Ajtai-Szemerédi Theorems over quasirandom groups
在有限非阿贝尔群$G$的笛卡尔方上考虑Ajtai-Szemerédi定理的两个版本。在$G$是充分准随机的情况下，我们得到两个版本的强形式：如果$E \subseteq G\times G$是相当密集的，那么$E$包含了大量的所需模式的大多数个人选择的“公差”。对于其中一个版本，我们还表明，这组良好的公差是syndetic。
2015-05-19 math.CO math.DS math.GR
Mixing of 3-term progressions in Quasirandom Groups
本文证明了三项级数$(x, xg, xg^2)$在任意有限拟随机群中的混合性，完全回答了Gowers的一个问题.更准确地说，我们表明，对于任何$D$ -拟随机组$G$和任何三个集$A_1, A_2, A_3 \subset G$，我们有\[ \left|\Pr_{x,y\sim G}\left[ x \in A_1, xy \in A_2, xy^2 \in A_3\right] - \prod_{i=1}^3 \Pr_{x\sim G}\left[x \in A_i\right] \right| \leq \left(\frac{2}{\sqrt{D}}\right)^{\frac{1}{4}}.\]在此之前，陶回答了这个问题时，潜在的拟随机组是$\mathrm{SL}_{d}(\mathbb{F}_q)$。随后，Peluse将结果推广到所有非阿贝尔有限$\textit{simple}$群。在这项工作中，我们表明，稍微修改Peluse的论点是足以完全解决高尔的quasirandom猜想3项级数。令人惊讶的是，不像陶和Peluse的证明，我们的证明是初级的，只使用非阿贝尔傅里叶分析的基本事实。
2021-09-26 cs.DM math.CO math.GR
New-type Quasirandom Groups and Applications
该研究提出更通用的拟随机群定义，推广相关经典结果，给出半直积群中满足乘积等式元组存在性与乘积集指数增长的条件，并完整刻画有限域平面刚体运动群结构。
2023-08-25 math.CO math.NT
Product decompositions of quasirandom groups and a Jordan type theorem
我们首先注意到，高尔斯关于群中无积集的一个结果有一个意想不到的结果：如果k是有限群G的表示的最小度，则对于G的每个子集B，有$|B| > |G| / k^{1/3}$，我们有B^3 = G。我们用它来获得改进的版本最近深定理的Helfgott和Shalev关于产品分解的有限单群，更简单的证明。另一方面，我们证明了Jordan定理的一个版本，它意味着如果k>1，那么对于某个绝对常数c，G有一个指数至多为ck^2的真子群，因此是一个大小至少为$|G| / c'k$的无积子集。这回答了Gowers的一个问题。
2007-06-21 math.CO math.GR
Boosting uniformity in quasirandom groups: fast and simple
本研究针对拟随机群相关问题，在k参与方通信模型下证明了SL(2,q)群元素乘法通信复杂度的指数级更优下界，同时改进了分布卷积的均匀性逼近结果，并将傅里叶系数相关的均匀性结论推广到任意群，证明更简洁。
2024-09-11 cs.CC math.CO
Quasirandom groups enjoy interleaved mixing
本文证明在任意非平凡表示维数至少为d的群中，两个独立分布交错乘积的偏差上界，推广并简化了先前结果。
2023-08-31 math.CO math.GR
Popular Differences for Corners in Abelian Groups
对于紧交换群$G$，$G \times G$中的角是点$(x,y)$、$(x,y+d)$、$(x+d,y)$的三元组。Ajtai和Szemerédi的经典角点定理意味着，对于每个$α> 0$，存在一些$δ> 0$，使得密度$α$的每个子集$A \subset G \times G$包含$G \times G$中所有角点的$δ$分数，因为$x,y,d$在$G$上的范围。最近，Mandache证明了一个“流行的差异”的版本，这一结果在有限域的情况下$G = \mathbb F_p^n$，表明对于任何子集$A \subset G \times G$的密度$α$，可以固定$d \neq 0$，使$A$包含一个大的部分，现在已知约为$α^4$，所有角落的差异$d$，$x,y$变化超过$G$。我们将Mandache的结果推广到所有紧阿贝尔群$G$，以及$\mathbb Z^2$中角点的情形.
2019-09-26 math.CO
Monochromatic non-commuting products
University of Warwick（华威大学）
本文通过引入拟随机着色并归约到该情形，首次给出 Bergelson-McCutcheon 非交换 Schur 定理的组合证明，并证明顺从群的有限着色中存在大量形如 {x,y,xy,yx} 及其多变量推广的单色集合。
2026-10-14 math.CO math.DS math.NT
Vertex Structure of Master Corner Polyhedra
本文重点研究了主角多面体$P(G,g_0),$的顶点，它是整数线性规划群论方法的核心。我们介绍了两个组合操作，转换每个顶点的$P(G,g_0)$相邻的。这意味着对于任何$P(G,g_0),$，存在基本顶点的子集，我们称它们为支持顶点，所有其他顶点都可以从它们构建。证明了支撑点类在$G,$的自同构群下是不变的，从而该基可进一步约化为两两不等价的支撑点子集.在其他结果中，我们的特点是不可约点的主角多面体，建立一个整数点之间的关系，并通过它的非平凡方面，构造完全子图的图形$P(G,g_0),$，并表明这些多面体的直径为2。
2011-04-23 math.CO
Complete type amalgamation for non-standard finite groups
本文扩展了Hrushovski稳定子定理，证明了Pillay-Scanlon-Wagner关于三种类型乘积结果的测度论版本，推广了Gowers的结果，并为拟随机群及特定可定义顺从群中长度为3的算术级数存在性（Roth定理）提供了模型论证明。
2024-02-06 math.CO math.LO
Sidorenko-Type Inequalities for Even Subdivisions over Finite Abelian Groups
本文证明了当宿主图为有限阿贝尔群上的 Cayley 图时，任意图的偶次细分图均满足 Sidorenko 不等式，方法是将同态计数转化为线性方程组解集上的平均值计算并结合 Fourier 分析。
2025-07-21 math.CO
Series expansions from the corner transfer matrix renormalization group method: the hard squares model
角转移矩阵重整化群方法是计算统计力学模型中物理量的一种有效方法。它起源于Baxter的角点传递矩阵方程和方法，由Nishino和Okunishi于1996年发展。在本文中，我们回顾和适应这种方法，以前用于数值计算，推导级数展开。我们用它来计算硬平方模型的配分函数的92项。我们还研究声称，该方法是次指数的数量产生的条款，并简要分析所产生的系列。
2011-07-11 cond-mat.stat-mech math.CO
Product Mixing in Compact Lie Groups
本文改进 Gowers 关于特殊酉群 SU(n) 中无乘积集测度的上界至指数级，并建立乘积混合结果，通过引入新的超压缩不等式并将其推广到一般拟随机紧李群。
2024-05-03 cs.CC math.CO math.GR
Mixing for three-term progressions in finite simple groups
在回答Gowers的一个问题时，Tao证明了任何$A\times B\times C\subset SL_d(\mathbb{F}_q)^3$都包含$|A||B||C|/|SL_d(\mathbb{F}_q)|+O_d(|SL_d(\mathbb{F}_q)|^2/q^{\min(d-1,2)/8})$三项级数$(x,xy,xy^2)$。使用修改的陶的参数，我们证明了这样的混合结果的三项级数在所有非阿贝尔有限单群除了$PSL_2(\mathbb{F}_q)$的误差项，取决于准随机性的程度的组。这一论证也给出了当$d>2$，但带有误差项$O(|SL_d(\mathbb{F}_q)|^2/q^{(d-1)/24})$时，陶的结果的另一种证明.
2017-07-19 math.CO math.GR
Stability, corners, and other 2-dimensional shapes
Albert-Ludwig-Universität Freiburg（弗赖堡大学）；Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
该研究提出了一种称为几乎确定稳定性的概念，并证明在非标准有限群的笛卡尔积中，稠密几乎确定稳定的集合中存在正方形和L形结构。
2025-11-12 math.CO math.LO
A Variant of The Corners Theorem
本文研究角落定理的强变体，通过将问题转化为随机变量问题，否定地回答了存在大尺寸角落的猜想，并给出反例构造，同时证明在特定群中可达到更优下界。
2018-05-04 math.CO
Growth in linear groups
本研究证明了Helfgott关于有界秩下有界三倍集结构的猜想，刻画了线性群中有限对称子集的子群陪集覆盖与幂零商结构，包含有限单群乘积定理为特例，还推出拟随机有限线性群直径为多对数级的结论。
2024-04-26 math.CO math.GR
An arithmetic algebraic regularity lemma
University of Notre Dame（圣母大学）
本文提出一个算术规则引理，用于有限域中可定义群的规则性分析，证明了群的正规子群具有特定的随机性质。
2026-02-05 math.CO math.GR math.LO
