On the sum of digits of the factorial
设b > 1是一个整数，用s_b（m）表示正整数m以b为基数时的位数之和。我们证明了s_b（n！）> C_b log n log log log n对于每个整数n > e，其中C_b是仅取决于b的正常数。这改进了因子log log log n，这是s_b（n！）的先前下界。由卢卡。我们也证明了同样的不等式，但与n！由1，2，.的最小公倍数代替，n.
2014-09-17 math.NT
Non-periodicity of the sequence of the last nonzero digits of factorials and its applications to transcendence
该研究证明了任意大于2的整数基下阶乘最后非零数字序列非最终周期，将Adamczewski–Bugeaud准则推广到周期Cantor基展开，并据此证明满足条件的Cantor基展开实数为超越数。
2025-10-01 math.NT
Power savings for counting solutions to polynomial-factorial equations
令$P$是具有整数系数且次数至少为2的多项式。我们证明了整数解$n\leq N$到$n! = P(x)$的数量上界，这产生了在平凡界上的功率节省。特别是，这适用于布罗卡和拉马努金的一个世纪之久的问题。之前的最佳结果是解的个数为$o(N)$。证明使用丢番图和Padé近似技术。
2022-04-18 math.NT
Inside factorial monoids and the cale monoid of a single Diophantine equation
给出了内阶乘整环的一个结构定理。作为一个例子，我们研究了形式为$a_1x_1+\cdots +a_{r-1}x_{r-1}=a_rx_r$的方程的非负整数解的幺半群，其中$a_1,\ldots,a_r$为正整数。这个集合同构于单纯全仿射半群，因此它可以用它的极值射线和关于极值射线的Apéry集来描述。
2018-07-31 math.AC math.NT
Diophantine equations involving double factorials
受Alzer与Luca关于阶乘丢番图方程解的结果启发，本文研究双阶乘形式的同类丢番图方程及其变体的所有整数解，并证明在ABC猜想下一类含双阶乘的有理多项式方程仅有有限个整数解。
2025-10-28 math.NT
On the Bhargava factorial of polynomial maps
本文从解析角度研究多项式映射像的 Bhargava 阶乘，通过给出映射像的 $\mathfrak p$-adic 闭包作为计算关键，并推导出整数系数二次多项式像的 Stirling 公式。
2023-04-06 math.AC math.NT
The sum of the r'th roots of first n natural numbers and new formula for factorial
利用Riemman可积函数的简单性质，将Ramanujan关于前n个自然数的平方根和的公式推广到包括第r个根，其中r是大于1的任意实数.作为应用，我们导出了与Stirling公式类似的正整数阶乘公式$n$.
2013-02-13 math.NT
Factorials and powers, a minimality result
令$a > 1$。然后对某个正整数$n$求$a^n < n!$。我们表明，最小的这样的$n$是一对的可能性，或者是一种可能性，我们展示了如何计算。有三个有趣的数字序列在我们的论证中起着核心作用。本文是在Robbins \cite{Robbins}对Sterling因子近似的改进和\cite{Radford}的结果的基础上进行的
2021-06-03 math.NT
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
Some Diophantine equations involving arithmetic functions and Bhargava factorials
本文将 Luca 关于阶乘与 Euler 函数、除数和及除数计数函数的丢番图方程有限解结论，推广到多阶乘乘积和除数 k 次幂和函数，并扩展至 Bhargava 阶乘。
2024-07-04 math.NT
On asymptotic constants related to products of Bernoulli numbers and factorials
我们讨论了Bernoulli数和因子的某些乘积的渐近展开，例如，\[ \prod_{ν=1}^n |B_{2ν}| \quad \text{and} \quad \prod_{ν=1}^n (k ν)!^{ν^r} \quad \text{as} \quad n \to \infty \]用于整数$k \geq 1$和$r \geq 0$。我们的主要兴趣是确定确切的表达式，在已知的常数，这些扩展的渐近常数，并显示它们之间的一些关系。
2009-10-18 math.NT
Variations of Kurepa's left factorial hypothesis
Kurepa的假设断言，对于每个整数$n\ge 2$，$!n:=\sum_{k=0}^{n-1}k!$和$n!$的最大公约数是$2$。出于这个假设的一个等价的配方涉及乱序数，在这里，我们给出了一个配方的Kurepa的假设中的整除任何Kurepa的行列式$K_p$的顺序$p-4$由一个总理$p\ge 7$。在本文的前一个版本中，我们提出了强Kurepa假设，涉及一个一般的Kurepa行列式$K_n$与任何整数$n\ge 7$。我们证明了这一假设的“偶数部分”，这可以被认为是Kurepa假设的推广。然而，通过使用涉及无序数$S_{n-1}$与奇数$n\ge 9$的$K_n$的同余，我们发现整数$11563=31\times 373$是强Kurepa假设的"奇数合成部分“的反例。本文还对Kurepa假设中涉及无序数和Bell数的问题给出了一些评论、整除性质和计算结果。
2014-01-06 math.NT
Factorials and Legendre's three-square theorem: II
令$\bar{S}$表示整数集合$n$，使得$n!$不能写成三个平方的和。令$\bar{S}(n)$表示$\bar{S} \cap [1, n]$。我们建立了$\bar{S}(2^k)$的精确公式，并证明了$\bar{S}(n) = 1/8*n + \mathcal{O}(\sqrt{n})$。我们还列出了出现在$\bar{S}$中的间隙的长度。我们利用软件包核桃建立这些结果。
2022-03-30 math.NT
Diophantine equations involving powers of factorials
本文受Alzer和Luca关于阶乘幂丢番图方程整数解工作的启发，研究了两类推广的阶乘幂方程，并证明了类似的整数解结论。
2025-09-23 math.NT
On the distance between factorials and repunits
本文研究了阶乘与重码数之间的距离问题，证明了在特定整数与素数条件下两者差值的下界，并对差值为负的情形给出了进一步结果。
2024-11-13 math.NT
Polynomial analogue of the Smarandache function
在整数情况下，正整数$n$的Smarandache函数被定义为最小正整数$k$，使得$n$除以阶乘$k!$。本文首先定义了有限域$\mathbb{F}_q$上$\mathbb{F}_q[t]$中多项式的自然阶，然后定义了非零多项式$f \in \mathbb{F}_q[t]$的Smarandache函数，记作$S(f)$，为最小多项式$g$，使得$f$除$g$的Carlitz阶乘.特别是，我们建立了一个类似的问题Erd{ \H o}s，这意味着几乎所有的多项式$f$，$S(f)=t^d$，其中$d$是最大程度的不可约因子的$f$。
2020-07-11 math.NT
A note on some polynomial-factorial diophantine equations
本文研究将Brocard方程推广为一般多项式与Bhargava阶乘或齐次多项式构成的丢番图方程，探讨其整数解有限或无限的条件。
2023-09-25 math.AG math.NT
p-Adic Invariant Summation of Some p-Adic Functional Series
考虑了有限和无限泛函p-adic级数的带因子求和。特别是，我们感兴趣的是无穷级数是收敛的所有素数p，并有相同的整数值的整数参数。本文给出了一类相当大的含因子的整系数p-adic函数级数。利用递推关系，构造了多项式序列A_k（n;x），它是其它几个序列的生成元，这些序列也与数论和组合学中的一些问题有关。
2014-11-15 math-ph math.MP math.NT
Products of consecutive integers with unusual anatomy
UCLA（加州大学洛杉矶分校）
本文研究了连续自然数区间中连乘积的性质，定义了bad、very bad和type F3区间，并给出了关于这些区间数量的渐进行为及相关方程的解的近似数量。
2026-09-29 math.NT
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
2018-08-12 math.CO math.NT
A proof of Sondow's conjecture on the Smarandache function
正整数$n$的Smarandache函数，用$S(n)$表示，定义为最小正整数$j$，使得$n$除以阶乘$j!$。本文证明了对任意固定数$k > 1$，不等式$n^k < S(n)!$几乎对所有正整数$n$成立.这证实了Sondow的猜想，该猜想断言不等式$n^2 < S(n)!$对几乎所有正整数$n$都成立。
2020-02-07 math.NT
Series and Product Representations of Gamma, Pseudogamma and Inverse Gamma Functions
本文利用牛顿插值级数研究Gamma函数，给出其乘积与级数表示，并由此得到倒数Gamma函数泰勒系数的新公式及Euler-Mascheroni常数仅含有理项的两种级数表示，同时引入在整个实轴收敛的伪Gamma函数$Λ$，并猜想逆Gamma函数主支的新级数表示。
2025-03-13 math.NT
Bhargava Gamma functions for determinant-admissible sets
本文引入行列式容许集框架，将Bhargava阶乘构造推广为行列式线形式，通过多类阶乘实例发展理论，并提出p≡1 mod3素数的相关行列式构造，剩余有限位行列式的构造是待解决的开放问题。
2026-07-30 math.NT
A More Efficient Algorithm for Finding the Number of Permutations of $\mathbb{ZZ}/n\mathbb{ZZ}$ with Distinct Partial Sums
University of Calgary（卡尔加里大学）；Grace College（格雷斯学院）
研究加法运算下模\(n\)整数具有不同部分和的排列数，提出改进算法计算模\(n\)整数的这些排列数，并通过双射将其与已知序列关联以计算新项。
2026-07-27 math.NT
Euler's divergent series in arithmetic progressions
令$ξ$和$m$是满足$ξ\ne 0$和$m\ge 3$的整数。我们表明，对于任何给定的整数$a$和$b$，$b \neq 0$，有$\frac{φ(m)}{2}$约化剩余类模$m$每个包含无限多个素数$p$，使$a-bF_p(ξ) \ne 0$，其中$F_p(ξ)=\sum_{n=0}^\infty n!ξ^n$是$p$ -进评价欧拉的阶乘级数在点$ξ$。
2018-09-11 math.NT
Additive congruences with factorials modulo a prime
本文研究模大素数下含阶乘的加性表示，利用近期加性组合结果改进两类同余式的变量规模指数，并给出两个阶乘乘积集基数的下界。
2025-08-29 math.NT
Dirichlet Series and Asymptotics for Generalized Legendre Factorials
本文通过狄利克雷级数框架研究广义阶乘函数的渐进行为，推导出广义阶乘的渐近公式，并解释了勒让德型阶乘构造的渐近性。
2026-07-22 math.NT
Bounds for the counting function of the Jordan-Pólya numbers
一个正整数$n$被称为Jordan-Pólya数，如果它可以被写为因子的乘积。我们得到了不超过给定数$x$的Jordan-Pólya数的非平凡上上界.
2021-07-19 math.NT
Elementary closed-forms for non-trivial divisors
本文提出了若干初等闭式公式，通过固定数量的算术运算为每个合数 $n>1$ 表达非平凡因子，并开发了基于超立方体方法及二次剩余不变量的两族闭式公式，其运算数量恒定且与输入大小无关。
2025-10-30 math.NT
Square products of factorials and a conjecture of Erdős and Graham
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究 Erdős 与 Graham 关于阶乘乘积为完全平方数的计数函数 $D_k(X)$ 的增长阶猜想，证明 $D_3(X)$ 有显式渐近公式，$D_5$ 与 $D_6$ 均为 $X$ 量级，并完全确定所有 $k$ 的增长阶。
2026-10-02 math.NT
Some Rapidly Converging Series for $ζ(2n+1)$ from Abstract Operators
本文导出了黎曼ζ函数$ζ(s)$在正奇数处的值的新的级数表示族。对于$n\in\mathbb{N}$，表示$ζ(2n+1)$的这些级数中的每一个都非常迅速地收敛，其通项具有阶估计：$$O(m^{-2k}\cdot k^{-2n+1})\qquad(k\rightarrow\infty;\quad m=3,4,6).$$该方法基于利用抽象算子$\cos(h\partial_x)$和$\sin(h\partial_x)$建立解析函数与周期函数之间的映射关系，包括幂级数与三角级数之间的映射关系，如果幂级数的每个系数分别等于三角级数的每个系数，从而得到求整变量Dirichlet级数和的一般方法。通过定义Zeta函数的抽象算子形式，我们进一步将这些结果推广到整个复平面上。
2018-06-21 math.NT
Representation of an integer as the sum of a prime in arithmetic progression and a square-free integer
一致地为小$q$和$(a,q)=1$，我们得到的加权方式的数量的估计，一个足够大的整数可以表示为一个素同余$a$模$q$和一个无平方整数的总和。我们的方法基于Ramaré提出的局部模型概念，可以被视为一种抽象的圆方法。
2020-10-02 math.NT
Abstract densities and ideals of sets
摘要上密度是从正整数的幂集到单位实区间上的单调次可加函数，它推广了数论中的上密度，包括上渐近密度、上Banach密度和上对数密度.我们回答了G. Grekos在2013年提出的，证明了单位区间上的平移不变抽象上密度的存在性，其空集恰好是有限集族，或者是倒数序列收敛的序列族.我们还表明，没有这样的密度可以是原子。(More一般来说，这些结果也适用于一大类可和理想。
2017-09-10 math.NT
Abstract Geometry of Numbers: Linear Forms
本文涉及\textbf{abstract geometry of numbers}：即追求某些方面的数的几何超过一个合适的一类赋范域。(The于是，标准的数的几何被看作Z上的数的几何，赋予它的标准绝对值。）在这项工作中，我们研究赋范域的“线性型”，其中类似的闵可夫斯基的线性型定理举行。证明了数域上的S-整数环和任意基域上的仿射代数曲线的坐标环都是线性型的。该理论适用于二次型在两个方面，产生一个零点定理和一个小倍定理。
2014-05-08 math.NT
The addition on totally positive integers uniquely determines the totally real number field
Charles University（查理大学）
本文证明全实数域的全正代数整数作为加法半群唯一确定该域，并给出其以不可分解元为生成元的表示，推广至半格类。
2026-09-10 math.NT
Bounded generation of SL_2 over rings of S-integers with infinitely many units
设O是数域k中的S-整数环。证明了：若单位群O^* 是无限的，则$Γ$ = SL_2（O）中的每个矩阵至多是9个初等矩阵的积.这就完成了在这个方向上的一系列研究。由此得到了$Γ$作为抽象群是有界生成的.
2018-06-19 math.GR math.NT
