Blow-up lemma for cycles in sparse random graphs
在最近的一项工作中，艾伦，Böttcher，Hàn，Kohayakawa和Person提供了适用于稀疏（伪）随机图的爆破引理的第一个一般模拟，从而推广了Komlós，Sárközy和Szemerédi的经典工具。粗略地说，他们表明，在随机图$G_{n,p}$ for $p \geq C(\log n/n)^{1/Δ}$中，稀疏正则对在嵌入生成图$H$ with $Δ(H) \leq Δ$方面表现得与完全二部图相似。然而，这通常仅在$Δ\in \{2,3\}$和$H$包含三角形（$Δ= 2$）或$K_4$（$Δ= 3$）的多个副本时才是最佳的。我们第一次超越了这个障碍，并提出了一个稀疏爆破引理周期$C_{2k-1}, C_{2k}$，所有$k \geq 2$，和密度$p \geq Cn^{-(k-1)/k}$，这是在某种程度上最好的可能。作为我们的爆破引理的应用，我们完全解决了Nenadov和Škorić关于稀疏随机图中循环因子的弹性问题。
2021-11-17 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random digraph
讨论了稀疏随机有向图$D_{n,p},p=c/n$中最长有向圈的长度$\vec{L}_{c,n}$，其中$c$为$c$常数.我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$\vec{f}(c)$使得$\vec{L}_{c,n}/n\to \vec{f}(c)$ a.s.函数$\vec{f}(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$c$中的多项式。我们只能显式地给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。
2020-01-17 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random graph
本文讨论了稀疏随机图$G_{n,p},p=c/n$的最长圈的长度。$c$常数。我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$f(c)$使得$L_n(c)/n\to f(c)$ a.s.函数$f(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$k$中的多项式。我们只能明确给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。我们立即看到，最长路径的长度也渐近于$f(c)n$ w. h. p。
2020-01-09 math.CO
Completing the spectrum of almost resolvable cycle systems with odd cycle length
本文构造了奇$k\ge 11$的$4k+1$阶的几乎可分解循环系统.这就完成了具有奇循环长度的几乎可解循环系统存在性的证明。
2017-08-31 math.CO
Cycles in Sparse Graphs II
图$G$的{ \em独立比}由\[ ι(G) := \sup_{X \subset V(G)} \frac{|X|}{α(X)},\]定义，其中$α(X)$是由$X$诱导的$G$的子图的独立数。独立比是色数$χ(G)$的一个放松，在这个意义上，$χ(G) \geq ι(G)$对于每个图$G$，而对于许多自然类的图，这些数量几乎相等。本文讨论了Erdos关于大色数图的圈的两个旧的猜想以及Erdos和Hajnal关于无限色数图的一个猜想.
2010-10-26 math.CO
Counting Hamilton cycles in sparse random directed graphs
设D（n，p）是n个顶点上的随机有向图，其中n（n-1）条可能的弧中的每一条都以概率p独立存在. Frieze的一个著名结果表明，如果$p\ge(\log n+ω(1))/n$，则D（n，p）通常有一个有向Hamilton圈，这是最好的可能.本文得到了这个结果的一个加强，证明了在相同条件下，D（n，p）中有向Hamilton圈的个数典型地为$n!(p(1+o(1)))^{n}$ .我们还证明了这一说法的命中时间版本，表明在随机有向图过程中，只要每个顶点的入/出度至少为1，通常有$n!(\log n/n(1+o(1)))^{n}$有向Hamilton圈。
2018-03-19 math.CO
Spectral radius, edge-disjoint cycles and cycles of the same length
本文给出了保证两个边不交圈和两个等长圈存在的谱条件。这两个结果可以看作是Erdés和Posa的尺寸条件和Erdés关于不存在两个等长圈的经典问题的谱类似。利用双前导特征向量技巧，进一步给出了保证$k$边不交三角形存在的谱条件。
2021-08-20 math.CO
Decompositions of complete multigraphs into cycles of varying lengths
建立了完全多重图分解为给定长度的边不交圈或边不交圈与完美匹配的充要条件.
2015-08-04 math.CO
When all directed cycles have length three
本文针对所有有向环长度均为三的有向图，提出一种构造方法，完整刻画了这类有向图的结构。
2025-02-09 math.CO
Decomposing various graphs into short even-length cycles
证明了在满足明显的必要条件、每个圈的长度至多为最小部分的大小、最长圈至多为第二长圈的三倍的情况下，完全二部图可以分解为任意指定长度的圈。然后，我们使用这个结果得到的结果不完整的甚至循环系统的孔和分解的完整的多部图成周期的均匀甚至长度。
2012-04-16 math.CO
Cycles of given lengths in unicyclic components in sparse random graphs
令$L$是$\{3,4,\dots\}$的子集，并且令$X_{n,M}^{(L)}$是随机图$G(n,M)$中属于其长度在$L$中的单圈分量的圈数。我们发现在亚临界区$M=cn$与$c<1/2$和临界区$M=\frac{n}{2}\left(1+μn^{-1/3}\right)$与$μ=O(1)$中$X_{n,M}^{(L)}$的极限分布。取决于制度和一个条件，涉及系列$\sum_{l \in L} \frac{z^l}{2l}$，我们得到的极限是泊松分布或正态分布为$n\to\infty$。
2020-12-28 math.CO
New tools for sparse graph embeddings: Hybrid expanders and application to nested cycles
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）
该研究引入兼具次线性扩张与强常数因子扩张特性的混合扩张器，证明平均度达2^ω(log^*n)的图含此类子图，将树嵌入等工具引入稀疏图，还解决了Erdős相关工作中Thomassen提出的嵌套环问题。
2026-10-14 math.CO
Partitioning a graph into a cycle and a sparse graph
本文研究了如下形式的结果：“每个图$G$都有一个圈$C$，使得$G$在$V(G)\setminus V(C)$上的诱导子图有小的最大度.“这样的结果以前没有被研究过，但是受到Bessy和Bessassé定理的启发，该定理指出任何图$G$的顶点可以被$G$中的循环$C_1$和$G$的补循环$C_2$覆盖。本文主要有两个定理。首先是每个图都有一个带有$Δ(G[V(G)\setminus V(C)])\leq \frac12(|V(G)\setminus V(C)|-1)$的圈。最大度$Δ(G[V(G)\setminus V(C)])$上的界是最佳可能的。第二个定理是：每一个$k$ -连通图$G$都有一个以$Δ(G[V(G)\setminus V(C)])\leq \frac1{k+1}|V(G)\setminus V(C)|+3$为环的圈.我们也给出了应用程序的第二个定理的一个猜想划分成单色圈的边着色完全图。
2016-07-25 math.CO
Longest cycles in sparse random digraphs
稀疏随机图和有向图中的长路和长圈是20世纪80年代研究的热点。Frieze在1986年证明了具有$p=c/n$的随机图$\cG(n,p)$在除最多$(1+ε)ce^{-c}n$点外的所有点上都有高概率的圈，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$ .由于顶点的度为1，因此对未覆盖顶点的数量的估计基本上是紧的。然而，对于随机有向图$\cD(n,p)$，没有严格的结果是已知的，最佳估计是远离相应下界的$c/2$的因子。在这项工作中，我们关闭了这个差距，并表明，随机有向图$\cD(n,p)$与$p=c/n$有一个圈包含所有，但$(2+ε)e^{-c}n$顶点w.h.p.，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$。这本质上是紧的，因为w.h.p.这样的随机有向图包含具有零入度或出度的$(2e^{-c}-o(1))n$顶点。
2011-02-15 math.CO
Decomposing $K_{u+w}-K_u$ into cycles of various lengths
证明了在满足明显的必要条件下，带洞的完全图$K_{u+w}-K_u$可分解为任意长度的圈，每个圈的长度至多为$\min(u,w)$，且最长圈的长度至多为第二长圈的3倍.这推广了现有的结果分解成均匀长度的周期的完全图与洞，并补充工作分解成周期的任意指定长度的完全图，完全多重图和完全多部图。
2016-03-12 math.CO
DP-3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 7 or 9
本文证明了不含长为4，7或9的圈的可平面图是DP-3-可着色的.
2023-03-08 math.CO
Odd cycles in subgraphs of sparse pseudorandom graphs
我们回答两个极端的问题，自然出现在稀疏伪随机图的研究中的奇数周期。令$Γ$是$(n,d,λ)$ -图，即，$n$ -顶点，$d$ -正则图，所有非平凡特征值都在区间$[-λ,λ]$内. Krivelevich，Lee和Sudakov证明了，只要$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$，$Γ$的每个有$(1/2+o(1))e(Γ)$边的子图$G$都包含一个奇圈$C_{2k+1}$ . Aigner Horev，Hàn和第三作者证明了一个较弱的陈述，允许在假设$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$中有一个额外的多对数因子，但我们完全删除了它，从而解决了猜想。这也推广了Sudakov，Szabo和Vu的三角形Turán型定理。其次，我们得到了奇圈的Ramsey重数结果。也就是说，在相同的参数范围内，我们证明了每个2-边着色的$Γ$包含至少$(1-o(1))2^{-2k}d^{2k+1}$单色副本的$C_{2k+1}$。这两个结果是渐近最好的可能由Alon和Kahale的$C_{2k+1}$ -自由伪随机图的建设。
2019-06-12 math.CO
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
2021-04-03 math.CO
The 3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 6 and 9
本文证明了不含长为4，6，9的圈的可平面图是3-可着色的。
2015-06-15 math.CO
On the directed Oberwolfach Problem with equal cycle lengths: the odd case
证明了完全对称有向图$K_{2m}^\ast$对所有奇数$m$，$5 \le m \le 49$都可分解为长度为$m$的有向圈.因此，$K_{n}^\ast$允许对所有$n \equiv 0 \pmod{2m}$和奇数$m$，$5 \le m \le 49$，可分解为长度为$m$的有向圈。
2017-06-20 math.CO
Cycle lengths and minimum degree of graphs
关于最小度大的图的圈长问题已经有了广泛的研究。本文在这方面得到了几个新的严格结果。设$G$是最小度至少为$k+1$的图.证明了：如果$G$是二部的，则在$G$中存在$k$圈，其长度构成一个公差为2的等差数列.对于一般图$G$，我们证明了$G$包含连续偶数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈和长度构成公差为1或2的等差数列的$k-3$圈.此外，如果$G$是2-连通的且非二部的，则$G$包含连续奇数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈。Lassen（1983）对模$k$的圈长做了两个证明：（1）最小度至少为$k+1$的图包含模$k$的所有偶数长度的圈;（2）最小度至少为$k+1$的2-连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈。这两个假设，如果是真的，是最好的可能。当$k$为偶数时，我们的结果证实了这两种假设。当$k$是奇数时，我们证明了最小度至少为$k+4$就足够了.这改进了以前在这个方向上的所有结果。此外，我们的结果得到了新的上界的色数的最长序列的循环连续（偶数或奇数）的长度。
2015-08-31 math.CO
Cycles of many lengths in Hamiltonian graphs
1999年，Jacobson和Lehel证明了对于$k \geq 3$，每个$k$ -正则哈密顿图都有至少线性地多个不同长度的圈. Verstraëte进一步加强了这一点，他问是否可以用最小度至少为$3$的较弱条件来代替正则性。尽管有许多研究人员的关注，但到目前为止，对这两种方法最好的部分结果是循环长度数量的$\sqrt{n}$下界。我们解决这些问题的渐近，通过显示的周期长度的数量至少是$n^{1-o(1)}$。
2021-04-15 math.CO
A note on the number of edges in a Hamiltonian graph with no repeated cycle length
设$G$是一个$n$ -顶点图，它是通过给一个长度为$n$的圈加上弦而得到的. Markström询问如果$G$中没有两个具有相同长度的循环，则$G$中的最大边数。一个简单的计数参数表明，这样的图最多可以有$n + \sqrt{2n} +1 $边。利用$\mathbb{Z}_n$中的差集，我们证明了对无穷多个$n$，存在一个$n$ -顶点哈密顿图，它有$n + \sqrt{n - 3/4} - 3/2$边且没有重复圈长.
2017-05-22 math.CO
Minimum degree conditions for the existence of cycles of all lengths modulo $k$ in graphs
1983年，Rassen证明了对正整数$k$，每个最小度至少为$k + 1$的$2$ -连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈.本文对这一猜想作了肯定的回答。
2019-04-08 math.CO
Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are near-bipartite
一个图是近二部图，如果它的顶点集可以划分为一个独立集和一个诱导森林的集。本文证明了不含圈长为4 ~ 7的可平面图是近二部图。
2022-04-10 math.CO
Local resilience for squares of almost spanning cycles in sparse random graphs
1962年，Pósa证明了一个图$G=(V, E)$包含一个哈密尔顿圈的平方，如果$δ(G)\ge 2n/3$ .仅仅过了30多年，科姆洛什、萨尔科奇和塞梅雷迪用所谓的爆破引理证明了这个猜想。在这里，我们将他们的结果扩展到一个随机的图形设置。我们证明了对于每个$ε> 0$和$p=n^{-1/2+ε}$ a.a.s. $G_{n,p}$的每个最小度至少为$(2/3+ε)np$的子图在$(1-o(1))n$的顶点上包含圈的平方。这在三种方式中几乎是最好的可能：（1）对于$p\ll n^{-1/2}$，随机图将不包含长循环的任何平方（2）人们不能希望生成循环的平方的弹性版本（因为删除单个顶点的邻域中的所有边破坏了此属性）以及（3）对于$c<2/3$ a.a.s. $G_{n,p}$包含一个最小度至少为$cnp$的子图，该子图不包含$(1/3+c)n$顶点上的路的平方。
2016-06-09 math.CO
Counting pairs of cycles whose product is a permutation with restricted cycle lengths
本文研究乘积循环长度受限时 $N$-循环对的计数，给出精确与渐近公式，并据此证明与恒等排列块转置距离至少为 $(n+1)/2$ 的排列数量具有较高下界。
2024-10-24 math.CO
Polynomial Length Cycles In Tough Graphs
Stanford Online High School（斯坦福在线高中）；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
证明了每个 $n$ 顶点 $15$-坚韧图必含长度为 $\Omega(n^{1/20})$ 的环，给出了多项式下界。
2026-09-16 math.CO
The Alon-Tarsi number of planar graphs without cycles of lengths $4$ and $l$
本文证明了：如果$G$是一个可平面图，对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，它不含4-圈和$l$ -圈，则存在一个匹配的$M$使得$AT(G-M)\leq 3$ .这意味着对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，每个不含4-圈和$l$ -圈的可平面图都是1-亏损3-可画的.
2019-10-28 math.CO
On $3$-uniform hypergraphs avoiding a cycle of length four
本文证明了不含长度为4的Berge圈的$3$ -一致超图的最大边数至多为$(1+o(1))\frac{n^{3/2}}{\sqrt{10}}$ .这改进了Gyagri和Lemons以及Füredi和Özkahya早先的估计。
2020-08-26 math.CO
A procedure to obtain symmetric cycles of any odd length using directed Hajós constructions
有向图$D$的二色数是指$D$的顶点着色的最小颜色数，使得$D$没有单色圈。Hajós加入最近扩展到有向图（使用二色数）由J. Bang-Jensen等。和Hajós（有向）运算是得到r-（di）色（di）图的一个工具。J. Bang-Jensen et. 2020年，他提出了如何从长度为3的对称循环中获得长度为5的对称循环的问题。我们最近通过应用遗传算法解决了这个问题。本文给出了一个通过对长度为3的对称圈应用有向Hajós运算来构造任意奇对称圈的方法，从而推广了已知的长度为5的对称圈的构造.此外，还对该过程进行了分析，确定了其计算复杂性。
2023-01-17 math.CO
Cycles with consecutive odd lengths
证明了存在一个绝对常数c > 0，使得对任意自然数k，任意平均度至少为ck的非二部2-连通图都含有k个连续奇长的圈.这意味着存在一个绝对常数d > 0，即每一个最小度至少为dk的非二部2-连通图都包含模k的所有长度的圈，从而（以强形式）回答了一个Quarassen问题.这两个结果在常数因子下都很尖锐。
2014-10-02 math.CO
Planar graphs with distance of 3-cycles at least 2 and no cycles of lengths 5, 6, 7
本文证明3-圈距离至少为2且无5、6、7圈长的平面图是弱2-退化的，并可划分为一个无边子图和一个森林。
2025-02-25 math.CO
Arithmetic Progressions of Cycle Lengths in Graphs
最近提出的问题Haggkvist和斯科特的问是否存在一个常数c，这样，如果G是一个图的最低程度ck然后G包含周期的k连续甚至长度。本文通过证明当k > 1时，平均度至少为4k，围长为g的二部图包含（g/2-1）k个连续偶数长的圈来回答这个问题。我们还得到了Bondy和Simonovits定理的一个简短证明，即一个阶为n且大小至少为8（k-1）n^{1 + 1/k}的图有一个长为2k的圈。
2002-04-17 math.CO
On a Greedy Algorithm to Construct Universal Cycles for Permutations
长度为$n$的置换的通用循环是循环字或置换，其任何因子与恰好一个长度为$n$的置换顺序同构，并且包含所有长度为$n$的置换作为因子。众所周知，存在长度为$n$的置换的通用循环。然而，所有已知的构建这种循环的方法都相当复杂。例如，在建立泛圈存在性的原始论文中，构造这样的圈涉及在某个图中找到欧拉圈，然后处理偏序集。在本文中，我们提供了一个简单的方法来产生一个通用的循环的排列长度$n$，这是基于应用贪婪算法的排列长度$n-1$。证明了这种方法给出了置换的唯一泛环$Π_n$，并研究了$Π_n$的性质.
2018-07-23 math.CO
A unified proof of conjectures on cycle lengths in graphs
本文证明了一般图中两个给定端点之间存在路的一个最小度紧条件，其长度构成一个长等差数列，且其公差为1或2。这使我们能够获得一些精确的和最佳的结果，圈长度在给定的最小度，连通度或色数的图。更确切地说，我们用统一的方法证明了以下陈述。(1)每个最小度至少为$k+1$的图$G$包含模$k$的所有偶数长度的圈;此外，如果$G$是2-连通且非二部的，则它包含模$k$的所有长度的圈。(2)对所有的$k\geq 3$，每个$k$ -连通图都含有模$k$长度为零的圈. (3)每个最小度至少为$k+1$的3-连通非二部图都含有长度连续的$k$圈. (4)每个色数至少为$k+2$的图都含有长度连续的$k$圈.第一种说法是一个猜想的Lassen，第二个是一个猜想的迪恩，第三个是一个严格的答案问题的邦迪和文斯，第四个是一个猜想的Sudakov和Verstraëte。上述所有结果都是最好的。
2021-01-26 math.CO
Disjoint cycles with length constraints in digraphs of large connectivity or minimum degree
Lichiardopol的一个猜想指出，对于每一个$k \ge 1$，存在一个整数$g(k)$，使得每一个最小出度至少为$g(k)$的有向图包含两两不同长度的$k$顶点不相交有向圈。受Lichiardopol猜想的启发，本文研究了大连通度或大最小度有向图中满足长度约束的点不相交有向圈的存在性。我们的主要结果是：对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在$s(k) \in \mathbb{N}$使得每个强$s(k)$ -连通有向图包含两两不同长度的$k$顶点不相交有向圈.相反，对于每一个$k \in \mathbb{N}$，我们构造了一个强$k$ -连通有向图，其中不包含两个点或弧不相交的相同长度的有向圈。$g(3)$是否存在是一个悬而未决的问题。本文证明了整数$K$的存在性，使得每一个最小出度和入度至少为$K$的有向图都含有两两不同长度的$3$顶点不相交有向圈.
2020-11-23 math.CO
(I,F)-partition of planar graphs without cycles of length 4, 6, or 9
一个图$G$是$(I,F)$ -可分的，如果它的顶点集可以被分成两部分，使得一部分是独立集，另一部分导出森林.本文证明了任何不含长为$4, 6, 9$的圈的可平面图都是$(I,F)$ -可分的.
2023-03-08 math.CO
Decompositions of even hypercubes into cycles whose length is a power of two
本文证明偶数维超立方体对每个 2≤i≤n 都可分解为长度 2^i 的边不交环。
2021-07-15 math.CO
A note on heterochromatic cycles of length 4 in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的异色循环是其中每两个边缘具有不同颜色的循环。对于顶点$v\in V(G)$，令$CN(v)$表示分配给与$v$关联的边的颜色集合。本文证明了$G$包含一个长为4的异色圈，如果对$G$的每对顶点$u$和$v$，$G$都有$n\geq 60$顶点和$|CN(u)\cup CN(v)|\geq n-1$.这扩展了Broersma等人关于存在长度为3或4的异色圈的结果。
2012-01-18 math.CO
$3$-uniform hypergraphs without a cycle of length five
本文证明了$3$ -一致超图在$n$顶点上不存在长度为5的Berge圈时的最大超边数小于$(0.254 + o(1))n^{3/2}$，改进了Bollobás和Gyatriri的一个估计.我们得到这个结果表明，没有多少$3$ -路径可以从某些子图的阴影。
2019-02-17 math.CO
The spectral radius of graphs without paths and cycles of specified length
设G是一个n阶图，mu（G）是G的邻接矩阵的最大特征值.我们研究了当G不包含指定阶的圈和路时，mu（G）可以有多大。特别地，我们确定了不含给定长度路的图的最大谱半径，并给出了不含给定偶圈的图的谱半径的紧界。我们还提出了一些自然开放的问题。
2009-03-31 math.CO
Descent set distribution for permutations with cycles of only odd or only even lengths
本文证明对称群中仅含奇长度循环与仅含偶长度循环的排列数等式在下降集层面的细化，并给出奇数阶情形的变体，方法基于特征标生成函数与高阶 Lie 特征标新恒等式。
2025-02-05 math.CO
Completing the solution of the directed Oberwolfach problem with cycles of equal length
本文通过证明完全对称有向图$K^*_{2m}$可分解为奇数长度的有向圈，彻底解决了桌长为奇数的双桌情形，从而完全解决了具有等长桌的有向Oberwolfach问题。
2023-09-07 math.CO
Cycles of given lengths in hypergraphs
本文提出了一种研究超图圈长的方法。我们的方法是建立在[21，22，18]中使用的早期方法上的。然而，我们没有像大多数现有方法那样利用著名的Bondy和Simonovits引理[4]，而是开发了一个新的非常简单的引理。一个有用的功能，新引理是它的自适应超图设置。利用这种新的方法，我们证明了Verstraëte [37]的一个猜想：对于$r\ge 3$，每个具有平均度$Ω(k^{r-1})$的$r$ -一致超图都含有$k$连续长度的Berge圈.这是尖锐的常数因子。作为一个关键步骤和独立的结果，我们证明了每个平均度至少为$7r(k+1)$的$r$ -一致线性超图都含有长度为$k$的Berge圈.在这两个结果中，我们对圈的长度有了额外的控制，因此也给了我们Berge圈的Turán数的界（同时对偶数和奇数圈）。在已有结果的基础上，进一步改进了Berge圈的Turán数和偶数圈的Zarankiewicz数.我们还将讨论我们的方法的一些潜在的进一步应用。
2016-09-26 math.CO
Decompositions of complete uniform multi-hypergraphs into Berge paths and cycles of arbitrary lengths
1981年，Alspach证明了完全图$ K_{n} $可以分解为任意长度的圈，只要明显的必要条件成立。这个猜想在2014年被Bryant，Horsley和Pettersson完全证明。1983年，Tarsi证明了在完全重图中填充任意长度的两两边不交路的明显必要条件也是充分的.这个猜想在2010年被科比证实。本文研究了完全一致多重超图$ μK_{n}^{(k)} $分解为任意给定长度的Berge圈和Berge路的类似问题。证明了对任意整数$ μ\geq 1 $，$ n\geq 108 $和$ 3\leq k<n $，只要明显的必要条件成立，$ μK_{n}^{(k)} $可分解为任意长度的Berge圈和Berge路，从而推广了Kühn和Osthus关于$K_{n}^{(k)}$分解为Hamilton Berge圈的结果.此外，我们还得到了完全重图中任意长度的圈填充的充要条件。
2016-09-06 math.CO
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
2022-05-03 math.CO
Every planar graph without adjacent cycles of length at most $8$ is $3$-choosable
DP-染色是列表染色的推广，由Dvopiák和Postle在2017年提出，他们证明了每个不含4到8圈的可平面图是3-可选的，这是由Borodin { \it et al.} 2007年本文证明了每一个相邻圈的长度至多为$8$的可平面图都是$3$ -可选的，推广了Dvotelák和Postle的结果.
2019-07-16 math.CO
Cycles of length three and four in tournaments
Linial和Morgenstern证明，在所有具有长度为3的$d\binom{n}{3}$圈的$n$ -顶点竞赛图中，长度为4的圈的数量通过传递竞赛图的随机爆破而渐近最小化，该传递竞赛图除了一个部分大小相等和一个较小的部分之外。通过分析竞赛图的邻接矩阵的可能谱，证明了关于$d\ge 1/36$的猜想.我们还证明了家庭的极值的例子比预期的更广泛，并给出其完整的描述$d\ge 1/16$。
2019-09-13 math.CO
Correspondence coloring and its application to list-coloring planar graphs without cycles of lengths 4 to 8
我们介绍了一个新的变种图着色称为对应着色，推广列表着色，并允许减少以前只可能为普通着色。利用这个工具，我们证明了排除长度为4到8的圈足以保证可平面图的3-可选性，从而回答了Borodin的一个问题。
2016-10-08 math.CO
On two cycles of consecutive even lengths
Bondy和Vince证明了每个最小度至少为3的图都包含两个长度相差1或2的圈，我们证明了下面的平均度对应图：每个至少有$\frac52(n-1)$边的$n$ -顶点图$G$，除非$4|(n-1)$和$G$的每个块是团$K_5$，都包含两个长度连续的偶数圈.我们的证明主要是基于结构分析，一个关键的步骤，可能是独立的兴趣表明，同样的结论适用于每个3-连通图至少有6个顶点。这解决了Verstraëte猜想的一个特例。定量界是紧的，也提供了最佳的极值数的周期长度为2模4。
2022-10-08 math.CO
Disjoint cycles of different lengths in graphs and digraphs
理解图或有向图的圈的一般行为一直是图论的一个重点。本文研究了求一组$k$顶点不交圈的问题。有向循环）的不同长度的给定图（分别为有向图）。在无向图的背景下，我们证明了，对于每一个$k \geq 1$，每一个图的最小度至少$\frac{k^2+5k-2}{2}$有不同长度的$k$顶点不相交的循环，其中的度界是最好的可能。我们还考虑更强的情况下，并展示度界限（其中一些是最好的可能），例如，当图是三角形自由，或要求$k$周期有不同的长度全等一些值模一些$r$。在有向图的上下文中，我们考虑Lichiardopol的一个猜想，关于一个有向图具有不同长度的$k$顶点不相交有向圈所需的最小出度。我们验证了这一猜想的比赛，并通过使用概率的方法，正则有向图和小阶有向图。
2016-01-08 math.CO
Decompositions of some classes of regular graphs into cycles and paths of length eight
针对完全图的张量积和圈积，论文刻画其分解为长度8的圈与路径的充要条件。
2024-03-04 math.CO
Non-repeated cycle lengths and Sidon sequences
本文证明了Boros，Caro，Füredi和Yuster关于无重复圈长的2-连通图的最大边数的一个猜想，该猜想是Erdos的一个长期存在的问题的限制版本.我们的证明与Boros，Caro，Füredi和Yuster的匹配下界结构一起表明，这个问题可以在概念上归结为数论中寻找最大Sidon序列的开创性问题。
2020-07-24 math.CO
