Noetherian Hopf algebras
Kenneth A. Brown
这篇简短的综述文章回顾了目前对诺特霍普夫代数结构的理解。重点是同调性质。列出了一些悬而未决的问题。
This short survey article reviews current understand- ing of the structure of noetherian Hopf algebras. The focus is on homological properties. A number of open problems are listed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Noetherian Hopf algebra domains of Gelfand-Kirillov dimension two
本文对特征为零的代数闭域$k$上的所有满足条件$\Ext^1_H(k,k)\neq 0$的Gelfand-Kirillov维数为2的整环Noether霍普夫代数$H$进行了分类.后一个条件是冗余的，因为没有已知的例子（在GK维2的诺特霍普夫代数域中）它失败了。
Noetherian pointed Hopf algebras are affine
该研究引入词上的约化序与约化因子分解概念，证明域上右或左诺特有点Hopf代数是仿射的，部分回应了Wu和Zhang提出的诺特Hopf代数仿射性经典问题。
A Noetherian Hopf algebra is affine iff its Hopf coradical is affine
本文通过引入非交换约化序、因子分解理论和广义提升方法，建立了诺特Hopf代数仿射性的充要条件，即左或右诺特Hopf代数仿射当且仅当其Hopf余根仿射，从而推进了Wu-Zhang问题的解决。
Noetherian Centralizing Hopf Algebra Extensions and Finite Morphisms of Quantum Groups
设$A \subset H$是Noether Hopf代数的有限中心扩张，$X$表示$H$的特征标群，该特征标群限制于$A$上的增广映射.我们的主要结果提供了从$spec H$到$spec A$的正则满射的纤维与$spec H$中的$X$ -轨道重合的充要条件.特别地，当且仅当$A$的增强理想上的纤维是$X$-轨道时，所有纤维都是$X$ -轨道。应用量子函数代数的表示论，在根的单位，提出。
Noetherian Hopf algebras
本文对诺特霍普夫代数的一些方面作了简要的综述，主要集中在结构、同调和分类上，并提出了一系列有待解决的问题。
Affineness on Noetherian graded rings, algebras and Hopf algebras
本文研究Noether分次环及Hopf代数的有限生成性，证明零次部分有限生成即可推出整体有限生成，并应用于分次Hopf代数及其辫子Hopf代数。
Flatness of Noetherian Hopf algebras over coideal subalgebras
证明了剩余有限维霍普夫代数是任意右Noether右余理想子代数上的平坦模.在Hopf子代数的情况下，我们得到忠实平坦。这些结果是通过证明这些代数的经典商环的存在性得到的。证明了左、右Noether剩余有限维霍普夫代数的对极都是双射的.因此，这样的霍普夫代数同时是右诺特代数和左诺特代数。
A noetherian Hopf algebra has bijective antipode
该研究证明，若任意域上的霍普夫代数的左或右正则模具有有限一致维数，则其具有双射反极，还解决了2006年斯克里亚宾提出的诺特霍普夫代数均具双射反极的猜想。
On Noetherian pointed Hopf algebras
本文针对点态霍普夫代数相关猜想，提出多循环-有限群上后Nichols代数的诺特性等价于仿射性与有限Gelfand-Kirillov维数，并给出部分支持结果及相关分析。
Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras
我们证明了许多Noether霍普夫代数A都有一个刚性对偶复形R，R同构于^νA^1 [d].这里，d是代数的内射维数，ν是A的某个k-代数自同构，直到内自同构为止是唯一的。为了纪念在此推广的有限维理论，我们称ν为A的Nakayama自同构。证明了ν= S^2 \XXi，其中S是A的对极，\XXi是由A的左积分确定的A的左绕自同构.当A是整体维数为d的Artin-Schelter正则Noether霍普夫代数时，系数在适当扭自由双模中的霍赫希尔德同调和上同调群在顶维d上是非零的.（扭曲的）庞加莱对偶在这种情况下成立，这是从范登伯格定理推导出来的。还利用相反的余代数结构计算A的ν，我们确定了S^4的一个公式，它推广了Radford在1976年对有限维A的一个公式。给出了这些结果在A为PI、包络代数、量子群、量子化函数代数和群代数等情形中的应用。
Locally Finite Representations Over Noetherian Hopf algebras
研究了特征为零的域上的Noether代数的有限维表示。更确切地说，我们给出了局部有限维表示范畴在取内射壳时闭的充要条件，并将群环和包络代数的结果推广到Ore扩张、Hopf交叉积和低Gelfand-Kirillov维数的仿射霍普夫代数.
Hopf algebras under finiteness conditions
本文简要地综述了无限维霍普夫代数的一些最新研究进展，这些代数要么是Noether维数，要么是有限Gelfand-Kirillov维数。列出了一些未决问题。
Pointed Hopf algebras, the Dixmier-Moeglin Equivalence and Noetherian group algebras
本文研究群代数及尖点Hopf代数的诺特性、有限Gelfand-Kirillov维数与Dixmier-Moeglin等价性之间的等价关系，并探讨群代数的有限性条件及一个相关猜想的最小反例。
Homological Integral of Hopf Algebras
对一大类无穷维霍普夫代数引入了左、右同调积分.利用同调积分证明了无限维霍普夫代数的Maschke定理的一个版本。Maschke定理的推广和同调积分是研究一维Gelfand-Kirillov Noether正则霍普夫代数的关键。
An affine PI Hopf algebra not finite over a normal commutative Hopf subalgebra
在建立一个广义的框架来研究某些自然产生于表示论的非交换代数时，K。A.布朗问，如果每一个生成的霍普夫代数满足多项式身份是有限的正常交换的霍普夫子代数。本文证明了Radford的双积应用于李超代数pl（1，1）的包络代数，提供了一个Noether素反例.
Hopf Ore Extensions
Brown，O 'Hagan，Zhang和Zhuang给出了当$R$的斜多项式扩张$T=R[x, σ, δ]$允许一个与$R$相容的Hopf代数结构时，关于一个HopfPDMATHABMO-代数$R$的自同构$σ$和$σ$ -导子$δ$的一组条件.事实上，他们给出了一个完整的表征，其中$σ$和$δ$可以发生的假设下，$Δ(x)=a\otimes x +x\otimes b +v(x\otimes x) +w$，与$a, b\in R$和$v, w\in R\otimes_k R$，其中$Δ: R\to R\otimes_k R$是复合图。在本文中，我们表明，在变量的变化后，事实上可以假设，$Δ(x)=β^{-1}\otimes x +x\otimes 1 +w$，与$β$是一个grouplike元素在$R$和$w\in R\otimes_k R,$时，$R\otimes_k R$是一个域和$R$是诺特。特别是，这完全特征斜多项式扩展的一个霍普夫代数，承认一个霍普夫结构扩展的环系数在这些假设下。我们发现，假设持有域$R$是noether有限Gelfand-Kirillov维数的余交换Hopf代数。
Co-Poisson structures on polynomial Hopf algebras
证明了任意Poisson霍普夫代数$H$的Hopf对偶$H^\circ$在$H$为诺特数的情况下都是余Poisson霍普夫代数。如果没有诺特的假设，这在一般情况下是不正确的。非交换李代数的泛包络代数上不存在非平凡Poisson Hopf结构。$A=k[x_1, x_2, \cdots, x_d]$作为有限维交换李代数的泛包络代数，其上的Poisson Hopf结构恰为$A$上的线性Poisson结构.刻画了多项式霍普夫代数$A$上的余Poisson结构.还建立了co-Poisson结构和Poisson结构之间的一些对应关系。
Noetherianity of twisted Zhu algebra and bimodules
本文证明了一大类自然顶点算子代数及其模的Zhu代数、双模及其$g$-扭类似具有Noetherian性，为应用非交换代数几何方法研究其表示理论与融合规则提供了可能。
Noetherian algebras of quantum differential operators
本文考虑量子微分算子的代数，对于一个不定多项式代数上适当的双特征和对于$n\geq 3$的量子$n$ -空间的坐标代数.在前一种情况下，第一作者和T。C. McCune，但不知道代数是否是Noetherian。我们肯定地回答这个问题，将其设置在一个更一般的背景下，涉及行为诺特条件下本地化的权力，一个单一的元素。在后一种情况下，我们确定量子微分算子的代数为量子化Weyl代数上的群$\mathbb{Z}^n$的斜群代数。从这个描述可以得出，这个代数是一个简单的右和左诺特域。
Homological Integrals for Weak Hopf Algebras
本文引入了无限维弱Hopf代数的同调积分概念，并借此证明了若干结构定理，包括Artin-Schelter性质与Van den Bergh条件的等价性、对极映射的自动可逆性，以及关于仿射中心上有限弱Hopf代数的分解定理。
The Finite Duals of Affine Prime Regular Hopf Algebras of GK-Dimension One
本文试图构造一类特殊的Hopf对$\langle-,-\rangle:H^\bullet\otimes H\rightarrow\Bbbk$ .具体地，$H^\bullet$和$H$应该都是仿射的、诺特的并且具有相同的GK维数。此外，它们的某些性质也是对偶的。对GK维1的仿射素正则霍普夫代数$H$，我们分两步进行了验证：1）计算它们的有限生成元$H^\circ$，它由生成元和关系给出; 2）通过选择$H^\circ$的某些Hopf子代数$H^\bullet$来确定所需的Hopf对，其中$\langle-,-\rangle$成为其求值.
A note on the bijectivity of antipode of a Hopf algebra and its applications
给出了霍普夫代数具有双射对极的同调和环论条件，并应用于Noether霍普夫代数的同调性质.
The Jacobian, reflection arrangement and discriminant for reflection Hopf algebras
研究了Noether连通分次Artin-Schelter正则代数上有限维半单霍普夫代数作用，在非交换条件下引入了Jacobian，反射排列和判别式的定义.
Cohen-Macaulay invariant subalgebras of Hopf dense Galois extensions
设$H$是半单Hopf代数，$R$是Noether左$H$ -模代数.若$R/R^H$是右$H^*$ -稠密Galois扩张，则不变子代数$R^H$在适当的条件下继承$R$的AS-Cohen-Macaulay性质，且$R$作为右$R^H$ -模是Cohen-Macaulay模.特别地，我们证明了如果$R$是一个整体维数为2的Noether完全半局部代数，且对于某个有限子群$G\subseteq Aut(R)$，$H=\operatorname{\bf k} G$是AS-正则的，则$R^H$的所有不可分解Cohen-Macaulay模都是$R_{R^H}$的直和项，从而$R^H$是Cohen-Macaulay-有限的，推广了交换环的一个经典结果.本文所使用的主要工具是对象在相应的商范畴中的扩张群。
Noetherian algebras over algebraically closed fields
设$k$是不可数代数闭域，$A$是可数生成的左Noether $k$ -代数.证明了对于$k$的任意域扩张$K$，$A \otimes_k K$是左Noether的.证明了$k$上可数生成左Noether整环的商除代数的所有子域都是$k$的可数生成扩张.我们给出的例子表明，$A\otimes_k K$不需要保持左诺特，如果假设被削弱。
Examples of non-semisimple Hopf algebra actions on Artin-Schelter regular algebras
设$\Bbbk$是特征$p>0$的基域，$U$是二维非交换限制李代数的限制包络代数.我们对整体维数不超过3的Noether Koszul Artin Schelter正则代数上的所有内忠实$U$ -作用进行了分类.
Connected Hopf algebras and iterated Ore extensions
本文研究了霍普夫代数R的斜多项式扩张T = R[x; σ，δ]何时具有霍普夫代数结构，推广了Panov的一个定理.当这种构造在特征0中迭代应用时，得到一个大的有限Gelfand-Kirillov维数的连通Noether霍普夫代数族，包括例如有限维可解李代数的所有包络代数和幂幺群的所有坐标环。研究了这些霍普夫代数的性质。
Cocommutative Calabi-Yau Hopf algebras and deformations
利用最近引入的研究无穷维AS-Gorenstein霍普夫代数的工具--同调积分，讨论了余交换霍普夫代数的Calabi-Yau性质.证明了有限维李代数$\g$的泛包络代数的斜群代数是Calabi-Yau当且仅当泛包络代数本身是Calabi-Yau且$G$是特殊线性群$SL(\g)$的子群.描述了维数不大于3的Noether余交换Calabi-Yau霍普夫代数.讨论了有限维李代数的Sridharan包络代数的Calabi-Yau性质。得到了Sridharan包络代数是Calabi-Yau的几个等价条件，从而部分回答了Berger提出的一个问题.我们列出了所有非同构的三维Calabi-Yau Sridharan包络代数。
A Poincare-Birkhoff-Witt theorem for Hopf algebras with central Hopf algebra coradical
本文证明了在特征为零的域上，具有中心霍普夫代数余根的霍普夫代数有PBW基作为余根上的模。
Stably Noetherian Algebras of Polynomial Growth
设$A$是域$k$上的右诺特代数.如果基域扩张$A \otimes_k K$对于$k$的所有扩域$K$保持右诺特，则$A$被称为$k$上的稳定右诺特。利用临界合成列，我们发展了一种归纳方法，证明了有限Gelfand-Kirillov维数的代数是稳定的Noether代数.我们用它来刻画满足多项式恒等式的代数是稳定的诺特代数。该方法也适用于许多有限整体维数的$\mathbb{N}$ -分次环，特别是，我们看到，一个诺特阿廷Schelter正则代数必须稳定诺特。此外，我们研究更一般的变化的稳定诺特属性的域扩张被限制到某一类型，例如纯超越扩张。
Algebras without noetherian filtrations
给出了不存在有限维过滤的Noether生成的Noether PI代数与Noether关联的分次环的例子，从而否定地回答了M.洛伦兹
The Dixmier-Moeglin equivalence for cocommutative Hopf algebras of finite Gelfand-Kirillov dimension
本文证明具有多项式有界增长的诺特余交换Hopf代数满足Dixmier-Moeglin等价性，并指出Lorenz的反例说明该假设不可去除，进而猜想该等价性对所有多项式有界增长的有限生成复诺特Hopf代数成立。
Noetherian enveloping algebras of simple graded Lie algebras
本文证明了单$\mathbb Z^n$-分级李代数的泛包络代数为Noetherian时该李代数必有限维。
Auslander's Theorem for group coactions on noetherian graded down-up algebras
证明了Auslander关于Noether分次降上代数上有限群相互作用的一个定理的一个版本。
Actions of Hopf-Ore Extensions of Group Algebras on Path Algebras of Quivers
本文分类群代数 Hopf-Ore 扩张在箭图路代数上的滤过 Hopf 作用，并将结果应用于 GK 维数一和二的 Noether 素 Hopf 代数等特例。
The prime spectrum of the Drinfeld double of the Jordan plane
本文的主题霍普夫代数$\mathcal{D}$可以被视为约旦平面玻色子化的德林菲尔德双解。完全确定了它的素谱和本原谱。作为一个推论，这种分析表明，$\mathcal{D}$满足Dixmier-Moeglin等价，导致制定的猜想的有效性，这等价的点诺特霍普夫代数。
Affine Noetherian algebras, filtrations and presentations
Resco和Small给出了仿射Noetherian代数的第一个例子，这是不完全的。证明了它们的代数不存在有限维滤子，而有限维滤子的分次代数是Noether的，从而证实了它们的预言.一个修改他们的例子产生可数领域的“几乎所有”（即一个共同可数连续）仿射诺特代数缺乏这样的过滤，并回答一个问题所提出的欧文和小的派生。
The classification of 3-dimensional noetherian cubic Calabi-Yau algebras
已知每一个1次生成的3维Noether Calabi-Yau代数都同构于超势的Jacobian代数。最近，S. P. Smith和第一作者对所有Jacobian代数是三维Noether二次Calabi-Yau代数的超势进行了分类。本文的主要结果是对所有Jacobian代数为三维Noether三次Calabi-Yau代数的超势进行了分类。作为应用，我们证明了：如果$S$是一个3维Noether三次Calabi-Yau代数，且$σ$是$S$的分次代数自同构，则除一个例外，$σ$的同调行列式可由公式$\operatorname{hdet} σ=(\operatorname{det} σ)^2$计算.
Report on $AS$-Gorenstein Hopf algebras
本文探讨了诺特霍普夫代数是否总是具有有限投射维数及相关良好同调性质的问题，总结了特定霍普夫代数类别的正向结果及其影响，并列出了大量开放问题。
(Hopf) Algebra Automorphisms of the Hopf algebra ${\check U}^{\geq 0}_{r,s}({\mathfrak sl_{3}})$
本文完全确定了双参数霍普夫代数${\check U}_{r,s}^{\geq 0}({\mathfrak sl_{3}})$的代数自同构群。由此也确定了$\V$的霍普夫代数自同构群.进一步刻画了子代数$U^{+}_{r,s}({\mathfrak sl_{3})}$的所有导子，并计算了它的一次Hochschild上同调群.
Golod-Shafarevich algebras, free subalgebras and Noetherian images
它表明，Golod-Shaferevich代数的数量减少的定义关系包含两个生成元的非交换自由子代数，这些代数可以同态映射到素，Noether代数线性增长。它还表明，Golod-Shafarevich代数的减少数量的关系不能为零。
Equationally Noetherian property of Ershov algebras
本文研究Ershov代数的方程Noether性和弱方程Noether性。本文给出了Ershov代数上方程组的两个标准形以及方程Noether性质和弱Noether性质的两个判据。
On quantum groups associated to non-Noetherian regular algebras of dimension 2
研究了作用在整体维数为2的Artin-Schelter正则代数A（n）上的泛量子线性群的同调性质和环论性质，特别是具有中心同调余行列式（或中心量子行列式）的泛量子线性群.如Zhang所分类的，代数A（n）是连通的\N -分次代数，它们由n个1次不确定数生成，服从一个二次关系.在同调余行列式的共同作用是平凡的情况下，我们表明，量子群的利益，独立定义的Manin和Dubois-Violette和Launer，是Artin-Schelter正则的整体维数为3，也斜Calabi-Yau（同调光滑的3维）。对于中心同调余行列式，证明了当对应的同调代数A（n）满足这些性质时，即当且仅当n=2时，量子群是Noether群，且具有有限的Gelfand-Kirillov维数.如果我们要求量子群是对合的，则对任意同调余行列式也有类似的结果。我们还建立了当这些量子群的Hopf分量也共同作用在A（n）上时是上交换的条件。
Hom-Lie-Hopf algebras
研究了一般$(α,β)$型Hom-霍普夫代数的双向量积和双叉积的构造。这使得我们可以考虑Hom-李代数的泛包络Hom-霍普夫代数，它是$(α,{\rm Id})$ -型的.证明了一对匹配的Hom-李代数的泛包络Hom-霍普夫代数构成一对匹配的Hom-霍普夫代数.我们还观察到，双向量积Hom-霍普夫代数的半对偶化是双叉积Hom-霍普夫代数.特别地，我们将这一结果应用于一对匹配的Hom-李代数的泛包络Hom-霍普夫代数，得到了Hom-李霍普夫代数.
Non-Noetherian generalized Heisenberg algebras
本文对吕仁才和赵开明[线性代数应用，2015年]。当多项式f的次数大于1时，我们确定了H（f）的所有局部有限导子和所有局部幂零导子，并刻画了这些代数的自同构群.
Noncommutative Images of Commutative Spectra
我们开始一个统一的，公理化的研究非交换代数R的素谱，在一个自然的方式，有限工会的交换诺特谱。我们的结果说明了如何这些交换谱可以功能性地“缝合在一起”，以形成Spec R。特别地，对于适当的交换诺特环Z，我们构造了一个双模确定函子Mod Z -> Mod R，由此导出一个有限到一的连续满射Spec Z -> Spec R.满足给定公理框架的代数包括域上生成的PI代数、Noether PI代数、复有限维可解李代数的包络代数、标准一般量子半单李群、量子仿射空间、量子化Weyl代数和n × n矩阵坐标环的标准一般量子化。在所有这些例子中（除了非n-生成的诺特PI代数），Z是在域上n-生成的，并且构造的谱映射限制于满射Max Z -> Prim R。
Rota-Baxter operators on cocommutative Hopf algebras and Hopf braces
本文研究了余交换Hopf代数上Rota-Baxter算子与Hopf brace及Yang-Baxter方程的关系，重点将其嵌入Rota-Baxter Hopf代数，并建立与双射1-cocycle及对称Hopf brace的联系。
A class of semisimple Hopf algebras acting on quantum polynomial algebras
构造了一类非交换、非余交换的$2n^2$维半单霍普夫代数代数，给出了定义这些霍普夫代数代数在量子多项式代数上的内部忠实作用的条件，从而提供了更多不通过群作用分解的半单霍普夫作用的例子.在一定条件下，我们还对量子平面上维数为$8$的Kac-Paljutkin霍普夫代数代数$H_8$的内忠实Hopf作用进行了分类.
Fundamental theorem of Poisson $(A,H)$-Hopf module for weak Hopf algebras
该研究将Poisson Hopf模基本定理推广至弱Hopf代数情形，同时推导了Poisson Hopf模范畴的相对投射性，拓展了相关代数结构理论的适用范围。
Partial Actions of a Hopf algebra on its base field and the corresponding partial smash product algebra
本研究引入λ-Hopf代数概念并证明所有Hopf代数均为λ-Hopf代数，提出Hopf代数在基域上部分作用的计算方法，还给出若干Hopf代数族的全部此类部分作用。
Duality and Rational Modules in Hopf Algebras over Commutative Rings
设$A$是交换环$R$上的代数.若$R$是Noether模，而$A^\circ$在$R^A$中是纯模，则有理左$A$ -模范畴与有理右$A^\circ$ -余模范畴是同构的.在霍普夫代数的情况下，我们也可以加强Blattner-Montgomery对偶定理。最后给出了$R^A$中$A^\circ$纯度的充分条件。
Noetherian properties of rings of differential operators of affine semigroup algebras
研究仿射半群代数的微分算子环的Noether性质。首先，我们表明，它总是正确的诺特。其次，利用半群与其得分闭包的差的性质，给出了微分算子环与另一个微分算子环反同构的一个条件。利用这一点，我们证明了当条件满足时，微分算子环是左Noether环。此外，我们还给出了微分算子环是左Noether环的其它一些条件.最后，我们猜想了微分算子环是左Noether环的充要条件。
Enveloping algebras of Krichever-Novikov algebras are not noetherian
这项工作是一个至关重要的问题的一部分，即无限维李代数的通用包络代数是否可能是诺特的。本文的主要结果是任何Krichever-Novikov代数的泛包络代数都不是Noether代数，推广了Sierra和Walton关于Witt（或经典Krichever-Novikov）代数的一个结果.作为一个独立的结果，我们证明了如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的有限余维的李子代数，则$U(\mathfrak{h})$的noetherian等价于$U(\mathfrak{g})$的noetherian.论文的第二部分研究了$W_{\geq -1} = \operatorname{Der}(\Bbbk[t])$的李子代数。特别地，我们证明了$W_{\geq -1}$的某些子代数（记为$L(f)$，其中$f \in \Bbbk[t]$）具有非Noether泛包络代数，并给出了$W_{\geq -1}$的子代数具有非Noether泛包络代数的一个充分条件.此外，我们取得了重大进展的分类$W_{\geq -1}$的子代数证明任何无限维子代数必须包含在一些$L(f)$在一个典型的方式。
Actions of Taft Algebras on Noetherian Down-Up Algebras
本文分类了Taft代数在Noetherian分次down-up代数上的作用，确定了不变环的交换性、Artin-Schelter正则与Gorenstein性质，并指出省略半单假设会使相关文献结论与猜想失效。
Weakly Noetherian Lie Algebra and the Sierra-Walton Conjecture
本文研究了弱Noether Lie代数的结构，并证明了其与Sierra-Walton猜想的关系，改进了Sierra和Walton的著名定理。
Algebras in which every subalgebra is noetherian
证明了椭圆曲线的无穷阶自同构的扭曲齐次坐标环具有奇异的性质，即每个子代数都是N-生成的和Noether的.因此，我们表明，一个通用的Skylanin代数的本地化具有相同的属性。
On central characteristic ideals and quasi-Noetherian Leibniz algebras
本文定义了 Leibniz 代数的中心特征理想并给出相关必要条件，同时引入拟诺特 Leibniz 代数类，探讨其封闭性并刻画诺特 Leibniz 代数。
Primitive ideals of noetherian generalized down-up algebras
对广义down-up代数的本原理想进行了分类
Monolithic modules over Noetherian Rings
研究了量子平面上单模本质扩张的有限性条件、量子化Weyl代数和Noether下-上代数。所得结果改进了[arXiv：0906.2930]中关于down-up代数的结果.
Calabi-Yau property under monoidal Morita-Takeuchi equivalence
设$H$和$L$是两个霍普夫代数，使得它们的余模范畴是monoidal等价的.证明了如果$H$是扭Calabi-Yau（CY）霍普夫代数，则当它是同调光滑的时，$L$是扭CY代数.特别地，如果$H$是一个Noether扭CY霍普夫代数，并且$L$具有有限的整体维数，则$L$是一个扭CY代数.
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