Explicit Helfgott type growth in free products and in limit groups
我们采用Safin关于自由群中集合的幂的结果来得到自由积的Helfgott型增长：如果A是两个任意群的自由积的任意有限子集，则要么A共轭到其中一个因子中，要么A的三重积AAA的大小至少是|A|的平方的1/7776倍，要么A生成无限循环或无限二面体群.我们还指出，若A是极限群的任意有限子集，则除非A生成自由阿尔贝群，否则|AAA|满足上述不等式.这产生了许多无限群G，其中存在c>0和d=1，使得G的任何有限子集A具有这样的性质，即|AAA|至少是c次（|A|的1+d次幂），或者它生成一个虚拟幂零群。
2011-09-27 math.CO math.GR
Product mixing in the alternating group
证明了交错群的单边乘积混合定理：给定密度集$α,β,γ$满足$\min(αβ,αγ,βγ)\gg n^{-1}(\log n)^7$的子集$X,Y,Z \subset A_n$，至少存在$xy=z$的$ (1+o(1))αβγ|A_n|^2$解满足$x\in X, y\in Y, z\in Z$ .一个结果是，$A_n$的最大无产物子集具有至多$n^{-1/2}(\log n)^{7/2}$的密度，这最好可能达到100 ms，并且由于Gowers而改进了$n^{-1/3}$的最佳先前界限。主要的工具是傅立叶分析约减指出埃利斯和绿色的一个问题只是关于标准的表示，Brascamp-Lieb型不等式的对称群由于卡伦，Lieb和损失，和浓度的措施结果重排的内积。
2017-02-11 math.CO math.GR
The structure and density of $k$-product-free sets in the free semigroup
本文研究自由半群中k-乘积自由集的密度上界与极值结构，证明其上Banach密度至多1/ρ(k)，并确定多数k值下的极值结构及强k-乘积自由集的最大密度结构，同时将结果推广到自由群并证实相关猜想。
2023-07-07 math.CO math.GR
Products of normal subsets and derangements
近年来，有限群的子集的积，特别是有限单群的子集的积的研究取得了重大进展。在本文中，我们考虑有限单群$G$的哪些族具有这样的性质：对于每个$ε> 0$，存在$N > 0$使得，如果$|G| \ge N$和$S, T$是$G$的正规子集，每个正规子集至少有$ε|G|$元素，则$G$的每个非平凡元素都是$S$的一个元素与$T$的一个元素的乘积.我们表明，这在很强的意义上持有有限的简单群的李型有界秩，而它不持有交替组或组的形式${\mathrm{PSL}}_n(q)$其中$q$是固定的和$n$趋于无穷大。我们的第二个主要结果是，在一个足够大的有限单群的传递置换表示的任何元素是两个错位的产品。
2020-07-15 math.GR
Quasirandom groups
Babai和Sós问是否存在一个常数c>0，使得每个有限群G都有一个大小至少为c |G|的无积子集：也就是说，一个不包含三个元素x，y和z且xy=z的子集X。在本文中，我们证明了答案是否定的。此外，我们给出了一个简单的充分条件，一个群没有任何大的产品自由的子集。
2007-10-20 math.CO math.GR
Product decompositions in finite simple groups
提出了有限单群分解为任意子集的共轭积的一般猜想。我们证明了这个猜想的任意有限单群的有界子集，并为大子集的李型群的有界秩。我们的一些论点适用于最近的进展理论的增长有限单群的李型，并提供了各种新的产品分解这些群体。
2011-07-07 math.GR
Global Product Intersection Sets in Semigroups
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了半群中乘积交集的性质，证明了当Q的大小大于等于2时，任何包含1的子集均可作为乘积交集出现，解决了Nathanson提出的问题。
2026-04-27 math.CO math.GR math.NT
Factors in infinite groups
该研究证明了每个无限群都是不稳定的，通过图论方法展示了存在某些子集使得最大直积子集的基数不一致，反驳了Kourovka笔记中的问题21.58。
2026-02-26 math.CO math.GR
Characterizing meager paratopological groups
证明了Hausdorff仿拓扑群G是稀疏群当且仅当存在G的无处稠密子集A和G的可数子集C使得CA=G=AC.
2015-10-31 math.GN math.GR
Problems and results on intersections of product sets and sumsets in semigroups
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（城市大学系统））
研究半群中乘积集与和集交集的性质，探讨乘积交集集H(A_q)的结构与特性。
2026-04-10 math.CO math.GR math.NT
On compactifications and product-free sets
一个群的子集称为无积群，如果它不包含满足方程$xy=z$的三个元素。本文用模型论的方法对Babai和Sós关于大无积集存在性的一个问题给出了否定的回答。这个问题最初由Gowers回答。此外，我们给出了一个自然的和充分的模型理论条件的一组有一个大的产品自由的子集，以及一个模型理论帐户的结果Nikolov和Pyber的三重产品。
2019-03-04 math.CO math.GR math.LO
On the rational subset problem for groups
我们利用语言理论研究群和么半群的有理子集问题。我们证明了这个问题的可判定性在有限棱道群的群图结构下是保持的。特别是，它通过自由积合并在有限子群和HNN扩展有限关联子群。我们提供了一个简单的证明Grunschlag的结果表明，这个问题的可判定性是一个虚拟的财产。进一步证明了群G与么半群M的直积是可判定的当且仅当M的G-自动机子集的成员一致可判定。由此可见，自由群与任意阿贝尔群或交换幺半群的直积具有可判定的有理子集成员。
2006-02-21 math.GR
Product sets in sets of returns and positivity of symmetric ergodic averages
该研究推广了Bergelson等人的结果，证明可和群中足够大的集合包含满足乘积集关系的大子集，还针对有限生成幂零群建立了多项式类似结果。
2026-11-05 math.CO math.DS math.GR
Transitivity in wreath products with symmetric groups
Paderborn University（帕德博恩大学）
研究wreath积G Wr S_n中有限阿贝尔群G的传递子集结构，利用特征理论和关联方案分析，推广Livingstone-Wagner定理，并与正交多项式联系，扩展对称群S_n的研究。
2026-04-21 math.CO math.GR math.RT
On Closed Subsets of Free Groups
本文给出了自由群的一个生成子群和一个在自由群的profinite拓扑中闭的子集的两个例子，使得它们的乘积在自由群的profinite拓扑中不闭。
2017-09-19 math.GR
Quasi-isometric rigidity for random subsets in products of trees
School of Mathematical Sciences & Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学科学学院与北京国际数学研究中心）；School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；Department of Mathematics, University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文证明了从两棵正则树的乘积空间中的随机子集到其自身的拟等距嵌入的刚性结果，推广了Eskin的高秩非均匀格点的拟等距刚性，并描述了随机样本的自拟等距嵌入，同时证明两个独立样本几乎必然非拟等距。
2026-06-03 math.GR math.MG math.PR
Products of conjugacy classes in simple algebraic groups in terms of diagrams
对于代数闭域上的单代数群$G$，研究正规子集的乘积。为此，我们标记$G$的Dynkin图的节点。我们使用两种类型的标签，二进制标记和非负整数的标签。第一个是用来识别大共轭类出现在两个共轭类的产品，而第二个是用来跟踪经常图的多重性。特别是，我们制定充分条件的标记图，产品的正常子集在$G$包含定期半单元。
2023-03-30 math.GR
Products of subsets of group that equal the group
本文围绕有限群上概率卷积收敛至均匀分布的支撑集条件展开，研究群的非空子集乘积等于整个群的判定条件，补充了群论与概率交叉领域的相关结论。
2024-02-01 math.GR math.PR
On Whitehead's first free-group algorithm, cutvertices, and free-product factorizations
设$F$是任意有限秩自由群，$R$是$\{g, [g]: g \in F-\{1\}\}$的任意有限子集，其中$[g]:= \{fgf^{-1}:f\in F\}$ .通过$R$ -分配$F$ -因子分解，我们表示$F$的非平凡子群的集合$\mathcal{H}$，使得$\ast_{H \in \mathcal{H}} H = F$和$R \subseteq \{h, [h] : h \in H, H\in \mathcal{H}\}$ .我们表明，Whitehead的（快速）cutvertex算法输入对$(F,R)$和输出的最大尺寸$R$分配$F$ -因式分解。Richard Stong在$R \subseteq F$或$R \subseteq \{[g] : g \in F\}$的情况下证明了这一点，从而统一和推广了Berge，Besthoun，Lyon，Shenitzer，Stallings，Starr和Whitehead获得的结果。我们的证明是基于$F$的元素的两个标准形式之间的相互作用，而不是代数拓扑的bodies，树，或图折叠。
2019-12-19 math.GR
On a conjecture of Street and Whitehead on locally maximal product-free sets
设$S$是群$G$的非空子集。如果$S\cap SS=\varnothing$是，则我们说$S$是无积的，如果只要$T$是无积的，并且$S\subseteq T$，则$S=T$是局部最大的。最后，如果$G^*\subseteq S \sqcup SS$（其中$G^*$是$G$的所有非单位元素的集合），则$S$填充$G$，并且如果$G$中的每个局部极大无积集填充$G$，则$G$是填充群。Street和Whitehead（在“Group Ramsey Theory”，J. Comb. Theory Series A，17（1974）219-226中）研究了填充群，并给出了填充阿贝尔群的分类。本文得到了非交换情形下的填充群的一些结果，包括奇阶填充群的一个分类。Street和Whitehead证明了当$n=6k+1$（$k\geq 1$）时，$2n$阶的有限二面体群不被填充.我们在二面体群上证明了这个猜想是错误的，并由此得到了二面体群中大小为3和4的局部极大无积集的分类。
2015-06-08 math.GR
Knapsack and subset sum problems in nilpotent, polycyclic, and co-context-free groups
本文证明了背包问题（由Myasnikov，Nikolaev和Ushakov提出）在离散Heisenberg群（2类幂零群）的足够多的副本的直积中是不可判定的。此外，对于离散海森堡群本身，背包问题是可判定的。因此，背包问题的可判定性在直积下不被保留。同时证明了对于每个共上下文自由群，背包问题都是可判定的。对于子集和问题（也是由Myasnikov、Nikolaev和Ushakov提出的），我们证明了对于每个由虚幂零群生成的群，它都属于NL（非确定性对数空间）类，并且存在一个具有NP完全子集和问题的多环群.
2015-07-18 cs.FL math.GR
Cardinality of product sets in torsion-free groups and applications in group algebras
假设$G$是一个独特的产品组，即，对于$G$的任意两个有限子集$A$和$B$，存在$x\in G$，它可以唯一地表示为$A$的一个元素和$B$的一个元素的乘积.我们证明了，如果$C$是$G$的一个有限子集，包含单位元使得$\langle C\rangle$不是阿贝尔的，那么对于$G$的所有子集$B$与$|B|\geq 7$，$|BC|\geq |B| + |C| + 2$ .证明了：若$C$是一个包含无挠的群$G$的单位元的有限子集，使得$|C| = 3$和$\langle C\rangle$不是阿贝尔群，则对于$G$的所有子集$B$和$|B|\geq 7$，$|BC|\geq |B| + 5$ .此外，如果$\langle C\rangle$不同构于克莱因瓶群，即，表示为$\langle x, y \;|\; xyx = y\rangle$的组，则对于G的所有子集$B$具有$|B|\geq 5$，$|BC|\geq |B| + 5$。群代数$F[G]$（$F$是任何域）的元素$α=\sum_{x\in G} α_x x$的支集，记为$supp(α)$，是集合$\{x\in G \;|\; α_x \neq 0\}$。利用后一个结果，我们证明了：如果$αβ= 0$对于某个非零的$α,β\in F[G]$使得$|supp(α)| = 3$，则$|supp(β)|\geq 12$ .此…
2019-02-02 math.GR math.NT math.RA
