Global Optimization of Gas Transportation and Storage: Convex Hull Characterizations and Relaxations
针对天然气输送与储存的非凸MINLP问题，提出基于管道和压缩机非凸集凸包刻画的混合整数二阶锥松弛及算法框架，在GasLib网络上验证了高效收敛并获近全局解。
2025-04-25 math.OC
2x2 convexifications for convex quadratic optimization with indicator variables
本文研究了带指示变量的凸二次最优化问题。对于二元情形，我们在原变量空间中描述了上图的凸包，并给出了一个二次曲线推广公式。然后，使用的凸包描述的二元情况下作为一个积木，我们推导出一个扩展的SDP松弛一般情况下。这个新的配方是强于其他SDP松弛在文献中提出的问题，包括Shor的SDP松弛，最佳的角度松弛以及最佳的秩一松弛。计算实验表明，所提出的公式是非常有效的，以减少完整性差距的最优化问题。
2020-04-16 math.OC
Relaxations and Duality for Multiobjective Integer Programming
本文研究多目标整数规划的松弛与对偶理论，提出连续、凸包和拉格朗日松弛并分析其关系，构造了在支撑解处具有强对偶性的拉格朗日对偶和集值超加性对偶，并通过数值实验验证拉格朗日对偶可获得更紧的界。
2023-09-15 math.OC
On semidefinite descriptions for convex hulls of quadratic programs
本文研究二次约束二次规划（QCQP）上图凸包与SDP松弛投影上图重合的条件，提出了基于凸拉格朗日乘子锥几何性质的凸包精确性充分条件，并证明在额外几何假设下该条件亦为必要。
2024-03-20 math.OC
On convex hulls of epigraphs of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的充分条件的凸包的结果，立即意味着标准的半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，凸包结果持有时，二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-02-04 math.OC
Strong Convex Nonlinear Relaxations of the Pooling Problem
我们调查新的凸松弛池问题，一个经典的非凸生产规划问题，其中输入材料混合在中间池，这些池的输出进一步混合，使输出产品满足给定的属性百分比要求。我们的放松是通过考虑一组所产生的配方，考虑一个单一的产品，一个单一的属性，一个单一的池。所得非凸集的凸包不是多面体。我们得到了有效的线性和凸非线性不等式的凸包，并证明了这些不等式的不同子集定义的凸包的非凸集的参数所确定的三种情况下。文献实例和新创建的较大的测试实例的计算结果表明，不等式可以显着地加强凸松弛的pq-制定的汇集问题，这是松弛已知具有最强的限制。
2018-03-08 math.OC
Sequence of Polyhedral Relaxations for Nonlinear Univariate Functions
给定一个非线性、单变量、有界、可可微函数$f(x)$，本文给出了一系列分别收敛于$f(x)$及其凸包的混合线性规划（MILP）和线性规划（LP）松弛.建立了松弛序列到函数及其凸包的图的理论收敛性。对于非线性非凸优化问题，本文给出的松弛方法可用于构造紧MILP和LP松弛方法。这些MILP和LP松弛也可以分别与基于MILP的全局优化算法和基于空间分支定界的全局优化算法一起使用。
2021-02-23 math.OC
Convex Hull of the Quadratic Branch AC Power Flow Equations and Its Application in Radial Distribution Networks
采用支路潮流模型（BFM）来计算一般网络中的交流潮流.对于每个分支/线，BFM包含一个非凸二次等式。给出了该二次方程的最紧凸松弛的凸包的数学表达式。凸壳公式由一个二阶锥不等式和一个在潮流物理边界内的线性不等式组成。对该凸包公式进行了解析证明和几何验证。研究了具有高渗透率光伏资源的辐射状配电网分布式储能的优化调度问题。为了捕获电池和转换器的性能，提出了二阶DES模型。在二次枝流方程的凸包基础上，推导了DES模型中非凸约束的凸包表达式。提出的凸包模型被用来产生一个紧的DES最优调度（DESOS）问题的凸松弛。所提出的方法进行了测试，在几个径向系统。讨论了网状网络的扩展。
2017-01-25 math.OC
Volume Formulae for the Convex Hull of the Graph of a Trilinear Monomial: A Complete Characterization for General Box Domains
University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
本文通过详尽案例分析，为一般方盒域提供了三线性单项式图的凸包体积公式的完整特征化。
2026-08-14 math.OC
Exactness in SDP relaxations of QCQPs: Theory and applications
二次约束二次规划是一类基本的最优化问题。在QCQP中，我们被要求最小化一个（可能是非凸的）二次函数，该函数受到一些（可能是非凸的）二次约束。这样的问题在运筹学、计算机科学和工程学的许多领域中自然出现。虽然QCQP一般是NP-难求解的，但它们通过标准的（Shor）半定规划（SDP）松弛来实现自然的凸松弛。在本教程中，我们将研究一般QCQP的SDP松弛，提出与此松弛相关的各种精确度概念，并讨论保证这种SDP精确度的条件。特别是，我们将定义和检查SDP精确性的三个概念：（i）目标值精确性--QCQP的最优值与其SDP松弛的最优值重合的条件;（ii）凸包精确性--QCQP上图的凸包与其SDP松弛的最优值重合的条件;（投影）SDP epigraph，和（iii）秩一生成（ROG）的性质-的条件，一个特定的圆锥子集的正半定矩阵有关的一个给定的QCQP是由它的秩一矩阵生成。我们对目标值精确性和凸包精确性的分析源于对投影SDP松弛的几何处理，并关键地考虑了目标函数如何与约束相互作用。ROG性质补充了这些结果，提供了一个充分条件的目标值精确性和凸包精确性，这是无视的目标函数。我们将给出这些正合性条件的各种充分条件，并讨论这些充分条件是额外必要的设置。在整个过程中，我们将强调我们的结果的影响，一些示例应用程序。
2021-07-14 math.OC
Convex Hull Formulations for Mixed-Integer Multilinear Functions
在本文中，我们提出了凸包配方的混合整数，多线性项/功能（MIMF）的产品的多个连续和二元变量。我们发展了MIMF的两个等价的凸松弛，并在相应的高维空间中研究了它们的多面体性质。我们在数值上观察到，所提出的配方始终比最先进的松弛方法表现更好。
2018-07-29 cs.DM math.OC
Bounding the gap between the McCormick relaxation and the convex hull for bilinear functions
我们研究如何以及双线性函数$b:[0,1]^n\to\mathbb{R}$的图形可以近似其麦考密克松弛。特别是，我们感兴趣的是最小的数字$c$，使得从麦考密克松弛方法获得的凹上边界和凸下边界函数之间的差至多是凹包络和凸包络之间的差的$c$倍。通过对Luedtke，Namazifar和Linderoth的一个问题的讨论，我们证明了这个因子$c$不能被一个独立于$n$的常数所约束.更准确地说，我们表明，对于一个随机双线性函数$b$，我们有渐近几乎必然$c\geqslant\sqrt n/4$。另一方面，我们证明了$c\leqslant 600\sqrt{n}$，它改进了Luedtke，Namazifar和Linderoth证明的线性上界。此外，我们还对Misener，Smamadbeck和Floudas特征函数$b$的McCormick松弛等于凸包的一个结果给出了另一种证明.
2016-05-31 math.CO math.OC
Convex Hulls of Quadratically Parameterized Sets With Quadratic Constraints
设V是二次集T上由二次多项式参数化的半代数集。本文研究谱面投影（由线性矩阵不等式定义）的半定凸包表示。当T由一个二次约束定义时，我们证明了它的凸包等于$V$的一阶矩型半定松弛，直到取闭包。当每个二次多项式都是齐次的，并且T由两个齐次二次约束定义，或者V由有理二次参数化定义时，类似的结果也成立。
2011-10-11 math.OC
On the tightness of SDP relaxations of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的条件下，标准半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，SDP松弛是紧的，每当二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们提出了类似的充分条件，在此条件下，SDP的投影上图给出了原QCQP上图的凸包。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-11-13 math.OC
Quadratic Optimization with Switching Variables: The Convex Hull for $n = 2$
我们考虑变量$(x,y)$的二次优化，其中$0\le x\le y$，和$y\in\{0,1\}^n$。这种二进制$y$通常被称为“指示器”或“开关”变量，并且在应用中经常出现。解决这些问题的一种方法是基于表示或近似集合$\{ (x,xx^T, yy^T) : 0\le x\le y\in\{0,1\}^n\}$的凸包。对于情况$n=1$的表示是已知的并且已经被广泛使用。我们给出了一个精确的表示的情况下$n=2$开始与一个析取表示的凸包，然后消除辅助变量和约束，不改变投影到原始变量。这种表示的另一种推导导致一个有吸引力的猜想为简化表示的凸包$n=2$时，产品项$y_1y_2$被忽略。
2020-02-11 math.OC
The convex hull of a quadratic constraint over a polytope
二次约束二次规划（QCQP）是一个最优化问题，其中目标函数是一个二次函数，可行域由二次约束定义。求解非凸QCQP的全局最优解是一个众所周知的NP-困难问题，传统的方法是使用凸松弛和分支定界算法。本文在这方面作出了贡献，证明了一般二次方程与任意有界多面体相交的精确凸包是二阶锥可表示的。我们提出了一个简单的建设性证明这个结果。
2018-12-25 math.OC
Compact extended formulations for low-rank functions with indicator variables
本文针对带指示约束的低秩凸函数混合整数集合，提出新的析取表示以构造变量数多项式级、函数维数指数级的紧致扩展表示，并在一维情形给出投影方法，实验表明能显著提升求解器性能。
2023-09-17 math.OC
Convex Hulls of Algebraic Sets
本文描述了一种计算R^n中一组点的凸包的连续凸逼近的方法，这些点是实数上一个多项式方程组的解。该方法依赖于多项式的平方和和矩矩阵的对偶理论。该技术的主要特点是，所有的计算都是模的理想所产生的多项式定义集的凸。这项工作的动机是Lovász提出的关于图的theta体到任意实代数簇的扩展的问题，因此这里描述的松弛被称为theta体。凸化过程可以看作是R^n中半代数集的拉塞尔凸松弛层次的化身。当定义理想是真正的激进时，结果变得特别好。我们提供了几个例子的方法，并讨论收敛问题。对于有限点集，有限收敛，特别是在第一步之后，可以明确地描述。
2010-07-07 math.OC
On the Equivalence of SDP Feasibility and a Convex Hull Relaxation for System of Quadratic Equations
证明了{ \it半定规划}（SDP）的可行性问题等价于求解有限二次方程组的{ \it凸包松弛}（SLP）.一方面，这提供了对SDP的简单描述。另一方面，这种等价性使得可以基于求解CHR来描述用于SDP可行性的{ \it三角算法}的版本。具体地，三角算法或者计算SDP的最小范数可行解的近似，或者使用其{ \it距离对偶}，在不存在规定范数内的解时提供分离。每次迭代的最坏情况复杂度是计算在该迭代中出现的对称矩阵的最大特征值。迭代总数的替代复杂性界限可以导出。因此，三角形算法为SDP可行性和SDP优化提供了一种替代现有的邻近点算法。特别地，基于初步的计算结果，我们可以通过三角形算法有效地解决{ \it二元二次}可行性的SDP松弛。这在求解MAX-CUT的SDP松弛问题中得到了应用。我们还表明，在测试的情况下，凸二次不等式系统的可行性，该问题是减少到一个相应的问题，其中最坏情况下的复杂性，通过三角形算法的每次迭代是解决{ \it置信域子问题}。在此基础上，我们讨论了三角形算法和三角形算法在求解一般多项式方程中的潜在推广。
2020-08-16 cs.CC math.OC
Supermodularity and valid inequalities for quadratic optimization with indicators
University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Southern California（南加州大学）
我们研究了一阶二次指标的极小化问题，证明了通过投影连续变量得到的基本集函数是超模的。尽管超模最小化一般来说是困难的，但秩一二次函数的特定集函数可以在线性时间内最小化。我们证明了二次型上图的凸包可以从其下的超模集函数的不等式中得到，通过将它们提升为原变量空间中的非线性不等式。显式形式的凸壳描述，无论是在原始空间的变量，并在一个扩展的配方通过圆锥二次可表示的不等式，随着多项式分离算法。计算实验表明，提升的圆锥二次型超模不等式对缩小带指标二次优化的完整性缺口是十分有效的.
2020-12-29 cs.LG math.OC
Exact Hull Reformulation for Quadratically Constrained Generalized Disjunctive Programs
本文提出精确 hull 改进方法，用于解决二次约束通用离散程序，避免近似并保持求解器友好结构，提升求解稳定性与效率。
2026-03-17 math.OC
Aggregation of Bilinear Bipartite Equality Constraints and its Application to Structural Model Updating Problem
本文研究双线性二分等式约束的聚合凸化方法，给出有限与无限聚合刻画凸包的充分条件及反例，并将该方法应用于结构模型更新问题，在分支定界中获得更紧的界。
2024-10-18 math.OC
Convexification Techniques for Fractional Programs
本文建立分式函数与多项式函数凸包的对应关系，提出0-1分式、二次比、单变量分式及多仿射比问题的多种凸化与松弛方法，并证明其更紧、更省算力且可求解更大实例。
2024-06-15 math.OC
Strong Formulations for Quadratic Optimization with M-matrices and Indicator Variables
我们研究了具有指示变量和M-矩阵的二次优化，即，具有非正非对角项的PSD矩阵，其直接出现在具有交易成本的图像分割和投资组合优化中，以及一般二次最优化问题的子结构。我们证明，在温和的假设下，最小化问题是在多项式时间内可解的，通过显示其等价于一个子模块化的最小化问题。为了加强制定，我们分解成一个简单的二次函数，最多两个指标变量的总和，并提供这些集的凸包描述的二次函数。我们还描述了强锥二次有效不等式。初步的计算实验表明，所提出的不等式可以大大提高强度的连续松弛相对于标准的透视重构。
2018-04-14 math.OC
A Graph-based Decomposition Method for Convex Quadratic Optimization with Indicators
本文考虑了目标函数中定义二次项的矩阵$Q$稀疏时的带指示变量的凸二次最优化问题。我们使用图形表示的支持$Q$，并表明，如果这个图是一个路径，那么我们可以解决相关的问题在多项式时间。这使得我们能够构造一个紧凑的扩展配方的混合整数凸问题的上图的凸包的封闭。此外，我们提出了一种新的分解方法，一般（稀疏）$Q$，利用路径的情况下，有效的算法。我们的计算实验表明，所提出的方法相比，最先进的混合整数优化求解器的有效性。
2021-10-24 math.OC
Convexification of bilinear terms over network polytopes
针对网络多面体上双线性约束 McCormick 松弛对偶界差的问题，提出基于网络特殊树和森林结构的凸包定义面不等式构造方法，并通过计算实验验证其有效性。
2024-02-26 math.OC
A Geometric View of SDP Exactness in QCQPs and its Applications
二次约束二次规划（QCQP）是一类表达能力很强的非凸最优化问题。虽然QCQP一般是NP-困难的，但它们通过标准的（Shor）半定规划（SDP）松弛来实现自然的凸松弛。为了理解这种松弛是确切的，我们研究一般的QCQP和他们的（预计）SDP松弛。我们提出了目标值精确性（QCQP和其SDP松弛的目标值重合的条件）和凸包精确性（QCQP上图的凸包与其SDP松弛的上图重合的条件）的充分条件（在某些情况下也是必要条件）。我们的条件是基于几何性质的$Γ$，锥凸拉格朗日乘子，及其亲属$Γ_P$和$Γ^\circ$。这些工具构成了我们主要信息的基础：只要$Γ$、$Γ_P$或$Γ^\circ$得到很好的理解，就可以系统地处理精确性问题。作为这一消息的进一步证据，我们应用我们的工具来解决一个原型QCQP涉及一个二进制开关约束，二次矩阵程序，分区问题的QCQP制定，随机和半随机QCQP的精确性问题。
2021-11-26 math.OC
Convex Hull, IP and European Electricity Pricing in a European Power Exchanges setting with efficient computation of Convex Hull Prices
本文介绍了一种计算效率的比较方法，日前电力市场的经典定价规则，即凸包定价，IP定价和欧洲的市场规则，在电力交易所设置与非凸需求报价。例如，这些需求投标可以对大型工业消费者有用，并扩展欧洲电力交易所使用的需求块订单。为此，我们证明，可以使用涉及启动成本、最小功率输出水平和斜坡约束的投标产品的连续放松或需求侧的类似版本来有效地计算凸包价格。依靠现有的高效算法方法来处理类似欧洲的市场规则，这样的投标产品，我们提供了比较数值实验，使用现实的数据，其中，与程式化的例子，阐明了每个定价规则的相对优点，从经济和计算的角度。这项工作的动机是在欧洲和美国，以及前一天的价格信号的重要性，因为这些（现货）价格被用作许多电力衍生品的参考价格的中期演变的预期需要。在Julia/JuMP中编程的数据集、模型和算法在在线Git存储库中提供。
2018-03-30 math.OC
Constrained Optimization of Rank-One Functions with Indicator Variables
Cornell University（康奈尔大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文研究带指示变量的秩一凸函数优化问题，提出利用透视函数诱导的锥结构构造紧致扩展表示，并给出系统化的凸包透视表示，在稀疏非负逻辑回归上验证了有效性。
2023-11-27 cs.AI cs.LG math.OC
Sorting Network Relaxations for Vector Permutation Problems
Birkhoff多面体（置换矩阵集合的凸包）经常被用于表示置换上的最优化问题的松弛。Birkhoff多面体使用$Θ(n^2)$变量和约束来表示，明显多于可以用于将置换表示为向量的$n$变量。使用Goemans（2010）的最新构造，我们表明，当优化置换向量的凸包（置换面体）时，我们可以在理论上将变量和约束的数量减少到$Θ(n \log n)$，在实践中减少到$Θ(n \log^2 n)$。我们修改了Fogel等人（2013）引入的2-SUM问题的最新凸公式，以使用此多面体，并演示了如何在大$n$的计算时间显著减少的情况下获得类似质量的结果。据我们所知，这是第一次使用Goemans的紧凑制定的permutahedron在凸优化问题。我们还介绍了一个更简单的正则化方案，这个凸制定的2-SUM问题，产生良好的经验结果。
2016-02-15 math.OC
P-split formulations: A class of intermediate formulations between big-M and convex hull for disjunctive constraints
KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）；Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
本研究提出介于big-M与凸包之间的P-split析取约束混合整数公式，通过拆分凸约束构造层级松弛结构，344个测试实例验证其兼顾紧致性与计算效率，性能优于两类传统公式。
2025-05-17 cs.LG math.OC
Convex Hull Representations for Bounded Products of Variables
众所周知，$\{(x,y,xy)\}$的凸包，其中$(x,y)$被约束为位于一个盒子中，由重构线性化技术（RLT）约束给出。Belotti { \em et al.\，}（2010）和Miller { \em等人，}（2011）表明，如果在乘积$z=xy$上存在额外的上界和/或下界，则可以通过添加无限族不等式来表示凸包，这需要分离算法来实现。Nguyen { \em et al.\，}（2018）推导出了在$z=x^{b_1} y^{b_2}$的更一般情况下具有$z$边界的凸包，其中$b_1\ge 1$，$b_2\ge 1$。我们专注于最重要的情况下，$b_1=b_2=1$和显示的凸包上界或下界的产品是由RLT约束，$z$和一个单一的二阶锥（SOC）约束的约束。通过乘积的上界和下界，可以使用不超过三个SOC约束来表示凸包，每个约束都适用于$(x,y)$值的子集。除了凸包的特征，无论是上或下界的$z$的凸包的体积进行计算和比较，只施加RLT约束的松弛。作为这些体积的结果的应用，我们展示了如何空间分支可以应用到产品变量，以便最大限度地减少两个子问题的体积之和。
2020-04-15 math.OC
Real-time solution of quadratic optimization problems with banded matrices and indicator variables
本文研究带带状矩阵和指示变量的混合整数二次优化问题，提出利用决策图构造多项式规模表示和凸包，并通过最短路径算法实现毫秒级在线求解，用于时间序列监测中的变化与异常检测。
2024-05-05 math.OC
Convexification of Permutation-Invariant Sets and an Application to Sparse PCA
我们开发的技术，凸的一组不变的变量的置换和/或符号的变化，并讨论这些结果的应用。首先，我们凸化置换的单位球与符号不变范数的交集，并给出基数约束。这给出了稀疏主成分分析（稀疏PCA）的可行集的非线性公式和$K$支持范数的另一种证明。其次，我们刻画了通过约束矩阵的奇异值定义的矩阵集的凸包。因此，我们推广了较早的结果，其特点的凸包的秩约束矩阵的谱范数低于给定的阈值。第三，我们得到了超立方体上各种置换不变非线性函数及其水平集的凸包络和凹包络，且所有变量都有全等界。最后，我们发展了稀疏向量的外积的新松弛。使用这些松弛稀疏PCA，我们表明，我们的放松关闭$98\%$的差距留下了一个经典的SDP松弛的情况下，协方差阵的维度高达$50\times 50$。
2021-08-06 math.OC
A Tight SDP Relaxation for MIQCQP Problems in Power Systems Based on Disjunctive Programming
考虑交流潮流约束和整数决策变量的最优化问题通常可以归结为一个混合整数二次约束二次规划（MIQCQP）问题。在本文中，首先，一组有效的线性等式，以加强半定规划（SDP）松弛的MIQCQP问题，而不显着增加问题的维数，使增强的混合整数SDP（MISDP）松弛，这是一个混合整数凸问题，得到。然后，增强的MISDP松弛被重新表述为一个析取规划（DP）问题，这是比前一个更紧，因为析取的目的是捕捉的析取性质的秩-1约束的条款的积分变量。然后将DP松弛等价地转化为MISDP问题，其连续松弛的可行集是DP问题可行域的凸包。最后，全局最优解的DP问题，这是最严格的放松MIQCQP的文件中提出的解决所产生的MISDP问题使用分支定界（B&B）算法。B&B算法的计算效率被期望是高的，因为MISDP子问题的连续松弛的可行集是对应DP子问题的可行集的凸包。为了进一步降低MISDP问题的维数，考虑到稀疏性，提出了一个简洁的MISDP问题的计算公式。以高渗透率光伏并网系统中智能光伏逆变器的优化配置问题为例，研究了一个MIQCQP问题。在IEEE配电系统上对所提出的方法进行了测试。结果表明，该方法能有效地提高SDP松弛的严密性和可行性。
2015-09-17 math.OC
On the Exactness of Dantzig-Wolfe Relaxation for Rank Constrained Optimization Problems
该研究针对秩约束优化问题（RCOP），推导了Dantzig-Wolfe松弛（DWR）实现极点、凸包、目标值三类精确性的充要条件，统一拓展了QCQP与公平无监督学习的现有结果，可用于推导新的精确性结论。
2023-06-14 math.OC stat.ML
MIP Relaxations in Factorable Programming
针对可分解规划的非线性表达式，本文结合专门凸化与复合松弛，基于局部内函数组合结构上的外函数凸包理想表述构建更紧、变量更少的 MIP 松弛，并通过多项式实例验证其相对 McCormick 松弛缩小约 60%–70% 差距。
2024-06-15 math.OC
The equivalence of optimal perspective formulation and Shor's SDP for quadratic programs with indicator variables
在本文中，我们比较的强度的最佳透视重构和肖尔的SDP放松。我们证明了这两个公式是等价的二次最优化问题与指示变量。
2021-12-19 math.OC
Affine Facial Reduction for Semidefinite Relaxations of Binary and Mixed-Binary Optimization Problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出仿射 facial 归约（affine FR）方法，用于二元与混合二元优化问题的 SDP 松弛，可降低矩阵阶数，在 MIPLIB 2017 实例上表现优于部分 FR 变体，还能改善 SAT 松弛的求解效果。
2026-09-04 math.OC
A Unifying Convexification Framework for Chance-Constrained Programs with Finite Support via Bilinear Formulations over a Simplex
Edwardson School of Industrial Engineering, Purdue University（普渡大学爱德华森工业工程学院）；Department of Industrial Engineering, Clemson University（克莱姆森大学工业工程系）
本文提出一种基于单纯形双线性公式的统一凸化框架，通过聚合技术强化机会约束规划混合集的松弛，其不等式覆盖基准实例凸包90%以上的面定义不等式，推进了相关多面体理解。
2026-08-12 math.OC
Semidefinite representations of non-compact convex sets
研究一类非紧基本半代数集的半定表示问题。我们引入的条件的指向性和封闭性在无穷远的半代数集，并表明，在这些条件下，我们的修改层次的嵌套θ机构和Lasserre的松弛收敛到封闭的凸包$S$。此外，如果PP-BDR性质满足，则当阶足够大时，我们的theta体和Lasserre松弛是精确的;如果PP-BDR性质不成立，则我们的层次结构一致收敛到限制在以原点为中心的每个固定球的$S$凸包的闭包。我们通过一组例子说明，尖性和闭性条件是必要的，以确保收敛。最后，我们提供了一些策略，以处理的情况下，违反了条件的指向性和封闭性。
2014-02-24 math.OC
Convexification of Multi-period Quadratic Programs with Indicators
研究带指示变量的多期二次优化问题，通过投影状态变量构建闭凸包表示和紧二阶锥规划公式，并提出基于最短路径的多项式时间算法，应用于统计学习与混合系统控制。
2024-12-22 math.OC
On the exactness of Lasserre relaxations and pure states over real closed fields
考虑解集为$S\subseteq\mathbb R^n$的有限非严格多项式不等式组。它的Lasserre松弛度$d$是一个关于原始变量和一个附加变量的自然线性矩阵不等式，对于每个至多$d$度的非线性单项.它定义了一个投影到包含$S$的凸半代数集的谱面体。在最好的情况下，投影等于$S$的凸包。我们表明，这是非常经常的情况下，足够高的$d$，如果$S$是紧凑的和“向外凸出”的边界上的凸包。现在另外给出多项式目标函数$f$，即，考虑多项式最优化问题。它的Lasserre松弛度$d$现在是一个半定规划。在最好的情况下，多项式最优化问题的最优值和它的松弛一致。我们证明了，这经常发生，如果$S$是紧凑的和$d$超过一些限制，这取决于描述的$S$和某些characteristicae的$f$一样的相互距离的全局极小$S$。
2018-11-29 math.AG math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
Lifted Polymatroid Inequalities for Mean-Risk Optimization with Indicator Variables
研究了均值-风险优化中一类带指示变量的混合0-1锥二次最优化问题。指标变量通常用于模拟非凸性，如固定费用或基数约束。由于二元约束，该问题可归结为一个次模函数极小化问题，通过提升二元变量上的多拟阵不等式，得到了三类强凸有效不等式.计算实验表明，在加强凸松弛的不等式的有效性，从而提高了固定费用和基数约束的平均风险问题的解决时间显着。
2018-08-25 math.OC
Generating Cutting Inequalities Successively for Quadratic Optimization Problems in Binary Variables
我们提出了一个二元二次最优化问题的连续生成切割不等式。对最优解集$\subset \{0, 1\}^n$的凸包连续生成多个切割不等式，而对可行域的凸包使用标准切割不等式。一个任意系数为整数且右端值为整数的线性不等式可作为有效不等式的候选。线性不等式的有效性是通过求解子问题的圆锥松弛来确定的，例如双非负松弛，假设问题的未知最优值的上界是可用的。此外，多个切割不等式产生的候选人同时测试其有效性并行。对60个二次无约束二元最优化问题的初步数值计算结果表明，70%的测试问题得到了精确的最优值，证明了所提出的技术的强大潜力。
2021-07-19 math.OC
Copositive Characterizations of Convex Hull Pricing
New Jersey Institute of Technology（新泽理工学院）；Polytechnique Montreal（蒙特利尔高等商学院）
针对机组组合非凸二元约束下无统一线性定价方案支持最优调度的问题，定义集中凸包价格，证明其与边际共正对偶价格在非退化时一致，并通过数值实验验证等价性及量化定价差距。
2026-07-14 cs.SY eess.SY math.OC
A new perspective on low-rank optimization
Sloan School of Management, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院斯隆管理学院）；London Business School（伦敦商学院）
本研究引入矩阵透视函数，结合正交投影矩阵提出矩阵透视重构技术，可高效生成各类低秩问题的强凸松弛，推广了混合整数优化的透视重构方法。
2022-03-02 cs.LG math.OC stat.ML
Mixed-Integer Reaggregated Hull Reformulation of Special Structured Generalized Linear Disjunctive Programs
Davidson School of Chemical Engineering, Purdue University（普渡大学戴维森化学工程学院）
本文提出了一种基于时间槽再聚合的混合整数重构方法，用于解决特殊结构的通用线性不等式程序问题，实现了紧凑且高效的混合整数规划模型。
2026-01-16 math.OC
Some fundamental properties of successive convex relaxation methods on LCP and related problems
一般逐次凸松弛法（SRCM）可以用来计算欧几里得空间中由二次不等式和一个不太复杂的紧凸集所描述的任何紧集的凸包。线性互补性问题是一类有趣而丰富的结构化非凸最优化问题。在本文中，我们研究了一些专门的升降机和项目的方法和一些可能的方式，适用于一般的SCRMs的LCP和相关问题。
1999-05-01 math.MG math.OC
Ideal formulations for constrained convex optimization problems with indicator variables
Northwestern University（西北大学）；University of Southern California（南加州大学）
受现代回归应用的启发，本文研究了一类具有指示变量和组合约束的凸优化问题的凸化问题。与以往大多数稀疏回归问题凸化的工作，我们同时考虑非线性不可分离的目标，指示变量，和组合约束。具体地，我们给出了任意组合约束下一维凸函数与仿射函数的合成上图的凸包描述。作为这一结果的特殊情况下，我们得到理想的凸性问题的层次，多重共线性，稀疏约束。此外，我们还给出了一个简短的证明，对于一个可分离的目标函数，透视重构是理想的独立于问题的约束。我们的计算实验与回归问题的层次约束下的真实数据集证明了所提出的方法在提高松弛质量，而没有显着的计算开销的潜力。
2021-06-16 cs.LG math.OC
Convexification of a Separable Function over a Polyhedral Ground Set
针对标准单纯形上由 $y_j=x_j^κ$ 定义的非凸可分集合，论文提出并加强多种锥规划松弛，给出凸包、逼近保证、渐近紧性及计算比较。
2025-10-18 math.OC
Numerical analysis of the convex relaxation of the barrier parameter functional of self-concordant barriers
本文研究锥规划中自协调障碍函数参数优化问题的凸松弛，通过比较R^3中非凸体族与其凸包来估计凸化导致的最优值退化程度，为构造次优障碍函数提供依据。
2025-07-06 math.OC
Improving QC Relaxations of OPF Problems via Voltage Magnitude Difference Constraints and Envelopes for Trilinear Monomials
交流最优潮流（AC~OPF）是一个具有挑战性的非凸优化问题，在电力系统运行控制中起着至关重要的作用。最近发展的凸松弛技术提供了新的见解，关于AC~OPF解决方案的全局最优性。二次凸松弛是一种很有前途的方法，它可以在潮流方程的极坐标表示中的三角项和乘积项周围构造凸包络。本文提出了两种收紧QC松弛的方法。第一种方法引入了新的变量，表示连接的总线之间的电压幅值差。使用"边界收紧"技术，电压幅值差变量的边界可以显著小于电压幅值本身的边界，因此基于电压幅值差的约束可以收紧松弛。其次，而不是一个潜在的较弱的"嵌套麦考密克"制定，本文采用"迈耶和弗劳达斯"包络线，产生的凸包的三线性单项式形成的产品的电压幅值和三角形的极坐标形式的潮流方程。与最先进的QC实现相比，通过较小的最优性差距证明了这些改进的优势。
2018-04-08 math.OC
