Corners over quasirandom groups
设$G$是有限的$D$ -拟随机群，$A \subset G^{k}$是$δ$ -稠密子集.则角点的边长集合$g$的密度\[ \{(a_{1},\dots,a_{k}),(ga_{1},a_{2},\dots,a_{k}),\dots,(ga_{1},\dots,ga_{k})\} \subset A \]收敛到$1$为$D\to\infty$。
2016-11-03 math.CO
Product decompositions of quasirandom groups and a Jordan type theorem
我们首先注意到，高尔斯关于群中无积集的一个结果有一个意想不到的结果：如果k是有限群G的表示的最小度，则对于G的每个子集B，有$|B| > |G| / k^{1/3}$，我们有B^3 = G。我们用它来获得改进的版本最近深定理的Helfgott和Shalev关于产品分解的有限单群，更简单的证明。另一方面，我们证明了Jordan定理的一个版本，它意味着如果k>1，那么对于某个绝对常数c，G有一个指数至多为ck^2的真子群，因此是一个大小至少为$|G| / c'k$的无积子集。这回答了Gowers的一个问题。
2007-06-21 math.CO math.GR
Quasirandom groups enjoy interleaved mixing
本文证明在任意非平凡表示维数至少为d的群中，两个独立分布交错乘积的偏差上界，推广并简化了先前结果。
2023-08-31 math.CO math.GR
On the automorphism groups of rank-4 primitive coherent configurations
置换群$G$的最小度是不被$G$的非单位元素固定的点的最小数目。最小度的下界对$G$有很强的结构影响。Babai证明了如果一个具有$n$顶点的本原相干构形不是Cameron概型，则对于某个常数$c>0$，它的自同构群有最小度$\geq cn$. 2014年，Babai证明了强正则图的自同构群的最小度的期望下界，从而证实了秩为3的本原凝聚构型的猜想。本文将Babai的结果推广到秩为4的本原相干构形，证实了在这种特殊情况下的猜想。证明结合结构和谱方法。
2021-10-26 math.CO math.GR
New-type Quasirandom Groups and Applications
该研究提出更通用的拟随机群定义，推广相关经典结果，给出半直积群中满足乘积等式元组存在性与乘积集指数增长的条件，并完整刻画有限域平面刚体运动群结构。
2023-08-25 math.CO math.NT
Corners in Quasirandom Groups via Sparse Mixing
本文通过提出扩展Kelley-Lovett-Meka工作的一般组合定理，将拟随机群上无角点集合的密度上界改进至拟多项式级，并显著提升3玩家额前数字模型中置换函数通信复杂度的下界。
2025-04-10 cs.CC math.CO
Boosting uniformity in quasirandom groups: fast and simple
本研究针对拟随机群相关问题，在k参与方通信模型下证明了SL(2,q)群元素乘法通信复杂度的指数级更优下界，同时改进了分布卷积的均匀性逼近结果，并将傅里叶系数相关的均匀性结论推广到任意群，证明更简洁。
2024-09-11 cs.CC math.CO
The Graph Isomorphism Problem: Local Certificates for Giant Action
本论文对László Babai在2015年发表的图同构问题的拟多项式算法进行了解释，特别关注本地证书的情况，即Luks方法无法处理的情况。本文扩展了Harald Andrés Helfgott在2017年提供的解释。得出Babai算法的复杂度为$\exp\left(C \left(\log n\right)^3\right)$，其中$n$为顶点数，$C$为常数.集团理论和组合参数是用来给更多的细节Babai的方法的地方证书。本文讨论了Luks的障碍情形，其中原置换群$G$可映射到一个具有大定义域的交错群上.
2019-09-23 cs.CC math.CO math.GR
Transversals in quasirandom latin squares
本文使用圆法的宽松变体，将几乎每个拉丁方横截数量的渐近估计改进为 $(e^{-1/2} + o(1)) n!^2 / n^n$，并证明该方法适用于所有满足特定拟随机性条件的拉丁方。
2023-04-21 math.CO
Structure and automorphisms of primitive coherent configurations
相干配置（CC）是“顶点集”的序偶集合的高度正则着色;每种颜色表示一个“组成有向图”。CC出现在对置换群、组合结构（如部分平衡设计）和算法分析的研究中;其历史可以追溯到20世纪30年代的舒尔。CC是本原的（PCC），如果它的所有组成有向图都是连通的。我们解决的问题与大的自同构群的PCC分类。这个项目开始于Babai的1981年的论文中，他表明，只有平凡的PCC承认超过$\exp(\tilde{O}(n^{1/2}))$自同构。(Here，$n$是顶点数，而$\tilde{O}$隐藏了多对数因子。）在本文中，我们分类所有的PCC与多个$\exp(\tilde{O}(n^{1/3}))$自同构，使第一个进展Babai的简化分类的所有PCC与多个$\exp(n^ε)$自同构。一个推论Babai的1981年的结果解决了一个100年前的问题，但不是原始的双传递置换群，给$\exp(\tilde{O}(n^{1/2}))$界的顺序。在类似的静脉，我们的结果意味着一个$\exp(\tilde{O}(n^{1/3}))$上界的顺序，这样的群体，与已知的例外。这种改进Babai的结果以前只知道通过有限单群的分类（卡梅伦，1981年），而我们的证明，像Babai的，是小学和几乎纯粹的组合。我们的分析依赖于我们为PCC开发的新组合结构理论。特别是，我们证明了在一定范围内的参数的PCC上的“渐近均匀团几何…
2016-08-25 cs.CC math.CO math.GR
On the automorphism groups of distance-regular graphs and rank-4 primitive coherent configurations
置换群$G$的最小度是不被$G$的非单位元素固定的点的最小数目。最小度的下界对$G$有很强的结构影响。在2014年，Babai证明了具有$n$顶点的强正则图的自同构群具有最小度$\geq c n$，除了已知的例外。强正则图对应于秩为3的本原凝聚构形。我们将Babai的结果推广到秩为4的本原相干构形。我们还证明了这一结果推广到直径有界的非几何距离正则图。证明结合结构和谱方法。
2018-12-03 math.CO
Coloring minimal Cayley graphs
本文研究极小 Cayley 图的色数，证明广义二面体群与幂零群情形至多需 3 色、可解群有时需 4 色，并构造相关无界色数图以推进 Babai 猜想。
2024-12-06 math.CO
Product Mixing in Compact Lie Groups
本文改进 Gowers 关于特殊酉群 SU(n) 中无乘积集测度的上界至指数级，并建立乘积混合结果，通过引入新的超压缩不等式并将其推广到一般拟随机紧李群。
2024-05-03 cs.CC math.CO math.GR
Cayley graphs on abelian groups
设$A$是一个阿贝尔群，$ι$是由$i:a\mapsto a^{-1}$定义的$A$的自同构.一个Cayley图$Γ=\mathrm{Cay}(A,S)$称为有一个自同构群\emph{as small as possible}，如果$\mathrm{Aut}(Γ)= A\rtimes\langle i\rangle$ .本文证明了几乎所有阿贝尔群上的Cayley图都有尽可能小的自同构群，证明了Babai和Godsil的一个猜想。
2014-05-08 math.CO
Monochromatic non-commuting products
University of Warwick（华威大学）
本文通过引入拟随机着色并归约到该情形，首次给出 Bergelson-McCutcheon 非交换 Schur 定理的组合证明，并证明顺从群的有限着色中存在大量形如 {x,y,xy,yx} 及其多变量推广的单色集合。
2026-10-14 math.CO math.DS math.NT
On compactifications and product-free sets
一个群的子集称为无积群，如果它不包含满足方程$xy=z$的三个元素。本文用模型论的方法对Babai和Sós关于大无积集存在性的一个问题给出了否定的回答。这个问题最初由Gowers回答。此外，我们给出了一个自然的和充分的模型理论条件的一组有一个大的产品自由的子集，以及一个模型理论帐户的结果Nikolov和Pyber的三重产品。
2019-03-04 math.CO math.GR math.LO
What is and is not inside a Cayley graph?
本文证明存在非任何最小Cayley图子图的围长5三次图，但满足gcd(n,k)=1的广义Petersen图可为最小Cayley图的诱导子图，回应Babai的评论。
2025-10-07 cs.DM math.CO
Coloring semiminimal Cayley Graphs
Universidad de La Laguna（拉古纳大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche（巴黎左岸儒勒·让数学研究所）
针对Babai提出的半极小Cayley图色数有界性问题，本文证明阿贝尔群和广义二面体群的半极小Cayley图圆色数至多为4，推广了Barajas与Serra的相关结果。
2026-07-30 math.CO
Complete type amalgamation for non-standard finite groups
本文扩展了Hrushovski稳定子定理，证明了Pillay-Scanlon-Wagner关于三种类型乘积结果的测度论版本，推广了Gowers的结果，并为拟随机群及特定可定义顺从群中长度为3的算术级数存在性（Roth定理）提供了模型论证明。
2024-02-06 math.CO math.LO
Non-abelian finite groups whose character sums are invariant but are not Cayley isomorphism
设$G$是一个群，$S$是$G\setminus \{1\}$的逆闭子集. Cayley图$Cay(G,S)$是指其顶点集是$G$的元素集并且两个顶点$x$和$y$相邻的图，如果$x^{-1}y\in S$。一个群$G$称为CI-群，如果对于$G\setminus \{1\}$的逆闭子集$S$和$T$有$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$，则对于$G$的自同构$α$有$S^α=T$.一个有限群$G$称为BI-群，如果对于$G\setminus \{1\}$的某些逆闭子集$S$和$T$有$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$，则对于所有正整数$ν$有$M_ν^S=M_ν^T$，其中$M_ν^S$表示集合$\big\{\sum_{s\in S}χ(s) | χ(1)=ν, χ\text{ is a complex irreducible character of } G \big\}$。László Babai [ \textit{J. Combin. Theory Ser. B}，{ \bf 27}（1979）180-189]问到是否每个有限群都是BI-群;有限非BI-群的各种例子在[ \textit{Comm. Algebra}，{ \bf 43}（12）（2015）5159-5167]中给出。在后一篇文章中指出，每个有限CI-群是BI-群，所有交换有限群都是…
2017-10-12 math.CO math.GR
On Graham's rearrangement conjecture over $\mathbb{F}_2^n$
本文研究群元素子集的有效排序问题，针对G=F_2^n情形给出本质完全解答：证明存在绝对常数C，使所有大小至少为C的子集均可有效排序；证明结合Freiman–Ruzsa定理与吸收方法，并借助Cayley图的拟随机分解结构。
2025-08-25 math.CO math.GR math.NT
