Curvature Functionals for Curves in the Equi-Affine Plane
在给出了这类泛函的一般变分公式后，本文进一步研究了面积约束下等仿射曲率积分的临界点和全仿射弧长的临界点。
2009-12-21 math.DG
The equi-affine curvatures of curves in 3-dimensional pseudo-Riemannian manifolds
本文借助于三维伪黎曼流形中非零非退化曲线的Frenet标架和Frenet曲率，刻画了Cartan标架和等仿射曲率.这样一条曲线的Frenet曲率的恒定性总是意味着等仿射曲率的恒定性。我们表明，相反的声明一般不成立。最后，我们研究了三维Lorentz流形中零曲线的等仿射曲率，并证明了它们与伪挠率有关。
2019-10-30 math.DG
A nonlocal curve flow in centro-affine geometry
本文得到了中心仿射平面几何中的一个等周不等式。我们还研究了一个不变平面曲线流的长期行为，其演化过程可以表示为关于中心仿射曲率的二阶非线性抛物型方程。讨论了前向和后向的时间极限，表明闭凸嵌入曲线按此流演化时可能收敛到椭圆。
2022-07-14 math.DG
Singular points of the Wigner caustic and affine equidistants of planar curves
本文根据平面曲线的形状，研究了平面曲线的Wigner焦散线和仿射$λ$的奇点--等距线。推广了关于凸曲线对映对存在性的Blaschke-Süss定理。
2018-10-10 math.DG
Shur type comparison theorems for affine curves with application to lattice point estimates
如果$c, \overline c\colon [a,b]\to \mathbb R^2$是由仿射弧长参数化的两条凸平面曲线，$A\colon [a,b]\to [0,\infty)$是由约束$c\big|_{[a,s]}$和$c(a)$与$c(s)$之间的线段所包围的区域，其中$\overline A$是$\overline c$的对应函数，并且$c$的仿射曲率逐点小于$\overline c$的仿射曲率。然后是$A(s)\ge \overline A(s)$。此外，对于凸曲线的任何一点，我们定义\emph{adapted affine coordinates}集中在该点，并给出尖锐的估计曲线的坐标在边界上的曲率。证明这些界限涉及到推广的Strum-Liouville型的高阶和非齐次方程的经典比较定理。这些估计使我们能够在仿射曲率和顶点之间的仿射距离方面给出内接三角形的面积的精确界。这些不等式暗示了凸曲线上格点数目的上界。
2023-02-08 math.DG
Area distances of Convex Plane Curves and Improper Affine Spheres
到凸平面曲线的面积距离是计算机视觉中的一个重要概念。在本文中，我们描述了一个强有力的区域距离和不适当的仿射球之间的联系。这种联系使得更好地理解这两种理论成为可能。仿射球面理论的概念导致凸平面弧的外部部分上的面积距离的新定义。同时，基于离散仿射球理论，我们提出了计算区域距离的快速算法。另一方面，面积距离提供了一个很好的几何理解不适当的仿射球。
2008-01-28 math.DG
A Geometric Representation of Improper Indefinite Affine Spheres with Singularities
给定一对平面曲线，可以定义其广义面积距离，这是一个推广单条曲线面积距离的概念。本文证明了平面曲线对的广义面积距离是一个具有奇点的非正规不定仿射球面，并且$\R^3$中的每个非正规不定仿射球面都是平面曲线对的广义面积距离.考虑到这种表示，奇异集的非正常仿射球对应的面积渐屈线对的曲线，这一事实使我们能够描述一个清晰的几何图片。这对曲线的其他对称集，如仿射面积对称集和仿射包络对称集，也可以用来描述非正常仿射球面的几何性质。
2011-05-14 math.DG
Affine geometry of equal-volume polygons in 3-space
半体积多边形是从三维空间中的曲线（包含或不包含在曲面中）的适当离散得到的。在本文中，我们探讨了这些多边形的仿射弧长参数化平滑曲线的相似性，发展离散仿射不变量的理论。除了获得离散仿射不变量外，等体积多边形还可以用于估计平面曲线的射影不变量。该理论有许多潜在的应用，其中包括轮廓曲线的质量评估和仿射不变量的计算。
2016-09-28 math.DG
Classification of compact convex ancient solutions of the planar affine normal flow
证明了平面仿射法线流的唯一紧致凸古解是收缩椭圆。
2014-11-19 math.DG
Affine Geometry of Space Curves
本文从Cartan定理出发，对空间曲线在仿射变换下的完全分类进行了研究。Spivak已经介绍了这个方法，但还没有找到不变量。并首次提出了不变量的一个充要条件。然后，我们详细研究了常曲率空间曲线的形状，并提出了它们在物理、计算机视觉和图像处理中的应用。
2009-08-25 math.DG
Centro-affine normal flows on curves: Harnack estimates and Ancient solutions
本文证明了平面 $p$ 中心仿射法向流的唯一紧致、原点对称且严格凸的 Ancient 解是收缩的原点中心椭圆。
2014-07-13 math.DG
The maximal curves and heat flow in fully affine geometry
本文研究完全仿射几何中的极大曲线，通过第二变分公式证明其丰富性，并推广曲线理论，给出热流孤子分类及收敛性结果。
2022-02-15 math.DG
Classification of homogeneous affine tube domains with large automorphism groups in arbitrary dimensions
我们在$\mathbb C^{n+1}$（$n\ge 1$）中用管域的边界和a的近似齐次基对管域进行分类。具有正定Levi形式; b.）具有Lorentzian型Levi形式和仿射各向同性的维数至少为$\frac{(n-2)(n-3)}2$。
2018-04-06 math.DG
Affine connections and singularities of tangent surfaces to space curves
本文在尽可能广泛的情况下，对出现在切线曲面上的一般奇点的局部同态分类问题给出了完整的解决方案。我们解释切线测地线作为切线时，（半）黎曼度量，或更一般地说，一个仿射联络是在任意维的环境空间。然后，给定一条浸入曲线，或者更一般地，给定一条有向曲线或一条沿曲线具有明确定义的切线方向的前沿曲线，我们通过曲线的切线测地线将切线曲面定义为直纹曲面。我们应用由Kokubu，Rossman，Saji，Umehara，Yamada和Fujimori，Saji，Umehara，Yamada发现的正面奇点的表征，并发现由第一作者有关奇点开口的过程。
2015-01-29 math.DG
Classification of cubics up to affine transformations
该研究对R²中三阶平面曲线（三次曲线）在仿射变换下分类，将其分为7类并给出完整代表集，所得结果完整且比同类研究更简洁。
2026-10-20 math.DG
The classification of complete improper affine spheres with singularities of low total curvature and new examples
本文研究了幺模仿射三维空间中带奇异性的完备非固有仿射球，给出了总曲率大于等于$-6π$及$-8π$情形的分类，并提供了亏格0和1的新例子及嵌入端的渐近行为分析。
2025-05-29 math.DG
Evolving Affine Evolutoids
平面曲线C的直线仿射法线的包络是它的仿射渐屈线;与C相切的仿射直线的包络是原曲线，连同C的每个顶点处的整个仿射切线。本文考虑了不带子的平面曲线。我们使用奇点理论的一些技巧来解释第一个包络如何变成第二个包络，因为形成包络的一组直线和C的仿射切线之间的（恒定）斜率从0变为1。特别是，我们保证存在的第一个斜率的奇异性发生。此外，我们解释了这些奇异性如何在判别曲面中演化。
2017-05-04 math.DG
A classification of locally homogeneous affine connections on compact surfaces
对局部等距伪群传递的紧致可定向曲面上的仿射联络进行了分类。我们证明了这样的连接是挠自由和平坦的，Levi-Civita连接的黎曼度量的常曲率或商的一个平面上的曲率不变的连接。
2014-04-21 math.DG
Affine subspaces of curvature functions from closed planar curves
给定一对实函数$(k,f)$，研究了对于所有实$λ$，它们使$k+λf$为闭平面曲线弧长上的曲率所需满足的条件.指出了几个等价条件，证明了某些周期性行为是必不可少的，并明确地构造了一类这样的对。同时也研究了该问题的离散对应问题。最后，得到的表征是用来表明，一个充分的模拟的4顶点定理不能开发。
2020-06-17 math.DG
Lagrangian Curves in Affine Symplectic 4-space
四维空间中的拉格朗日曲线与特殊仿射群下的平面曲线的二阶变形和三维洛伦兹空间型中的零曲线之间有着奇妙的关系。我们提供了一个自然的仿射辛框架的拉格朗日曲线。它允许我们分类拉格朗日曲线与常辛曲率，构造一类拉格朗日环面和确定拉格朗日测地线。
2013-12-22 math.DG math.SG
The moving frame on the fractal curves
利用活动标架和不变量，$\R^3$中任意离散曲线的中心仿射曲率和挠率都可以唯一识别。本文根据分形曲线的仿射曲率，如Koch曲线和Hilbert曲线，可以清楚地描述它们的迭代过程。有趣的是，通过仿射曲率，分形曲线可以量化和编码相应的序列。因此，更方便日后参考。给定三个起始点，我们可以在步骤$n, \forall n\in \mathbb{Z}^+$直接生成仿射Koch曲线和仿射Hilbert曲线。当然，如果初始三点是标准的，则曲线是传统的Koch曲线或Hilbert曲线。通过这种方法，可以将一些看起来不规则的分形曲线的特征量化，从而使分形特征更加明显。
2016-12-16 math.DG
Centro-affine invariants and the canonical Lorentz metric on the space of centered ellipses
我们考虑光滑的平面曲线，它们相对于原点是凸的。本文利用密切椭圆的零曲线，根据所有以零为中心的椭圆的三维空间上的正则Lorentz结构，描述了中心仿射不变量（即GL+（2，R）-不变量），如中心仿射曲率和弧长.这是中心仿射模拟的办法共形不变量的曲线在领域介绍的朗之万和奥哈拉，使用规范的伪黎曼度量空间的圆。
2016-11-08 math.DG
Constant curvature curves in dual affine and dual Lorentz-Minkowski planes
Firat University（费拉特大学）；Tekirdag Namik Kemal University（泰基尔达纳马克凯马尔大学）
本文研究了双仿射和双洛伦兹-闵可夫斯基平面中曲率恒为双常数的曲线性质，揭示了其几何特征和分类方法。
2025-12-01 math.DG
Affine-geometric Wirtinger inequality
给出了曲线到超曲面的仿射几何Wirtinger不等式的一个推广。
2012-09-27 math.DG
Classifying convex compact ancient solutions to the affine curve shortening flow
本文对仿射曲线缩短流的凸紧古解进行了分类：即任何仿射曲线缩短流的凸紧古解必为收缩椭圆。该方法结合了受\cite{Wang}启发的重新标度参数、方程的仿射不变性和仿射等周比的单调性。我们将给出两个证明。基本思想是相关的，但第一个使用水平集表示的演变。第二个证明采用了Schauder的估计，也为高维仿射法线流的相应分类结果提供了一个新的简单证明。
2013-03-01 math.AP math.DG
N-dimension Central Affine Curve Flows
构造了一系列在$R^n\backslash 0$作用下的$R^n\backslash 0$不变量上的交换中心仿射曲线流，证明了如下结果：（a）第j个中心仿射曲线流的解的中心仿射曲率是n阶微分算子空间上第j个Gelfand-Dickey（GD $_n$）流族的解. (b)本文利用GD $_n$流的Cauchy问题的解来求解具有周期初值和中心仿射曲率快速衰减初值的中心仿射曲线流的Cauchy问题。(c)我们得到了中心仿射曲线流族的一个双Hamilton结构，并证明了它自然地产生于某些共伴随轨道的Poisson结构。(d)我们构造了Backlund变换，无穷多个显式解族，并给出了这些曲线流的置换公式。
2015-10-13 math.DG nlin.SI
Central Affine Curve Flow on the Plane
本文给出了平面上Pinkall中心仿射曲线流的下列结果：（i）构造已知的高阶交换曲线流、守恒律和双Hamilton结构的系统而简单的方法;（ii）Baecklund变换和置换公式;（iii）无穷多族显式解.我们还解决了柯西问题的周期初始数据。
2014-05-16 math.DG nlin.SI
Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections
对GL（n，R）中作用在R^n上的不可约子群进行了分类，并对GL（n，R）中作用在n-流形上的无挠的仿射联络的完整子群进行了分类，从而完成了M. 1950年代的伯杰。所采用的方法包括表示论，厄米对称空间的理论，扭量理论和泊松几何。后一种理论对于那些无挠无挠的联络的构造和分类特别重要，这些联络的完整性属于所谓的“奇异”情况之一，即，那些没有被列入伯杰的原始名单。还包括一些注释，涉及解释的一些例子中的超对称结构。
1999-07-01 math.DG
On compact affine quaternionic curves and surfaces
本文研究紧仿射四元数曲线与曲面，证明仿射四元数结构唯一，并借助 Kodaira 定理分类曲线，同时为完备曲面的分类提供路径。
2019-10-25 math.CV math.DG
Classification of complete left-invariant affine structures on the Oscillator group
基于左对称代数的扩张理论，给出了一种在给定的低维可解李群上对左不变仿射结构进行分类的方法。为了更好地说明我们的方法，我们将应用它来分类振子群上的完整左不变仿射结构。
2013-04-30 math.DG math.RA
Homotopic curve shortening and the affine curve-shortening flow
我们定义并研究了一个离散过程，推广了平面点集的凸层分解。我们的过程，我们称之为“同伦曲线缩短”（HCS），开始于一个封闭的曲线（这可能是自相交）在一组$P\subset \mathbb R^2$的点障碍的存在下，并在离散的步骤，其中每一步包括（1）采取捷径周围的障碍，（2）减少曲线到其最短的同伦等价。我们发现，实验上，如果初始曲线是固定的和$P$被选为一个非常好的规则网格或均匀随机点集，然后HCS的行为在极限像仿射曲线缩短流（ACSF）。ACSF和HCS之间的这种联系概括了ACSF和凸层分解之间的联系（Eppstein等人，2017年;考尔德和智能，2020年），这是有限的凸曲线。我们证明了HCS满足类似于ACSF的一些性质：HCS在仿射变换下不变，保持凸性，并且不增加总绝对曲率。此外，曲线的自相交或两条曲线之间的相交（适当定义）的数量不会增加。最后，如果初始曲线是简单的，那么拐点的数量（适当定义）不会增加。
2022-11-14 cs.CG math.DG
Euclidean and Affine Curve Reconstruction
University of New Mexico（新墨西哥大学）；Longwood University（朗伍德大学）；NC State University（北卡罗来纳州立大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Baruch College, CUNY（纽约市立大学巴鲁克学院）；ND State University（北达科他州立大学）；Carleton College（卡尔顿学院）；University of Notre Dame（圣母大学）
本文研究在给定欧几里得或仿射曲率条件下重建平面曲线的问题，提出并实现相关算法，并给出重建误差与曲率接近程度之间的估计，适用于计算机视觉与形状分析。
2024-03-29 cs.CV math.DG
Entire conformal curves are affine or have super-Euclidean energy growth
该研究证明高维整共形曲线仅分为仿射曲线和超欧几里得能量增长两类，推导了相关刚性结论与应用，并给出了子流形共形等价的相关结果。
2025-09-04 math.CV math.DG
Centro-affine curvature flows on centrally symmetric convex curves
本文考虑光滑、中心对称、闭凸平面曲线上的两类$p$ -中心仿射流，分别是$p$ -收缩流和$p$ -扩张流.这里，$p$是大于1的任意实数。我们发现，在任何$p$收缩流，发展曲线收缩到一个点，在有限的时间和唯一的位同解的流动是椭圆中心的原点。此外，具有封闭面积$π$的归一化曲线在Hausdorff度量中收敛于模SL（2）的单位圆。由于$p$ -膨胀流与收缩流在某种程度上是对偶的，我们证明了在任何$p$ -膨胀流下，曲线在有限时间内膨胀到无穷远，而流的唯一位似解是以原点为中心的椭圆.如果曲线被归一化以包围恒定面积$π$，则它们显示与第一类型流相同的渐近行为，并且在豪斯多夫度量中，直到SL（2）变换，收敛到单位圆。最后，我们给出了$\mathbb{R}^2$中光滑中心对称凸体的$p$ -仿射等周不等式$p\geq 1$的一个新证明。
2012-09-17 math.AP math.DG
Cyclic Monopoles, Affine Toda and Spectral Curves
我们表明，任何循环对称的规范等价于纳姆数据给出的Sutcliffe的antonym，因此得到的仿射户田方程。此外，方向（Ercolani-Sinha向量）和基点的线性化流的雅可比矩阵的光谱曲线相关联的Nahm方程出现的户田数据的回调。Accola和Fay的一个定理意味着，在解决这个问题时出现的theta函数可以简化为Toda的theta函数。
2010-02-05 hep-th math-ph math.DG
The decomposition and classification of radiant affine 3-manifolds
仿射流形是具有无挠平坦仿射联络的流形。几何拓扑学家对仿射流形的定义是一个带有仿射转换函数的仿射空间的地图集的流形;辐射仿射流形是一个具有由固定公共不动点的仿射变换组成的完整性的仿射流形。利用前面发展的实射影$n$ -流形的凸和凹分解，将可定向闭辐射仿射3-流形沿互不相交的全测地环面或Klein瓶分解为辐射2-凸仿射流形和辐射凹仿射3-流形.然后将2-凸辐射仿射流形分解为凸辐射仿射流形和凹锥仿射流形。为了做到这一点，我们将获得一些不错的几何对象在柯伊伯完成的holonomy覆盖。这类对象的集合的等变性和局部有限性将表明它们的并集覆盖余维为零的紧致子流形，其补流形是凸的。最后，利用Barbot的结果，我们证明了一个闭的辐射仿射3-流形有一个全截面，从而证实了Carrière的一个猜想，因此每个辐射仿射3-流形同胚于一个具有平凡Euler数的Seifert纤维空间，或一个具有纤维同胚于环面的圆上的虚丛。
2000-07-17 dg-ga math.DG
On the classification of Meromorphic Affine Connections on Complex Compact Surfaces
本研究分类了代数维数为1的紧复曲面上的亚纯仿射联络，拓展了前人在全纯情形下的相关工作，旨在探索复紧曲线单值化原理在高维带奇点几何结构中的拓展可能。
2024-03-13 math.AG math.CV math.DG
On feedback classification of control-affine systems with one and two-dimensional inputs
本文致力于局部分类的一般控制仿射系统的n维流形上的标量输入的任何n>3或两个输入的n=4和n=5，直到状态反馈变换，保持仿射结构。首先利用模数的庞加莱级数，我们引入了分类问题所依赖的每个指定变量数的函数模的固有数。为了分类仿射系统与标量输入，我们与这样的系统规范框架规范化的向量场，定义我们的控制系统的交换关系中的一些结构功能。然后，利用这个规范框架，我们引入规范坐标，并找到一个完整的系统的状态反馈不变量的系统。它还自动给出了一般非仿射n维控制系统的微局部（即在状态输入空间中的局部）分类，其中n>2。此外，我们展示了如何反馈等效的问题，仿射系统的二维输入的状态空间的尺寸4和5可以减少到相同的问题，仿射系统的标量输入。为了使这一减少，我们区分我们的控制系统的子系统，包括在维度4的所有极值的方向和所有异常极值在维度5的时间最优问题，由原来的控制系统定义。在每一个分类问题中，我们根据庞加莱级数找到每个指定变量数的函数模的固有数。
2005-02-02 math.DG math.OC
Solitons of the midpoint mapping and affine curvature
对于$\mathbb{R}^n$中的多边形$x=(x_j)_{j\in \mathbb{Z}}$，我们考虑中点多边形$(M(x))_j=\left(x_j+x_{j+1}\right)/2\,.$。如果多边形的中点多边形是多边形在可逆仿射映射下的像，则称多边形为中点映射$M$的孤立子。我们证明了这些多边形中的一大类位于作用于$\mathbb{R}^n.$的仿射群的单参数子群的轨道上。这些光滑曲线也被表征为矩阵$B$和向量$d.$的微分方程$\dot{c}(t)=Bc (t)+d$的解。对于$n=2$，这些曲线是具有常数广义仿射曲率$k_{ga}=k_{ga}(B)$的曲线，取决于由广义$B$参数化的$B$。仿射弧长，除非它们是抛物线、椭圆或双曲线的参数化。
2020-07-28 math.DG math.MG
Classification of ancient flows by sub-affine-critical powers of curvature in $\mathbb{R}^2$
我们对次仿射临界幂$α\leq \frac{1}{3}$的闭凸$α$ -曲线缩短流进行了分类.此外，我们还证明了闭凸光滑有限熵$α$ -曲线缩短流是一个收缩圆，其中有$\frac{1}{3}<α$.经过规范化后，满足上述条件的古代流在后向无穷远处指数快速收敛到光滑闭凸收缩器。特别地，当$α=\frac{1}{k^2-1}$与$3\leq k \in \mathbb{N}$结合时，圆形收缩器具有非平凡的Jacobi场，但是古流不沿着Jacobi场演化。
2022-02-02 math.AP math.DG
Classifying affine structures with focus-focus singularities
本文研究可积系统中focus-focus奇异纤维的仿射结构分类，证明其与简单半环系统分类的等价性，并给出多收缩纤维情形下的反例。
2024-01-19 math.DG math.SG
The tropical momentum map: a classification of toric log symplectic manifolds
我们给出了环面辛几何到泊松流形的一个推广，泊松流形是辛的，远离形成正规交叉配置的超曲面的集合。我们介绍了热带动量映射，它需要在一个广义的仿射空间称为日志仿射流形的值。使用这个动量映射，我们得到一个完整的分类，这样的流形装饰日志仿射多面体，从而扩展分类辛复曲面流形实现Atiyah，Guillemin-Sternberg，Kostant，和Delzant。
2017-03-10 math.DG math.SG
The classification of general affine connections in Newton--Cartan geometry: Towards metric-affine Newton--Cartan gravity
Leibniz University Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文针对伽利略流形上的一般仿射联络，基于可独立指定张量场完成完整分类，推广了已有伽利略联络相关结论，明确了非度量相容联络的自由度来源。
2024-11-08 gr-qc hep-th math-ph
