Global well-posedness and scattering for the mass-critical Hartree equation with radial data
我们建立全球适定性和散射的解决方案的质量临界非线性Hartree方程$iu_t+Δu=\pm(|x|^{-2}*|u|^2)u$大球对称$L^2_x(\Bbb{R}^d)$初始数据，在聚焦的情况下，我们需要，当然，质量严格小于的基态。
2008-12-26 math-ph math.AP math.MP
Scattering Theory in the Energy Space for a Class of Hartree Equations
本文研究了n>2维Hartree方程在能量空间中的散射理论。利用Morawetz和Strauss的方法，我们证明了径向非负非增势在原点处满足适当的正则性，在无穷远处满足适当的衰减性的渐近完备性。结果特别覆盖了2 < gamma < Min（4，n）的潜在|x| ^（- gamma）的情况。
1998-09-30 math-ph math.AP math.MP
Decay and Scattering in energy space for the solution of weakly coupled Schrödinger-Choquard and Hartree-Fock equations
通过给出新的Morawetz不等式和估计，证明了一类具有非局部非线性项的薛定谔方程关于某些Lebesgue范数的衰减性.作为一个副产品，我们获得了大数据散射在能量空间中的$N$散焦Schrödinger-Choquard方程组的质量-能量临界非线性在任何空间维度和散焦Hartree-Fock方程组的解决方案，对于任何尺寸$d\geq3$。
2019-09-11 math-ph math.AP math.MP
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for some Hartree Type Equations II
研究了n > 2维空间中一类具有长程相互作用的Hartree型方程的散射理论，其中包括势函数为V（x）= lambda |x| ^{- gamma}的Hartree方程.对于0 < gamma <或=1，我们证明了修改的波算子的存在性，对数据没有大小限制，我们确定了在波算子范围内的解的时间渐近行为，从而扩展了以前的论文的结果，具有相同的标题（数学。AP/9807031），其中涵盖了范围1/2 < gamma <1。
1999-03-12 math-ph math.AP math.MP
Time-dependent methods in inverse scattering problems for the Hartree-Fock equation
量子力学中多体系统的逆散射理论是物理学--原子物理学、分子物理学和核物理学--以及数学中的一个重要而又困难的问题。本文的主要目的是建立一个由Hartree-Fock方程的散射解重建两体相互作用的方法。更准确地说，本文给出了一个唯一性定理，并提出了一种新的从Hartree-Fock方程的散射算子的高速极限重建短程和两体相互作用的方法。本文的数学分析主要是基于第一类积分方程理论和自由薛定谔方程解的一个Schr hartz型估计。
2019-01-31 math-ph math.AP math.MP
Asymptotic Behavior of One-Dimensional Hartree Equations with the Long-Range Interaction
Chungbuk National University（忠北国立大学）；Yale University（耶鲁大学）
研究一维软Coulomb相互作用Hartree方程小解的长时间行为，证明全局存在性与修正散射，并发现领先相位修正为$(\log t)^2$阶，方法基于解析函数空间与时间依赖解析半径的生成函数。
2026-09-28 math.AP
Global well-posedness and scattering for the energy-critical, defocusing Hartree equation for radial data
我们考虑散焦，$\dot{H}^1$临界Hartree方程的径向数据在所有维度$(n\geq 5)$。我们在能量空间中证明了该模型的全局适定性和散射结果。本文的创新之处在于，我们首先利用定域Morawetz恒等式中的$\displaystyle - \int_{I}\int_{|x|\leq A|I|^{1/2}}|u|^{2}Δ\Big(\frac{1}{|x|}\Big)dxdt$项来排除能量集中的可能性，而不是依赖于非线性的经典Morawetz估计.
2007-04-15 math-ph math.AP math.MP
Scattering for the focusing ${\dot H}^{1/2}$-critical Hartree equation with radial data
研究了在$d = 5$维上用$\dot H^{1/2}$径向数据聚焦的Hartree型$i\partial_t u + Δu = -(|\cdot|^{-3} \ast |u|^2)u$的$\dot H^{1/2}$ -临界非线性薛定谔方程.证明了若椭圆型方程（\ref{e14}）的正径向解为$Q$，则最大寿命解服从$\sup_{t}\big\||\nabla|^{1/2}u\big\|_2 < \frac{\sqrt{6}}{3} \big\||\nabla|^{1/2}Q\big\|_2$。则解是全局的和分散的。
2009-07-13 math-ph math.AP math.MP
Modified scattering for long-range Hartree equations of infinite rank near vacuum
本文研究了三维中具有 Coulomb 相互作用势的 Hartree 方程在真空附近的解的渐近行为和衰减，通过直接推导密度函数的尖锐色散衰减估计和建立能量范数有界性，实现了无需相位修正的全局时间适定性。
2024-08-28 math-ph math.AP math.MP
The Hartree equation for infinitely many particles. II. Dispersion and scattering in 2D
考虑了含无限多粒子的相互作用气体的非线性Hartree方程，研究了描述均匀费米气体的$f(-Δ)$定态的大时间稳定性.在适当的相互作用势和动量分布$f$的假设下，我们证明了定态在2维空间是渐近稳定的。更准确地说，对于任何初始数据，这是一个小扰动的$f(-Δ)$在Schatten空间，系统弱收敛到平稳状态的大时间。
2013-10-02 math-ph math.AP math.MP
The semiclassical limit from Hartree to Vlasov at positive density: strong uniform-in-time convergence and scattering
University of Cambridge（剑桥大学）
研究正密度下从哈特里方程到弗拉索夫方程的半经典极限，通过证明有限时间区间收敛速率并结合相关界，得到全局存在和散射，量子与经典初始扰动对齐时收敛一致且有显式速率。
2026-09-09 math-ph math.AP math.MP
Applications of resonance theory without analyticity assumption
我们证明了散射理论中涉及共振的结果对于非解析势仍然有效，即使共振的概念在此设置中没有定义。更准确地说，我们表明，如果一个半经典薛定谔算子的潜力被认为是光滑的，并在无穷远处减少，通常的公式有关的散射量和共振仍然成立。证明的主要成分是一个新类型的预解估计，有关的预解算子与其截断对应的预解。
2019-12-04 math-ph math.AP math.MP
Long Range Scattering and Modified Wave Operators for some Hartree Type Equations III. Gevrey spaces and low dimensions
研究了任意空间维数n >或= 1的一类具有长程相互作用的Hartree型方程的散射理论，包括具有不定常势V（t，x）= kappa t^（mu - gamma）|x| ^{- mu}，其中0 < gamma <或=1且0 < mu < n。这包括电势V（x）= kappa |x| ^（-gamma）的情况。并可推广到具有三次非线性项kappa t^的非线性Schr“odinger方程的极限情形（n- gamma）u |u| ^2.利用渐近状态和解的Gevrey空间，我们证明了在无穷远处修正的局部波算子的存在性，并且在波算子的范围内，我们确定了解的时间渐近性，从而扩展了以前的论文（Math.AP/9807031和Math.AP/9903073）的结果，这些论文覆盖了范围0 < gamma <或= 1，但仅0 < mu <或= n-2，因此被限制到空间维度n>2。
2000-03-03 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness and scattering for the energy-critical, defocusing Hartree equation in $\mathbb{R}^{1+n}$
利用与\cite{CKSTT07}、\cite{RyV05}和\cite{Vi05}中相同的在频率空间和空间空间同时对能量变元进行归纳的方法，我们在$\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n$（$n\geq 5$）中得到了离焦能量临界非线性Hartree方程解的整体适定性和能量分散性，从而消除了对\cite{MiXZ07a}中数据的径向假设.新的成分是我们使用一个修正的长时间微扰理论来获得频率局部化（命题\ref{freqdelocaimplystbound}和推论\ref{frequencylocalization}）的最小能量爆破解，在证明了$L^{\frac{2n}{n-2}}_x$ -最小能量爆破解的范数是有界的，$L^{\frac{2n}{n-2}}_x$ -范数大于势能。
2009-06-06 math-ph math.AP math.MP
Scattering for the positive density Hartree equation
研究 d≥3 时密度矩阵非线性 Hartree 方程齐次稳态的大时间渐近稳定性，利用分数阶 Leibniz 法则和 Schatten 空间中的 Christ-Kiselev 引理，在广泛的相互作用势下达到了初始数据的最优 Sobolev 和 Schatten 指数。
2025-04-28 math-ph math.AP math.MP
Semi-classical limit of quantum scattering states for the nonlinear Hartree equation
The University of Osaka（大阪大学）；Chung-Ang University（中央大学）
研究半经典区域非线性Hartree方程量子散射态的长时间动力学，通过新的自由薛定谔流一致色散估计，证明其Wigner变换半经典极限弱*收敛于Vlasov方程经典散射态，顺带建立无初值正则性假设的Vlasov方程小初值散射结果。
2026-08-07 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness and scattering for the defocusing $H^{\frac12}$-subcritical Hartree equation in $\mathbb{R}^d$
在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$中证明了具有低正则性数据的散焦$H^{\frac12}$ -亚临界（即$2<γ<3$）Hartree方程的整体适定性和散射性.准确地说，我们表明，一个唯一的和全球性的解决方案存在的Sobolev空间$H^s\big(\mathbb{R}^d\big)$与$s>4(γ-2)/(3γ-4)$，这也分散在两个时间方向上的初始数据。这改进了\cite{ChHKY}中的结果，其中为任何$s>\max\big(1/2,4(γ-2)/(3γ-4)\big)$建立了全局适定性。在我们的证明中的新成分是，我们使用的相互作用Morawetz估计的平滑的解决方案$Iu$，而不是一个相互作用Morawetz估计的解决方案$u$，我们仔细分析的单调性性质的乘数$m(ξ)\cdot < ξ>^p$。作为我们的证明的副产品，我们得到的$H^s$规范的解决方案服从统一的时间界限。
2008-05-22 math-ph math.AP math.MP
Stability of Steady States for Hartree and Schrodinger Equations for Infinitely Many Particles
本文证明了随机场中Hartree方程在某些定态附近的散射结果。这个方程描述了无限多粒子系统的演化。它是密度矩阵的通常哈特里方程的类似公式。我们处理2维和3维，扩展了我们以前的结果。我们得到了一大类相互作用势，其中包括非线性薛定谔方程。这一结果在密度矩阵的框架中有一个影响。证明依赖于色散技术用于研究散射的非线性薛定谔方程，并使用显式的低频消除工作中的Lewin和Sabin。为了与密度矩阵相关，我们使用Frank和Sabin的规范正交系的Schumhartz估计，以及积分算子的Leibniz规则。
2020-07-01 math-ph math.AP math.MP
Scattering for radial bi-harmonic Hartree equations
本文研究了四阶广义Hartree方程$$i\dot u+Δ^2 u\pm(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u=0.$$整体解的渐近性态。实际上，对于吸引和排斥符号，在质量超临界和能量亚临界区域，在径向设置下得到了散射。
2020-10-14 math.AP
Charge conjugation approach to scattering for the Hartree type Dirac equations with chirality
本文研究了由赝标场导出的具有Yukawa型势的Hartree型非线性Dirac方程的Cauchy问题。我们建立散射大数据，但与一个相对较小的部分与电荷共轭利用零结构诱导的手征的初始数据。
2023-03-02 math.AP
Modified Scattering for the Hartree Nonlinear Schrödinger Equation
本文利用波包测试方法证明了2维和3维Hartree非线性Schrödinger方程的锐利$L^\infty$衰减与修正散射，并发现该散射行为发生在远低于早期结果的正则性水平。
2024-07-25 math.AP
Modified scattering for the Boson Star Equation
本文考虑三维空间中玻色子星方程的散射问题。这是一个具有Hartree型立方非线性项的半相对论Klein-Gordon方程。我们结合加权估计，通过利用一个特殊的零结构中存在的方程，并在傅立叶空间中进行了精细的渐近分析，以获得全球性的解决方案，从小和本地化的柯西数据。我们描述的行为在无穷远的这种解决方案，通过确定一个合适的非线性渐近校正散射。作为一个副产品的加权能量估计单独，我们还获得了整体存在性和（线性）散射的解决方案的半相对论性Hartree方程的潜力衰减速度比库仑。
2013-08-29 math-ph math.AP math.MP
Scattering theory for a class of radial focusing inhomogeneous Hartree equations
本文研究了广义Hartree方程$$i\dot u+Δu+(I_α*|\cdot|^b|u|^p)|x|^b|u|^{p-2}u=0 .$$整体解的渐近性态。实际上，利用由\cite{dm}提出的一种新方法，证明了上述非齐次Choquard方程在具有径向背景的质量超临界和能量亚临界区域的散射。
2020-10-14 math.AP
Scattering for a class of non-radial inhomogeneous bi-harmonic Hartree equations
本文证明了具有非径向数据的排斥四阶广义Hartree方程在临界区间整体解的能量散射。这项工作使用了Dodson-Murphy [4]的新方法，并通过删除数据上的球对称假设来扩展以前的工作[14]。
2021-09-05 math.AP
Inverse scattering problems for the Hartree equation whose interaction potential decays rapidly
我们考虑三维Hartree方程的逆散射问题。证明了如果方程的未知相互作用势$V(x)$满足某种快速衰减条件，则对于任意多指数$α$，我们可以通过已知方程的散射算符唯一地确定$\partial_ξ^α\hat{V}(0)$的精确值.此外，我们给出了一些稳定性估计识别$\partial_ξ^α\hat{V}(0)$。
2011-08-06 math.AP
A Scattering Result Around a Non-Localised Equilibria for the Quintic Hartree Equation for Random Fields
本文研究随机场五次哈特里方程在高维情形下非局域平衡态附近的散射行为，将已有的三次哈特里方程散射结果推广到三体相互作用的五次情形，并适用于包含 Dirac delta 在内的广泛势类。
2023-09-19 math.AP
Scattering for the one dimensional Hartree Fock equation
本文研究一维Hartree-Fock方程在小局部化初值和有限测度势下的散射行为，利用时空共振框架证明直接项与交换项的非线性抵消消除了长程散射，从而得到向线性波的散射。
2025-03-10 math.AP
Scattering and non-scattering of the Hartree-type nonlinear Dirac system at critical regularity
本文考虑由$V_b(x) = \frac1{4π}\frac{e^{-b|x|}}{|x|}\, (b \ge 0)$给出的带位势的Hartree型非线性Dirac方程的Cauchy问题.在以前的作品中，一个标准的论点是利用零型估计，以证明全球适定性的$H^s$ -数据，$s>0$。然而，方程内部的零结构不足以达到临界正则性。我们强加一个额外的规则性假设的角度变量。首先，我们证明了具有Hartree型非线性项的Dirac方程的整体适定性和分散性，对于具有附加角正则性的小$b>0$-数据。我们还表明，只有少量的角正则性需要获得整体存在的解决方案。其次，我们得到了一类具有库仑势$b=0$的解的非散射结果。
2021-06-03 math.AP
Scattering of cubic Dirac equations with a general class of Hartree-type nonlinearity for the critical Sobolev data
近年来，在对非线性项的结构作了一定的假设的情况下，对具有Hartree型非线性项的三次Dirac方程解的低正则性态进行了广泛的研究。以前的结果的关键途径是利用零结构的非线性和Yukawa势的衰减。在本文中，我们的目标是超越，我们研究了三次Dirac方程的强散射性质与相当普遍的一类Hartree型非线性，其中包括库仑势以及汤川势，和双线性型，其中不能使用特定的零结构。作为一个直接的应用，我们还得到了玻色子-恒星方程的散射标度临界Sobolev数据。
2022-09-01 math.AP
(Semi)classical limit of the Hartree equation with harmonic potential
Hartree型的非线性薛定谔方程（NLS）出现在量子半导体器件的建模中。当量子模型与经典模型耦合时，普朗克常数消失的“半经典”极限既是一个数学挑战，也是一个实际相关的问题。为了刻画具有调和势的三维Schrodinger-Poisson系统的半经典极限，研究了n>1维空间中具有调和势的Hartree方程的半经典极限.谐波势是受限制的，并且引起时间上周期性的聚焦。我们证明在几种情况下的渐近性，显示不同的可能的非线性现象，根据初始数据的大小和功率的Hartree潜在的相互作用。对于具有调和势的3D Schrodinger-Poisson系统，由于需要修正的散射算符，使得这种长程散射的计算超出了现有的理论，因此只能给出形式上的计算。我们还处理的情况下，一个额外的“本地”的非线性给出的权力的局部密度-模型，相关时，将泡利原理在最简单的模型给出的“薛定谔-泊松-X $α$方程”。此外，我们讨论了我们的WKB为基础的分析，维格纳函数的方法半经典极限的连接。
2004-05-19 math-ph math.AP math.MP
Critical well-posedness and scattering results for fractional Hartree-type equations
在三维径向平方可积初值的标度不变空间中，研究了小球中具有三次Hartree型非线性项的质量临界分数阶薛定谔方程的散射问题.为此，我们证明了自由解的双线性估计，并将其推广到有界二次变差的扰动。通过证明流图的三阶导数在超临界范围内的无界性，证明了这一结果是尖锐的。
2019-01-28 math.AP
Small data scattering of semirelativistic Hartree equation
本文研究了Hartree型半相对论方程在空间维$3$中的小数据点散射问题。Hartree型非线性是$[V * |u|^2]u$，推广Yukawa的势$V$具有一定的增长条件.我们证明了当$ H^{s,1}$中给定的初始数据足够小时，解分散到线性解，而$s>\frac14$中给定的初始数据足够小时，解分散到线性解。这里，$H^{s, 1}$是具有由$\|φ\|_{ H^{s, 1}} = \|φ\|_{ H^{s}} + \|\nabla_{\mathbb S} φ\|_{H^{s}}$定义的范数的角正则性的Sobolev型空间。为了建立结果，我们采用最近开发的$L_θ^2$ -平均的单位球$\mathbb S^{2}$上，并构建基于$U^p$ - $V^p$空间的分辨率空间。
2018-06-19 math.AP
Phase mixing estimates for the nonlinear Hartree equation of infinite rank
Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究非线性Hartree方程在特定平移不变平衡态附近的相混估计，通过非线性迭代方案证明了相混估计，并提供了散射的另一种证明方法。
2026-04-16 math-ph math.AP math.MP
Scattering results for Dirac Hartree-type equations with small initial data
本文研究了由Dirac-Klein-Gordon方程组解耦得到的具有三次Hartree型非线性项的Dirac方程。我们证明了小数据散射结果在整个亚临界范围。证明的主要内容是局部化的Eschhartz估计，改进的双线性估计由于零结构隐藏在Dirac算子和$Up,Vp$函数空间。我们应用投影算子得到了一个线性部分为Klein-Gordon型的系统。它使我们能够利用零结构方程。通过表明基于Duhamel公式的迭代法在超临界范围内失败，表明该结果几乎是最优的。
2018-06-19 math.AP
Small data scattering of 2d Hartree type Dirac equations
本文研究了具有Hartree型非线性项$c(|\cdot|^{-γ} * \langle ψ, βψ\rangle)βψ$的二维Dirac方程的Cauchy问题，其中有$c\in \mathbb R\setminus\{0\} $，$0 < γ< 2$ .我们的目的是显示小数据的整体适定性和分散在$H^s$的$s > γ-1$和$1 < γ< 2$。困难源于势的低频部分$|ξ|^{-(2-γ)}χ_{\{|ξ|\le 1\}}$的奇异性。为了克服它，我们适应$U^p-V^p$空间参数和双线性估计的\cite{yang, tes2d}所产生的空结构。我们还提供了在长程情况下散射的不存在性结果$0 < γ\le 1$。
2021-07-29 math.AP
Modified wave operators without loss of regularity for some long range Hartree equations. I
我们重新考虑了具有势|x| ^-γ（1/2 <γ <1）的长程Hartree方程的散射理论.更精确地说，我们研究了具有无限初始时间的局部柯西问题，这是构造修正波算子的主要步骤。我们解决了这个问题，在整个亚临界范围内的渐近状态和解决方案之间的规律性没有损失，从而恢复Nakanishi的结果。我们的方法从不同的参数化的解决方案，已经在我们以前的论文中使用。这减少了能量估计的证明，并避免了精细的相位估计。
2012-11-19 math-ph math.AP math.MP
The modified scattering of 2 dimensional semi-relativistic Hartree equations
本文研究了二维半相对论Hartree方程小解的渐近行为，通过时空共振方法克服了二维中时间衰减较弱的障碍，证明了小解在加权Sobolev空间中的整体适定性和修正散射。
2023-07-29 math.AP
Real analyticity of radiation patterns of resonant states on asymptotically hyperbolic manifolds
我们表明，共振态散射的渐近双曲man-ifolds是解析近共形无穷远，在无穷远的解析辐射模式。在偶渐近双曲流形上，我们还证明了具有解析系数的Vasy算子的光滑解也是解析的。这回答了Zworski的一个问题（[14]猜想2）。证明是基于以前的结果Baouendi-Goulaouic和Bolley-Camus-Hanouzet和为了方便读者，我们提出了一个大纲的证明后者。
2016-11-30 math.AP
Long-range scattering for 2D Dirac-Hartree equations
University of Michigan（密歇根大学）；Chungbuk National University（忠北国立大学）
该研究针对二维狄拉克-哈特里方程小解，结合时空共振方法与方程零结构，证明其加权索伯列夫空间中小初值的整体适定性与长程散射，克服二维问题时间衰减弱的难点。
2026-08-14 math.AP
A common structure for modified scattering: Vlasov--Riesz, Hartree, and their coupling
Brown University（布朗大学）；Yale University（耶鲁大学）
本文发现Hartree、Vlasov--Riesz及其耦合方程共有的作用-密度结构，利用该结构在三维空间中建立了小初值全局存在性和修正散射，覆盖强长程势$\lambda|x|^{-\alpha}$（$0<\alpha\leq1/2$），并给出首个前向修正散射结果。
2026-10-05 math.AP
Scattering Criteria for the Three-Dimensional Focusing Energy-Critical Generalized Hartree Equation
Guangdong University of Education（广东第二师范学院）；University of Louisville（路易斯维尔大学）
针对三维聚焦能量临界广义Hartree方程，在基态阈值下建立两个非径向散射准则，通过结合局域Hartree位力恒等式与临界Hardy-Littlewood-Sobolev估计完成证明。
2026-08-11 math.AP math.DS
Inverse scattering transform and soliton solutions for the modified matrix Korteweg-de Vries equation with nonzero boundary conditions
利用逆散射理论研究了无穷远点非零边界条件下具有$2m\times2m$ $(m\geq 1)$拉克斯对对的修正矩阵Korteweg-de Vries（mmKdV）方程的初值问题.在正问题中，通过引入适当的一致变换，我们建立了适当的复$z$平面，讨论了方程的Jost本征函数、散射矩阵及其解析性和对称性。通过Wentzel-Kramers-Brillouin展开，分析了反问题所需的Jost函数和散射矩阵的渐近性质。在反问题中，首先利用修正的本征函数和散射系数的解析性建立了mmKdV方程的广义Riemann-Hilbert问题.通过求解这个Riemann-Hilbert问题，利用散射数据，导出了无反射情况下势函数的重构公式。此外，在势为标量和对称矩阵为$2\times2$的条件下，详细讨论了聚焦mmKdV方程的单孤子解和双孤子解的动力学行为。最后，我们给出了一些详细的证明和弱形式的迹公式来说明势和散射数据的渐近相位。
2020-05-01 math-ph math.AP math.MP
Scattering for 2d semi-relativistic Hartree equations with short range potential
本文研究二维半相对论Hartree方程小解的散射行为，通过空间共振方法恢复加权能量估计中的时间损失，证明了小解全局存在且渐近于线性解。
2023-12-21 math.AP
On the modified scattering of $3$-d Hartree type fractional Schrödinger equations with Coulomb potential
本文研究了三维Hartree型分数阶薛定谔方程：\begin{equation} i\partial_{t}u-|\nabla|^αu = λ\left(|x|^{-γ} *| u|^{2} \right)u,\;\;1 < α< 2,\;\;0 < γ< 3,\;\; λ\in \mathbb R \setminus \{0\}. \end{equation}在\cite{cho}中，我们知道在长距离（$0 < γ\le 1$）的$L^2$中不发生散射.在\cite{c0, chooz2, cho1}中，短程散射（$1 < γ< 3$）被处理为$H^s$中的散射。在本文中，我们考虑临界情况下（$γ= 1$），并证明了一个修改的散射$L^\infty$上的频率的柯西问题与小的初始数据。为此，我们研究了$x e^{it\nabla} u$，$x^2 e^{it\nabla} u$和$\langleξ\rangle^5 \widehat{e^{it\nabla} u}$的全局行为。由于$\nabla$在零频率附近的非平滑性，$α$的范围被限制为$(\frac{17}{10}, 2)$。
2017-10-23 math.AP
A Physical-Space Approach to Modified Scattering for the 3D Hartree Equation: Full-Space and Robin Half-Space
Brown University（布朗大学）；Yale University（耶鲁大学）
该研究针对三维Hartree方程，在全空间与带Robin边界的半空间中，通过物理空间方法结合Galilean向量场估计等，证明小初值下的整体适定性与修正散射，解决半空间的对称性缺失问题。
2026-10-16 math.AP
Scattering for the generalized Hartree equation with a potential
本文研究带势的聚焦型广义Hartree方程，在径向初值的临界间情形下，采用纳入势的一般质量-势条件，结合基于Tao散射判据与Morawetz估计的简化方法，证明了方程的散射性，拓展了传统框架且证明更简洁。
2024-09-16 math.AP
Global well-posedness and scattering for mass-critical Hartree equation
Graduate School of China Academy of Engineering Physics（中国工程物理研究院研究生部）；School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing（北京科技大学数理学院）；Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学数学系）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics and National Key Laboratory of Computational Physics（应用物理与计算数学研究所及计算物理学国家重点实验室）
本文在标度临界正则性下证明了质量临界 Hartree 方程的散射猜想，去除了径向限制，涵盖散焦与聚焦（质量小于基态）情形。
2026-09-24 math.AP
Modified wave operators without loss of regularity for some long range Hartree equations. II
本文继续研究了具有|x| ^-γ势的长程Hartree方程的散射理论，记作I，在1/2 <γ < 1的范围内.在这里，我们将结果扩展到1/3 < gamma < 1/2的范围。更准确地说，我们研究了具有无限初始时间的局部柯西问题，这是构造修正波算子的主要步骤。我们解决了这个问题，而不会损失渐近状态和解之间的正则性，就像在I中一样，但与I相反，我们不再能够覆盖解的正则性的整个亚临界范围。该方法是一个扩展的，我，使用更好的渐近形式的解决方案，获得作为下一步的自然程序的逐次逼近。
2013-02-27 math-ph math.AP math.MP
Sharp Threshold of Blow-up and Scattering for the fractional Hartree equation
我们考虑分数阶Hartree方程的$L^2$ -超临界情况下，我们发现了一个尖锐的阈值的散射与爆破二分法的径向数据：如果$ M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q]$和$M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\|u_{0}\|^2_{\dot H^s}<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s}$，那么解决方案$u(t)$是全球适定和散射;如果$ M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[u_{0}]<M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}E[Q]$和$M[u_{0}]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\|u_{0}\|^2_{\dot H^s}>M[Q]^{\frac{s-s_c}{s_c}}\| Q\|^2_{\dot H^s}$，解决方案$u(t)$在有限时间爆破。这个条件是尖锐的意义上，孤波解$e^{it}Q(x)$是整体的，但不是散射，这满足上述条件中的等式。这里，$Q$是分数Hartree方程的基态解。
2017-06-02 math.AP
Scattering of radial data in the focusing NLS and generalized Hartree equations
在质量-超临界和能量-亚临界条件下，考虑了聚焦非线性薛定谔方程$i u_t + Δu + |u|^{p-1}u=0$，$p>1,$和广义Hartree方程$iv_t + Δv + (|x|^{-(N-γ)}\ast |v|^p)|v|^{p-2}u=0$，$p\geq2$，$γ<N$.利用初始数据$u_0\in H^1(\mathbb{R}^N)$，从Holmer和Roudenko在径向[16]和Duyckaerts，Holmer和Roudenko在非径向设置[10]中的工作以及进一步的推广（参见[1，11，14]）中，已知NLS情况下质能阈值下的解行为的表征;对于广义Hartree情况，在[2]中进行了开发。特别是，散射是根据Kenig和Merle [17]开发的路线图，使用浓度紧致性和刚度方法来证明的，这是现在色散问题的标准方法。在这项工作中，我们给出了在临界区域内径向设置中NLS和gHartree方程散射的另一种证明，遵循Dodson和Murphy [8]对聚焦3d立方NLS方程的方法，该方法依赖于Tao [27]的散射准则，结合径向Sobolev和Morawetz型估计。我们首先将其推广到NLS情形，然后将其推广到非定域Hartree型势。这种方法提供了一种简化的方法来证明散射，这在其他情况下可能是有用的。
2020-06-29 math.AP
Stability of equilibria for a Hartree equation for random fields
我们考虑一个随机变量的Hartree方程，它描述了无穷多个费米子的时间演化。在欧几里得空间上，该方程具有不局部化的平衡点。我们通过散射的结果，相对于局部扰动的情况下，在高维$d\geq 4$的散焦显示其稳定性。这提供了Lewin和Sabin \cite{LS2}以及Chen，Hong和Pavlović \cite{CHP2}关于算子的Hartree方程的结果的类似。证明依赖于色散技术用于研究散射的非线性薛定谔和Gross-Pitaevskii方程。
2018-11-07 math.AP
Almost sure scattering for defocusing energy critical Hartree equation on $\R^5$
该研究针对五维散焦能量临界Hartree方程，借助修正相互作用Morawetz估计、稳定性理论与窄化Wiener随机化方法，证明了任意正则性初值下解的几乎必然散射性，创新采用新方法推导Morawetz估计，克服了非局部非线性项带来的困难。
2023-08-25 math.AP
Global Cauchy problems for the Klein-Gordon, wave and fractional Schrödinger equations with Hartree nonlinearity on modulation spaces
研究了具有三次卷积（Hartree型）非线性项的Klein-Gordon（HNLKG）、波动（HNLW）和Schrödinger（HNLS）方程的Cauchy问题.在某些调制空间中，在小Cauchy数据下，得到了（HNLKG）和（HNLS）的一些整体适定性和散射性。利用柯西数据在调制空间中得到了一类具有Hartree型非线性项的分数阶薛定谔（fNLSH）方程的整体适定性.局部适定性（HNLW），（fHNLS）和（HNLKG）与调制空间中的粗糙数据。这在某种意义上改进了索伯列夫空间中的已知结果.因此，我们得到了局部和整体的适定性和散射比通常的$L^p-$索伯列夫空间，我们可以包括更广泛的类Hartree型非线性。
2018-10-26 math.AP
Small data scattering for a cubic Dirac equation with Hartree type nonlinearity in $ \R^{1+3}$
我们证明了Dirac方程$ \left ( -iγ^μ\partial_μ+ m \right) ψ = \left(\frac{e^{- |x|}}{|x|} \ast ( \overline ψψ)\right) ψ\quad \text{in } \ \R^{1+3} $的初值问题是全局适定的，并且如果我们从$s>0$的$H^s$中的小初始数据开始，解渐近地散射到自由波$t \rightarrow \pm \infty$。这是一个几乎临界的适定性结果，因为$L^2$是方程的临界空间。证明中的主要成分是Ehartz估计，时空双线性零形式估计的自由波在$L^2$，和应用的$U^p$和$V^p$ -函数空间。
2019-02-27 math.AP
