Superlinear and quadratic convergence of a stabilized sequential quadratic semidefinite programming method for nonlinear semidefinite programming problems
本文提出一种稳定化SQSDP方法求解非线性半定规划，在严格Robinson约束规范和二阶充分条件下证明了其超线性与二次局部收敛性。
2024-03-18 math.OC
The convex hull of a quadratic constraint over a polytope
二次约束二次规划（QCQP）是一个最优化问题，其中目标函数是一个二次函数，可行域由二次约束定义。求解非凸QCQP的全局最优解是一个众所周知的NP-困难问题，传统的方法是使用凸松弛和分支定界算法。本文在这方面作出了贡献，证明了一般二次方程与任意有界多面体相交的精确凸包是二阶锥可表示的。我们提出了一个简单的建设性证明这个结果。
2018-12-25 math.OC
A stabilized sequential quadratic semidefinite programming method for degenerate nonlinear semidefinite programs
本文提出了一种求解退化非线性半定规划的序列二次半定规划（SQSDP）方法，该方法通过求解一系列稳定的二次半定规划（QSDP）子问题来产生迭代点，这些子问题是由与NSDP相关的极大极小问题衍生而来的.与现有的SQSDP方法不同，该方法允许我们不精确地求解这些QSDP子问题，并且每个QSDP都是可行的。该方法的另一个显著特点是在整体收敛分析中不需要约束规格或Lagrange乘子序列的有界性。具体地说，没有假设这样的条件下，我们证明了整体收敛到一个点满足以下任何一个：稳定条件的可行性问题，近似Karush-Kuhn-Tucker（AKKT）条件，和跟踪AKKT条件。最后，我们进行了一些数值实验来检验所提出的方法的效率。
2021-04-22 math.OC
Convex Hull of the Quadratic Branch AC Power Flow Equations and Its Application in Radial Distribution Networks
采用支路潮流模型（BFM）来计算一般网络中的交流潮流.对于每个分支/线，BFM包含一个非凸二次等式。给出了该二次方程的最紧凸松弛的凸包的数学表达式。凸壳公式由一个二阶锥不等式和一个在潮流物理边界内的线性不等式组成。对该凸包公式进行了解析证明和几何验证。研究了具有高渗透率光伏资源的辐射状配电网分布式储能的优化调度问题。为了捕获电池和转换器的性能，提出了二阶DES模型。在二次枝流方程的凸包基础上，推导了DES模型中非凸约束的凸包表达式。提出的凸包模型被用来产生一个紧的DES最优调度（DESOS）问题的凸松弛。所提出的方法进行了测试，在几个径向系统。讨论了网状网络的扩展。
2017-01-25 math.OC
New semidefinite relaxations for a class of complex quadratic programming problems
本文针对信号处理和电力系统中的一类非凸复二次规划问题，通过在提升空间中推导新的有效约束，提出了严格更紧且适用范围更广的新半定松弛方法，数值结果表明其能提供更紧的松弛界限并改进现有近似算法。
2023-05-17 math.OC
Optimal Cuts and Optimal Faces of Exact Max-Cut Semidefinite Relaxations
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究Max-Cut半定松弛精确时最优割符号向量张成对偶松弛核的条件，证明双非负矩阵经偶数复制可作证书，并刻画有理核障碍与张成亏缺。
2026-10-14 math.OC
A note on quadratic constraints with indicator variables: Convex hull description and perspective relaxation
本文研究了由连续变量上的可分二次约束给出的混合整数非线性集，其中每个连续变量由一个附加指标控制。这个集合普遍存在于具有不确定性的最优化问题和机器学习中。我们表明，在这个集合上的优化是NP-困难的。尽管这个负面的结果，我们的凸包的结构特征，并表明，它可以正式研究使用多面体理论。此外，我们表明，虽然在文献中的透视松弛这一套未能匹配的结构，其凸包，它是保证是一个密切的近似。
2022-09-03 math.OC
Penalized Semidefinite Programming for Quadratically-Constrained Quadratic Optimization
本文对非凸二次约束二次规划给出了一种新的惩罚半定规划方法。我们将惩罚条款的凸松弛的目标，以检索可行的和近最优解的非凸QCQP。引入广义线性无关约束规格（GLICQ）准则，证明了任意充分接近可行集的GLICQ正则点都可以用来构造适当的惩罚项，从而得到可行解.受这些结果的启发，我们开发了一个启发式的顺序程序，保留可行性，旨在提高在每次迭代的目标值。对大规模系统辨识问题以及二次规划（QPLIB）库中的基准实例进行的数值实验表明，所提出的惩罚半定规划能够找到非凸QCQP的近最优解.
2020-04-29 math.OC
On obtaining the convex hull of quadratic inequalities via aggregations
一个经典的方法，以获得有效的不等式的一组涉及加权聚合的不等式描述这样的集合。当集合由线性不等式描述时，由于Farkas引理，我们知道每个有效的不等式都可以使用聚合来获得。当描述集合的不等式是两个二次型时，Yildiran证明了集合的凸包至多由两个聚合不等式给出.在这项工作中，我们研究了由三个或更多的二次不等式描述的集合的情况。我们表明，在技术假设下，由三个二次不等式描述的集合的凸包可以通过（潜在的无穷多个）聚合不等式得到。我们还表明，通过反例，它是不可能有一个类似的结果，如果技术条件放宽，或者如果我们考虑四个或更多的不等式。
2021-06-23 math.OC
A new semidefinite relaxation for $\ell_{1}$-constrained quadratic optimization and extensions
本文通过改进变量分裂方法，对$\ell_1$单位球（QPL 1）上的非凸二次最优化问题提出了一种新的半定规划（SDP）松弛方法。它主导了最先进的基于SDP的（QPL 1）边界。作为扩展，我们将新方法应用于稀疏主成分分析的松弛问题和$\ell_p$（$1< p<2$）单位球上的非凸二次最优化问题，并证明了新松弛方法的优势.
2013-12-31 math.OC
A revised sequential quadratic semidefinite programming method for nonlinear semidefinite optimization
2020年，Yamakawa和Okuno提出了一种稳定的序列二次半定规划（SQSDP）方法，用于解决退化非线性半定最优化问题。该算法被证明是全局收敛的，没有约束规格，它有一些很好的性质，包括可行的子问题，和他们可能的不精确计算。特别地，证明了非线性圆锥曲线的近似Karush KuhnTucker（AKKT）条件和迹AKKT条件的收敛性，这两个条件是连续的最优性条件.然而，最近，互补AKKT（CAKKT）条件也被考虑，作为上述条件的替代，这是更实用的。由于很少有方法收敛到CAKKT点，至少在锥优化中，并完成与SQSDP相关的研究，在这里，我们提出了一个修改后的版本的方法，保持良好的性能。我们对已有的算法进行了改进，证明了算法在CAKKT意义下的整体收敛，并给出了初步的数值实验。
2022-04-01 math.OC
Quadratic Optimization with Switching Variables: The Convex Hull for $n = 2$
我们考虑变量$(x,y)$的二次优化，其中$0\le x\le y$，和$y\in\{0,1\}^n$。这种二进制$y$通常被称为“指示器”或“开关”变量，并且在应用中经常出现。解决这些问题的一种方法是基于表示或近似集合$\{ (x,xx^T, yy^T) : 0\le x\le y\in\{0,1\}^n\}$的凸包。对于情况$n=1$的表示是已知的并且已经被广泛使用。我们给出了一个精确的表示的情况下$n=2$开始与一个析取表示的凸包，然后消除辅助变量和约束，不改变投影到原始变量。这种表示的另一种推导导致一个有吸引力的猜想为简化表示的凸包$n=2$时，产品项$y_1y_2$被忽略。
2020-02-11 math.OC
Sufficient and Necessary Conditions for Semidefinite Representability of Convex Hulls and Sets
一个集合$S\subseteq \re^n$称为{ \it Semidefinite（SDP）}可表示的，如果$S$等于一个集合在高维空间中的投影，而高维空间中的投影可由线性矩阵不等式（LMI）描述.本文的贡献是：（i）对于有界SDP可表示集合$W_1,...,W_m$，我们给出了$\cv{\cup_{k=1}^mW_k}$的SDP表示的显式构造。这提供了一种从局部SDP表示构建全局SDP表示的技术。(ii)对于紧致凸半代数集$S$的SDP表示，我们证明了边界$\bdS$是正曲率的充分条件和必要条件：$\bdS$在光滑点和非退化角点上具有非负曲率.这相当于在$\bdS$上多项式消失的那些点上定义多项式的严格与非严格的准等价关系。它们之间的间隙是$\bdS$，具有正曲率与非负曲率以及光滑点与非光滑点。绕过间隙的一个充分条件是当$S$的一些定义多项式是sos凹的。(iii)对于紧致非凸半代数集$T$的凸包的SDP可表示性，我们发现临界对象是$\pt_cT$，即包含在$\pt \cv{T}$中的$\pt T$的最大子集.我们证明了SDP可表示的充分条件：$\pt_cT$是正曲率的，以及必要条件：$\pt_cT$在光滑点和非退化角点上具有非负曲率.它们之间的间隙类似于情况（ii）。讨论了系统的正定Lagrange Hessian（PDLH）条件.
2008-12-07 math.AG math.OC
Aggregations of quadratic inequalities and hidden hyperplane convexity
本文研究二次不等式定义集合的凸包，提出隐藏超平面凸性（HHC）概念，证明当相关二次映射满足HHC时凸包可由特殊聚合定义，并推广了聚合定义凸包的已知结果。
2023-05-29 math.OC
Explicit convex hull description of bivariate quadratic sets with indicator variables
我们考虑了非凸集$\mathcal S_n = \{(x,X,z): X = x x^T, \; x (1-z) =0,\; x \geq 0,\; z \in \{0,1\}^n\}$，它与最佳子集选择和约束投资组合优化等几个困难的非凸最优化问题的可行域密切相关。利用凸分析和选言规划的思想，得到了$\mathcal S_2$的凸包在原变量空间中的闭包的显式描述.为了生成有效的不等式对应的支撑超平面的凸包的$\mathcal S_2$，我们提出了一个简单的分离算法，可以纳入分支和切割为基础的求解器，以提高现有的松弛的质量。
2023-02-24 math.OC
Exact Semidefinite Formulations for a Class of (Random and Non-Random) Nonconvex Quadratic Programs
研究了一类二次约束二次规划（QCQP），称为{ \em对角QCQP\/}，其中不含非对角项$x_j x_k$（对于$j \ne k$），并给出了保证基本Shor半定松弛是精确的一个充分条件.我们的条件补充和完善那些已经存在于文献中，可以在多项式时间内检查。然后，我们将我们的分析从对角QCQP扩展到一般QCQP，即，没有特殊结构的。通过将一般的QCQP转化为对角形式，我们建立了一般QCQP的半定松弛是精确的新的多项式时间可检验的充分条件。最后，这些想法被扩展到表明，一类随机一般QCQP具有精确的半定松弛与高概率，只要约束的数量增长不快于一个固定的多项式的变量的数量。据我们所知，这是第一个结果，建立随机一般QCQP的半定松弛的精确性。
2018-11-07 math.OC
Semidefinite Relaxation for Two Mixed Binary Quadratically Constrained Quadratic Programs: Algorithms and Approximation Bounds
针对两类混合二元二次约束二次规划（MBQCQP）提出了新的半定规划（SDP）松弛技术，并分析了它们的逼近性能。第一类问题是在$N$维实或复欧几里得空间中求两个最小范数向量，使得满足$2M$凹二次函数中的$M$。通过采用一个特殊的随机舍入过程，我们证明了该模型的最优解的范数与其SDP松弛之间的比率在真实情况下由$\frac{54M^2}π$上界，在复杂情况下由$\frac{24M}{\sqrtπ}$上界。第二类问题找到一系列的最小范数向量的二次约束和基数约束的二元和连续变量。我们表明，在这种情况下的逼近比也是有界的，独立的问题的真实和复杂的情况下的尺寸。
2014-03-17 math.OC
On convex hulls of epigraphs of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的充分条件的凸包的结果，立即意味着标准的半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，凸包结果持有时，二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-02-04 math.OC
On Completely Positive and Semidefinite Programs for Moment Bounds on Maximum of Random Quadratics
School of Mathematics and Computer Science, Indian Institute of Technology (IIT) Goa（印度理工学院果阿分校数学与计算机科学学院）；Engineering Systems Design, Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学工程设计系统）
本研究针对随机二次函数最大值的矩界问题，提出适用于伯努利、非负及无支撑限制随机变量的精确完全正规划与半定规划，实验验证了其实用性。
2026-10-15 math.OC
Exact Hull Reformulation for Quadratically Constrained Generalized Disjunctive Programs
本文提出精确 hull 改进方法，用于解决二次约束通用离散程序，避免近似并保持求解器友好结构，提升求解稳定性与效率。
2026-03-17 math.OC
An Improved Analysis of Semidefinite Approximation Bound for Nonconvex Nonhomogeneous Quadratic Optimization with Ellipsoid Constraints
本文研究椭球约束下的非凸二次优化问题。我们证明了一些特殊情况下（ECQP）的基于SDP的近似界可以通过平凡地应用扩展的Pataki的程序来改进。本文的主要结果是给出了一个新的分析近似（ECQP）的SDP松弛，这大大改善了Tseng的结果[SIAM Journal Optimization，14，268 - 283，2003]。作为应用，我们严格地提高了指派多面体约束二次规划的逼近比。
2014-10-14 math.OC
A coordinate ascent method for solving semidefinite relaxations of non-convex quadratic integer programs
针对一类非凸二次整数优化中的半定规划问题，提出了一种坐标上升法。这些半定规划的特点是积极约束和低秩约束矩阵的总数少。我们利用这种特殊的结构，通过解决对偶问题，使用障碍的方法结合坐标明智的精确线搜索。我们的算法的主要成分是计算成本低的更新在每次迭代和一个简单的计算的确切步长。与内点方法相比，该方法在获得强对偶界方面要快得多。此外，即使原始约束的集合很大，也不需要显式分离和重新优化，因为在我们的对偶方法中，在选择下一个坐标时，隐式地考虑所有原始约束。
2016-03-08 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
An Optimality Gap Test for a Semidefinite Relaxation of a Quadratic Program with Two Quadratic Constraints
我们提出了一个必要和充分的测试，以确定是否可以计算出一个解决方案的一般二次规划与两个二次约束（QC 2 QP）从一个特定的凸半定松弛，在这种情况下，我们说，没有最优性差距。最初打算解决一个非凸的最优控制问题，我们考虑的情况下，成本和两个约束的QC 2 QP可能是非凸的。我们得到了我们的测试，这也证明了强对偶成立时，通过推广一个密切相关的方法艾和张。一个扩展是必要的，因为虽然艾和张提出的方法也允许两个二次约束，它要求至少有一个是严格凸的。为了说明我们的测试的有用性，我们将其应用到两个不满足先前方法所需假设的例子。我们的测试保证了第一个例子没有最优性缺口--一个解决方案也是从松弛中计算出来的--我们用它来确定第二个例子中存在最优性缺口。
2020-12-20 math.OC
On the Semidefinite Representability of Continuous Quadratic Submodular Minimization With Applications to Pricing and Moment Problems
University of Iowa（爱荷华大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
本文研究了带约束的连续二次子模最小化问题，提出了一种多项式规模的半定松弛方法，证明在维度n≤3时严格紧，更大维度时经验紧，并应用于分布鲁棒优化中的两个矩问题。
2026-09-01 math.OC
Model-free stochastic linear quadratic design by semidefinite programming
本文研究随机线性二次控制器的无模型设计方法，基于对偶问题凸性与KKT条件建立最优点与Q函数的关系，提出一种无模型半定规划算法推导最优控制增益，为Q学习提供新优化视角并通过仿真验证有效性。
2024-12-23 math.OC
The equivalence between doubly nonnegative relaxation and semidefinite relaxation for binary quadratic programming problems
最近已经表明（Burer，Math. Program Ser.A120：479-495，2009），可以将一大类NP难的非凸二次规划问题建模为所谓的完全正规划问题，其是凸的但通常仍然是NP难的。通过双重非负松弛得到一个基本的易处理松弛，从而得到一个双重非负规划。本文证明了二元二次规划（BQP）问题的双重非负松弛等价于它的一个紧半正定松弛，当问题（BQP）化为最大割（MC）问题时，它的双重非负松弛等价于标准半正定松弛.此外，一些比较的数值结果报告。
2012-11-23 math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra
分面体是由线性矩阵不等式定义的集合。一个谱面体的投影通常被称为半定可表示集。我们表明，凸包的有限联盟这样的投影再次是一个投影的光谱面体。这改进了Helton和Nie的结果，他们在有界集的情况下证明了相同的结果。
2009-08-24 math.AG math.OC
A Vectorized Positive Semidefinite Penalty Method for Unconstrained Binary Quadratic Programming
Nankai University（南开大学）
针对无约束二元二次规划问题，本文提出向量化正半定惩罚方法，通过向量化矩阵变量、改进惩罚更新与初始化、结合邻近点算法与投影交替BB法求解子问题，经实验验证其在解质量和求解时间上均优于半定松弛等已有方法。
2024-08-09 math.OC
Eigenvalue, Quadratic Programming, and Semidefinite Programming Bounds for a Cut Minimization Problem
考虑将图的节点集划分为给定大小的$k$集，从而得到使用（去除）第$k$集得到的\emph{minimize the cut}的问题.如果得到的割具有值$0$，那么我们得到了顶点分隔符。这个问题与图的划分问题密切相关。事实上，我们使用的模型与图划分问题的模型相同，除了不同的\emph{quadratic}目标函数。我们期待在已知的和新的界限，从各种放宽这个NP-困难的问题。这包括：标准特征值界、使用邻接矩阵和拉普拉斯算子的投影特征值界、基于最近成功的二次指派问题的二次规划（QP）界的QP界、以及半定规划界。我们包括大型和\emph{huge}的问题，说明在强度和时间方面的边界的效率的数值测试。
2014-11-18 math.OC
A Triangle Algorithm for Semidefinite Version of Convex Hull Membership Problem
给定$\mathbb{S}^n$的一个子集$\mathbf{S}=\{A_1, \dots, A_m\}$，即$n \times n$实对称矩阵的集合，我们定义它的{ \it spectrahull}为集合$SH(\mathbf{S}) = \{p(X) \equiv (Tr(A_1 X), \dots, Tr(A_m X))^T : X \in \mathbfΔ_n\}$，其中${\bf Δ}_n$是{ \it spectraplex}，$\{ X \in \mathbb{S}^n : Tr(X)=1, X \succeq 0 \}$。如果一个给定的$b \in \mathbb{R}^m$位于$SH(\mathbf{S})$中，我们将{ \it spectrahull membership}（SHM）作为检验问题.一方面，当$A_i$是对角矩阵时，SHM简化为{ \it凸包隶属度}（CHM），这是LP中的一个基本问题。另一方面，一个有界的SDP的可行性是可还原的SHM。通过构建为CHM及其推广开发的{ \it三角形算法}（TA）\cite{kalchar,kalsep}，我们为SHM设计了TA，其中给定$\varepsilon$，在$O(1/\varepsilon^2)$迭代中，它计算将$b$与$SH(\mathbf{S})$分离的超平面，或$X_\varepsilon \in …
2019-05-19 cs.CC math.OC
A three-operator splitting perspective of a three-block ADMM for convex quadratic semidefinite programming and extensions
凸二次半定规划问题是一个带有耦合线性等式约束的3块可分凸优化问题，近年来，针对凸二次半定规划问题，提出了几种收敛的多块变分交替方向法（ADMM），并通过其对偶求解了该问题.在这些ADMM型算法中，[Chang等人，神经计算机二百一十四：575- 586（2016）]具有一个特殊的特征，即增广拉格朗日函数不必相对于与目标函数的二次项相对应的块变量被最小化。在本文中，我们奠定了这种现象的理论基础，通过解释这个修改后的3块ADMM作为一个实现的3算子分裂框架。基于这一观点，我们能够将这种修改的3块ADMM扩展为广义3块ADMM，它不仅适用于更一般的凸复合二次规划设置，而且还承认实现更好的数值性能的潜力。
2018-07-05 math.OC
Beyond binarity: Semidefinite programming for ternary quadratic problems
Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特应用数学研究所，代尔夫特理工大学）；Department of Computer, Control and Management Engineering “Antonio Ruberti”, Sapienza University of Rome（罗马智慧大学，“安东尼奥·鲁贝蒂”计算机、控制与管理工程系）；CentER, Department of Econometrics and OR, Tilburg University（蒂尔堡大学，计量经济学与运筹学系，CentER）；Department of Mathematics “Tullio Levi-Civita”, University of Padua（帕多瓦大学，“图利奥·列维-奇维塔”数学系）
本文提出了一种针对三元二次问题的半正定规划方法，通过理论分析和强化不等式，结合分支定界算法求解，有效解决了三元变量的优化问题。
2026-10-09 math.OC
On Integrality in Semidefinite Programming for Discrete Optimization
该研究针对多种离散优化问题，基于离散半正定矩阵研究提出通用及问题特定方法，推导其更紧凑的混合整数半定规划表述，还结合结合方案得到结构化问题的新颖紧凑表述，为相关求解方法开辟新视角。
2023-11-08 math.OC
Spanning and Splitting: Integer Semidefinite Programming for the Quadratic Minimum Spanning Tree Problem
针对二次最小生成树问题，本文提出基于图代数连通性的混合整数半定规划模型与强化双非负松弛，开发Peaceman-Rachford分裂法求解，所得界在质量和效率上均优于现有方法。
2025-11-07 math.OC
Affine Facial Reduction for Semidefinite Relaxations of Binary and Mixed-Binary Optimization Problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出仿射 facial 归约（affine FR）方法，用于二元与混合二元优化问题的 SDP 松弛，可降低矩阵阶数，在 MIPLIB 2017 实例上表现优于部分 FR 变体，还能改善 SAT 松弛的求解效果。
2026-09-04 math.OC
Exactness Conditions for Semidefinite Relaxations of the Quadratic Assignment Problem
本文研究了二次指派问题半正定松弛的强度，提出了基于输入矩阵线性不等式的确定性精确性条件，并证明在微小扰动模型下松弛仍精确，克服了对偶可行解集非闭合的技术难点。
2024-10-15 math.OC
Exact Solution Methods for the $k$-item Quadratic Knapsack Problem
本文的目的是解决0-1 $k$ -项二次背包问题$(kQKP)$，即在两个线性约束下最大化一个二次函数的问题。我们提出了一种基于半定优化的精确方法。在我们的方法中使用的半定松弛包括简单的秩一约束，这可以有效地处理内点方法。此外，我们通过多面体约束来加强松弛，并利用束方法得到了这个半定问题的近似解。我们回顾了其他精确解方法，并通过各种大小和密度的实例进行实验，比较所有这些方法。
2016-02-17 math.OC
Semidefinite Programming Approach for the Quadratic Assignment Problem with a Sparse Graph
两个邻接矩阵之间的匹配问题可以表示为NP难的二次指派问题（QAP）。以前的工作半定规划（SDP）放宽到QAP产生的解决方案，往往是紧在实践中，但这样的SDP通常规模差，涉及矩阵变量的尺寸$n^2$，其中n是节点的数量。为了实现加速，我们提出了一个进一步放宽的SDP涉及的维数$\mathcal{O}(n)$没有大于的边缘的数量在一个图形的正半定矩阵。松弛可以通过考虑图中的团而不是边来进一步加强。这种新的松弛的对偶问题具有自然的三块结构，可以通过收敛的增广方向乘法（ADMM）以分布式方式解决，其中每次迭代最昂贵的步骤是计算维度$\mathcal{O}(n)$的矩阵的特征分解。新的SDP松弛产生强界的二次指派问题，其中一个图是稀疏的，减少了计算复杂性和运行时间，并可以用于在核磁共振光谱（NMR）的上下文中，以解决分配问题。
2017-03-27 math.OC
Efficient Rank Minimization to Tighten Semidefinite Programming for Unconstrained Binary Quadratic Optimization
本文提出了一种低秩半定规划方法，并将其应用于无约束二元二次问题的半定松弛。该方法改进了半定规划松弛问题的现有解，得到了较低秩的解。该方法不需要在正半定矩阵的锥上进行投影，因而计算效率高。它的性能方面的目标改进和降秩测试多个图的大规模Gset图集合和二进制最优化问题从Biq Mac集合。
2017-08-05 cs.CC math.OC
Semidefinite Programming Duality in Infinite-Horizon Linear Quadratic Differential Games
本文将半定规划的分析应用扩展至连续时间无限时间线性二次微分博弈，利用Gramian表示技术提出新的原对偶方法建立鞍点，并首次将其用于LQ博弈和$\mathcal{H}_\infty$控制的原对偶分析。
2025-04-03 math.OC
Application of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method to Construction of the Optimal Anisotropy Function
本文提出并应用增强半定松弛技术求解一类非凸二次最优化问题。该方法是基于增强的半定松弛方法补充线性等式约束的二次线性约束。我们给出了保证原始和增强半定松弛问题的最优值重合的充分条件。我们应用这种方法来解决最佳各向异性函数的问题。我们的想法是构造一个最佳的各向异性函数作为最小的各向异性界面能功能的一个给定的约旦曲线在平面上。我们提出了解决最佳各向异性函数的计算实例。示例包括真实雪花的边界。
2015-04-18 math.OC
On Solving the Quadratic Shortest Path Problem
二次最短路问题是在一个有向图中寻找一条路径，使得该路径上所有弧对上的交互成本之和最小化的问题。我们得到了几个半定规划松弛的二次最短路问题的矩阵变量的顺序为$m+1$，其中$m$是在图中的弧的数量。我们用乘子的交替方向法求解半定规划松弛问题。数值结果表明，我们的边界是目前最强的二次最短路问题的边界。我们还提出了计算结果解决二次最短路问题使用分支定界算法。我们的算法在搜索树的每个节点上计算半定规划边界，并在不到小于一小时（！）内解决多达1300个弧的实例。
2017-08-22 math.OC
Exact Convex Reformulations of Binary Quadratic Programs from Facially Reduced Semidefinite Relaxations
Clemson University（克莱姆森大学）
该研究开发了MIQCR-FR框架，通过面部约化半定松弛实现二元二次规划的精确凸重构，在431个实例上验证其最优解数量优于MIQCR-CB和直接Gurobi。
2026-10-09 math.OC
QSDPNAL: A two-phase augmented Lagrangian method for convex quadratic semidefinite programming
本文提出了一种求解凸二次半定规划（QSDP）问题的两阶段增广拉格朗日方法（QSDPNAL），该方法的约束条件包括大量线性等式、不等式约束、简单凸多面体集约束和半正定锥约束.一阶算法，它依赖于不精确的舒尔互补为基础的分解技术开发QSDPNAL-第一阶段的目的是解决QSDP问题，以中等精度或使用它来生成一个相当不错的初始点的第二阶段。在QSDPNAL第二阶段，我们设计了一个增广拉格朗日方法（ALM），在每次迭代的内部子问题是通过不精确的半光滑牛顿算法解决。为ALM设计了简单且可实施的停止准则。此外，在适当的条件下，我们能够建立所提出的算法的收敛速率和证明的R-（超）线性收敛的KKT残差。在QSDPNAL的实现中，我们还开发了有效的技术来解决大规模的线性系方程组在一定的子空间约束。更具体地说，更简单，但更好的条件线性系精心设计，以取代原来的线性系和新的阴影序列构造，以减轻所带来的数值困难的关键子空间的约束。大量的数值结果表明，我们的两阶段算法是高效和强大的，在获得精确的解决方案。
2016-12-30 math.OC
Convex hulls of curves in $n$-space
研究了 $n$ 维空间中一维半代数集的闭凸包的半定扩展度，证明其上界为 $1+\lfloor\frac n2\rfloor$，并指出该界限在多种情形下是最佳的。
2024-10-14 math.AG math.OC
A Semidefinite Programming Method for Integer Convex Quadratic Minimization
考虑整数格${\bf Z}^n$上凸二次函数极小化的NP-困难问题。我们提出了一个简单的半定规划（SDP）松弛获得的最优值的问题的一个非平凡的下界。通过解释的解决方案的SDP松弛概率，我们得到了一个随机算法找到良好的次优解，从而上界的最优值。该方法的有效性示出了各种大小的数值问题的实例。
2017-03-10 cs.DS math.OC
Solution to the Inverse Wulff Problem by Means of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method
提出了一种求解最优各向异性函数的新方法。我们的想法是构造最佳的各向异性函数作为逆Wulff问题的解决方案，即作为一个最小的不等周比为一个给定的约旦曲线在平面上。它导致一个非凸的二次最优化问题与线性矩阵不等式。为了解决这个问题，我们提出了所谓的增强半定松弛法，它是基于一个凸半定问题的解决方案，通过二次线性约束增强的原问题的半定松弛。我们表明，序列的有限维近似的最佳不等周比收敛到最佳不等周比，这是一个解决方案的逆Wulff问题。文中还给出了几个计算实例，包括对应于真实雪花边界的计算实例，并对数值方法的收敛速率进行了讨论。
2014-03-17 math.OC
Quadratic Convexification of a Square Truncated by a Hyperbola
Clemson University（克莱姆森大学）
研究由双曲线截断的正方形构成的非凸集$G$，刻画其非负二次多项式锥的极射线，推导其提升凸包的精确有限半定表示，完善了乘积约束区域的凸化理论。
2026-08-28 math.OC
On the convex hull of convex quadratic optimization problems with indicators
Northwestern University（西北大学）；University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Southern California（南加州大学）
研究了具有任意约束的凸二次最优化问题。我们证明，在具有二次数量的附加变量的扩展空间中，相关混合整数集的凸包描述由单个半正定约束（显式声明）和线性约束组成。特别是，这类问题的凸化减少到描述一个多面体集在一个扩展的配方。虽然这个多面体集的顶点表示是指数和一个明确的线性不等式的描述可能不容易在一般情况下，我们推导出一个紧凑的混合整数线性配方，其解决方案与多面体集的顶点重合。我们还在原始变量空间中给出了描述：我们提供了一个基于无穷多个圆锥-二次不等式的描述，这些不等式是``生成的。“特别地，可以表征给定的不等式是否需要描述凸包。本文提出的新理论统一了已有的几个结果，并为利用多面体方法分析混合整数非线性集的凸包铺平了道路。
2022-11-27 cs.LG math.OC
Exactness in SDP relaxations of QCQPs: Theory and applications
二次约束二次规划是一类基本的最优化问题。在QCQP中，我们被要求最小化一个（可能是非凸的）二次函数，该函数受到一些（可能是非凸的）二次约束。这样的问题在运筹学、计算机科学和工程学的许多领域中自然出现。虽然QCQP一般是NP-难求解的，但它们通过标准的（Shor）半定规划（SDP）松弛来实现自然的凸松弛。在本教程中，我们将研究一般QCQP的SDP松弛，提出与此松弛相关的各种精确度概念，并讨论保证这种SDP精确度的条件。特别是，我们将定义和检查SDP精确性的三个概念：（i）目标值精确性--QCQP的最优值与其SDP松弛的最优值重合的条件;（ii）凸包精确性--QCQP上图的凸包与其SDP松弛的最优值重合的条件;（投影）SDP epigraph，和（iii）秩一生成（ROG）的性质-的条件，一个特定的圆锥子集的正半定矩阵有关的一个给定的QCQP是由它的秩一矩阵生成。我们对目标值精确性和凸包精确性的分析源于对投影SDP松弛的几何处理，并关键地考虑了目标函数如何与约束相互作用。ROG性质补充了这些结果，提供了一个充分条件的目标值精确性和凸包精确性，这是无视的目标函数。我们将给出这些正合性条件的各种充分条件，并讨论这些充分条件是额外必要的设置。在整个过程中，我们将强调我们的结果的影响，一些示例应用程序。
2021-07-14 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
Model-free stochastic linear quadratic control for discrete-time systems with multiplicative and additive noises via semidefinite programming
本文提出了一种基于半正定规划的无模型随机线性二次控制方法，通过理论分析和实验验证，实现了非迭代、样本高效且无需超参数调优的最优控制增益估计。
2025-12-24 math.OC
