Gamma、伪Gamma与逆Gamma函数的级数与乘积表示
Series and Product Representations of Gamma, Pseudogamma and Inverse Gamma Functions
AI总结：
本文利用牛顿插值级数研究Gamma函数，给出其乘积与级数表示，并由此得到倒数Gamma函数泰勒系数的新公式及Euler-Mascheroni常数仅含有理项的两种级数表示，同时引入在整个实轴收敛的伪Gamma函数$Λ$，并猜想逆Gamma函数主支的新级数表示。
摘要：
我们利用牛顿插值级数推导出Gamma函数的乘积与级数表示。借助这些恒等式，发现了倒数Gamma函数泰勒级数系数的一个新公式。我们还找到了Euler-Mascheroni常数的两个新的级数表示，它们只含有有理项。之后，我们引入一个新的伪Gamma函数，称之为$Λ$函数。该函数在正整数处插值阶乘，在负整数处插值倒数阶乘，并且在整个实轴上收敛。最后，我们猜想逆Gamma函数主支$\ ext{inv}Γ_0(z)$具有一个新的级数表示。
英文摘要：
We derive product and series representations of the gamma function using Newton interpolation series. Using these identities, a new formula for the coefficients in the Taylor series of the reciprocal gamma function is found. We also find two new series representations for the Euler-Mascheroni constant, containing only rational terms. After that, we introduce a new pseudogamma function which we call the $Λ$ function. This function interpolates the factorial at the positive integers, the reciprocal factorial at the negative integers, and is convergent for the entire real axis. Finally, we conjecture a novel series representation for the principal branch of the inverse gamma function $\text{inv}Γ_0(z)$.
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