Moduli spaces of rational tropical curves
Grigory Mikhalkin
本文定义了n个标志点的有理热带曲线的模空间。我们表明，这个空间有一个结构的光滑热带品种的尺寸n-3。我们定义了这个空间的Deligne-Mumford紧化和热带$ψ$类因子。
This note is devoted to the definition of moduli spaces of rational tropical curves with n marked points. We show that this space has a structure of a smooth tropical variety of dimension n-3. We define the Deligne-Mumford compactification of this space and tropical $ψ$-class divisors.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The moduli space of the tropicalizations of Riemann surfaces
本文研究了黎曼曲面热带化的模空间。我们首先热带化一个光滑的点黎曼曲面的（双曲）裤子分解定义的图。然后在固定的正则热带化的基础上构造热带化的模空间，并通过增加层参数化加权压缩使其紧致化。我们证明了这个紧模空间也是Hausdorff的。最后，我们将该模空间与黎曼曲面的模空间进行了比较，建立了这两个模空间的层之间的部分保序对应。
Tropical Moduli Space of Rational Graphically Stable Curves
研究了有理图稳定热带曲线的模空间和径向对齐的加细。给定一个完全多部图$Γ$，径向对齐的$Γ$ -稳定热带曲线的模空间可以给出平衡扇的结构.这种扇形结构与$Γ$的循环拟阵的Bergman扇形相吻合。
Tropical covers of curves and their moduli spaces
我们定义了平面上热带线覆盖的热带模空间为加权抽象多面体复形，热带分支映射记录了简单分支的图像。我们的主要结果是分支映射的度的不变性，这使我们能够给出热带三重Hurwitz数的热带交理论定义。我们表明，我们的相交理论的定义与Bertrand，Brugallé和Mikhalkin在文章中给出的一致“热带开放Hurwitz数”，其中一个对应定理证明了Hurwitz数。因此，我们提供了一个热带交叉理论的理由与热带覆盖的多重性。我们的证明方法是在我们的热带模空间和某些相对稳定映射到射影线的模空间之间建立一个局部对偶。
Stacky fans and tropical moduli in polymake
我们研究了几类stacky fans和算法之间的几何嵌入，例如，来计算它们的同源性有趣的情况下出现的模空间的热带曲线。具体来说，我们表明，热带蜂窝曲线形成一个可收缩的子轨迹的所有热带$K_4$ -曲线的模量。
The $S_n$-equivariant rational homology of the tropical moduli spaces $Δ_{2,n}$
利用Sage中对称$Δ$ -复形的胞腔链复形计算了热带模空间$Δ_{2,n}$对$n\leq 8$的$S_n$ -等变有理同调.
Moduli spaces of rational weighted stable curves and tropical geometry
研究了有理加权稳定热带曲线的模空间，以及它们与经典Hassett空间的联系.给定一个权向量w，热带w-稳定曲线的模空间可给出平衡扇的结构当且仅当w只有重元素和轻元素。在这种情况下，我们可以将模空间表示为图拟阵的Bergman扇。此外，我们实现了热带模空间作为一个几何热带化，并作为一个Berkovich骨架，经典的模空间。这建立在Tevelev，Gibney-Maclagan和Abramovich-Caporaso-Payne之前的工作基础上。最后，我们构造了重/轻加权热带曲线的模空间作为未加权空间的纤维积，并探索了与代数世界的相似之处。
Moduli spaces of codimension-one subspaces in a linear variety and their tropicalization
研究了固定$(d+1)$-维线性簇$X$中包含的$d$-维线性子空间的模空间及其热带化.我们证明了这些模空间本身是线性子空间，因此它们的热带化完全由它们的相关（赋值）拟阵决定。我们表明，这些拟阵可以被解释为对应于$X$的超平面安排的线的拟阵，一般等于Dilworth截断的自由拟阵。用这种方法，我们可以描述组合热带化的Fano格式和度为$1$的稳定映射到平面的模空间的热带化.
Moduli of Tropical Plane Curves
研究了热带平面曲线上度量图的模空间。这样的图比经典平面曲线的热带化图少得多。对于固定亏格$g$，我们的模空间是一个stacky fan，其锥由带$g$内部格点的Newton多边形的正则幺模三角剖分索引.它具有尺寸$2g+1$，除非是$g \leq 3$或$g = 7$。我们为$g \leq 5$显式地计算这些空间。
Geometry of tropical moduli spaces and linkage of graphs
我们证明了以下的“链接”定理：两个p-正则图的同一个亏格可以得到从另一个通过一个有限的交替序列的一边收缩，而且这保持3-边连通性。利用连通定理证明了热带曲线的各种模空间通过余维1连通。
The tropicalization of the moduli space of curves II: Topology and applications
研究了亏格为g的稳定热带曲线的热带模空间的拓扑，证明了它是高连通的，其中n个标记点的有界边的总长度为1。利用该空间与稳定代数曲线的模空间中边界的对偶复形的同一性，给出了对称群表示M_{1,n}的顶权上同调的简单表达式，并描述了纯映射类群的由交换圈组成的同调中的显式对偶基.
Tropicalization of classical moduli spaces
利用拟阵理论，超平面排列的补在单项映射下的象可以进行组合热带化。我们将其应用到经典的模空间，与复杂的反射安排。从模曲线开始，我们访问的塞格雷三次，Igusa四次，和模量的标记del Pezzo表面的程度2和3。我们的主要例子是伯克哈特四次曲线，它的热带化是39维空间中的3维扇形。这实现了一个具体的和抽象的方法来合成的热带模亏格2曲线。
A moduli stack of tropical curves
我们有助于热带几何的基础，以期制定热带模问题，并与曲线的模空间作为我们的主要例子。我们提出了一个模函子的模空间的曲线，并表明，它是表示的几何堆栈上的有理多面体锥的范畴。在这个框架下，带有标记点的曲线的模空间之间的自然遗忘态射作为泛曲线。我们的热带几何方法允许热带模数问题-曲线或其他模数-被扩展到对数方案。我们使用这个构造一个光滑的热带化态射从代数曲线的模空间到热带曲线的模空间，我们表明，这个态射与所有的重言式态射交换。
On moduli spaces of roots in algebraic and tropical geometry
本文构造了一个参数化热带曲线上因子根的热带模空间。研究了该空间与稳定曲线上极限根网的Jarvis模空间骨架之间的关系。我们表明，热带根的模空间的组合是由偏序集的流量，偏序集参数化某些流图。
Tropicalizing the moduli space of spin curves
本文研究了代数旋度曲线的模空间的热带化，给出了它的组合分层，并证明了该分层是不可约的。构造了热带自旋曲线的模空间，证明了它与代数自旋曲线的模空间的Berkovich分析的骨架同构，并给出了收缩映射的热带化映射的几何解释.
Tropical moduli spaces of stable maps to a curve
我们构造了R^r中任意光滑热带曲线的有理覆盖的模空间作为热带簇。它们被包含在与R^r对应的度的平衡扇参数化热带稳定图中。顶维多面体的权系数由一定的格指数和局部Hurwitz数给出。
The moduli space of tropical curves with fixed Newton polygon
本文研究固定 Newton 多边形下热带平面曲线的模空间，利用多边形组合性质给出其维数公式，并证明在非超椭圆或极大超椭圆情形下与相应非退化代数曲线模空间维数一致。
Correspondence Theorems via Tropicalizations of Moduli Spaces
我们证明了环面簇中不可约的标号参数化有理曲线的模空间可以嵌入到代数环面中，使得它们的热带化是类似的热带模空间。这些嵌入显示尊重的评价态射的意义上说，评价与热带化。考虑到这一特殊的设置，我们证明了一个一般的对应定理，通过“评价地图”在代数和热带世界定义的枚举问题。应用这一点，我们的动机的例子，我们重新证明西努和Siebert的对应定理，使用热带相交理论。
Connectedness of the Moduli Space of Genus 1 Planar Tropical Curves
热带几何是一个相对较新的数学领域，作为代数几何中某些问题的简化模型而创建。介绍了抽象热带曲线和平面热带曲线的定义及其组合型和组合次数等性质。我们还讨论了模空间，一个几何对象，参数化所有可能类型的抽象或平面热带曲线受到一定的条件。我们的研究集中在亏格为1的任意d次平面热带曲线的模空间上，并且研究了任意数量的有标记的无界边。我们证明了这些模空间是连通的。
Tropical orbit spaces and the moduli spaces of elliptic tropical curves
给出了热带轨道空间及其态射的定义。我们表明，在一定的条件下，这样的态射的目标中的一个点的原像的加权数不依赖于这个点的选择。我们给椭圆热带曲线的模空间赋予了热带轨道空间的结构，并利用我们在热带轨道空间上的结果，简化了已知的证明：在$\RR^2$中一般位置上通过3d-1点的具有固定j-不变量的d次平面椭圆热带曲线的加权数与点的构型的选择无关.
Topology of the tropical moduli spaces $M_{2,n}$
研究了g=2时曲线的热带模空间的链$M^{\mathrm{trop}}_{g,n}[1]$的拓扑。热带模空间可以与$\mathcal{M}_{g,n}$的边界复形等同，如Abramovich-Caporaso-Payne所示，因此它们的约化有理同调编码了复模空间$\mathcal{M}_{g,n}$的顶权有理上同调。我们证明了$M^{\mathrm{trop}}_{2,n}[1]$是一个$n$ -连通拓扑空间，它的约化积分同调只在上两个度上支持.我们计算了$M^{\mathrm{trop}}_{g,n}[1]$对所有n的约化欧拉示性数，并计算了当$n \le 8$时$M^{\mathrm{trop}}_{2,n}[1]$的有理同调，完全确定了$\mathcal{M}_{2,n}$在该范围内的顶权$\mathbb{Q}$ -上同调。
Moduli spaces of curves in tropical varieties
我们描述了一个框架来构造热带模空间的有理稳定映射到一个光滑的热带超曲面或曲线。这些模空间将是预期维度的热带循环，对应于代数几何中的虚拟基本类。当我们专注于组合方面，我们采取的权重在某些基本的0维局部组合曲线类型作为输入数据，并给出了一个兼容性条件，在1维，以确保该输入数据胶粘到一个全球性的定义良好的热带循环。作为一个应用，我们构造这样的模空间的情况下，线的表面，并在随后的文件稳定映射到曲线。
Filtrations of moduli spaces of tropical weighted stable curves
研究了改变权基$\mathcal{A}=(a_1,...,a_n)\in(\mathbb{Q}\cap(0,1])^n$对热带模空间$M_{g,\mathcal{A}}^{trop}$、$\overline{M}_{g,\mathcal{A}}^{trop}$和$Δ_{g,\mathcal{A}}$拓扑的影响以及后者的同调性.我们证明了对于固定的$g$和$n$，这些拓扑空间存在特殊的滤子，我们可以用它们来计算光滑$(g,\mathcal{A})$ -稳定代数曲线的模空间$\mathcal{M}_{g,\mathcal{A}}$的约化有理同调和顶权上同调.
Lectures on tropical curves and their moduli spaces
这些是2016年2月29日至3月4日在墨西哥瓜纳华托举行的CIMPA-CIMAT-ICTP曲线模量学校举行的关于“热带几何中代数曲线的模量和退化”的五个系列讲座的笔记。
Tropical curves and covers and their moduli spaces
这是一篇为Jahresberichte der DMV撰写的调查文章。热带几何是研究代数几何退化问题的有效组合工具。摘要热带曲线本质上是度量图，热带曲线的覆盖映射在满足一定条件的度量图之间。在这个简短的调查中，我们提供了一个介绍的组合理论的抽象热带曲线和覆盖的曲线，和他们的模空间，我们展示了三个结果，证明了这个理论可以应用于代数几何。
Tropicalization of the moduli space of stable maps
令$X$是一个代数簇，并令$S$是一个热带簇与$X$。本文研究了从稳定映射的模空间到$X$到$S$中热带曲线的模空间的热带化映射。我们证明了它是一个连续映射，它的像是紧的和多面体的。不严格地说，当我们对$X$中的代数曲线进行变形时，$S$中相应的热带曲线会连续变形，而且可实现的热带曲线在所有热带曲线空间中的轨迹是紧致的多面体。我们的主要工具是Berkovich空间，形式模型，平衡条件，消失圈和量词消除刚性次解析集。
Irreducible cycles and points in special position in moduli spaces for tropical curves
本文第一部分讨论了n-标记有理热带曲线的模空间中圈的不可约性。我们证明了PSI类和重要的因子是不可约的，并且局部不可约因子也是全局不可约的n \leq 6。本文的第二部分证明了（\R^2）^n中的点位形在计数有理平面曲线（两种不同的定义）的特殊位置上的轨迹可以给出余维为1的热带循环的结构。此外，我们显式地计算这个循环的权重。
Tropical Geometric Compactification of Moduli, I - $M_g$ case -
我们紧的黎曼曲面的经典模簇通过附加模（度量化）图作为边界。紧化不承认簇的结构，并拼凑在一起形成一个大的连通模空间，其中$\sqcup_{g} M_{g}$是开稠密的。通过固定Riemann曲面的双曲度量的直径，将度量图作为Gromov-Hausdorff坍缩而得到。这种现象也可以被看作是$M_{g}$的Berkovich分析的热带化的一种类似物（参见，[ACP]）。
Tropical fans and the moduli spaces of tropical curves
我们给出了一个严格的定义的热带球迷（“当地积木的热带品种”）和他们的态射。对于这样一个态射的热带风扇的相同尺寸，我们表明，逆像的数量（计算与适当的热带多重性）的一个点在目标上不依赖于所选择的点-一个声明，可以被视为开始的热带相交理论。作为一个应用，我们考虑有理热带曲线（抽象的和在某些R^r）的模空间与评价和遗忘态射。利用我们的结果，这给出了各种热带独立性陈述的新的、简单的和统一的证明，例如，通过给定点的有理热带曲线的数目（在任何R^r中）与点无关的事实。
Tropical geometry of moduli spaces of weighted stable curves
加权稳定曲线的Hassett模空间构成了带标记点的平滑曲线的模空间的一类重要的交错模紧化。在这篇文章中，我们定义了一个热带类似的这些模空间，并表明，天真的集理论tropicalization地图可以确定一个自然的形变收缩到非阿基米德骨架。这个结果推广了Abramovich，Caporaso和Payne关于带标记点的平滑曲线的模空间的Deligne-Knudsen-Mumford紧化的工作.我们还研究了重言式映射的热带类似物，研究了热带模空间对权重数据的依赖性，并考虑了Losev-Manin空间的例子。
Algebraic and tropical curves: comparing their moduli spaces
构造了亏格为g的n点热带曲线的等价类的模空间及其由加权热带曲线给出的紧化，并建立了它的一些基本拓扑性质。我们比较它的模空间的光滑和稳定的代数曲线，从组合，拓扑，和Teichmüller的观点。这篇文章是以简要的形式写的，它推广了arXiv：1001.2815v3的第4-6节中的一些结果.
Balancing properties of tropical moduli maps
本文研究了热带模映射的平衡性质，通过分析参数化代数曲线族的热带化，推导出新的可提升准则。
Moduli of algebraic and tropical curves
这主要是 * 与Caporaso和Payne的联合工作arXiv：1212.0373的非技术性阐述。主题包括：黎曼曲面/代数曲线的模; Deligne-Mumford紧化;对偶图与紧化的组合学;热带曲线及其模;非阿基米德几何与比较。* 最后一部分可能是技术性的。
Tropicalizing the space of admissible covers
研究了热带和经典Hurwitz模空间之间的关系。根据Abramovich，Caporaso和Payne最近的工作，我们给出了任意亏格曲线的广义Hurwitz覆盖的模空间的热带化.我们的方法是呼吁几何的容许覆盖，紧化的Hurwitz计划。定义并构造了一个热带容许覆盖的模空间，研究了它与经典容许覆盖空间的Berkovich分析框架的关系.我们使用的技术从非阿基米德几何表明，热带和经典重言式地图是兼容的，通过热带化，和经典分支地图的程度可以恢复从热带的一面。因此，我们在模空间的水平上得到了经典Hurwitz数和热带Hurwitz数相等的证明。
Combinatorics of the tropical Torelli map
本文对亏格g的热带曲线的模空间、主极化热带阿贝尔簇的模空间和热带Torelli映射进行了组合和计算研究。这些对象是最近由Brannetti，Melo和Viviani介绍的。本文给出了Stacky Fans范畴的一个新定义，其中上述模空间是Stacky Fans范畴的对象，Torelli映射是Stacky Fans范畴的一个态射。我们计算了至多5个属的热带M_g胞腔和热带Schottky轨迹的偏序集。我们证明了热带A_g是Hausdorff的，并且构造了A_3的有限指数覆盖，它满足热带型平衡条件。许多不同的组合对象，包括正则拟阵，半正定形式和度量图，发挥作用。
Theta characteristics on tropical curves
我们给出了热带曲线上θ特征的明确描述并描述了有效的特征。我们构造了亏格g作为广义锥复形的热带θ-特征的模空间。我们描述了从经典的代数曲线上θ-特征模空间到我们的热带θ-特征模空间的特化映射的纤维。
Topology of tropical moduli spaces of weighted stable curves in higher genus
给定整数$g \geq 0$，$n \geq 1$和向量$w \in (\mathbb{Q} \cap (0, 1])^n$使得${2g - 2 + \sum w_i > 0}$，我们研究了亏格为1的$g$的$w$ -稳定热带曲线的模空间$Δ_{g, w}$的拓扑.空间$Δ_{g, w}$是$w$ -稳定亏格$g$曲线$\overline{\mathcal{M}}_{g, w}$的Hassett模空间中奇异曲线因子的对偶复形.当$g \geq 1$，我们表明，$Δ_{g, w}$是简单连接的所有值的$w$。利用$w$的组合数学，给出了$Δ_{g, w}$的欧拉特征线公式.
Counting tropical rational curves with cross-ratio constraints
我们使用热带和组合的方法来枚举复曲面中通过点并满足交比约束的有理曲线。我们的起点是arXiv：1509.07453，其中证明了一个热带代数对应定理，该定理将满足点条件和交比约束的复曲面簇中的有理曲线的计数与类似的热带计数相关联。我们分两步进行：基于热带相交理论，我们首先研究热带交比，并引入退化交比。其次，我们提供了一个格路径算法，产生所有热带曲线满足这种退化条件明确。在一个特殊的情况下，简单的组合对象，所谓的交比地板图，介绍了可以用来确定这些枚举数以及。
On the topology of the moduli of tropical unramified p-covers
本文研究亏格g≥2热带曲线非分歧Z/p-覆叠模空间的拓扑，利用Chan–Galatius–Payne技巧证明其单连通性，并在亏格2时确定所有素数p下的同伦型，为素数阶循环étale覆叠的顶权上同调提供应用前景。
Symmetries of tropical moduli spaces of curves
我们计算自同构群$\mathrm{Aut}(Δ_{g, n})$的所有$g, n \geq 0$，使$3g - 3 + n > 0$，其中$Δ_{g, n} \subset M_{g, n}^\mathrm{trop}$是模空间的稳定$n$标记的热带曲线的亏格$g$和体积一。特别是，我们表明，$\mathrm{Aut}(Δ_{g})$是平凡的PDMATHAMT，而$\mathrm{Aut}(Δ_{g, n}) \cong S_n$时，$n \geq 1$和$(g, n) \neq (0, 4), (1, 2)$。空间$Δ_{g, n}$是Chan、Galatius和Payne意义下的对称$Δ$ -复形，并且被确定为稳定曲线的Deligne-Mumford-Knudsen模空间$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}$中边界因子的对偶交复形。Massarenti的工作后，谁已经表明，$\mathrm{Aut}(\overline{\mathcal{M}}_g)$是平凡的$g \geq 2$，而$\mathrm{Aut}(\overline{\mathcal{M}}_{g, n}) \cong S_n$当$n \geq 1$和$2g - 2 + n \geq 3$，我们的结果意味着热带模空间$Δ_{g, n}$忠实地反映了一般$g$和$n$的代数模空间的对称性。
Equality of tropical rank and dimension for semimodules of tropical rational functions, and computational aspects
本文证明了热带有理函数semimodule的热带秩等于其拓扑维数，并探讨了计算热带秩的复杂性。
Stable pair, tropical, and log canonical compact moduli of del Pezzo surfaces
我们给出了光滑标记三次曲面模的函子正规交叉紧化，它完全类似于Grothendieck-Knudsen紧化$M_{0,n} \subset \bar{M}_{0,n}$ .
Tropical methods in the moduli theory of algebraic curves
近年来热带几何和非阿基米德几何的一系列显著进展为代数曲线及其雅可比行列式的模理论带来了新的见解。本次调查的目标是我在2015年AMS代数几何研讨会和AGNES 2016上的演讲的扩展版本，旨在展示这一领域的一些成果。
Semiring isomorphisms between rational function semifields of tropical curves induce isomorphisms between tropical curves
证明了两条热带曲线的有理函数半域之间的半环同构诱导出这两条热带曲线之间的可扩映射。这种半环同构和可扩映射涉及有理函数的零点和极点及其度数。作为推论，我们证明了热带曲线的自同构群同构于其有理函数半域的$\boldsymbol{T}$ -代数自同构群，其中$\boldsymbol{T} := (\boldsymbol{R} \cup \{ -\infty \}, \operatorname{max}, +)$是热带半域.最后，我们描述了所有热带曲线的有理函数半域的所有半环自同构。
Intersecting Psi-classes on tropical M_{0,n}
我们应用L. Allermann和J. Rau在有理热带曲线的模空间上计算热带Psi类的交积。证明了在零维（稳定）相交的情况下，所得的数与代数几何中计算的n-标记有理曲线模空间上的Psi类的相交数一致.
The Tropical Moduli Space of Degree-3 Rational Maps
本文研究了三次热带有理映射的热带模空间，通过斜率序列的组合描述，分类了所有映射并证明存在恰好十种组合类型，给出了由断裂点间间隙长度参数化的多面体模型。
The tropicalization of the moduli space of curves
本文证明稳定曲线模叠的骨架自然等同于扩展热带曲线模空间，并构造了与代数重言映射相容的遗忘、粘合与胶合映射。
Tropical Teichmuller and Siegel spaces
本文对热带曲线的模空间和外层空间进行了统一的研究，并通过周期映射将其与热带阿贝尔簇的模空间和正定二次型的模空间联系起来。我们的工作是第一步展示外层空间和空间的正定二次型作为类似物的泰希米勒空间和西格尔空间，分别在热带几何。所有这些空间和其中的地图都在理想的stacky fans类别中描述，我们对此进行了详细描述。
Tropical rational equivalence on R^r
我们介绍了热带相交理论中的有理等价的一个改进版本，它可以被看作是我们上一篇文章arXiv：0709.3705v2的第8章的替代。使用这个新的定义，有理等价是兼容的推进循环。此外，我们证明了R^r中的每个热带循环都等价于一个唯一确定的仿射循环，称为它的度。
On the tropical Torelli map
我们构建了热带曲线和热带主要极化的阿贝尔簇的模空间，工作在（我们称之为）stacky风扇的范畴。我们定义了这两个模空间之间的热带Torelli映射，并研究了该映射的纤维（热带Torelli定理）和图像（热带Schottky问题）。最后，我们确定的图像的平面热带曲线通过热带Torelli地图，我们使用它给一个肯定的答案所提出的一个问题Namikawa紧化的经典Torelli地图。
Continuity of the tropical Prym-Torelli map
本文对Röhrle等人提出的连续热带Prym簇给出新内蕴构造，明确将其构造为整数环面，并证明热带Prym-Torelli映射是连续的。
Topology of moduli spaces of tropical curves with marked points
本文研究了带有$n$标记点的亏格为$g$的热带曲线的模空间的拓扑。我们把模空间看作是嵌入在一个更大的空间中，我们称之为{具有$n$标记点的度量图的\it模空间}。我们描述了收缩桥强形变收缩，这导致了所有这些模空间的实质性简化。在本文的其余部分，该约化用于分析亏格1的情况。相应的模空间被表示为环面关于共轭${\mathbb Z}_2$ -作用的商空间;此外，还被表示为简单图上的同伦余极限。后者允许我们用${\mathbb Z}_2$中的系数计算该模空间的所有贝蒂数。
Topology of tropical moduli of weighted stable curves
体积$1$的热带$w$加权稳定曲线的模空间$Δ_{g,w}$自然地与$w$加权稳定曲线的Hassett空间中奇异曲线的因子的对偶复形等同。如果至少有两个权重是$1$，我们证明了$Δ_{0,w}$是同伦的楔形和领域，可能是不同的尺寸。在关于权向量的其他自然假设下，我们建立了空间的贝蒂数的显式公式.我们展示了无限族的重量空间$Δ_{0,w}$是不连通的，其中的基本群$Δ_{0,w}$有挠。在后一种情况下，通用覆盖被示出具有自然的模块化解释。这使得空间的加权变体与Vogtmann和Cavalieri-Hampe-Markwig-Ranganathan之前研究的重/轻情况形成鲜明对比。最后，我们证明了一个结构性的结果有关的空间的加权稳定曲线在亏格$0$和$1$，并利用这几个我们的亏格$0$结果扩展到空间$Δ_{1,w}$。
Intersections on tropical moduli spaces
本文探讨在何种程度上代数几何理论的合理后裔Gromov-Witten不变量可以结转到热带世界。尽管我们研究的热带模空间是非紧的，但答案是令人惊讶的肯定的。我们讨论了字符串，除数和Eklion方程，我们证明了分裂引理描述的交集与“边界”除数，我们证明了一般热带版本的WDVV分别。拓扑递归方程（在某些假设下）。作为一个直接的应用，我们证明了环面品种$\mathbb{P}^1$，$\mathbb{P}^2$，$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$和Psi条件仅与点条件相结合，热带和经典的后裔Gromov-Witten不变量一致（这扩展了Markwig-Rau-2008中的$\mathbb{P}^2$的结果）。我们的方法使用热带相交理论，可以统一和简化现有的热带枚举几何的某些部分（有理曲线）。
Tropical trigonal curves
研究热带三元曲线与调和映射的关系，证明其模空间的维度与算术三元曲线相同。
Polynomiality, Wall Crossings and Tropical Geometry of Rational Double Hurwitz Cycles
研究了有理双Hurwitz圈，即在两个固定分支点上有一个映射到射影直线上的有理稳定曲线的轨迹。推广双Hurwitz数观察到的现象，这样的周期是分段多项式的特殊分歧的条目，多项式和壁交叉室有一个明确的和“模块化”的描述。本文的一个主要目标是同时进行这项调查的相应对象在热带几何，强调一个精确的组合之间的经典和热带赫维茨理论的对偶性。
Collapsing K3 surfaces, Tropical geometry and Moduli compactifications of Satake, Morgan-Shalen type
我们通过Morgan-Shalen和Satake型模簇的紧化，为Ricci平坦Kahler度量的崩溃提供了一个模理论框架。在课程中，我们用它来研究具有固定直径的超Kahler度量的Gromov-Hausdorff极限，特别是对于K3曲面。
Tropical Hurwitz Spaces
Hurwitz数是曲线在余域曲线上的标记点处具有指定分支轮廓的d次分支覆盖的加权计数。这些覆盖的同构类可以作为稠密开集包含在称为Hurwitz空间的模空间中。Hurwitz空间与标记稳定曲线的模空间有一个遗忘态射，这个态射的次数编码了Hurwitz数。Mikhalkin构造了一个热带标记的稳定曲线的模空间，这个空间是一个热带变种。在本文中，我构建了一个热带类似的Hurwitz空间的意义上说，它是一个连接，多面体复杂的一个态射的热带模空间的曲线，使度的态射编码的Hurwitz数。
Rational function semifields of tropical curves are finitely generated over the tropical semifield
通过给出一个特定的有限生成集，证明了热带曲线的有理函数半域是热带半域$\boldsymbol{T} := ( \boldsymbol{R} \cup \{ - \infty \}, \operatorname{max}, +)$上的半域.此外，我们证明了，对于热带曲线$φ: \varGamma \to \varGamma^{\prime}$之间的有限调和态射，$\varGamma$的有理函数半域是由一个$φ^{\ast}(\operatorname{Rat}(\varGamma^{\prime}))$ -代数生成的，其中$φ^{\ast}(\operatorname{Rat}(\varGamma^{\prime}))$表示$φ$对$\varGamma^{\prime}$的有理函数半域的拉回。
The $d$-gonal locus in the moduli space of tropical plane curves
本文研究了热带平面曲线的gonality与牛顿多边形预期gonality的关系，证明了在高 genus 下两者维数一致。
Decomposing tropical rational functions
本文设计了一种算法，将热带一元有理函数分解为热带二项和三项的组合。当一个函数是单调的时，复合仅由二项式组成。类似的算法被设计用于分解热带代数有理函数是（在经典语言中）分段的线性函数，其线性段具有有理斜率。此外，我们还给出了两个热带多项式的合成交换的判据（对于经典多项式，J.~ Ritt）。
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