Caldero-Keller approach to the denominators of cluster variables
Buan、Marsh和Reiten证明了，如果一个非循环的聚簇范畴$\mathcal C$中的一个聚簇倾斜对象$T$与一个非循环的聚簇$Q$相关联，并且满足关于$\mathcal C$中的交换对的某些条件，那么与$Q$相关联的聚簇代数中每个聚簇变量的约化形式的分母具有由$T$的自同态代数上相应模的维数向量给出的指数。在本文中，我们给出了一个替代证明这一结果使用的Caldero-Keller方法的无环集群代数和工作的Palu集群字符。
2008-04-24 math.RT
On indecomposable $τ$-rigid modules over cluster-tilted algebras of tame type
本文证明了驯顺型cluster-tilted代数上不同的不可分解$τ$-刚性模具有不同的维数向量，并以此为基础建立了驯顺型cluster algebras的弱版本分母猜想，同时利用Iyama-Yoshino构造描述了相关的三角范畴subfactors。
2018-03-23 math.RA math.RT
Denominator vectors and dimension vectors from triangulated surfaces
本文研究了来自三角化曲面的簇代数中簇变量的分母向量与对应模维数向量的一致性问题，通过比较带标记弧的两种相交数，推广了Buan、Marsh和Reiten在无环簇代数中的结果。
2023-12-19 math.CO math.RT
Rigid and Schurian modules over cluster-tilted algebras of tame type
我们给出了一个例子，一个簇倾斜代数A具有一个分母向量，它不是任何不可分解A-模的维数向量，使得相关的簇代数具有一个分母向量。这回答了T.中西相关的例子是与驯服遗传代数相关联的簇倾斜代数。我们证明了对于这样一个簇倾斜代数A，我们可以将任意分母向量写成至多三个不可分解刚性A-模的维数向量之和。为了做到这一点，有必要和独立的兴趣，首先分类的不可分解刚性A-模在这种情况下。
2016-01-26 math.RA math.RT
Preprojective cluster variables of acyclic cluster algebras
对于任意的值簇，利用BGP-反射函子，给出了从簇范畴中的预投射对象集到相应的簇代数的簇变量集的一个注入，这些像称为预投射簇变量.证明了所有的预投射簇变量在其整多项式的不可约分数中都有分解子$u^{\underline{dim}M}$，其中$M$是相应的预投射模或预内射模.若方程是Dynkin型的，我们将[FZ 2]中的分母定理推广到任意种子，并将[CCS 1] [CCS 2] [CK 1]中的相应结果推广到非单缀情形.给定一个有限的无定向圈的集合（具有平凡赋值），固定一个倾斜种子$(V, B_V)$，证明了从簇范畴中的异常不可分解对象集到与$B_V$相关联的簇变量集的双射（抽象的，不是显式的，比较[CK 2]）的存在性和唯一性，$B_V$将$ V_i[1]$发送给$u_i$，并将簇倾斜对象发送给簇.
2006-08-30 math.RA math.RT
Modules over cluster-tilted algebras determined by their dimension vectors
证明了簇倾斜代数上的不可分解的transjective模是由其维数向量唯一确定的。同样地，我们证明了对于簇隐代数，提升到相应簇范畴中刚性对象的刚性模由它们的维数向量唯一确定。最后，我们将我们的结果应用到一个猜想的Fomin和Zelevinsky的集群变量的分解。
2012-02-25 math.RA math.RT
From triangulated categories to cluster algebras
簇范畴是一个三角化范畴，由于它与簇代数在组合上的相似性而被引入。证明了一个有限型的簇代数A可以实现为簇范畴的Hall代数，称为例外Hall代数.这一认识为A.我们证明了新的结果，并制定'良好的基础'的性质，积极性，分母定理和复曲面退化。
2005-06-11 math.RA math.RT
From triangulated categories to cluster algebras II
在非循环的情况下，我们建立了一个一对一的对应关系的倾斜对象的集群类别和集群的相关集群代数。这种对应关系使我们能够解决簇代数上的代数问题。我们证明了一个乘法定理，一个分母定理，以及一些关于突变图性质的说明。与前一篇文章一样，证明依赖于簇范畴的卡-丘性质。
2006-04-12 math.RA math.RT
Intersection vectors over tilings with applications to gentle algebras and cluster algebras
本文证明铺砌上允许弧的多重集在温和条件下由相交向量唯一确定，并据此刻画温和代数中 $\tau$-刚性模维数向量的唯一性，同时建立 $\mathbb{A}\mathbb{B}\mathbb{C}$ 型丛代数的分母猜想。
2023-10-05 math.CO math.RA math.RT
Quivers with relations arising from clusters (A_n case)
簇代数是由S. Fomin和A. Zelevinsky与对偶典范基的关系。设U是A_n型簇代数.我们将U的每个簇C与一个阿贝尔范畴Cat_C相关联，使得Cat_C的不可分解对象与U的不在C中的簇变量自然对应。给出了Cat_C的代数实现和几何实现.然后，我们将Fomin和Zelevinsky的“分母定理”推广到任何簇。
2004-01-23 math.RA math.RT
Clusters and seeds in acyclic cluster algebras
我们证明了Fomin和Zelevinsky所证明的无定向圈（无系数）的有限箭图所对应的簇代数的种子由簇决定，并利用遗传代数上不可分解例外模的合成因子得到了非多项式簇变量分母中单项式的一个解释.
2007-03-08 math.RT
Relation between $f$-vectors and $d$-vectors in cluster algebras of finite type or rank 2
研究了簇代数理论中$F$ -多项式的最大次数向量$f$ -向量。对于有限型的簇代数，我们发现正的$f$ -向量对应于簇变量的乘子的指数向量$d$ -向量.利用这种对应关系和$d$ -向量的性质，证明了当簇代数为有限型或秩$2$时，簇中的簇变量由其$f$ -向量唯一确定.
2021-08-19 math.CO math.RA math.RT
An affine almost positive roots model
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；University of Leicester（莱斯特大学）
本文将有限型簇代数的几乎正根模型推广到统一的有限/仿射型模型，定义了几乎正Schur根Φ_c和兼容度，给出了新的兼容度公式，并建立了簇扩张与g-向量扇的仿射同构。
2019-04-09 math.CO math.RA math.RT
Cluster automorphisms and compatibility of cluster variables
在本文中，我们引入了单结构簇代数的概念，它的簇变量的集合唯一地决定了簇。证明了Dynkin型的簇代数和秩为2的簇代数是单结构的，然后证明了如果$\mathcal{A}$是单结构的或欧几里德型的，则$f: \mathcal{A}\to \mathcal{A}$是簇自同构当且仅当$f$是环境场的自同构，它限制于簇变量的置换.为了证明这个结果，我们还调查了Fomin-Zelevinsky猜想，两个集群变量是兼容的当且仅当一个不出现在另一个的Laurent展开的分母。
2013-07-18 math.RT
Diagrammatic description of c-vectors and d-vectors of cluster algebras of finite type
我们提供了一个明确的Dynkin图解描述的c-向量和d-向量（分母向量）的任何集群代数的有限型与主系数和任何初始交换矩阵。首先利用簇代数的曲面实现对类型A_n和D_n进行构造，然后利用折叠方法对D_{n+1}和A_{2n-1}进行构造，得到类型B_n和C_n.异常类型是通过计算机代数软件的帮助下直接检查完成的。我们还提出了一个关于一般簇代数的c-向量的根性质的猜想。
2014-01-13 math.CO math.RA math.RT
A graph theoretic expansion formula for cluster algebras of classical type
本文对大多数有限型簇代数中出现的簇变量给出了一个图论组合解释。特别是，我们提供了一个家庭的图形，使他们的完美匹配的加权枚举编码的分子相关联的洛朗多项式，而分解的图形对应的分母。这是对Schiffler和Carroll-Price最近关于A_n情形的团簇展开公式的补充，同时也为B_n，C_n和D_n情形提供了新的解释。
2007-11-05 math.CO math.RT
On positivity for generalized cluster variables of affine quivers
在\cite{LS}中证明了每个斜对称簇代数的簇代数中的簇变量都是正的。本文证明了仿射群的正则广义簇变量是正的。作为推论，我们得到了仿射箭图的广义簇变量是正的，并构造了各种正基。这推广了\cite{Dupont}和\cite{DXX}中的结果。
2016-03-06 math.RA math.RT
Simplicity of tensor products of Kirillov--Reshetikhin modules: nonexceptional affine and G types
本文证明了非例外仿射类型及D4(3)、G2(1)中KR模归一化R矩阵的分母公式，由此完全确定KR模张量积的单纯性与极点阶数，并证明Hernandez-Leclerc簇中的KR模构成强交换族。
2025-10-16 math.QA math.RT
Cluster algebras of type $A_2^{(1)}$
本文研究了$A_2^{(1)}$型簇代数$\myAA$.我们解决了集群变量之间的递归关系（形成$A_2^{(1)}$类型的T-系统）。我们解决了$\myAA$（它形成一个Y-系统的类型$A_2^{(1)}$）的系数之间的递归关系。在$\myAA$中，有一个自然的积极性概念。我们发现线性基地$\BB$的$\myAA$，使积极的线性组合的元素$\BB$符合锥的积极的元素。我们称这些碱基为$\myAA$的\emph{atomic bases}。这些是谢尔曼和泽列文斯基在$A_{1}^{(1)}$型中发现的"规范碱基"的类似物。每个原子基都由簇单项式和额外的元素组成。我们提供明确的表达式，这样的基地在每个集群的元素。我们证明了$\BB$的元素通过它们在每个簇中的$\mathbf{g}$-向量被$\ZZ^3$参数化。证明了$\myAA$的每一个非循环种子中的分母向量映射都限制于$\BB$和$\ZZ^3$之间的一个双射.特别是，这给出了一个明确的算法，以确定"虚拟"的典型分解类型$A_2^{(1)}$的根格的每个元素。我们找到了显式的递归关系来表示$\myAA$的每个元素作为$\BB$的元素的线性组合。
2010-07-08 math.RA math.RT
Friezes and a construction of the euclidean cluster variables
设$Q$是一个欧几里得数。使用friezes的意义上的汇编-martenauer-史密斯，我们提供了一个算法，用于计算（规范）集群字符关联到任何对象的集群类别的$Q$。特别地，该算法允许计算与$Q$相关联的簇代数中的所有簇变量。它还允许计算的欧拉示性数的总和的任何模块$M$的路径代数的$Q$上的Grassmannian。
2010-02-28 math.RA math.RT
Generic Variables in Acyclic Cluster Algebras and Bases in Affine Cluster Algebras
设$Q$是一个没有定向圈的有限簇，$\mathcal A(Q)$是以$(Q,\textbf u)$为初始种子的无系数簇代数.利用Caldero-Chapoton映射，我们在$\Z[\textbf u^{\pm 1}]$中引入并研究了一类包含$\mathcal A(Q)$的簇单项式的类属变量.这些通用变量的目的是给出一个明确的新方法来构建聚簇代数$\mathcal A(Q)$中的$\Z$ -基。如果$Q$是一个仿射的最小虚根$δ$，我们调查之间的差异与不可分解表示的维向量$δ$的集群字符。我们定义了\emph{difference property}的概念，它给出了这些差异的明确描述。我们证明，特别是这个属性的仿射型$\tilde A$的箭图。当$Q$满足差分性质时，证明了类属变量跨越簇代数$\mathcal A(Q)$ .如果$\mathcal A(Q)$满足一定的可分级性条件，我们证明了类属变量在$\mathcal A(Q)$中对$\mathbb Z$是线性无关的.特别地，这意味着泛型变量在与$\tilde A$类型的仿射代数相关联的簇代数中形成$\Z$ -基。
2010-06-01 math.RA math.RT
Cluster algebras IV: Coefficients
我们研究了簇代数对系数选择的依赖性。我们写的一般公式表示的集群变量在任何集群代数的初始数据，这些公式涉及一个家庭的多项式与特定的选择“主”系数。我们证明了主系数簇代数的交换图覆盖了具有相同交换矩阵的任何簇代数的交换图。我们研究两个家庭的参数化集群单项式的格点，确定，分别由他们的洛朗展开式和一定的多阶化集群代数的主系数。这些参数化的性质，有些已被证明，有些是理论上的，表明与V. Fock和A. Goncharov [math. AG/0311245]的对偶结构有关。系数动力学导致了Al. Zamolodchikov的Y系统的自然推广。我们建立了这种Y系统的Laurent现象，以前只知道在有限型，并锐化的周期性结果[hep-th/0111053]。对于簇代数的有限型，我们确定了一个典型的"普遍"的选择系数，使一个任意的簇代数可以得到一个适当的专门化系数的普遍的（相同类型的）。
2006-08-16 math.CO math.RA math.RT
A geometric $q$-character formula for snake modules
设$\mathscr{C}$是单复李代数${\mathfrak{g}}$的量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$上的有限维模范畴.设$\mathscr{C}^-$为Hernandez和Leclerc引入的子范畴。本文证明了Hernandez和Leclerc在$\mathbb{A}$和$\mathbb{B}$型中给出的关于Mukhin和Young引入的一类简单的称为蛇模的模的几何$q$ -特征公式.此外，我们给出了一个组合公式的$F$ -多项式的一般核与蛇模块。作为一个应用，我们证明了蛇模对应于具有平方自由算子的簇单项式，并证明了蛇模是实模。我们还证明了范畴$\mathscr{C}_1$的簇代数对于Dynkin型$\mathbb{A,D,E}$是阶乘的.
2019-05-13 math.QA math.RA math.RT
Laurent phenomenon and simple modules of quiver Hecke algebras
我们研究了幂单量子坐标环$A_q(\mathfrak{n}(w))$的么半群分类的结果以及簇代数的Laurent现象。我们表明，如果一个简单的模块$S$在范畴$\mathcal C_w$强交换与所有的集群变量在一个集群$[ \mathscr C]$，那么$[S]$是一个集群单项式在$[ \mathscr C ]$。如果$S$与除一个簇变量$[M_k]$之外的簇变量强可换，则$[S]$要么是$[\mathscr C ]$中的簇单项，要么是$μ_k([ \mathscr C ])$中的簇单项。给出了$A_q(\mathfrak{n}(w))$的局部化$\widetilde A_q(\mathfrak{n}(w))$的上整体基在冻结变量上是公共三角基的新证明.用$[S]$相对于簇$[ \mathscr C]$的分母向量给出了具有簇变量的简单模块$S$在簇$[ \mathscr C]$中的可交换性的特征。
2019-01-04 math.QA math.RT
Cluster algebras generated by projective cluster variables
该研究提出由投射丛变量生成的下界丛代数概念，证明无环条件下其与丛代数一致并可构造丛代数的基，且$A_n$、$\tilde{A}_n$型无系数丛代数均等于对应下界丛代数。
2020-11-25 math.RT
Dimension vectors of $τ$-rigid modules and $f$-vectors of cluster monomials from triangulated surfaces
本文针对三角剖分曲面相关的簇代数与Jacobian代数，利用Qiu-Zhou相交数工具，刻画了不同非初始簇单项式具有不同f-向量以及不同τ-刚性模具有不同维数向量的条件，并由此证明了特定曲面情形下的分母猜想。
2024-09-30 math.CO math.RT
Quantum cluster variables via canonical submodules
Tsinghua University（清华大学）
本文研究无 punctures 标记表面的量子簇代数，通过规范子模块表达量子簇变量，并获得该类量子簇代数的正性结果。
2026-04-06 math.RT
Linear recurrence relations for cluster variables of affine quivers
证明了与仿射图的顶点相关的簇变量的frieze序列满足线性递归关系。特别是，我们获得了最近的一个猜想的证明，由Assem-Schottenauer-Smith。
2010-06-16 math.CO math.RT
Snake graph calculus and cluster algebras from surfaces
蛇图自然地出现在簇代数理论中。对于曲面簇代数，每个簇变量由一个公式给出，该公式由蛇图的完美匹配参数化。在本文中，我们确定每个集群变量与蛇图，并解释集群变量之间的关系，在这些图形。特别是，我们给出了一个新的证明两个集群变量的绞关系。
2012-10-19 math.CO math.RT
