Matricial circular systems and random matrices
我们介绍和研究“矩阵循环系统”的运营商发挥的作用，矩阵对应的循环运营商。它们描述了独立块同分布高斯随机矩阵块关于部分迹的渐近联合 *-分布。利用这些算子，我们引入了“循环自由Meixner分布”作为自由Meixner分布的非Hermitian对应物，并为它们构造了一个随机矩阵模型。我们的方法是基于应用到希尔伯特空间上的算子的矩阵自由度的概念。它与应用于Hilbert A-双模上的算子的r × r对角矩阵代数A上的合并自由性密切相关。
2016-01-05 math.OA math.PR
Random doubly stochastic matrices: The circular law
令$X$是从大小为$n\times n$的双随机阵集合中均匀采样的矩阵。我们证明了归一化矩阵$\sqrt{n}(X-{\mathbf {E}}X)$的经验谱分布几乎必然收敛于圆律。这证实了Chatterjee，Diaconis和Sly的猜想。
2014-03-27 math.CO math.PR
Local Circular Law for Random Matrices
循环律证明了在没有对称性假设的情况下，重标随机矩阵特征值的谱测度收敛于单位圆盘上的一致测度。我们证明了这个法律的本地版本在任何点$z$远离单位圆。更准确地说，如果对于任意小的$τ> 0$，有$ | |z| - 1 | \ge τ$，则在矩阵项的分布满足均匀次指数衰减条件的假设下，对于任何$\e > 0$，循环定律在$z$周围直到$N^{-1/2+ \e}$都是有效的。
2013-12-04 math-ph math.MP math.PR
Spectrum of random centrosymmetric matrices; CLT and Circular law
本文研究随机中心对称矩阵的线性特征值统计量，证明其渐近服从正态分布，并给出方差精确表达式，同时论证极限谱分布遵循圆律。
2025-10-17 math-ph math.MP math.PR
From the Littlewood-Offord problem to the Circular Law: universality of the spectral distribution of random matrices
著名的\emph{circular law}断言，如果$M_n$是一个$n \times n$矩阵，且具有i id个均值为零且方差为单位的复数元素，则归一化矩阵$\frac{1}{\sqrt{n}} M_n$的经验谱分布（ESD）几乎必然收敛于单位圆盘$\{z \in \C: |z| \leq 1 \}$上的均匀分布.经过一长串的部分结果，验证了这一法律的附加假设下的分布的条目，最近成立的全循环法在\cite{TVcir2}。在这次调查中，我们描述了一些关键成分中使用的循环法的建立，特别是最近的进展，在理解的Littlewood-Offord问题及其逆。
2009-01-01 math.PR
Random matrices, continuous circular systems and the triangular operator
本文给出了一种希尔伯特空间方法来研究复独立高斯随机矩阵的极限联合 *-分布。为此，我们使用了一个适当定义的家庭创造和湮灭运营商生活在一些直接积分的希尔伯特空间。这些运营商分解的连续循环系统之间的纤维考虑希尔伯特空间直接积分的运营商。在具有i.i.d.的方阵的情况下，条目，我们得到的循环运营商Voiculescu，而在上三角形矩阵的情况下，i.i.d.项，我们得到了Dykema和Haagerup的三角算子。我们应用这种方法给出了一个公式的双射证明 * 矩的三角算子，使用计数公式的Chauve，Dulucq和Rechnizter交替有序有根树。
2018-06-25 math.OA math.PR
Optimal Bounds for Convergence of Expected Spectral Distributions to the Semi-Circular Law
令$\mathbf X=(X_{jk})_{j,k=1}^n$表示具有元素$X_{jk}$的厄米特随机矩阵，元素$X_{jk}$对于$1\le j\le k\le n$是独立的。我们考虑的速度收敛的经验谱分布函数的矩阵$\mathbf X$的半圆形法律假设${\mathbf E} X_{jk}=0$，${\mathbf E} X_{jk}^2=1$和$$ \sup_{n\ge1}\sup_{1\le j,k\le n}{\mathbf E}|X_{jk}|^4=:μ_4<\infty \quad \text{and} \sup_{1\le j,k\le n}|X_{jk}|\le D_0n^{\frac14}. $$通过递归的参数，它表明，Kolmogorov距离之间的预期谱分布的Wigner矩阵$\mathbf W=\frac1{\sqrt n}\mathbf X$和半圆形法律是为了$O(n^{-1})$。
2015-07-02 math.PR math.SP
Eigenvalue Statistics for CMV Matrices: From Poisson to Clock via Circular Beta Ensembles
本文研究了系数随机衰减的CMV矩阵（一种离散的一维Dirac型算子）。在温和的假设下，我们确定的本地特征值统计的自然缩放限制。对于快速减小的系数，特征值具有刚性间距（就像时钟上的数字）;在缓慢减小的情况下，特征值根据泊松过程分布。对于一定的临界衰变率，我们得到了随机矩阵理论的圆β系综。温度β^{-1}表示为耦合常数的平方。
2006-07-31 math-ph math.MP math.PR
The circular law for sparse non-Hermitian matrices
对于一类稀疏随机矩阵$A_n =(ξ_{i,j}δ_{i,j})_{i,j=1}^n$，其中$\{ξ_{i,j}\}$是独立同分布的。单位方差的中心次高斯随机变量，和$\{δ_{i,j}\}$是i.i.d.~ Bernoulli随机变量取值$1$，概率为$p_n$，证明了对所有的$p_n$，$A_n/\sqrt{np_n}$的经验谱分布依概率弱收敛于圆律，使得$p_n=ω({\log^2n}/{n})$ .此外，如果$p_n$满足不等式$np_n > \exp(c\sqrt{\log n})$，对于某个常数$c$，则上述收敛几乎必然成立。其关键是对实值稀疏随机矩阵的复移位的最小奇异值给出了一个新的界。循环律极限也推广到边连通概率为$p_n$的有向Erdens-Rényi图的邻接矩阵.
2018-06-12 math.PR
Circular law for non-Hermitian block band matrices with slowly growing bandwidth
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文研究非厄米随机块三对角矩阵的经验特征值分布，证明当带宽随维度缓慢增长时，其归一化经验谱分布几乎必然收敛到圆律，证实了带宽随维度增长时圆律成立的民间猜想。
2026-11-02 math.PR
Random normal matrices in the almost-circular regime
我们研究随机正规矩阵模型，其特征值往往分布在一个狭窄的“带”周围的单位圆的宽度成正比的$\frac1n$，其中$n$是矩阵的大小。对于一般的径向对称的潜力与各种边界条件，我们推导出的相关函数，其中一些出现在以前的文献中，特别是在上下文中的几乎厄米特随机矩阵的标度极限。我们还得到了系综的最大和最小模随边界条件的变化服从Gumbel律或指数律。
2021-12-21 math-ph math.MP math.PR
The circular law for random band matrices with arbitrary doubly stochastic variance profiles
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文改进了随机带矩阵圆形定律的带宽阈值，适用于任意双随机方差剖面，并推导了特征向量弱去局域化估计。
2026-10-14 math.PR
Universality and the circular law for sparse random matrices
普适性现象是指独立同分布随机矩阵的特征值的分布。零均值、单位方差项不依赖于随机项的基础结构。例如，一个随机符号矩阵的特征值图，其中每个元素是+1或-1的概率相等，看起来与一个随机矩阵的特征值图相同，其中每个元素是具有零均值和单位方差的复高斯。本文证明了稀疏随机n × n矩阵的一个普适性结果，其中每个元素以概率$1/n^{1-α}$为非零，其中$0<α\le1$为任意常数.稀疏普适性原理的一个结果是，只要元素具有零均值和单位方差，循环定律就适用于稀疏随机矩阵，这是迄今为止稀疏随机矩阵的最一般结果。
2012-10-10 math.PR
Circular law for random matrices with unconditional log-concave distribution
我们探讨了循环律对非独立同分布随机矩阵的有效性。条目设A是一个随机n \times n实矩阵，其随机向量在R^{n^2}中具有一个对数凹迷向无条件律.特别是，条目是不相关的，并且具有零均值和单位方差的对称定律。这允许条目之间的一些依赖性和非等分布，同时保持i.i.d.的特殊情况。标准高斯输入我们的主要结果是：当n趋于无穷大时，n^{-1/2}A的经验谱分布在复平面的单位圆上趋于一致规律.
2013-03-23 math.FA math.PR
Circular Law for Random Block Band Matrices with Genuinely Sublinear Bandwidth
证明了一类具有真次线性带宽的非厄米特随机块带状矩阵的循环律。也就是说，我们表明存在$τ\in (0,1)$，使如果矩阵$X$的带宽至少是$n^{1-τ}$和非零的条目是iid随机变量的平均值为零，略多于四个有限的时刻，然后有限的经验特征值分布的$X$，适当规范化时，收敛于概率的均匀分布在单位磁盘上的复平面。关键技术结果是具有真正次线性带宽的移位随机带状块矩阵的最小奇异值界，这改进了Cook在带状矩阵设置下的结果。
2021-07-15 math-ph math.MP math.PR
Rate of Convergence to the Circular Law via Smoothing Inequalities for Log-Potentials
本文研究了具有独立元素的非厄米特随机矩阵的经验谱分布与循环律的Kolmogorov距离。最佳收敛速率由Ginibre系综确定，并由$n^{-1/2}$给出。示出了复测度的平滑不等式，定量地将均匀Kolmogorov样距离与对数势的浓度联系起来。结合局部循环律的结果，证明了在Kolmogorov距离下循环律的近最优收敛速率。此外，我们还证明了同样的收敛速率适用于Weyl随机多项式根的经验测度。
2021-04-09 math.PR
The circular law for non-Hermitian random band matrices: optimal bandwidth, periodic profile and discrete law
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文针对非厄米随机带矩阵，在最优带宽阈值W_N≫log N及相关假设下，证明了周期模型等几类模型的圆律，完善了该领域的收敛性结果。
2026-09-09 math.PR
The sparse circular law under minimal assumptions
循环律认为，适当归一化的$n\times n$矩阵的特征值的经验分布具有i.i.d.当维数$n$增长到无穷大时，条目收敛到单位圆盘上的均匀测度。考虑$n\times n$矩阵$A_n=(δ_{ij}^{(n)}ξ_{ij}^{(n)})$，其中$ξ_{ij}^{(n)}$是单位方差的实随机变量的拷贝，变量$δ_{ij}^{(n)}$是具有${\mathbb P}\{δ_{ij}^{(n)}=1\}=p_n$的伯努利（$0/1$），并且$δ_{ij}^{(n)}$和$ξ_{ij}^{(n)}$、$i,j\in[n]$是联合独立的。为了使循环定律对序列$\big(\frac{1}{\sqrt{p_n n}}A_n\big)$成立，必须假设$p_n n\to \infty$。我们在这个最小假设下导出了循环律。
2019-03-03 math.PR
Jacobians and rank 1 perturbations relating to unitary Hessenberg matrices
在最近的工作Killip和Nenciu给随机递归的特征多项式的某些酉和真正的正交上Hessenberg矩阵。相应的特征值p.d.f.是典型群的β-推广。左开放是直接计算某些雅可比。我们提供所寻求的直接计算。此外，我们展示了如何乘法秩1扰动的酉Hessenberg矩阵提供了一个联合本征值p.d.f推广的圆形β-合奏，我们展示了这个联合密度是如何与已知的循环合奏之间的相互关系。将联合密度投影到实数线上导致根据圆形雅可比β系综分布的具有零的多项式的随机三项递归的推导。
2005-05-25 math.PR
Circular law for non-central random matrices
设$(X_{jk})_{j,k\geq 1}$是i.i.d.的无限数组。复杂随机变量，均值为0，方差为1。令$\la_{n,1},...,\la_{n,n}$是$(\frac{1}{\sqrt{n}}X_{jk})_{1\leq j,k\leq n}$的特征值。强循环律定理指出，在概率为1的情况下，经验谱分布$\frac{1}{n}(\de_{\la_{n,1}}+...+\de_{\la_{n,n}})$弱收敛为单位圆$\{z\in\dC;|z|\leq1\}$上的均匀律$n\to\infty$。在这个简短的说明中，我们提供了一个基本的参数，允许添加一个确定性矩阵$M$到$(X_{jk})_{1\leq j,k\leq n}$，如果$\mathrm{Tr}(MM^*)=O(n^2)$和$\mathrm{rank}(M)=O(n^\al)$与$\al<1$。方便的是，这个论证类似于维格纳定理和马琴科-帕斯托尔定理的非中心版本。
2010-05-31 math.PR
Free convolution with a semi-circular distribution and eigenvalues of spiked deformations of Wigner matrices
研究了维数趋于无穷大时Wigner矩阵尖峰扰动特征值的渐近行为。埃尔米特维格纳矩阵的元素具有对称的分布，并且满足庞加莱不等式。扰动矩阵是一个确定性的Hermite矩阵，其谱测度收敛于具有紧支集的某个概率测度。我们假设，这个扰动矩阵有一个固定数量的固定特征值（尖峰）的支持外，其限制谱测度，而其他特征值之间的距离，这个支持一致地走向零的尺寸走向无穷大。我们建立，只有一个特定的子集的尖峰将产生一些变形模型的特征值，将收敛到一些限制点的支持外的限制谱测度。这一现象可以用自由概率来描述，其中包含与扰动矩阵的极限谱测度的加性自由卷积相关的隶属函数，该自由概率为半圆分布。注意，到目前为止，只考虑了有限秩扰动（即使在变形GUE的情况下）。
2011-09-16 math.PR
The circular law for non-Hermitian random band matrices up to bandwidth $N^{2/3+c}$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文证明了非厄米随机带状矩阵在带宽 $N^{2/3+c}$ 及更宽条件下的圆律，覆盖双随机方差分布与周期标量条带，无需下方差界或密度假设，通过粗奇异值计数等方法实现。
2026-09-15 math.PR
Around the circular law
这些简要的说明是围绕着循环定律定理，它指出，经验谱分布的n × n随机矩阵的i.i.d.当维数$n$趋于无穷大时，方差为1/n的项在复平面的单位圆盘上趋于一致律。这种现象是Wigner随机埃尔米特矩阵的半圆极限和Marchenko-Pastur随机协方差阵的四分之一圆极限的非Hermitian对应。我们提出了一个证明在高斯的情况下，由于西尔弗斯坦，根据Ginibre的公式，并证明了普遍的情况下，通过重温的方法陶和Vu，基于Hermitization的Girko，对数势，和控制的小奇异值。除了有限方差模型，我们还考虑了条目有重尾的情况下，通过使用从随机组合优化借用的Aldous和Steele的客观方法。极限定律不再是循环定律，而是与泊松加权无限树有关。在弱假设条件下，利用渐近几何分析工具，给出了最小奇异值的弱控制。我们也发展了一个从物理学文献中借来的四元数柯西-斯蒂尔切斯变换。
2012-03-13 math-ph math.MP math.PR
The Wasserstein distance to the Circular Law
研究了非厄米特随机矩阵的经验谱分布与圆律之间的Wasserstein距离。对于一般的项分布，我们得到了一个近似最优的$n^{-1/2+ε}$阶1-Wasserstein距离收敛速率，并证明了最优收敛速度$n^{-1/2}$是由Ginibre矩阵得到的.这表明，与i.i.d.相比，复特征值到单位圆盘上的均匀测度的期望传输成本衰减得更快。点，这是已知的，包括对数因子。
2022-10-28 math.PR
On Local laws for non-Hermitian random matrices and their products
本文的目的是证明非Hermite随机矩阵的循环律的一个局部形式，并在弱矩条件下将其推广到非Hermite随机矩阵的乘积。更精确地，我们假设非厄米特随机矩阵${\bf X}^{(q)}, 1 \le j,k \le n, q = 1, \ldots, m, m \geq 1$的项$X_{jk}^{(q)}$是i.i.d.静脉注射$\mathbb E X_{jk} =0, \mathbb E X_{jk}^2 = 1$和$\mathbb E |X_{jk}|^{4+δ} < \infty$，以治疗某些$δ> 0$。结果表明，局部律在最优尺度$n^{-1+2a}, a > 0$上，直到某个对数因子都成立。我们进一步发展了Stein型方法来估计极限分布的斯蒂尔切斯变换方程的扰动。我们还推广了最近的结果[Bourgeon-Yau-Yin，2014]，[Tao-Vu，2015]和[Nemish，2017]。对非独立同分布情况的扩展。参赛作品进行了讨论。
2018-12-07 math.PR math.SP
Local circular law for the product of a deterministic matrix with a random matrix
重标平方非厄米随机矩阵特征值的谱测度满足循环律。我们考虑产品$TX$，其中$T$是一个确定性的$N\times M$矩阵和$X$是一个随机的$M\times N$矩阵与独立的项目具有零均值和方差$(N\wedge M)^{-1}$。我们证明了一个一般的本地循环法的经验谱分布（ESD）的$TX$在任何点$z$远离单位圆的假设下，$N\sim M$，和矩阵元素$X_{ij}$有足够高的时刻。更准确地说，如果$z$满足$||z|-1|\ge τ$，对于任意小的$τ>0$，$TX$的ESD收敛到$\tilde χ_{\mathbb D}(z) dA(z)$，其中$\tilde χ_{\mathbb D}$是由$T$的奇异值确定的旋转不变函数，$dA$表示$\mathbb C$上的勒贝格测度。局部循环定律在$z$周围直到$(N\wedge M)^{-1/4+ε}$尺度对任何$ε>0$都是有效的。此外，如果$|z|>1$或$X$的矩阵项具有消失的三阶矩，则对于任何$ε>0$，局部循环定律在$z$周围直到尺度$(N\wedge M)^{-1/2+ε}$都是有效的。
2016-06-05 math.PR
Elliptic law for real random matrices
本文研究了具有独立同分布向量$(X_{ij}, X_{ji})_{i \neq j}$的随机矩阵$\X_n$的系综。在矩阵元素四阶矩有限的假设下，证明了特征值的经验谱分布依概率收敛于椭圆上的均匀分布。椭圆的轴由$X_{12}$和$X_{21}$之间的相关性确定。这个结果被称为椭圆律。极限分布不依赖于矩阵元素的分布，在此意义下的结果具有普适性。
2012-08-05 math.PR math.SP
Circular law, Extreme Singular values and Potential theory
考虑复随机$n\times n$矩阵的经验谱分布，其元素为独立同分布的随机变量，均值为零，方差为$1/n$ .本文应用复平面上的位势论，通过对极值奇异值的分析，证明了在矩阵元的有限四阶矩假设下，该分布以概率1收敛于复平面上单位圆盘上的均匀分布，即著名的圆律.
2007-06-09 math.CV math.PR
Limiting Spectral Radii of Circular Unitary Matrices under Light Truncation
考虑截断的循环酉矩阵，其是在删除最后的$n-p_n$列和行之后的$n$乘$n$循环酉矩阵的$p_n$乘$p_n$子矩阵。Jiang和Qi \cite{JiangQi2017}以及Gui和Qi \cite{GQ2018}研究了截断矩阵特征值的最大绝对值（称为谱半径）的极限分布。在下列条件下，得到了截断圆酉矩阵谱半径的极限分布：（1）. $p_n/n$与$0$和$1$有界;（2）. $p_n\to\infty$和作为$n\to\infty$的$p_n/n\to 0$;（3）. $(n-p_n)/n\to 0$和作为$n\to\infty$的$(n-p_n)/(\log n)^3\to\infty$;（4）. $n-p_n\to\infty$和作为$n\to\infty$的$(n-p_n)/\log n\to 0$;和（5）. $n-p_n=k\ge 1$是固定整数。在前四个条件下，谱半径在分布上收敛于Gumbel分布，在第五个条件下，谱半径在分布上收敛于反向Weibull分布。显然，上述条件不包括$n-p_n$的顺序介于$\log n$和$(\log n)^3$之间的情况。在本文中，我们证明了在这种情况下，谱半径的分布收敛到Gumbel分布，以及由桂和齐\cite{GQ2018}证明。
2020-08-23 math.PR
Local inhomogeneous circular law
我们考虑大型随机矩阵$X$的中心，独立的项目，具有可比的，但不一定相同的方差。Girko的循环定律断言，光谱在圆盘中是支持的，并且在相同方差的情况下，极限密度是均匀的。在这种特殊的情况下，布尔歇的局部循环律。等人[11，12]表明，经验密度甚至在略高于典型特征值间距的尺度上局部收敛。在一般情况下，极限密度通常是不均匀的，它是通过求解确定性方程组获得的。我们的主要结果是局部非均匀的圆形法律在最佳尺度的整体频谱一般方差轮廓的条目$X$。
2017-04-13 math-ph math.MP math.PR
Circular law for random discrete matrices of given row sum
令$M_n$是大小为$n\times n$的随机矩阵，并且令$λ_1,...,λ_n$是$M_n$的特征值。随机矩阵理论中的循环律定理认为，如果$M_n$的元素是独立同分布的，则$M_n$的经验谱分布$μ_{M_n}$被定义为$$μ_{M_n}(s,t)=\frac{1}{n}# \{k\le n, \Re(λ_k)\le s; \Im(λ_k)\le t\}.$$。的随机变量的副本与均值为零和方差$σ^2$，则经验谱分布的归一化矩阵$\frac{1}{σ\sqrt{n}}M_n$的$M_n$几乎肯定收敛到均匀分布$μ_\cir$在单位磁盘$n$趋于无穷大。本文证明了$M_n$的正规化矩阵的经验谱分布也服从循环律。$M_n$是一个随机矩阵，它的行是给定行和$s$的独立随机$(-1,1)$向量，其中某个固定整数$s$满足$|s|\le (1-o(1))n$。关键成分是一个新的多项式估计的最小奇异值的$M_n$。
2012-03-27 math.CO math.PR
The circular law for random regular digraphs
对于充分大的常数$C>0$，设$\log^Cn\le d\le n/2$，$A_n$表示均匀随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵.我们证明，$n$趋于无穷大，经验谱分布的$A_n$，适当重新缩放，是由圆形定律。关键的一步是获得$A_n$的加性扰动的最小奇异值的定量下界。
2017-08-07 math.CO math.PR
Limit operators for circular ensembles
已知酉矩阵可以被分解为反射的乘积，每个维度一个反射，并且酉群上的Haar测度推进到反射上的独立一致测度。本文考虑由随机反射的逐次乘积给出的酉矩阵序列。在这种耦合中，我们表明，权力的序列矩阵收敛在一个适当的意义上的操作流的随机向量空间。向量空间具有作为复数序列空间的子空间的明确描述。矩阵的特征值几乎必然收敛于流的特征值，而流的特征值按照正弦核点过程的规律分布。矩阵的特征向量几乎必然收敛于可数集上按高斯随机场规律分布的向量。该流程给出了随机算子的第一个例子，该随机算子具有根据正弦核点过程分布的谱，该正弦核过程自然地从有限维随机矩阵理论构造。
2014-09-09 math.PR
Spectral Radii of Truncated Circular Unitary Matrices
考虑截断的循环酉矩阵，其是通过删除最后$n-p_n$列和行的$n$ × $n$循环酉矩阵的$p_n$ × $p_n$子矩阵。Jiang和Qi（2017）证明，如果$p_n/n$与$0$和$1$有界，则截断矩阵的特征值（称为谱半径）的最大绝对值在适当归一化后在分布上收敛于Gumbel分布。本文研究了在下列四种条件之一下谱半径的极限分布：（1）。$p_n\to\infty$和作为$n\to\infty$的$p_n/n\to 0$;（2）. $(n-p_n)/n\to 0$和$(n-p_n)/(\log n)^3\to\infty$作为$n\to\infty$ ;（3）. $n-p_n\to\infty$和$(n-p_n)/\log n\to 0$作为$n\to\infty$和（4）。$n-p_n=k\ge 1$是固定整数。我们证明了谱半径在前三个条件下按分布收敛于Gumbel分布，在第四个条件下按分布收敛于逆Weibull分布。
2017-09-16 math.PR math.ST stat.TH
The local circular law II: the edge case
在本文的第一部分中，我们证明了一个局部形式的循环律，直到最细尺度$N^{-1/2+ \e}$，对于非厄米特随机矩阵在任何点$z \in \C$，对于任何$c>0$，都有$||z| - 1| > c $，与矩阵的大小无关。在矩阵元素的前三阶矩与标准高斯随机变量的前三阶矩匹配的主要假设下，我们将这一结果扩展到包括边缘情况$ |z|-1=\oo(1)$。没有消失的三阶矩假设，我们证明了循环法是有效的频谱边缘附近$ |z|-1=\oo(1)$规模$N^{-1/4+ \e}$。
2013-12-04 math-ph math.MP math.PR
The Local Circular Law III: General Case
在第一部分，这篇文章系列，Bournard，游和作者的这篇文章证明了一个本地版本的循环法最精细的规模$N^{-1/2+ \e}$为非厄米随机矩阵在任何点$z \in \C$与$||z| - 1| > c $为任何$c>0$独立的大小矩阵。在第二部分中，他们在矩阵元素的三阶矩为零的主要假设下，将这一结果扩展到包括边缘情况$ |z|-1=\oo(1)$。（在没有消失的三阶矩假设的情况下，他们证明了循环定律在$ |z|-1=\oo(1)$的光谱边缘附近有效，直到尺度$N^{-1/4+ \e}$。）在本文中，我们将删除这一假设，即我们证明了一个本地版本的圆形法律的最精细的规模$N^{-1/2+ \e}$的非厄米特随机矩阵在任何点$z \in \C$。
2013-05-02 math-ph math.MP math.PR
Circular law for sparse random regular digraphs
固定一个常数$C\geq 1$，让$d=d(n)$对每个大整数$n$都满足$d\leq \ln^{C} n$。用$A_n$表示均匀随机有向$d$-正则图在$n$顶点上的邻接矩阵.我们证明了，只要$d\to\infty$与$n$，经验谱分布的适当重新标度矩阵$A_n$的概率弱收敛到循环律。这一结果与Cook的一个较早的工作一起，完全解决了经验分布在有向$d$-正则背景下的弱收敛问题.作为我们的证明的一个关键因素，我们开发了一种技术，绑定中间奇异值的$A_n$的基础上研究随机法线行空间和构建一个产品结构，以处理矩阵条目之间缺乏独立性。
2018-01-21 math.PR
Deviations from the Circular Law
考虑$N \times N$非厄米特随机矩阵的Ginibre系综，其中所有元素都是均值为零和方差为$\frac{1}{N}$的独立复高斯。作为$N \uparrow \infty$，特征值的归一化计数测度收敛于复平面上单位圆盘上的一致测度。在本说明中，我们描述了关于这个{ \em循环定律}的涨落。首先，我们得到有限的$N$公式的某些线性统计量的特征值的协方差。这些对象的渐近性加上一个定理的Costin和Lebowitz然后导致中心极限定理的各种这些统计。
2003-12-01 math-ph math.MP math.PR
Spectral distributions of adjacency and Laplacian matrices of random graphs
本文研究了随机图的邻接矩阵和Laplacian矩阵的谱性质。我们证明：（i）邻接矩阵和Laplacian矩阵的谱范数和最大特征值的大数定律，（ii）在进一步的独立条件下，Laplacian矩阵的正规化最大特征值几乎必然在紧区间稠密;（三）拉普拉斯矩阵特征值的经验分布弱收敛于标准高斯分布的自由卷积，（4）邻接矩阵特征值的经验分布弱收敛于Wigner半圆律。
2010-11-11 math.PR
Optimal bounds for convergence of expected spectral distributions to the semi-circular law for the $4+ε$ moment ensemble
本文扩展了作者（arXiv：1405.7820[math.PR]）的阶数$O(n^{-1})$的上界，使Wigner随机矩阵系综的期望谱分布在Kolmogorov距离上收敛速率达到半圆律。在这里，我们放松的时刻条件的维格纳矩阵的项目从订单$8$到订单$4+ ε$为任意小的$ε>0$。
2015-11-11 math.PR
On stability of outliers from the circular law
Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, École Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（夏尔·洛朗·施瓦茨数学中心，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）
研究非厄米随机矩阵中异常值特征向量重叠的收敛性，证明条件异常值与扰动异常值几乎必然收敛到依赖于半径和状态的常数。
2026-06-16 math.PR
A revisit of the circular law
本文在更一般的 Lindeberg 条件下证明了圆律依然成立，通过建立一般强大数定律和随机矩阵最小特征值积分的一致上界，显著简化和澄清了圆律的证明过程。
2024-08-24 math.PR
Local law for eigenvalues of random Hermitian matrices with external source
本文证明了具有外部源$W_n=\frac{1}{n}X_n+A_n$的随机埃尔米特矩阵特征值的一个局部律，其中$X_n$是Wigner矩阵，$A_n$是对角矩阵，其对角线上只有两个值$a, -a$.局部律是证明该随机矩阵模型普适性猜想的重要步骤。
2013-10-19 math.PR
Inhomogeneous Circular Law for Correlated Matrices
我们考虑非厄米特随机矩阵$X \in \mathbb{C}^{n \times n}$一般衰减相关性之间的项目。对于大的$n$，经验谱分布很好地近似由确定性密度，表示在两个耦合的非线性$n \times n$矩阵方程的系统的解决方案。这个密度被解释为非交换概率空间上具有矩阵系数的自由圆形元素的线性组合的布朗测度。它是径向对称的，在径向变量中是实解析的，并且在复平面中围绕原点的圆盘上是严格正的，在边缘处不连续地下降到零。圆盘的半径是根据$X$的项的协方差明确给出的。我们收敛到局部谱尺度略高于典型的特征值间距与最佳的收敛速率。
2021-02-24 math-ph math.FA math.MP
The circular law for random regular digraphs with random edge weights
考虑随机$n\times n$矩阵的形式为$Y_n=\frac1{\sqrt{d}}A_n\circ X_n$，其中$A_n$是均匀随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵，对于某些固定的$p \in (0,1)$，$X_n$具有$d=\lfloor p n\rfloor$，$n\times n$是具有单位方差和有限$4+η$阶矩的id中心随机变量的$n\times n$矩阵（这里$\circ$表示矩阵Hadamard乘积）.我们证明了作为$n\to \infty$，$Y_n$的经验谱分布在概率上弱收敛于单位圆盘上的归一化勒贝格测度.
2017-09-08 math.PR
Fluctuation Around the Circular Law for Random Matrices with Real Entries
本研究将复元素非埃尔米特矩阵线性特征值统计量的中心极限定理结果推广到实元素情形，通过分析弱相关戴森布朗运动证明结论，揭示实矩阵谱特性带来的期望、方差差异及相关结构的非平凡性。
2024-01-31 math-ph math.MP math.PR
On the concentration of random multilinear forms and the universality of random block matrices
循环定律断言，如果$X_n$是一个$n \times n$矩阵，其iid复数元素的均值为零，方差为单位，则当$n$趋于无穷大时，$\frac{1}{\sqrt{n}} X_n$的经验谱分布几乎必然收敛于单位圆盘上的均匀分布。本文利用Tao的一个问题，证明了一类随机相依分块矩阵的循环律。证明依赖于线性算子和多重线性型的浓度的逆型结果。
2014-05-15 math.PR
A note on the Marchenko-Pastur law for a class of random matrices with dependent entries
本文考虑了一类实相依随机矩阵，证明了其极限经验谱分布由Marchenko-Pastur定律给出.此外，我们建立了预期的经验谱分布收敛速率。
2012-07-16 math.PR
Random matrices: Law of the iterated logarithm
随机矩阵理论中包含许多中心极限定理。我们有中心极限定理的特征值统计，对数行列式和对数永久，限制分布的个别特征值的散装，和许多其他的。在本文中，我们讨论以下问题：是否有可能证明重对数律？我们说明了这种可能性表明，这确实是随机伯努利矩阵的永久性的日志的情况下，并提出有关其他几个矩阵参数的公开问题。
2016-05-24 math.PR
The spectral laws of Hermitian block-matrices with large random blocks
本文主要研究具有高维Wigner块的固定维Hermite块矩阵的极限谱测度。我们还将确定当厄米块结构是循环时的极限谱测度。利用Hermitian循环块矩阵的极限谱测度，证明了具有$k-$弱相依项的Wigner矩阵的谱测度在极限下不一定是循环律.
2007-04-22 math.PR
On the semicircular law of large dimensional random quaternion matrices
众所周知，高斯辛系综（GSE）定义在具有高斯随机元的$n\times n$四元数自对偶埃尔米特矩阵空间上.关于这类矩阵有大量的文献。作为一个自然的想法，我们希望通过去除高斯条件得到更普遍的结果。第一步，本文证明了一般四元数自对偶埃尔米特矩阵的经验谱分布趋于半圆律。作为引理，给出了建立泛结果的主要工具。
2015-03-13 math.PR
Block-modified Wishart matrices and free Poisson laws
研究了$\tilde{W}=(id\otimesφ)W$型随机矩阵，其中$W$是参数为$(dn,dm)$的复Wishart矩阵，$φ:M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C)$是自伴线性映射.我们证明了，在适当的假设下，我们有$d\to\infty$本征值分布公式$δm\tilde{W}\simπ_{mnρ}\boxtimesν$，其中$ρ$是$φ$的规律，视为一个方阵，$π$是自由泊松定律，$ν$是$D=φ(1)$的规律，和$δ=tr(D)$。
2012-10-02 math.PR
Rate of Convergence of the Empirical Spectral Distribution Function to the Semi-Circular Law
令$\mathbf X=(X_{jk})_{j,k=1}^n$表示具有元素$X_{jk}$的厄米特随机矩阵，元素$X_{jk}$对于$1\le j\le k\le n$是独立的。我们考虑矩阵$\mathbf W=\frac1{\sqrt n}\mathbf X$的经验谱分布函数收敛到半圆律的速度，假设$\mathbf E X_{jk}=0$，$\mathbf E X_{jk}^2=1$和一致有界的八阶矩.通过递推论证，证明了Wigner矩阵$\mathbf W$的经验谱分布与半圆律之间的Kolmogorov距离具有高概率的$O(n^{-1}\log^{5}n)$阶.
2015-02-08 math-ph math.MP math.PR
Universality laws for random matrices via exchangeable counterparts
Department of Computing and Mathematical Science, Caltech（加州理工学院计算与数学科学系）
本文通过可交换对应关系方法，给出了随机矩阵普遍定律的更简单证明，展示了独立随机矩阵之和与高斯随机矩阵的谱统计一致性。
2026-03-09 math.PR
