On $3$-uniform hypergraphs avoiding a cycle of length four
Beka Ergemlidze, Ervin Győri, Abhishek Methuku, Nika Salia, Casey Tompkins
本文证明了不含长度为4的Berge圈的$3$ -一致超图的最大边数至多为$(1+o(1))\frac{n^{3/2}}{\sqrt{10}}$ .这改进了Gyagri和Lemons以及Füredi和Özkahya早先的估计。
In this note we show that the maximum number of edges in a $3$-uniform hypergraph without a Berge cycle of length four is at most $(1+o(1))\frac{n^{3/2}}{\sqrt{10}}$. This improves earlier estimates by Győri and Lemons and by Füredi and Özkahya.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Avoiding monochromatic sub-paths in uniform hypergraph paths and cycles
我们提出了一个递归公式的数量的方法，颜色$j$顶点蓝色的大小为$n$的r-均匀超路径，同时避免蓝色单色子超路径的长度为k。我们利用这个结果解决了$(r-1)$ -紧r-一致路和松r-一致圈的相应问题。这推广了可靠性工程和可靠性分析中的一些已知结果。
Large monochromatic components and long monochromatic cycles in random hypergraphs
将Gyárfás和Füredi关于$r$ -着色完全$k$ -一致超图的最大单色分支的结果推广到随机超图的情形.我们还研究了$r$着色随机超图中的长单色松散圈。特别地，我们得到了Gyárfás，Sárközy和Szemerédi关于$2$ -着色完全$k$ -一致超图中最长单色松弛圈的一个结果的随机模拟.
A note on a Broken-cycle Theorem for hypergraphs
Whitney的破圈定理将图的色多项式表示为特殊边子集上的和。我们给出了超图中圈的一个定义，它保持了定理的陈述。
Hamilton cycles in line graphs of 3-hypergraphs
证明了秩为3的超图的每个52-连通线图都是Hamilton的。这是第一个结果，这种类型的有界秩超图比普通图。
On $3$-uniform hypergraphs without linear cycles
研究了不含线性圈的$3$ -一致超图$H$的性质.我们的主要结果是：这些超图必须包含一个强度不超过2的顶点，并且必须有大小至少为${2|V(H)|\over 5}$的独立集。
Matroidal Cycles and Hypergraph Families
本研究提出适用于任意超图的超图拟阵新定义，推广了两类既有定义，由此得到超图圈与超树的新概念，给出超图基于拟阵闭包的等价关系，并刻画了与对应拟阵回路超图同构的超图。
On extremal hypergraphs for hamiltonian cycles
研究超图中存在哈密顿圈的充分条件，得到了Turán-型和Dirac-type结果. Turán型结果给出了一个仅依赖于某条路的极值数的超图中哈密顿圈出现的精确阈值，而Dirac型结果给出了一个仅依赖于最小顶点度的充分条件.
Berge cycles in non-uniform hypergraphs
考虑了不含长Berge圈的集合系统的两个极值问题。首先，我们给出了Dirac型的最小程度的条件，迫使长Berge圈。其次，我们给出了有界周长超图中超边个数的一个上界。在无限多的情况下，这两种结果都是最好的。
Hamilton cycles in quasirandom hypergraphs
我们证明了，对于$k$ -一致超图中的拟随机性的一个自然概念，任何具有恒定边密度和最小顶点度$Ω(n^{k-1})$的$k$ -一致超图在$n$顶点上都包含一个松散的Hamilton圈.我们还给出了一个构造，证明了满足这些条件的$k$ -一致超图，如果$k-\ell$可除$k$，则不需要包含Hamilton $\ell$ -圈. $\ell$的其余值形成了一个有趣的开放性问题。
Properly colored Hamilton cycles in Dirac-type hypergraphs
考虑了$k$ -一致超图中Dirac型问题的一个鲁棒变形。例如，我们证明了如果$H$是一个$k$ -均匀超图，其最小余度至少为$(1/2 + γ)n$，$γ>0$，并且$n$是足够大的，那么满足适当局部约束的任何边着色$ϕ$在$H$中产生一个适当着色的紧Hamilton圈.也显示了松散循环的类似结果。
The Structure of Hypergraphs without long Berge cycles
本文研究了不含Berge圈的$r$ -一致超图的结构，证明了对于$k \leq r$，不含Berge圈的$k$-一致超图具有一些特殊的子结构.特别地，我们确定了这类超图的极值数，对$k=r$时的极值给出了肯定的回答，并对Kostochka-Luo最近的一个结果给出了一个简单的解决方案，当$k < r$ .
Tight Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs
本文证明了对于所有的$k\ge 4$，$e/n$是随机$k$ -一致超图中存在紧Hamilton圈的最佳阈值.当$k=3$，我们表明，$1/n$是一个渐近阈值。我们还确定了其他类型的Hamilton圈的存在的阈值。
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
On Hamiltonian Berge cycles in $3$-uniform hypergraphs
给定一个集合$R$，如果超图的每一个超边的大小都属于$R$，则超图是$R$ -一致的.一个超图$\mathcal{H}$称为\textit{covering}，如果每个顶点对都包含在$\mathcal{H}$的某个超边中。本文证明了对任意$3\leq s\leq n$，$[3]$ -一致覆盖超图都包含一个Berge圈$C_s$.作为应用，我们确定了$k$ -一致Berge- $C_{t}$ -free超图和Berge- $P_{t}$ -free超图的最大拉格朗日量.
Almost partitioning 2-coloured complete 3-uniform hypergraphs into two monochromatic tight or loose cycles
本文证明了：对每一个η > 0，存在一个整数n_0，使得n个\geq n_0顶点上的3-一致完全超图的每一个2-着色都包含两个不相交的不同颜色的单色紧圈，这两个紧圈一起覆盖除至多ηn个顶点之外的所有顶点.如果我们用松散的周期来代替紧密的周期，同样的结果也成立。
The minimum vertex degree for an almost-spanning tight cycle in a $3$-uniform hypergraph
本文证明了最小顶点度至少为$\left(\frac{5}{9} + o(1) \right)\binom{n}{2}$的$3$-一致超图存在几乎生成紧圈，即不含$o(n)$顶点的紧圈.顶点度的界是渐近最佳可能的。我们的证明使用超图正则性方法，特别是最近版本的超图正则性引理证明艾伦，Böttcher，库利和麦考夫。
Avoiding long Berge cycles II, exact bounds for all $n$
设$EG_r(n,k)$表示无长度为$k$或更长Berge圈的$n$ -点$r$ -一致超图的最大边数.在本文的第一部分中，我们找到了$EG_r(n,k)$的精确值，并描述了$k-2$整除$n-1$和$k\geq r+3$时的极超图的结构。本文确定了$EG_r(n,k)$，并刻画了当$k\geq r+4$满足时所有$EG_r(n,k)$的极超图.
Minimum vertex degree conditions for loose Hamilton cycles in $3$-uniform hypergraphs
研究了$3$ -一致超图的最小顶点度条件，该条件保证了松弛Hamilton圈的存在性。一个松散的哈密尔顿圈是一个生成圈，其中只有连续的边相交，这些交点恰好由一个顶点组成。证明了每一个顶点度最小的$3$ -一致$n$ -顶点（$n$偶）超图$\mathcal{H}$ $δ_1(\mathcal{H})\geq \left(\frac7{16}+o(1)\right)\binom{n}{2}$包含一个松弛Hamilton圈。这个界是渐近最佳可能界。
Squares of Hamiltonian cycles in 3-uniform hypergraphs
证明了每一个具有$|V(H)|=n$且最小度至少为$(4/5+o(1))n$的$3$ -一致超图$H=(V,E)$都包含一个平方哈密顿圈.这可能被视为迈向超图版本的Pósa-Seymour猜想的第一步。
Cycles as edge intersection hypergraphs of $k$-uniform hypergraphs ($k \le 6$) -- a constructive approach
如果${\cal H}=(V,{\cal E})$是一个超图，则它的边交超图$EI({\cal H})=(V,{\cal E}^{EI})$具有边集${\cal E}^{EI}=\{e_1 \cap e_2 \ |\ e_1, e_2 \in {\cal E} \ \wedge \ e_1 \neq e_2 \ \wedge \ |e_1 \cap e_2 |\geq 2\}$。本文研究了4-和5-一致超图${\cal H}$，分别用$EI({\cal H}) = C_n$ .我们的结果填补了arXiv：1902.00396中考虑的3-和6-均匀情况之间的空白。
Avoiding long Berge cycles
设$n\geq k\geq r+3$和$\mathcal H$是$n$ -点$r$ -一致超图.证明了如果$|\mathcal H|> \frac{n-1}{k-2}\binom{k-1}{r}$，则$\mathcal H$包含长度至少为$k$的Berge圈.当$k-2$分裂$n-1$时，这种结合是紧密的。我们还证明了，只有连通的$r$ -一致超图，其中每一个块是完全超图$K^{(r)}_{k-1}$的界限。我们猜想我们的界在$k=r+2$的情况下也成立，但是短圈的情况$k\leq r+1$是不同的。
Hamilton $\ell$-cycles in randomly-perturbed hypergraphs
证明了对于整数$2 \leq \ell < k$和一个小常数$c$，如果一个具有线性最小余度的$k$ -一致超图以概率$p \geq O(n^{-(k-\ell)-c})$被随机“扰动”，则所得到的$k$ -一致超图以高概率包含一个Hamilton $\ell$ -圈.这补充了最近类似的结果汉密尔顿$1$ -周期由于Krivelevich，关和Sudakov，和一个可比定理在图的情况下，由于Bohman，Frieze和马丁。
Loose Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs
在随机超图$H_{n,p;k}$中，每个可能的$k$ -元组以概率$p$独立出现。一个松散的哈密尔顿圈是一个圈，其中每对邻边相交于一个单一的顶点。我们证明，如果$p n^{k-1}/\log n$趋于无穷大的$n$，然后$$\lim_{\substack{n\to \infty 2(k-1) |n}}\Pr(H_{n,p;k}\ contains\ a\ loose\ Hamilton\ cycle)=1.$$这是渐近最好的可能。
On 3-uniform hypergraphs without a cycle of a given length
研究了$n$顶点上不含给定长度$\ell$的Berge圈的3-一致超图的最大超边数.特别地，我们证明了$C_{2k+1}$自由超图的上界是$O(k^2n^{1+1/k})$阶的，从而将Györi和Lemons的上界提高了$Θ(k^2)$倍.线性超图也有类似的界限。
$3$-uniform hypergraphs and linear cycles
Gyárfás，Gyamiri和Simonovits证明了如果一个顶点为$n$的$3$-一致超图不存在线性圈，则它的独立数$α\ge \frac{2n} {5}$.由完全超图$K_5^3$在五个顶点上的顶点不相交副本组成的超图表明等式成立。他们问如果我们排除$K_5^3$作为子超图，这个界限是否可以得到改善，以及这样的超图是否是$2$-可着色的。在本文中，我们肯定地回答这些问题。也就是说，我们证明了如果一个$3$-一致线性无圈超图不包含$K_5^3$作为子超图，那么它是$2$-可着色的。这个结果清楚地暗示了它的独立数为$α\ge \lceil \frac{n}{2} \rceil$。我们证明了这个界是尖锐的。Gyárfás，Gyri和Simonovits也证明了一个无线性圈的$3$-一致超图包含一个强度至多为2的顶点。在本文中，我们证明了当$n \ge 10$时，一个无线性圈的$3$-一致超图的顶点度至多为$n-2$。
Relative Turán Numbers for Hypergraph Cycles
对于$r$ -一致超图$H$和一族$r$ -一致超图$\mathcal{F}$，相对Turán数$\mathrm{ex}(H,\mathcal{F})$是$H$的无$\mathcal{F}$子图中的最大边数.本文给出了某些超图圈族$\mathcal{F}$如Berge圈和松弛圈的$\mathrm{ex}(H,\mathcal{F})$的下界.特别地，如果$\mathcal{C}_\ell^3$表示所有$3$ -一致Berge $\ell$ -圈的集合，并且$H$是一个3-一致超图，其最大度为$Δ$，我们证明了\[\mathrm{ex}(H,\mathcal{C}_4^{3})\ge Δ^{-3/4-o(1)}e(H),\] \[\mathrm{ex}(H,\mathcal{C}_5^{3})\ge Δ^{-3/4-o(1)}e(H),\]，并且这些界紧到$o(1)$项.
Paths, cycles and sprinkling in random hypergraphs
证明了对任意$2 \le j \le k-1$，$k$ -均匀二项随机超图中最长$j$ -紧圈长度的一个下界。我们首先证明了所需长度的$j$紧路径的存在性。标准的“喷洒”论证不足以表明这条路径可以闭合于一个$j$紧循环--因此我们证明了这条路径有许多扩展，这足以允许喷洒闭合循环。
Regularity method for hypergraphs with $4$-cycle-free links
该研究将超图正则性方法扩展到顶点链接不含C₄的稀疏3-均匀超图，针对不含K₁,₂,₂且边数为O(|V|^(5/2))的此类超图，建立了七顶点紧圈减一边移除引理的稀疏类似物。
Anti-Ramsey numbers of paths and cycles in hypergraphs
反Ramsey问题是由Erdens，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的。超图$\mathcal{H}$的反Ramsey数$ar(n,s, \mathcal{H})$是最小的整数$c$，使得在$n$顶点上的$s$ -均匀完全超图的边的任意着色中，都存在一个边具有不同颜色的$\mathcal{H}$的副本.本文对足够大的$n$确定了超图中线性路和松散路的反Ramsey数，并给出了Berge路的反Ramsey数的界。类似的精确的反拉姆齐数得到线性/松散的循环，并获得边界的Berge循环。我们的主要工具是路径扩张技术和超图Turán问题的稳定性结果。
Packing tight Hamilton cycles in uniform hypergraphs
我们说$k$ -一致超图$C$是$\ell$型的Hamilton圈，对于某些$1\le \ell \le k$，如果存在$C$的顶点的循环序使得$k$中的每一条边都由$k$的连续顶点组成，并且对于$C$中的每一对连续边$E_{i-1},E_i$（按边的自然序），我们有$|E_{i-1}\setminus E_i|=\ell$ .定义了一类$(\e,p)$正则超图，它包含随机超图，我们可以证明这类超图的几乎所有边都可以分解为$\ell$型Hamilton圈，其中$\ell<k/2$ .
Dirac's Theorem for hamiltonian Berge cycles in uniform hypergraphs
著名的狄拉克定理给出了保证哈密顿圈存在的$n$ -顶点图的最小度的精确界。本文证明了对于所有$3\leq r< n$，在$r$ -一致，$n$ -顶点超图中Hamilton Berge圈的相似型的精确界. $r<n/2$和$r\geq n/2$的界限不同。我们还给出了在这类超图中保证长度至少为$k$的Berge圈的存在的最小度的界，该界对所有的$k\geq n/2$都是精确的。
$3$-uniform hypergraphs without a cycle of length five
本文证明了$3$ -一致超图在$n$顶点上不存在长度为5的Berge圈时的最大超边数小于$(0.254 + o(1))n^{3/2}$，改进了Bollobás和Gyatriri的一个估计.我们得到这个结果表明，没有多少$3$ -路径可以从某些子图的阴影。
On tight cycles in hypergraphs
一个紧$k$ -一致$\ell$ -圈，记作$TC_\ell^k$，是一个$k$ -一致超图，其顶点集是$v_0, \cdots, v_{\ell-1}$，所有的边都是$k$ -元组$\{v_i, v_{i+1}, \cdots, v_{i+k-1}\}$，下标模为$\ell$ .受图论中一个经典结果的启发，即每个$n$ -顶点无圈图最多有$n-1$边，Sós和Verstraëte独立地问，对于每个整数$k$，没有任何紧$k$ -均匀圈的$k$ -均匀$n$ -顶点超图是否最多有$\binom{n-1}{k-1}$边。在本文中，我们回答这个问题是否定的。
Localised codegree conditions for tight Hamilton cycles in 3-uniform hypergraphs
研究了一致稠密$3$ -一致超图中Hamilton圈存在的充分条件。这种类型的问题首先被Lenz、Mubayi和Mycroft考虑为松散的Hamilton圈，而Aigner-Horev和Levy则考虑为紧致的Hamilton圈，并给出了一个相当强的一致稠密超图的概念。我们专注于紧圈，并获得最佳结果的一个较弱的概念一致稠密超图。本文证明了：如果$n$ -顶点$3$ -一致超图$H=(V,E)$具有这样的性质：对于任意顶点集$X$和任意顶点对的集合$P$，属于$P$的顶点对和来自$X$的顶点组成的超边的个数至少为$(1/4+o(1))|X||P| - o(|V|^3)$，且$H$的最小顶点度至少为$Ω(|V|^2)$，则$H$包含紧Hamilton圈.概率构造表明，常数$1/4$在这种情况下是最佳的。
Loose Hamilton Cycles in Random 3-Uniform Hypergraphs
在随机超图H=H（n，p;3）中，每一个可能的三元组都以概率p独立出现。一个松散的Hamilton圈可以描述为边序列{x_i，y_i，x_{i+1} \}，其中i= 1，2，.，n/2。证明了存在一个绝对常数K>0，使得当p> \log n/n^2时，有lim_{n->oo 4 |n} }Pr（H（n，p;3）包含一个松弛Hamilton圈）=1.
Loose Hamilton cycles in hypergraphs
本文证明了任意最小度至少为n/（2（k-1））+o（n）的n阶k-一致超图都包含一个松弛Hamilton圈。证明策略与Kühn和Osthus在3-一致情况下使用的策略相似。虽然在k一致的情况下会出现一些额外的困难，但我们的论证通过应用Keevash最近的超图爆破引理而大大简化。
Tight cycles and regular slices in dense hypergraphs
我们研究的随机子复合物的分区返回（一个合适的形式）的强超图正则引理，我们称之为定期切片。我们认为，这些subcomplex捕获许多重要的结构特性的原始超图。因此，我们主张使用它们的极值超图理论，并解释他们如何可以导致相当大的简化，在现有的证明在这一领域。我们还使用它们来建立以下两个新结果。首先，我们证明了Erdens-Gallai定理的一个超图推广：对于每个$δ>0$，每个至少有$(α+δ)\binom{n}{k}$边的充分大的$k$ -一致超图包含一个长度为$αn$的紧圈，其中每个$α\in[0,1]$都有一个长度为$αn$的紧圈.其次，我们（渐近地）找到了一个$k$ -一致$k$ -部超图的最小余度要求，对于每个$0<α<1$，该超图的每一部分都有$n$顶点，且包含一个长度为$αkn$的紧圈.
Minimum pair degree condition for tight Hamiltonian cycles in $4$-uniform hypergraphs
证明了每一个顶点数为$n$且最小度至少为$(5/9+o(1))n^2/2$的4-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.这个度条件是渐近最优的。
The number of hypergraphs without linear cycles
$r$ -均匀线性$k$ -循环$C^r_k$是在$k(r-1)$顶点上的$r$ -均匀超图，其边是按循环排序的$r$连续顶点的集合，以这样的方式选择，即每对连续边恰好共享一个顶点。在这里，我们证明了线性圈的平衡过饱和结果，然后我们使用超图容器的方法，证明了对于任何固定的整数对$r, k \ge 3$，$n$顶点上的$C^r_k$ -free $r$ -uniform超图的个数是$2^{Θ(n^{r-1})}$，从而解决了Mubayi和Wang的一个猜想.
Forbidding Hamilton cycles in uniform hypergraphs
对于$1\le d\le \ell< k$，给出了$k$ -一致超图中保证Hamilton $\ell$ -圈的最小$d$ -度阈值的一个新的下界.当$k\ge 4$和$d< \ell=k-1$时，这个界大于完美匹配的最小$d$度阈值，从而反驳了Rödl和Rucibrski的一个著名猜想。我们的（简单的）建设推广的建设Katona和Kierstead和空间障碍的Hamilton圈。
Minimum vertex degree condition for tight Hamiltonian cycles in 3-uniform hypergraphs
证明了每一个顶点数为$n$且最小顶点度至少为$(5/9+o(1))\binom{n}2$的3-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.已知的下界构造表明，这个度条件是渐近最优的。
Partitioning $2$-coloured complete $k$-uniform hypergraphs into monochromatic $\ell$-cycles
我们证明了对于所有的$\ell, k, n$与$\ell \leq k/2$和$(k-\ell)$除$n$的下列超图变体的Lehel猜想是真实的。$k$ -均匀完全超图$\mathcal{K}_n^{(k)}$在$n$顶点上的每一个$2$ -边染色最多有两个不相交的不同颜色的单色$\ell$ -圈，它们一起覆盖除至多$4(k-\ell)$顶点之外的所有顶点。如果$\ell \leq k/3$，则至多两个$\ell$ -循环覆盖除至多$2(k-\ell)$顶点之外的所有顶点。此外，我们可以覆盖所有顶点与最多$4$（$3$，如果$\ell\leq k/3$）不相交的单色$\ell$ -循环。
Hamilton cycles in hypergraphs below the Dirac threshold
建立了最小余度接近于$n/2$且含有Hamilton $2$ -圈的$4$ -一致超图的精确刻画.作为直接推论，我们确定了$4$ -一致超图中Hamilton $2$ -圈的Dirac阈值.此外，通过derandomising证明我们的特征，我们提供了一个多项式时间算法，给定一个$4$ -均匀超图$H$与最小的codegree接近$n/2$，要么发现一个汉密尔顿$2$ -周期在$H$或提供一个证书，没有这样的周期存在。这个令人惊讶的结果与图的设置相反，在图的设置中，在狄拉克阈值以下，确定图是否是哈密顿的是NP困难的。我们还考虑了$k$ -一致超图$H$中的紧Hamilton圈，给出了一系列的约简，证明了判定具有最小度$δ(H) \geq \frac{1}{2}|V(H)| - O(1)$的$k$ -一致超图$H$是否包含紧Hamilton圈是NP-困难的.因此，对于紧Hamilton圈，不太可能得到类似的特征。
Fractional cycle decompositions in hypergraphs
证明了对任意整数$k\geq 2$和$\varepsilon>0$，存在一个整数$\ell_0\geq 1$，使得当$\ell\geq \ell_0$和$n$就$\ell$而言很大时，$n$顶点上的任意$k$ -一致超图的最小余度至少为$(1/2+\varepsilon)n$，都有一个分数分解为长度为$\ell$的紧圈（简称$\ell$ -圈）.这基本上是紧的。这也立即产生这些超图到$\ell$ -圈的近似积分分解。此外，对于图，这甚至保证了积分分解成$\ell$ -圈，并解决了格洛克，库恩和Osthus提出的问题。对于我们的证明，我们引入了一个新的方法来寻找一组$\ell$ -循环，使每个边缘包含在大致相同数量的$\ell$ -循环从这个集合，利用某些马尔可夫链快速混合。
On hypergraphs without loose cycles
最近，Mubayi和Wang证明了对于$r\ge 4$和$\ell \ge 3$，不包含任何长度为$\ell$的松弛圈的$n$ -顶点$r$ -图的个数至多为$2^{O( n^{r-1} (\log n)^{(r-3)/(r-2)})}$ .我们改进了这个束缚到$2^{O( n^{r-1} \log \log n) }$。
Cycles of given lengths in hypergraphs
本文提出了一种研究超图圈长的方法。我们的方法是建立在[21，22，18]中使用的早期方法上的。然而，我们没有像大多数现有方法那样利用著名的Bondy和Simonovits引理[4]，而是开发了一个新的非常简单的引理。一个有用的功能，新引理是它的自适应超图设置。利用这种新的方法，我们证明了Verstraëte [37]的一个猜想：对于$r\ge 3$，每个具有平均度$Ω(k^{r-1})$的$r$ -一致超图都含有$k$连续长度的Berge圈.这是尖锐的常数因子。作为一个关键步骤和独立的结果，我们证明了每个平均度至少为$7r(k+1)$的$r$ -一致线性超图都含有长度为$k$的Berge圈.在这两个结果中，我们对圈的长度有了额外的控制，因此也给了我们Berge圈的Turán数的界（同时对偶数和奇数圈）。在已有结果的基础上，进一步改进了Berge圈的Turán数和偶数圈的Zarankiewicz数.我们还将讨论我们的方法的一些潜在的进一步应用。
Stability of extremal connected hypergraphs avoiding Berge-paths
本文证明了避免 Berge-路径的连通一致超图极值结果的稳定性版本，通过构造 $\mathcal{H}_2$ 并证明超边数超过 $|\mathcal{H}_2|$ 的超图必为极值超图 $\mathcal{H}_1$ 的子超图。
Hamiltonicity and $σ$-hypergraphs
定义并研究了一类特殊的超图。一个$σ$ -超图（$H= H(n,r,q$ $\mid$ $σ$），其中$σ$是$r$的一个划分，是一个$r$ -均匀超图，其$nq$顶点被划分为$q$顶点的$ n$类，每个顶点都是$q$顶点.如果类由$V_1$，$V_2$，.表示，如果由非零基数$ \mid$ $K$ $\cap$ $V_i \mid$，$ 1 \leq i \leq n$形成的$r$的划分是$σ$，则大小为$r$的$V(H)$的子集$K$是边。非空交集$K$ $\cap$ $V_i$称为$K$的部分，$s(σ)$表示部分的数量。我们考虑超图中的各种类型的圈，例如Berge圈和尖锐圈，其中只有连续边有非空交集。我们证明了大多数$σ$ -超图都包含一个Hamilton Berge圈，并且对于$n \geq s+1$和$q \geq r(r-1)$，$σ$ -超图$H$总是包含一个尖Hamilton圈.我们也将这个结果推广到$k$ -相交圈。
Positive codegree thresholds for Hamilton cycles in hypergraphs
本研究给出了k一致超图中哈密顿ℓ-环的渐近最优最小正余度条件，揭示了其与最小余度结论的对偶性，并证明了紧哈密顿环相关猜想的渐近版本。
Hamiltonian Berge cycles in random hypergraphs
本文研究了随机$r$ -一致超图中Hamilton Berge圈的出现.对于$r\geq 3$，我们证明了一个最优停时结果，即如果边被加到一个初始为空的$r$ -图上，那么只要最小度至少为2，超图几乎必然有这样一个圈.特别地，这决定了Erdens-Rényi随机$r$ -图的Berge Hamilton性的阈值概率，并且证明了$2$ -out随机$r$ -图几乎必然有这样的圈.对于\textit{weak Berge}圈，我们也得到了类似的结果，从而解决了Poole的一个猜想.
Partitioning edge-coloured hypergraphs into few monochromatic tight cycles
利用Gyárfás的一个猜想，证明了对所有自然数$k$和$r$，每个$r$ -边色完全$k$ -一致超图的顶点都可划分为有界数目的单色紧圈（与超图的大小无关）.进一步证明了对所有自然数$p$和$r$，每个$r$ -边着色完全图的顶点都可划分为有界个数的$p$ -次幂圈，从而解决了Elekes，Soukup，Soukup和Szentmiklóssy的问题.事实上，我们证明了这两个定理的一个共同的概括，进一步扩展这些结果的所有主机超图的有界独立数。
On Hamiltonian cycles in hypergraphs with dense link graphs
本文证明了每一个$k$ -一致超图在$n$顶点上的最小$(k-2)$ -度至少为$(5/9+o(1))n^2/2$，都含有一个哈密顿圈. Han和Zhao的一个构造表明这个最小度条件是最优的。Lang和Sahueza-Matamala独立证明了同样的结果。
Decomposing hypergraphs into cycle factors
Rödl，Rucirobski和Szemerédi的一个著名结果保证了$k$ -一致超图$H$在$n$顶点上的（紧）Hamilton圈具有最小$(k-1)$ -度$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$，从而将Dirac的结果从图推广到超图。对于图，我们知道的更多;每个在$n$顶点上具有$δ(G)\geq (1/2+o(1))n$的图都包含$(1-o(1))r$边不相交的Hamilton圈，其中$r$是最大整数，使得$G$包含一个生成$2r$ -正则子图，这显然是渐近最优的。费伯、克里维列维奇和苏达科夫在回答库恩、拉平斯卡斯和奥斯托斯提出的问题时证明了这一点。我们将这个结果推广到超图;每个$k$ -一致超图$H$的$n$顶点与$δ_{k-1}(H)\geq (1/2+o(1))n$包含$(1-o(1))r$边不相交（紧）的Hamilton圈，其中$r$是最大的整数，使得$H$包含一个生成子图，每个顶点属于$kr$边。特别是，这产生了一个问题的格洛克，库恩和奥斯托斯的渐近解。事实上，我们的主要结果适用于近似顶点正则$k$ -均匀超图的弱拟随机属性，并提供近似分解成周期因子没有太短的周期。
Hypergraphs with no tight cycles
证明了不含紧圈的$n$顶点上的$r$ -一致超图至多有$O(n^{r-1} (\log n)^5)$边.这是一个改进以前最有名的界限，$n^{r-1} e^{O(\sqrt{\log n})}$，由于Sudakov和Tomon，我们的证明建立在他们的工作。B. Janzer暗示我们的界紧到一个$O((\log n)^4 \log \log n)$因子。
Large hypergraphs without tight cycles
一个$r$ -长度为$\ell>r$的均匀紧圈是一个超图，顶点为$v_1,\dots,v_\ell$，边为$\{v_i,v_{i+1},\dots,v_{i+r-1}\}$（对所有的$i$），索引取模为$\ell$。Sudakov和Tomon证明了对于每个固定的$r\geq 3$，一个不包含任何长度的紧圈的$r$ -一致超图在$n$顶点上至多有$n^{r-1+o(1)}$超边，但最著名的构造（具有最大边数）只给出$Ω(n^{r-1})$边.本文证明了对每个固定的$r\geq 3$，存在具有不含紧圈的$Ω(n^{r-1}\log n/\log\log n)$边的$r$ -一致超图，并证明了上界指数中的$o(1)$项是必要的.
Cycles as edge intersection hypergraphs
如果${\cal H}=(V,{\cal E})$是一个超图，则它的边交超图$EI({\cal H})=(V,{\cal E}^{EI})$具有边集${\cal E}^{EI}=\{e_1 \cap e_2 \ |\ e_1, e_2 \in {\cal E} \ \wedge \ e_1 \neq e_2 \ \wedge \ |e_1 \cap e_2 |\geq2\}$。从arXiv：1901.06292中引出一个问题，证明了对于$n \ge 24$，存在一个3-正则（如果$n$是偶数- 6-均匀）超图${\cal H}=(V,{\cal E})$，它具有$\lceil \frac{n}{2} \rceil$超边和$EI({\cal H}) = C_n$ .
Loose cores and cycles in random hypergraphs
受超图中松弛圈研究的启发，我们定义超图中的\emph{loose core}为反映图中圈与$2$ -核之间密切关系的结构。我们证明了在$r$ -均匀二项随机超图$H^r(n,p)$中，松散核的序在某个临界阈值下发生相变，并在亚临界和超临界状态下渐近地确定了这种序以及边数.我们的主要工具是一种名为CoreConstruct的算法，它使我们能够分析松散核心的剥离过程。通过分析该算法，我们确定了松散核中顶点的渐近度分布，特别是松散核中包含多少顶点和边。作为推论，我们得到了$H^r(n,p)$中最长松弛圈长度的一个改进的上界。
Tight Hamilton cycles in random hypergraphs
本文给出了边概率p=n^{-1+eps}的随机r-一致超图中紧Hamilton圈存在性的算法证明。这部分地回答了Dudek和Frieze [Random Structures Algorithms]的一个问题，他们使用二阶矩方法证明了即使对于p=omega（n）/n（r>2），其中omega（n）缓慢地趋于无穷大，以及对于p=（e+o（1））/n（r>3），也存在紧的Hamilton环。我们开发的方法来证明我们的结果适用于相关的问题。
Packing Hamilton Cycles in Random and Pseudo-Random Hypergraphs
我们说$k$ -一致超图$C$是$\ell$型的Hamilton圈，对于某些$1\le \ell \le k$，如果存在$C$的顶点的循环序使得$k$中的每一条边都由$k$的连续顶点组成，并且对于$C$中的每一对连续边$E_{i-1},E_i$（按边的自然序），我们有$|E_{i-1}-E_i|=\ell$ .证明了对于$\ell \le k\le 2\ell$，具有$p(n)\gg \log^2 n/n$的随机$k$ -一致超图$H(n,p,k)$的几乎所有边都有可能分解为边不交型$\ell$ Hamilton圈.对于$\ell \le k\le 2\ell$，我们还给出了将伪随机$k$ -一致超图的几乎所有边分解为$\ell$型Hamilton圈的充分条件.对于$\ell=k$，这些结果表明，相应的随机和伪随机超图的几乎所有的边都可以包装成不相交的完美匹配。
Minimum codegree threshold for Hamilton l-cycles in k-uniform hypergraphs
对于$1\le \ell<k/2$，我们证明了：对于足够大的$n$，每个$n$上的最小余度至少为$\frac n{2 (k-\ell)} $的$k$ -一致超图都包含一个Hamilton $\ell$ -圈.这个余度条件是最好的可能性，并改进了Hàn和Schacht的工作，他们证明了一个渐近结果。
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