展至自由半群作用以确定独立支配集和idomatic划分。
Line partitions of internal points to a conic in PG(2,q)
确定PG（2，q）中的圆锥曲线C的内部点集的所有分割线集，q为奇数。只有三个这样的线集，即通过C的外部点到C的所有非切线的集合，通过C中的点到C的所有非切线的集合，以及对于平方q，属于至少有5个公共点的Baer子平面的所有非切线的集合。这一分类定理类似于塞格雷和卡马罗斯的经典结果，他们把通过一个内部点到C的线束描述为唯一的直线集，直到射影，它提供了到C的所有非内部点的集合的一个划分。然而，证明是不类似的，因为它不依赖于著名的引理的塞格雷切线。本文的主要工具是C的所有内部点的集合在二次曲线上的某些划分，以及非割线的阻塞集和外部线的阻塞集的一些最近的组合特征。
Proof of a Conjecture of Nath and Sellers on Simultaneous Core Partitions
本文证明Nath和Sellers提出的关于${(s,ms-1,ms+1)}$-核心分拆确切最大尺寸的猜想，关键方法是引入并研究广义$β$-集，并将已有三元连续核心分拆的最大尺寸结果加以推广。
Tight bounds on the coefficients of partition functions via stability
分拆函数在统计物理学和概率论中作为吉布斯测度的归一化常数出现，在组合学和图论中作为图多项式出现。例如硬核模型和单体-二聚体模型的分拆函数分别为独立多项式和匹配多项式。我们展示了如何自然地从最近开发的占用方法最大化和最小化的物理观测值类的正则图图的稳定性结果，然后显示这些稳定性结果可以用来获得严格的极值上的个别系数的相应的分拆函数。作为应用，我们证明了正则图中给定大小的独立集和匹配数的新的界。对于足够大的图和几乎所有的尺寸，边界是紧的，并确认了Friedland，Krop和Markström的上匹配猜想和Kahn关于独立集的猜想。此外，我们证明了紧界的$q$ -染色的三次图与给定数量的单色边的数量，和紧界的独立集的给定大小的三次图的围长至少$5$。
Partition identities associated to Rogers-Ramanujan type identities
我们表明，在许多情况下，有无限多套分区对应于一个单一的分析罗杰斯-拉马努金型身份。这意味着一个解析的Rogers-Ramanujan型恒等式意味着在无限多个划分集合中存在双射。我们还给出了一个明确的描述，这些无限集来自分析身份的总和侧解释如何解释的总和侧组合作为生成函数的分区考虑。此外，我们还利用Glasgow恒等式得到了一类新的无限族Rogers-Ramanujan型恒等式.
On sets related to integer partitions with quasi-required elements and disallowed elements
本文研究与整数分拆相关的极小集合计算问题，并将其转化为数值半群框架求解。
Partition-free families of sets
令$m(n)$表示不包含两个不相交集合及其并集的子集族的最大大小。1968年，Kleitman证明了$m(n) = {n\choose m+1}+\ldots +{n\choose 2m+1}$如果$n=3m+1$。证明了Kleitman的猜想，对$n=3m$和$n=3m+2$建立了同样的等式，并确定了所有的极值族.与$n=3m+1$的情形不同，极值族不是唯一的。这是我们的证明相对困难的一个貌似合理的原因。我们也彻底解决了几个家庭的问题。
Sets Represented as the Length-n Factors of a Word
在本文中，我们考虑以下问题：有多少不同的子集Sigma^n可以出现作为一个有限字的所有长度为n的因素的集合？如果一个子集是可表示的，我们需要用多长的词来表示它？有多少个这样的子集由长度为t的单词表示？对于第一个问题，我们给出了二元情形下的形式alpha^（2^n）的上界和下界。对于第二个问题，我们给出了一个弱上界和一些实验数据。对于第三个问题，在n <= t < 2n的情况下，我们给出了一个封闭形式的公式。这些问题的数学变体以前被称为“最短公共超弦”。
Bent Partitions, Vectorial Dual-Bent Functions and Partial Difference Sets
已知部分散布是一类弯曲分拆。在\cite{AM2022Be,MP2021Be}中，给出了两类形式类似于部分散布的弯曲划分.在\cite{AKM2022Ge}中，更多的弯曲分区$Γ_{1}, Γ_{2}, Γ_{1}^{\bullet}, Γ_{2}^{\bullet}, Θ_{1}, Θ_{2}$来自（前）半域，包括\cite{AM2022Be,MP2021Be}中给出的弯曲分区。本文研究了Bent分拆与向量双Bent函数之间的关系。对于任何素数$p$，我们证明了从一定的向量双Bent函数（称为满足条件A的向量双Bent函数）可以生成一定的Bent分拆（称为满足条件$\mathcal{C}$的Bent分拆）.特别地，当$p$是奇素数时，我们证明了满足条件$\mathcal{C}$的bent划分一一对应于满足条件A的向量双bent函数。给出了$Γ_{1}, Γ_{2}, Γ_{1}^{\bullet}, Γ_{2}^{\bullet}, Θ_{1}, Θ_{2}$是弯曲分拆的另一种证明.我们提出了一个向量双bent函数的二级构造，它可以用来生成更多的bent划分。证明了任何三元弱正则Bent函数$f: V_{n}^{(3)}\rightarrow \mathbb{F}_{3}$（$n$偶）的$2$ -形式都能生成Bent划分.当这样的$f$是弱正则的但不是正则的时，由$f$生成的弯曲…
Partitions of planar (oriented) graphs into a connected acyclic and an independent set
围绕欧拉有向平面图的顶点划分交叉问题，研究CAI-划分的存在性，证明两类图存在该划分，并构造反例将已有结果推广至有向场景。
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