Robust Truss Topology Optimization via Semidefinite Programming with Complementarity Constraints: A Difference-of-Convex Programming Approach
针对不确定静态外载荷的桁架结构鲁棒拓扑优化问题可以用混合整数半定规划来描述。虽然用分支定界法可以求出全局最优解，但它非常耗时。本文提出了一种替代提法，半定规划互补约束，并提出了一个有效的启发式。所提出的方法是基于DC（凸差分）规划的凹凸过程。结果表明，该方法往往能在求解几十个凸优化子问题的计算量内找到一个实际合理的桁架设计。
2017-12-09 math.OC
Multi-objective convex polynomial optimization and semidefinite programming relaxations
针对一类具有凸多项式数据的多目标最优化问题，给出了有效解。为此，一个混合方法，它允许我们转换问题（MP）到一个标量凸多项式最优化问题（P $_z$），并不破坏凸性的性质，被认为是。首先，我们在一些温和的假设下证明了问题（MP）的有效解的存在性。然后，对于问题（P $_z$），建立了凸半代数集上凸多项式的两种非负性表示，并在适当的假设下，给出了问题（P $_z$）的Lasserre型半定规划松弛族的两种有限收敛性结果.最后，我们发现，找到有效解的问题（MP）可以成功地实现解决层次的半定规划松弛和检查一个平坦的截断条件。
2020-11-02 math.OC
Eigenvalues of locally positive semidefinite matrices: Non-convexity and Geometry
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Universität Konstanz（康斯坦茨大学）；UiT - the Arctic University of Norway（挪威北极大学）
研究d-局部半正定矩阵的谱几何，针对n=4、d=2的情况给出其特征值向量集的基本半代数描述，证明n≥4且d∈{2,n-2}时该集合非凸，非凸性通过复平面上的非光滑非凸极小极大点配置问题确立。
2026-09-01 math.AG math.OC math.RA
On semidefinite-representable sets over valued fields
ENS Paris-Saclay（巴黎萨克雷高等师范学院）；Université de Limoges（利摩日大学；法国国家科学研究中心，XLIM联合研究实验室）；CNRS, XLIM UMR 7252
本文研究了在值域上半定可表集及其优化问题的特性，提出基于Smith正则形的算法，并展示了非多面体的K-谱集及非K-谱集的半定可表集例子。
2026-05-12 cs.SC math.AG math.OC
Multivariate Gaussians, Semidefinite Matrix Completion, and Convex Algebraic Geometry
我们研究了由协方差阵的逆矩阵上的线性约束描述的多元正态模型。这种模型的极大似然估计导致的问题，最大化的决定性功能在一个spectrahedron，并在任意线性投影下的正定锥的图像的特征的问题。这些问题的统计和优化的接口在这里检查凸代数几何的角度来看。
2009-06-18 math.AG math.OC math.ST
A lower bound on the positive semidefinite rank of convex bodies
凸体$C$的半正定秩是其最小半正定公式的大小。证明了任意凸体$C$的半正定秩至少为$\sqrt{\log d}$，其中$d$是在$C$的极边界上为零的多项式的最小次数.这改善了现有的界限，依赖于从量词消除的结果。证明依赖于应用于Karush-Kuhn-Tucker最优性条件的Bézout界。本文讨论了半定规划的代数次数的关系，并证明了对于适当维数的随机谱面，其上界是紧的（直到常数因子）。
2017-12-05 cs.CC cs.SC math.OC
Structured Semidefinite Representation of Some Convex Sets
线性矩阵不等式（LMI）对控制有着重要的影响，但将问题表述为LMI是一门艺术。最近，有一种理论开始出现，该理论的问题实际上可以表示为LMI。出于优化目的，具有可表示为LMI的“提升”也可能是有用的。我们在这里表明，这是一个限制性更小的条件，并给出了实际构建电梯及其LMI表示的方法。
2008-02-13 math.OC
A coordinate ascent method for solving semidefinite relaxations of non-convex quadratic integer programs
针对一类非凸二次整数优化中的半定规划问题，提出了一种坐标上升法。这些半定规划的特点是积极约束和低秩约束矩阵的总数少。我们利用这种特殊的结构，通过解决对偶问题，使用障碍的方法结合坐标明智的精确线搜索。我们的算法的主要成分是计算成本低的更新在每次迭代和一个简单的计算的确切步长。与内点方法相比，该方法在获得强对偶界方面要快得多。此外，即使原始约束的集合很大，也不需要显式分离和重新优化，因为在我们的对偶方法中，在选择下一个坐标时，隐式地考虑所有原始约束。
2016-03-08 math.OC
A Semidefinite Programming Method for Integer Convex Quadratic Minimization
考虑整数格${\bf Z}^n$上凸二次函数极小化的NP-困难问题。我们提出了一个简单的半定规划（SDP）松弛获得的最优值的问题的一个非平凡的下界。通过解释的解决方案的SDP松弛概率，我们得到了一个随机算法找到良好的次优解，从而上界的最优值。该方法的有效性示出了各种大小的数值问题的实例。
2017-03-10 cs.DS math.OC
On semidefinite descriptions for convex hulls of quadratic programs
本文研究二次约束二次规划（QCQP）上图凸包与SDP松弛投影上图重合的条件，提出了基于凸拉格朗日乘子锥几何性质的凸包精确性充分条件，并证明在额外几何假设下该条件亦为必要。
2024-03-20 math.OC
On semidefinite representations of plane quartics
本文主要讨论在二元四次多项式生成的集合的特殊情况下，将凸集表示为正半定矩阵的锥的投影的问题。给出了平面四次曲线的凸包至多可由12个提升变量精确半定表示的条件。如果四次曲线是有理参数化的，则可以得到具有2个提升变量的精确半定表示。各种数值例子说明的技术，并提出进一步的研究方向。
2008-09-22 math.OC
A Conditional Gradient Framework for Composite Convex Minimization with Applications to Semidefinite Programming
我们提出了一个具有广泛应用的复合凸最小化模板的条件梯度框架。我们的方法结合了平滑和同伦技术的CGM框架下，并证明达到最佳的$\mathcal{O}(1/\sqrt{k})$收敛速度。我们证明了，同样的速度举行，如果线性子问题近似解决加性或乘性误差。与相关工作相比，当非光滑项是指示函数时，我们能够刻画收敛性。我们的框架的具体应用包括非光滑最小化，半定规划，最小化与线性包含约束的紧域。数字证据证明了我们的框架的好处。
2018-08-20 math.OC
Sufficient and Necessary Conditions for Semidefinite Representability of Convex Hulls and Sets
一个集合$S\subseteq \re^n$称为{ \it Semidefinite（SDP）}可表示的，如果$S$等于一个集合在高维空间中的投影，而高维空间中的投影可由线性矩阵不等式（LMI）描述.本文的贡献是：（i）对于有界SDP可表示集合$W_1,...,W_m$，我们给出了$\cv{\cup_{k=1}^mW_k}$的SDP表示的显式构造。这提供了一种从局部SDP表示构建全局SDP表示的技术。(ii)对于紧致凸半代数集$S$的SDP表示，我们证明了边界$\bdS$是正曲率的充分条件和必要条件：$\bdS$在光滑点和非退化角点上具有非负曲率.这相当于在$\bdS$上多项式消失的那些点上定义多项式的严格与非严格的准等价关系。它们之间的间隙是$\bdS$，具有正曲率与非负曲率以及光滑点与非光滑点。绕过间隙的一个充分条件是当$S$的一些定义多项式是sos凹的。(iii)对于紧致非凸半代数集$T$的凸包的SDP可表示性，我们发现临界对象是$\pt_cT$，即包含在$\pt \cv{T}$中的$\pt T$的最大子集.我们证明了SDP可表示的充分条件：$\pt_cT$是正曲率的，以及必要条件：$\pt_cT$在光滑点和非退化角点上具有非负曲率.它们之间的间隙类似于情况（ii）。讨论了系统的正定Lagrange Hessian（PDLH）条件.
2008-12-07 math.AG math.OC
Semidefinite representations of non-compact convex sets
研究一类非紧基本半代数集的半定表示问题。我们引入的条件的指向性和封闭性在无穷远的半代数集，并表明，在这些条件下，我们的修改层次的嵌套θ机构和Lasserre的松弛收敛到封闭的凸包$S$。此外，如果PP-BDR性质满足，则当阶足够大时，我们的theta体和Lasserre松弛是精确的;如果PP-BDR性质不成立，则我们的层次结构一致收敛到限制在以原点为中心的每个固定球的$S$凸包的闭包。我们通过一组例子说明，尖性和闭性条件是必要的，以确保收敛。最后，我们提供了一些策略，以处理的情况下，违反了条件的指向性和封闭性。
2014-02-24 math.OC
Penalized Semidefinite Programming for Quadratically-Constrained Quadratic Optimization
本文对非凸二次约束二次规划给出了一种新的惩罚半定规划方法。我们将惩罚条款的凸松弛的目标，以检索可行的和近最优解的非凸QCQP。引入广义线性无关约束规格（GLICQ）准则，证明了任意充分接近可行集的GLICQ正则点都可以用来构造适当的惩罚项，从而得到可行解.受这些结果的启发，我们开发了一个启发式的顺序程序，保留可行性，旨在提高在每次迭代的目标值。对大规模系统辨识问题以及二次规划（QPLIB）库中的基准实例进行的数值实验表明，所提出的惩罚半定规划能够找到非凸QCQP的近最优解.
2020-04-29 math.OC
A three-operator splitting perspective of a three-block ADMM for convex quadratic semidefinite programming and extensions
凸二次半定规划问题是一个带有耦合线性等式约束的3块可分凸优化问题，近年来，针对凸二次半定规划问题，提出了几种收敛的多块变分交替方向法（ADMM），并通过其对偶求解了该问题.在这些ADMM型算法中，[Chang等人，神经计算机二百一十四：575- 586（2016）]具有一个特殊的特征，即增广拉格朗日函数不必相对于与目标函数的二次项相对应的块变量被最小化。在本文中，我们奠定了这种现象的理论基础，通过解释这个修改后的3块ADMM作为一个实现的3算子分裂框架。基于这一观点，我们能够将这种修改的3块ADMM扩展为广义3块ADMM，它不仅适用于更一般的凸复合二次规划设置，而且还承认实现更好的数值性能的潜力。
2018-07-05 math.OC
Low-rank optimization for semidefinite convex problems
本文提出了一个求解以正半定矩阵变量$X$定义的非线性凸规划的算法。该算法依赖于因子分解$X=Y Y^T$，其中Y的列数固定$X$的秩。因此，它是非常有效的解决方案，有一个低秩的解决方案。因子分解$X=Y Y^T$唤起了一个重新制定的原始问题作为一个特定的商流形上的优化。本文讨论了该流形的几何性质，并导出了一种二阶最优化方法。此外，它提供了一些条件的秩的因式分解，以确保等价于原问题。该算法的效率被证明在两个应用：一个图的最大割和稀疏主成分分析问题。
2008-07-28 math.OC
Dualities in Convex Algebraic Geometry
凸代数几何关注最优化理论和实代数几何之间的相互作用。它的研究对象包括凸半代数集，出现在半定规划和平方和。本文比较了三个概念的对偶性是相关的，在这些情况下：对偶性的凸体，对偶性的投射品种，和Karush-Kuhn-Tucker条件来自拉格朗日对偶。证明了多项式规划的最优值是一个代数函数，其极小多项式由与约束集投影对偶的超曲面表示。我们给出了一个阐述最近的结果上的边界结构的凸包的一个紧凑的品种，我们对比这拉塞尔的表示作为一个spectrahedral阴影，我们探索的几何基础的半定规划对偶。
2010-06-25 math.AG math.OC
Semidefinite relaxations for nonlinear elasticity with energies convex in the Cauchy-Green strain tensor
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Institute of Information Sciences and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息科学与自动化研究所）
本文研究了在Cauchy-Green应变张量上凸的非线性弹性问题，证明了原始非凸变分问题与基于占据测度的线性矩形式之间无松弛间隙，提供了高效的无网格数值方法。
2026-09-21 math.OC
Inexactness of the Hydro-Thermal Coordination Semidefinite Relaxation
水热协调是确定水、火电厂随时间变化的最优经济调度问题。水力发电的物理过程通常在文献中被简化，以解释其基本的非线性性质。在凸松弛理论的进步已经允许出现的肖尔的半定规划（SDP）松弛的二次模型的问题。本文展示了最近发表的SDP松弛如何仅在观察到关于涡轮机效率的非常严格的条件时才是准确的，否则失败。它进一步提出了使用一组凸包络作为一种策略，成功地获得一个更严格的下界的最优解。该策略与一个标准的迭代凹凸过程相结合，以恢复原来的非凸问题的一个稳定点。
2017-11-10 math.OC
Polynomial Matrix Inequality and Semidefinite Representation
考虑一个由整环上多项式或有理函数的矩阵不等式定义的凸集S。如果集合S等于由线性矩阵不等式（LMI）定义的高维集合的投影，则称集合S为半定规划（SDP）可表示或仅为半定可表示。本文研究了S的半定可表示性的充分条件。证明了在下列情形下S是半定表示的：（i）整环是全空间，且矩阵多项式是矩阵sos-凹的;（ii）整环是紧凸的，且矩阵多项式是严格矩阵凹的;（iii）整环上的有理矩阵函数是q-模矩阵凹的.给出了SDP表示的显式构造。并举例说明。
2011-03-28 math.OC
Terracini Convexity
我们提出了一个推广的概念的邻非多面体凸锥。虽然在文献中的非多面体的情况下，相邻性的定义是可用的，它是相当严格的，因为它要求所有的低维面是多面体。我们的方法是更灵活的，包括，例如，锥的正半定矩阵作为一种特殊情况（这个锥是不是相邻的一般）。我们把我们的推广Terracini凸性，由于其概念上的相似性的结论Terracini引理代数几何。多面锥是Terracini凸的当且仅当它们是相邻的。更广泛地说，我们得到了许多家庭的非多面体Terracini凸锥的基础上的邻锥，线性图像的锥的正半定矩阵，和衍生松弛的Terracini凸双曲锥。作为一个示范的效用，我们的框架在非多面体的情况下，我们给出了一个表征的基础上Terracini凸的紧半定松弛某些反问题。
2022-01-11 math.AG math.MG math.OC
The Calderón problem with finitely many unknowns is equivalent to convex semidefinite optimization
该研究将具有有限未知数的Calderón问题等价转化为凸半定优化问题，并给出噪声误差估计及有限测量扩展，连接逆系数问题与半定优化。
2023-05-16 math.AP math.OC
Polynomial-sized Semidefinite Representations of Derivative Relaxations of Spectrahedral Cones
我们给出了明确的多项式大小（在$n$和$k$）半定表示的双曲锥与$n$变量的初等对称多项式的程度$k$。这些凸锥形成非负正交的非多面体外近似的家庭，保持低维的面，而连续丢弃高维的面。更一般地，我们构造与$p(x) = \det(\sum_{i=1}^{n}A_i x_i)$形式的多项式的$k$次方向导数相关联的双曲性锥的显式半定表示（$k,m$和$n$中的多项式大小），其中$A_i$是$m\times m$对称矩阵。这些凸锥形成了一个类似于任何谱面体锥的外近似族。我们的表示允许我们使用半定规划来解决与这些凸锥以及它们的（不太好理解的）对偶锥相关的线性锥规划。
2014-08-11 math.OC
Exact Convex Reformulations of Binary Quadratic Programs from Facially Reduced Semidefinite Relaxations
Clemson University（克莱姆森大学）
该研究开发了MIQCR-FR框架，通过面部约化半定松弛实现二元二次规划的精确凸重构，在431个实例上验证其最优解数量优于MIQCR-CB和直接Gurobi。
2026-10-09 math.OC
Convex semidefinite tensor optimization and quantum entanglement
Zuse Institute Berlin（柏林齐默尔研究所）
本文定义PSD张量以刻画可分离量子态，并针对NP难的半定张量优化问题提出结合提升ADMM、割平面与空间分支定界的迭代细化算法，用于计算最优值上下界并研究量子纠缠的白噪声混合阈值。
2025-11-07 math.OC quant-ph
Finding Global Optima in Nonconvex Stochastic Semidefinite Optimization with Variance Reduction
近年来，随机凸半定最优化问题的低秩分解非凸重构方法在效率和可扩展性方面受到了广泛的关注。与原始的凸公式相比，非凸公式通常涉及更少的变量，允许它们扩展到具有数百万变量的场景。然而，它打开了一个新的挑战，在什么条件下，非凸随机算法可以找到有效的全局最优，尽管他们的经验成功的应用。在本文中，我们提供了一个答案，一个随机梯度下降法与方差减少，可以适应于解决非凸的原始凸问题的重组，与\textit{global linear convergence}，即，在约束强凸情形下，在适当的初始选择下，以指数速度收敛到全局最优值。仿真和实际应用的序数嵌入实验研究提供了所提出的算法的有效性。
2018-02-26 math.OC
QSDPNAL: A two-phase augmented Lagrangian method for convex quadratic semidefinite programming
本文提出了一种求解凸二次半定规划（QSDP）问题的两阶段增广拉格朗日方法（QSDPNAL），该方法的约束条件包括大量线性等式、不等式约束、简单凸多面体集约束和半正定锥约束.一阶算法，它依赖于不精确的舒尔互补为基础的分解技术开发QSDPNAL-第一阶段的目的是解决QSDP问题，以中等精度或使用它来生成一个相当不错的初始点的第二阶段。在QSDPNAL第二阶段，我们设计了一个增广拉格朗日方法（ALM），在每次迭代的内部子问题是通过不精确的半光滑牛顿算法解决。为ALM设计了简单且可实施的停止准则。此外，在适当的条件下，我们能够建立所提出的算法的收敛速率和证明的R-（超）线性收敛的KKT残差。在QSDPNAL的实现中，我们还开发了有效的技术来解决大规模的线性系方程组在一定的子空间约束。更具体地说，更简单，但更好的条件线性系精心设计，以取代原来的线性系和新的阴影序列构造，以减轻所带来的数值困难的关键子空间的约束。大量的数值结果表明，我们的两阶段算法是高效和强大的，在获得精确的解决方案。
2016-12-30 math.OC
On the exactness of Lasserre relaxations for compact convex basic closed semialgebraic sets
考虑一个有限的非严格实多项式不等式组，假设它的解集$S\subseteq\mathbb R^n$是凸的，有非空的内部，并且是紧的。假设系统满足阿基米德条件，这个条件比$S$的紧性稍强。假设每个定义多项式满足二阶严格拟凹条件，其中它在$S$上消失（这是非常自然的，因为$S$是凸的），或者它的Hessian具有一定的矩阵平方和，证明$S$上是负半定的（由线性多项式平凡地满足）。然后我们证明了该系统具有一个精确的Lasserre松弛。在他们2009年的开创性工作中，Helton和Nie在相同条件下证明了$S$是一个光谱面体的投影，即，它具有半定表示。Helton和Nie使用的半定表示法是将许多小块的Lasserre松弛以非建设性的方式粘在一起而得到的。通过改进和改变他们的方法，我们表明，我们可以简单地采取Lasserre松弛的原始系统本身。只有在非常技术性的条件下，并在改变了对$S$的描述之后，Helton和Nie才用更多的机器提供了这样的结果。
2018-02-28 math.AG math.OC
Neural Spectrahedra and Semidefinite Lifts: Global Convex Optimization of Polynomial Activation Neural Networks in Fully Polynomial-Time
Stanford University（斯坦福大学）
具有非线性激活函数的两层神经网络的训练是一个重要的非凸优化问题，在逐层深度学习中具有许多应用和有前途的性能。本文基于半定规划理论，建立了二次多项式激励的双层神经网络的精确凸优化公式。值得注意的是，我们表明，半定提升始终是准确的，因此计算复杂性的全局优化是多项式的输入尺寸和样本大小的所有输入数据。开发的凸公式被证明可以实现相同的全局最优解集作为他们的非凸同行。更具体地说，具有多项式激活的全局最优双层神经网络可以通过求解半定规划（SDP）并使用我们称为神经分解的过程分解该解来找到。此外，正则化器的选择在神经网络训练的计算易处理性中起着至关重要的作用。我们表明，标准的权重衰减正则化制定是NP-困难的，而其他简单的凸罚款使问题易于处理的多项式时间通过凸规划。我们将结果扩展到完全连接架构之外的不同神经网络架构，包括具有向量输出的网络和具有池化的卷积架构。我们提供了大量的数值模拟表明，标准的反向传播方法往往无法实现全局最优的训练损失。所提出的方法是显着更快，以获得更好的测试精度相比，标准的反向传播过程。
2021-01-07 cs.CC cs.LG math.OC
Semidefinite Programming For Chance Constrained Optimization Over Semialgebraic Sets
在本文中，“机会优化”的问题，其中一个目的是最大化的概率由多项式不等式定义的集合。这些问题，在一般情况下，非凸和计算困难。与发展系统的数值程序来解决这些问题的目的，凸松弛序列的措施和矩的理论的基础上，其序列的最优值收敛到原问题的最优值。事实上，我们提供了一个序列的半定方案的增加的维度，可以任意近似的解决方案的原始问题。为了能够有效地解决由此产生的大规模半定松弛，一阶增广拉格朗日算法实现。数值例子来说明所提出的方法的计算性能。
2015-05-09 math.OC
Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming
在医学成像和非破坏性材料测试中的一些应用导致椭圆系数反问题，其中椭圆PDE中的未知系数函数将从其解的部分知识确定。这通常是一个高度非线性的不适定反问题，对于这种问题，数值方法很难得到唯一的可重构结果、稳定性估计和整体收敛。本说明的目的是指出反系数问题和半定规划之间的新联系，这可能有助于解决这些挑战。我们证明了具有多个测量的椭圆Robin传输逆问题可以等价地改写为一个唯一可解的凸非线性半定最优化问题。这允许显式地估计实现所需分辨率所需的测量的数量，以导出噪声数据的误差估计，并克服通常出现在用于逆系数问题的基于优化的方法中的局部最小值的问题。
2021-05-24 cs.NA math.AP math.NA
On the integrality gap of the maximum-cut semidefinite programming relaxation in fixed dimension
我们描述了一个最大割半定规划松弛的完整性间隙的因子揭示凸优化问题：对于每个$n \geq 2$，我们提出了一个凸优化问题，其最优值是最大可能的最佳秩- $n$解决方案的松弛和最佳割的值之间的比率。这个问题，然后用来计算完整性差距的下界。
2020-08-05 cs.DS math.OC
A Method for Quickly Bounding the Optimal Objective Value of an OPF Problem using a Semidefinite Relaxation and a Local Solution
最优潮流是电力系统运行中的一个重要问题。由于最优潮流问题的非凸性，可能存在多个局部最优解。证明获得整体解对于OPF问题的某些应用是重要的。许多全局优化技术计算最优性间隙，该最优性间隙将对应于来自局部解算法的可行点的可实现目标值与来自凸松弛技术的目标值界限进行比较。而不是传统的做法，完全分离的局部解和凸松弛计算，本文提出了一种方法，利用局部解的信息，使用半定规划（SDP）松弛的目标值界的计算速度。计算易处理性的改善伴随着所得客观值界的紧密性降低的权衡。数值实验说明了这种权衡，与所提出的方法是更快，但比SDP松弛和更慢，但更紧比二阶锥规划（SOCP）和二次凸（QC）松弛许多大型测试用例。
2019-06-14 math.OC
A Semidefinite Representation for some Minimum Cardinality Problems
利用[Lasserre 02]中的技巧，我们证明了某些服从线性不等式的最小基数问题可以表示为半定规划的有限序列.特别地，我们给出了正半定矩阵上最小秩问题的半定表示。我们也使用这种技术铸造的问题，找到凸下界的目标作为一个半定的计划。
2003-02-27 math.OC
Non-iterative rigid 2D/3D point-set registration using semidefinite programming
Princeton University（普林斯顿大学）
我们描述了一个凸规划框架的姿态估计在2D/3D点集配准与未知点对应。我们给出了两个混合整数非线性规划（MINP）配方的2D/3D配准问题时，有多个2D图像，并提出凸松弛的MINP半定规划（SDP），可以有效地解决内点方法。我们的2D/3D配准问题的方法本质上是非迭代的，因为我们联合解决了姿势和对应关系。此外，这些凸程序可以很容易地结合点的特征描述符，以增强配准结果。我们证明了凸规划在无噪声条件下精确地恢复了原始非凸2D/3D配准问题的解。我们应用这些配方注册的冠状动脉血管的三维模型，他们的二维投影从多个术中透视图像。对于这个应用程序，我们通过实验证实了在没有噪声的情况下的精确恢复属性，并进一步证明了在噪声存在下的凸规划的鲁棒性。
2016-04-06 cs.CV math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
Semidefinite Programming and Reachable Sets of Dissipative Bilinear Control Systems
在这篇手稿中，我们调查的最优控制问题所产生的操纵耗散量子动力学。这些问题激发了对一类耗散双线性控制系统的研究。对于这些系统，它表明，最优解和可达集可以找到解决一个半定规划。在实践中，这些问题的解决方案产生了最佳的方法来控制存在耗散的量子力学现象。在相干光谱学领域，这转化为在光谱学实验中可以获得的最大信噪比。
2005-10-13 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
Convex Hulls of Quadratically Parameterized Sets With Quadratic Constraints
设V是二次集T上由二次多项式参数化的半代数集。本文研究谱面投影（由线性矩阵不等式定义）的半定凸包表示。当T由一个二次约束定义时，我们证明了它的凸包等于$V$的一阶矩型半定松弛，直到取闭包。当每个二次多项式都是齐次的，并且T由两个齐次二次约束定义，或者V由有理二次参数化定义时，类似的结果也成立。
2011-10-11 math.OC
Tilt stability of a class of nonlinear semidefinite programs
本文研究一类非线性半定规划局部最优解的倾斜稳定性，利用广义目标函数二阶次导数和乘子限制，推导出基于点的充分与必要刻画，首次在无约束非退化条件下解决了该问题。
2024-12-22 math.OC
On semi-infinite systems of convex polynomial inequalities and polynomial
考虑半无限多项式不等式组\[ \mathbf{K}:=\{x\in\mathbb{R}^m\mid p(x,y)\ge 0,\ \ \forall y\in S\subseteq\mathbb{R}^n\}, \]，其中$p(x,y)$是关于变量$x$和参数$y$的实多项式，指标集$S$是$\mathbb{R}^n$中的基本半代数集，对每个$y\in S$，$-p(x,y)$在$x$中是凸的.我们提出了一个程序来构造近似半定表示的$\mathbf{K}$。有两个指标来索引这些近似半定表示。随着两个指数的增加，这些半定表示集分别膨胀和收缩，并且在某些假设下可以尽可能接近$\mathbf{K}$。在某些特殊情况下，我们可以固定两个索引之一或两者。然后，我们考虑最小化$\mathbf{K}$上的凸多项式的最优化问题。我们提出了一个SDP松弛方法，这个最优化问题的类似的策略用于构建近似半定表示的$\mathbf{K}$。在一定的假设条件下，也可以从SDP松弛得到最优化问题的一些近似极小值。在某些特殊情况下，我们证明了最优化问题的SDP松弛是精确的，并且所有的极小值都可以被提取出来。
2019-08-03 math.OC
The non-convex Burer-Monteiro approach works on smooth semidefinite programs
Princeton University（普林斯顿大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；New York University（纽约大学）
本文研究了非凸布勒-莫内伊方法在解决包含最大割、社区检测、鲁棒PCA等应用的半正定规划中的有效性，证明此类低秩方法几乎不存在伪局部最优解。
2018-04-10 cs.NA math.NA math.OC
Second-order cone representation for convex subsets of the plane
半定规划（SDP）是在多个线性矩阵不等式（LMI）的公共解集上优化一个线性函数的任务。对于SDP求解器的运行时间，这些LMI的最大矩阵大小通常比它们的数量更关键。凸集$K\subseteq\mathbb R^n$的半定扩张度$\text{sxdeg}(K)$是最小数$d$，使得$K$是有限交集$S_1\cap\dots\cap S_N$的线性像，其中每个$S_i$是由大小为$\le d$的线性矩阵不等式定义的谱面体。因此，$\text{sxdeg}(K)$可以被看作是在集合$K$上执行半定程序的复杂性的度量。给出了$\text{sxdeg}(K)$的几个等价刻画，并利用它们证明了我们的主要结果：$\text{sxdeg}(K)\le2$对任何闭凸半代数集$K\subseteq\mathbb R^2$成立.换句话说，这种$K$可以使用二阶锥来表示。
2021-01-28 math.OC
Semidefinite Approximations of Reachable Sets for Discrete-time Polynomial Systems
考虑在一般半代数集约束下，由半代数初始条件集逼近离散时间多项式系统的可达集的问题。假设包含在一个给定的简单集，如一个盒子或椭球，我们提供了一种方法来计算认证的外部近似的可达集。所提出的方法包括建立一个层次的松弛的无穷维矩问题。在一定的假设条件下，该问题的最优值是可达集的体积，最优解是勒贝格测度对该集的约束。然后，我们可以外近似的可达集，如所需的增加次数多项式的超水平集的层次结构。对于每一个固定的次数，找到多项式的系数归结为计算凸半定规划的最优解。当多项式逼近的次数趋于无穷大时，我们给出了超水平集到可达集的强收敛保证。我们还提供了一些应用实例和数值结果。
2019-06-05 math.OC
A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra
分面体是由线性矩阵不等式定义的集合。一个谱面体的投影通常被称为半定可表示集。我们表明，凸包的有限联盟这样的投影再次是一个投影的光谱面体。这改进了Helton和Nie的结果，他们在有界集的情况下证明了相同的结果。
2009-08-24 math.AG math.OC
On a parametrization of positive semidefinite matrices with zeros
研究了一类具有指定零点的正半定矩阵的凸锥的参数化。每个这样的锥对应于一个图，其非边确定规定的零点。该类中的每个参数化都是与图的团上支持的单纯复形相关联的多项式映射。映射的像是凸锥，且当关联图是弦的且单纯复形是图的团复形时，映射只能满射到零约束正半定矩阵的锥上.我们的主要结果给出了一个半代数描述的图像的参数化弦周期。这项工作的动机是考虑的地图对应于高斯统计模型与隐藏变量的事实。
2010-06-21 math.AG math.OC math.ST
Semidefinite approximations of conical hulls of measured sets
设$C$是由紧集生成的真凸锥，紧集支持测度$μ$ . A.Barvinok、E.Veomett和J.B. Lasserre使用$μ$产生嵌套谱面体锥的序列$(P_k)_{k\in \mathbb{N}}$，其包含与$C$对偶的锥$C^*$。我们证明了这样的序列的光谱面体的收敛结果，并提供工具，用于界定$P_k$和$C^*$之间的距离。这些工具在具有足够对称性的圆锥上特别有用，并允许我们确定几个感兴趣的圆锥的边界。我们计算这样的上界半定近似的旅行商多面体和锥的非负三元六次曲线和四元四次曲线。
2014-10-10 math.CO math.OC
A convex solution to Psiaki's first joint attitude and spin-rate estimation problem
我们考虑的问题，联合估计的姿态和自旋航天器的自旋率。Psiaki（J. Astronautical Sci.，57（1-2）：73- 92，2009）已经制定了一系列最优化问题，这些问题将经典的最小二乘姿态估计问题（称为Wahba问题）推广到自旋航天器的情况。如果旋转轴是固定的和已知的，但自旋速率是未知的（如章动阻尼自旋稳定航天器），我们表明，Psiaki的问题可以重新精确地作为一种类型的易处理的凸优化问题称为半定最优化问题。这种重新制定使我们能够在全球范围内解决问题，使用标准的数值程序半定优化。它还提供了一个自然的半定松弛为基础的方法，更复杂的变化的问题。
2014-10-10 math.OC
Maximizing Products of Linear Forms, and The Permanent of Positive Semidefinite Matrices
本文研究了一个多项式最优化问题的凸松弛问题，即在复球面上最大化一个线性型的乘积。我们证明了这个凸规划也是Hermitian半正定（HPSD）矩阵的积和的松弛。通过分析一种构造性的随机舍入算法，得到了一种改进的HPSD矩阵积和式的乘法逼近因子，并证明了这种逼近因子的计算效率.我们还提出了一个模拟的HPSD矩阵的van der Waerden猜想，多项式最优化问题被解释为一个松弛的永久。
2021-01-13 cs.DS math.CO math.OC
Semidefinite approximations of projections and polynomial images of semialgebraic sets
给定R^n的一个紧半代数集S和R^n到R^m的一个多项式映射f，我们考虑R^m中象集F = f（S）的逼近问题.这尤其包括当n大于m时S在R^m上的投影。假设F包含在一个“简单”的集合B中（例如一个盒子或一个球），我们提供了两种方法来计算F的证明外近似。方法1利用了F可以用存在量词定义的事实，而方法2计算了像测度的支持度的近似，这两种方法输出了一个由单个多项式定义的超水平集序列，这些超水平集产生了F的显式外近似。找到这个多项式的系数归结为计算一个凸半定规划的最优解。当多项式逼近的次数趋于无穷大时，我们保证了在B上的L^1范数下强收敛于F。提供了几个应用程序的例子，连同数值实验。
2015-07-22 math.OC
A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis
广义矩问题是正Borel测度的凸锥上的锥线性最优化问题。它有着广泛的应用，包括多项式和有理函数的全局优化、金融期权定价、构造数值积分的求积格式以及分布鲁棒优化。一种常见的解决方案，由于J. B. Lasserre的方法是用有限维外锥和内锥逼近正Borel测度的凸锥。我们将审查这些近似的一些结果，特别关注的收敛速度的层次的上限和下界的一般问题的时刻，从这些内部和外部近似。
2018-11-13 math.OC
Using a conic bundle method to accelerate both phases of a quadratic convex reformulation
本文提出了MIQCR~（Billionnet，Elloumi and Lambert，2012）的改进算法MIQCR-CB。MIQCR是一种求解混合整数二次规划的方法，分为两个阶段：第一阶段通过求解半定问题$(SDP)$来确定具有凸目标函数的等效二次规划，并且在第二阶段中，通过标准求解器来求解等效规划。由于重新制定依赖于一个大规模的半定方案的解决方案，它是不听话的现有的半定求解器，已经为中等规模的问题。为了克服这一困难，我们提出了在MIQCR-CB次梯度法内的拉格朗日对偶框架求解$(SDP)$，大大加快了第一阶段。此外，该算法导致了一个更小的尺寸比原来的MIQCR方法，从而在更短的时间内解决第二阶段得到的重新制定的问题。我们提出了广泛的计算结果，以显示我们的算法的效率。
2016-06-07 math.OC
