On the coexistence of position and momentum observables
C. Carmeli, T. Heinonen, A. Toigo
我们研究了位置和动量观测量共存的问题。我们刻画了具有一个联合观测量的位置和动量观测量对。
We investigate the problem of coexistence of position and momentum observables. We characterize those pairs of position and momentum observables which have a joint observable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On coexistence and joint measurability of rank-1 quantum observables
我们证明了当M'是M的涂抹时，秩1量子可观测量（POVM）M与量子可观测量M'是联合可测的。如果M是极值的、秩为1的离散的，则M和M'共存当且仅当它们是联合可测的。
The problem of coexistence of several non-Hermitian observables in PT-symmetric quantum mechanics
在量子理论的最新发展中，已经阐明了可观测的量（如能量或位置）可以用明显非厄米算符（具有实谱）来表示。稳定量子系统的最终模型的数学一致性需要重建一个替代的、修正的、物理的状态内积。我们指出了一个鲜为人知的事实，即对于多个可观察的任务并不总是可行的。的困难是重新分析，其基本的线性代数的解释和治疗概述。
On the notion of coexistence in quantum mechanics
量子可观测量共存的概念被引入来描述测量两个或多个可观测量的可能性。在这里，我们调查了这个概念的各种不同的形式化及其联系。我们回顾的例子说明了必要程度的不清晰度为两个noncommuting可观联合测量（在一个意义上的短语）。我们证明了一起测量（在另一种意义上的短语）不共存的可观的可能性。这使我们重新考虑可观测量的联合可测性和非对易性之间的联系，以及量子测量的统计和个体方面。
Statistical ensembles for phase coexistence states specified by noncommutative additive observables
本文推广广义统计系综，解决非对易加性观测量指定相共存态时传统系综定义不良的问题，并给出密度矩阵、热力学函数及强度参数的直接计算方法。
Coexistence does not imply joint measurability
量子理论的标志之一是认识到不同的测量通常不能同时进行，这与经典物理学形成鲜明对比。在这种情况下，共存和联合可测性的概念被用来分析一起测量两个一般的量子可观测量的可能性，表征不同程度的测量之间的兼容性。众所周知，两个共同可测的观测量总是共存的，并且相反的情况适用于各种类型的观测量，包括具有两个结果的观测量的情况。在这里，我们解决了，在否定的，开放的问题，这种等价是否持有一般。我们的决议加强了共存和联合测量的概念，表明这两个是强大的对测量设置中的小缺陷。
Coexistence in interval effect algebras
受效应值可观测量共存概念的启发，给出了区间效应代数共存子集的一个刻画。
Coexistence and Joint Measurability in Quantum Mechanics
本文是对共存观测量的联合可测性问题的综述，它是以专著《操作量子物理》[1]和文献[2，3，4]为基础的。
Compatibility properties of extreme quantum observables
最近解决了一个关于联合可测性和量子可观测量共存的等价性问题[15]。本文将两个已知的联合可测性结果从尖可测性推广到极端可测性，并研究了当极端可测性存在时，量子可测性的共存性、联合可测性和后处理之间的关系。我们还讨论了兼容性的另一个概念，并提供了一个反例，将其与以前的概念分开。
Complementary observables in quantum mechanics
我们回顾了量子力学中观测量互补的概念，这些概念是由保罗·布施和他的同事们多年来制定和研究的。此外，我们提供了进一步澄清的概念的操作意义，并提出了几个特征的互补性-其中一些新的-在一个统一的方式，作为一个基本的因式分解引理量子效应的结果。我们提出了几个应用，包括位置-动量，位置-能量，数量-相位的典型情况，以及与空间干涉相关的周期性观测量。我们关闭的文件与一些考虑互补性在嘈杂的环境中，特别关注的情况下卷积的位置和动量，这是一个反复出现的主题在保罗的工作制定业务的量子测量和中央他的哲学不尖锐的现实。
Position and momentum observables on R and on R^3
我们刻画了R和R^3上所有的位置和动量观测量。我们研究了它们的一些运算性质，并讨论了它们的协变联合观测量。
Observables have no value: a no-go theorem for position and momentum observables
一个非常简单的说明贝尔-科亨-斯佩克矛盾提出使用连续观测在无限维希尔伯特空间。指出单粒子位置和动量观测量假定值的\emph{existence}假设与量子力学是不相容的。
Variance Control in Weak Value Measurement Pointers
任意指针观测的方差被认为是一般情况下，一个复杂的弱值测量使用一个复杂的指针状态。对于可观测指针是其位置或动量的典型情况，测量之后的指针方差的相关表达式包含与弱值的虚部与位置的第三中心矩相对于位置是可观测的测量交互作用的时间之前的初始指针状态的变化率的乘积成比例的项。或者当动量是可观测的时，与初始指针状态的第三中心动量矩。这些项提供了用于控制指针位置和动量变化的手段，并且识别控制条件，当满足这些条件时，这些条件可以产生在测量之后比测量之前更小的变化。测量灵敏度是有用的估计弱值测量精度也简要讨论。
Position-Momentum Uncertainty Relations in the Presence of Quantum Memory
不确定原理的一个突出表述确定了基本的量子特征，即没有粒子可以在位置和动量测量中都具有一定的结果。通常统计不确定性，从而衡量熵提供了一个明确的操作解释信息论和密码学。最近，熵的不确定性关系已被用来表明，不确定性可以减少纠缠的存在，并证明量子密码任务的安全性。然而，最近的大部分进展都集中在可观测量上，只有有限数量的结果不包括海森堡的位置和动量可观测量的原始设置。在这里，我们展示了熵的不确定性关系的一般可观的离散，但无限或连续谱，考虑到权力的纠缠观察者。作为一个例子，我们评估的位置和动量测量的不确定性关系，这是具有操作意义的，因为它意味着安全的量子密钥分发计划的基础上零差检测压缩高斯态。
EPR-Bell-Schrödinger proof of nonlocality using position and momentum
基于他对爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的经典论证的扩展，薛定谔观察到，在与可以彼此远离的粒子对相关联的某些量子态中，与一个粒子相关联的一个可观测量的测量结果与与另一个粒子相关联的另一个可观测量的测量结果完全相关。结合局部性假设和一些“无隐变量”定理，我们在以前的论文中证明了这产生了一个矛盾。这意味着定域性的假设是错误的，从而为我们提供了另一个不涉及贝尔不等式（或任何其他）的量子非定域性的证明。在[11]中，我们只介绍了作用于有限维希尔伯特空间的“类自旋”观测量。在这里，我们将使用爱因斯坦、波多尔斯基和罗森最初使用的变量，即位置和动量，给出一个类似的论点。
Photon position observable
在双正交量子力学中，准厄米算符及其伴随算符的本征向量是双正交的和完备的，并且从量子态跃迁到这些本征向量中的任何一个的概率是正定的。我们应用这种形式主义的长期存在的问题，在量子场论的位置观察。对偶基是由场算符产生的正负频率单粒子态，其共轭性和双正交性是它们的对易关系的结果。在这些双正交基中，位置算符是协变的，Klein-Gordon波函数是局域化的。我们发现从单光子态跃迁到位置本征矢量的不变概率是一阶Glauber关联函数，它弥补了光子计数和光探测器对电磁能量密度灵敏度之间的差距.
Measurement uncertainty relations for position and momentum: Relative entropy formulation
海森伯的不确定原理最近导致了量子系统的一般测量不确定关系：不相容的可观测量可以联合测量，或者只有在某些不可避免的近似下才能按顺序测量，这些近似可以以各种方式量化。相对熵是当一个“真实”的概率分布被一个近似的概率分布所取代时，信息损失的自然理论量化器。在本文中，我们提供了一个下界的信息量，是通过替换的分布的尖锐的位置和动量可观的，因为它们可以得到两个单独的实验，由任何模糊的联合测量的边缘丢失。通过引入熵误差函数，并在适当的协变近似联合测量类上对其进行优化，得到了该界。我们充分利用两种情况下的目标可观测量：（1）$n$维的位置和动量矢量;（2）两个组件的位置和动量沿不同的方向。在（1）中，我们将量子束缚与维度$n$联系起来;在（2）中，从平行方向到正交方向，我们展示了从高度不相容的可观测量到相容的可观测量的转变。为了简单起见，我们只发展高斯态和测量的理论。
Photon quantum mechanics with a position observable
本文提出了一种基于第二量子化的光子量子力学理论，通过扩展庞加莱算符和引入位置参数，建立了描述光子在光学电路中行为的协变模型，并探讨了其与传统量子力学的关系。
Multi-copy uncertainty observable inducing a symplectic-invariant uncertainty relation in position and momentum phase space
我们定义了一个不确定性观察，作用于几个副本的连续变量玻色子态，其平凡的不确定性下界诱导非平凡的相空间不确定性关系的一个单一的副本的状态。利用Schwinger表示的角动量的玻色子算子，我们构造这样一个观察，是不变的辛变换（旋转和压缩相空间）。我们首先设计了一个两个副本的不确定性观测，这是一个离散谱算子消失的确定性，当且仅当它被应用于（两个副本）任何纯高斯状态集中在原点。其方差的非负性转化为薛定谔-罗伯逊不确定性关系。然后，我们将我们的构造扩展到一个三拷贝不确定性观测，它在位移（相空间中的平移）下表现出额外的不变性，因此它在每个纯高斯态上都消失了。由此产生的高斯幺正下的不变性使这一观察到的一个自然的工具来测量相空间的不确定性-或从纯高斯偏差-连续变量玻色子态。特别是，它表明，香农熵的观察提供了一个辛不变的熵测量的位置和动量相空间的不确定性。
Geometry of Uncertainty Relations for Linear Combinations of Position and Momentum
对于单自由度的量子粒子，我们导出了位置和动量观测量的$N$线性组合所满足的解析和与积不确定关系。状态独立的边界取决于它们的不相容程度，该不相容程度由$N$维系数空间中的一个子空间的面积定义。最大的不相容性发生，如果可观的相空间中产生正多边形。我们还猜想一个Hirschman型的不确定性关系N观测线性的位置和动量，推广原来的关系，下界的位置和动量香农熵的粒子。
Mutually Unbiased Quantum Observables
我们首先定义有限维希尔伯特空间上的互无偏（MU）观测量。我们还考虑了更一般的概念部分MU观测。讨论了MU观测量、值互补观测量和其它两个涉及观测量序列乘积的条件之间的关系。接下来，我们提出了一个特殊的激励情况下，MU观测称为有限的位置和动量观测。这些是通过有限傅立叶变换关联的原子可观测量。有限的位置和动量观测量给出的例子部分MU观测值是互补的，那些不是值互补的。涉及这些概念的各种开放的问题。这些问题主要涉及到将这一工作从锐可观测量扩展到非锐可观测量。
Error and unsharpness in approximate joint measurements of position and momentum
近年来，量子力学中测量误差的新量化首次使海森堡著名但经常受到挑战的测量不确定性关系的精确公式成为可能。这些关系采取的形式是对位置和动量的联合近似测量以及其他不相容的观测量对中的必要误差进行权衡。在这里，我们回顾了一些这些错误的措施，检查他们的属性和适用性，并比较他们的相对优势作为标准的“好”的近似。
Extreme Covariant Quantum Observables in the Case of an Abelian Symmetry Group and a Transitive Value Space
我们表示为POVM（正规化的正算子值的措施）的量子观测量，并考虑凸的观测值是协变的局部紧阿贝尔对称群$G$的酉表示。这样的观测值的值空间是传递的$G$ -空间。我们刻画了协变观测量的极值点，并确定了所有量子观测量的较大集合的协变极值点。结果被应用到位置，位置差和时间观测量。
Local and nonlocal observables in quantum optics
它指出，存在一个明确的定义的地方，使人们能够区分本地和非本地量。这两种类型的观测共存于量子光学中，但在试图测量它们时必须非常小心。形式上依赖于空间位置$\bi r$的非局部可观测量不能在不干扰该可观测量在所有其他位置的测量的情况下{ \em局部}测量。
Single-Photon Observables and Preparation Uncertainty Relations
我们提出了一个程序来定义所有的单光子观测值的正算子值的措施（POVMs），特别是自旋和位置。我们确定的$0$ -螺旋光子态的抑制作为一个从扩展的希尔伯特空间到光子希尔伯特空间的投影。我们表明，所有的单光子观测值一般描述POVM，通过将此投影到适当的投影值的措施（PVM），定义在扩展的希尔伯特空间。与动量和螺旋度相关的POVM减少为PVM，与位置和自旋相关的POVM不同，这一事实反映了这些观测量的内在不清晰性。最后，我们广泛地研究了位置和动量的制备不确定性关系以及自旋的概率分布，探索了几种自旋和偏振选择的单光子高斯态。
Continuous measurement of canonical observables and limit Stochastic Schrodinger equations
本文导出了以正则位置和动量为观测量的连续弱测量极限下的随机薛定谔方程。为此，我们扩展了一个参数，由于Smolianov和杜鲁门从冯诺依曼模型的间接测量的位置，阿瑟和凯利模型的位置和动量的同时测量。我们只需要探测器状态的无偏性和足以确保中心极限效应的可积性条件。尽管采取了弱相互作用，而不是弱测量极限，所得到的随机波动方程是相同的形式，在最近的论文中推导出的联合高斯状态的特定情况下，由斯科特和米尔本。
On position, momentum and their correlation
考虑了位置和动量观测量，研究了最简单的自由粒子一维运动量子系统的位置和动量观测量之间的关联。代数和特征值问题的相关性观测和它可能的相关性的泡利问题的解决方案进行了分析。这种相关性为波包的收缩和扩散提供了一种简单的解释，这种解释是基于量子场论提出的本体论的量子力学解释。几个属性和猜测有关的位置-动量的相关性被提到。
Simultaneous Measurement of Complementary Observables with Compressive Sensing
测量提供的关于量子系统位置统计的信息越多，后续测量提供的关于系统动量统计的信息就越少。这种信息权衡体现在不确定原理的熵公式中。传统上，不确定性关系对应于分辨率极限;增加探测器的位置灵敏度会降低其动量灵敏度，反之亦然。然而，这通常不是必需的;例如，可以以动量中的噪声为代价来提取位置信息。使用随机的，部分投影的位置，其次是强大的测量动量，我们有效地确定一个未知的光场的横向位置和横向动量分布与一组测量。动量分布直接成像，而位置分布使用压缩感测来恢复。在任何时候，我们都没有违反不确定性关系;相反，我们节省了对所获得信息的使用。
Heisenberg Uncertainty Relation for Three Canonical Observables
不确定性关系为量子系统的性质提供了基本的限制。对于量子粒子，位置和动量观测量的对易关系包含海森堡测不准关系。第三个可观的提出，它满足规范的位置和动量的对易关系。由此产生的三个成对的典型的可观的产生海森堡型的不确定性关系的产品的三个标准偏差。我们推导出这个界的最小可能值，并确定了使三重测不准关系饱和的特定压缩态。量子光学实验的建议，以验证我们的发现。
How well can we guess the outcome of measurements of non-commuting observables?
根据海森堡的测不准关系，我们对量子系统的位置和动量测量结果的精确预测是有极限的。我们表明，这一限制可能会违反一个任意大的因素，如果一个目标，而不是猜测过去的测量的未知值。对于单个量子系统的实验，过去的位置和动量测量结果的精确分配伴随着它们的线性组合的很大的不确定性，而我们表明，与辅助系统的纠缠允许任何这样的线性组合的准确追溯。最后，我们表明，通过辅助探测粒子联合测量位置和动量观测量的多个线性组合的实验结果也可以猜测，没有正式的下限。我们提出了定量的结果，投影测量和广义的测量，所有组件都准备在高斯状态。
Non-commutativity from coarse grained classical probabilities
原子尺度上的非对易量子物理可以从普朗克尺度上的经典统计系综的粗粒化中产生。孤立粒子的位置和动量是经典的可观测量，它们仍然可以用粗粒度的信息来计算。然而，位置和动量观测量的可交换经典乘积在粗粒度系统中不再定义，因此用不完全统计描述。普朗克尺度下的微物理经典统计系综允许与粗粒化相容的位置和动量观测量的另一种非对易乘积结构。孤立原子的测量相关性是基于这种非对易产物结构。我们提出了一个明确的例子，这些想法。它还实现了在微物理经典统计系综内可观察到的自旋的离散性。
A quantum variant of Einstein's hole argument
我们将爱因斯坦的空穴论证推广到量子领域，并认为引力场的准经典叠加态的量子可观测量需要额外的信息来定义，即叠加态中所涉及的引力场的相对位置。因此，为了定义这些量子可观测量，我们需要一个共同的背景。观测值是一个简单的双缝实验中的跃迁概率，部分重力测量位置。它可以很容易地计算在非相对论薛定谔理论与牛顿势。
Conformal Symmetry and Quantum Relativity
空间和时间的相对论概念受到物理观测量的量子性质的挑战。场论的庞加莱对称性可以推广到更大的共形对称性，这一点早已为人们所知。在爱因斯坦相对论的精神下，我们用这些对称性来定义与时空位置相关的量子观测量。这种定域化的概念既可以应用于有质量的场，也可以应用于无质量的场。局部化观测量被定义为服从洛伦兹协变交换关系，特别是包括一个时间观测共轭能量。虽然位置分量在自旋不为零的情况下不对易，但它们仍然满足量子关系，这些量子关系概括了经典相对论的微分定律。我们还给出了这些观测量的一个表示的正则空间位置，正则自旋分量和一个适当的时间算子共轭的质量。这些结果不仅为时空定域化，而且为运动提出了一种新的表示法。
Simultaneous weak measurement of non-commuting observables
与将系统投影到被测算符的本征态上的投影量子测量相反，在弱测量中，系统仅被弱扰动，而仅获得关于被测可观测量的部分信息。这种测量的完整描述应该描述测量协议，并提供将量子态转换为其测量后形式的测量算子的显式形式。非对易观测量的同时测量不能是投影的，然而，最强的可能的这种测量可以被定义为在最小的不确定性极限下提供它们的值。从Arthurs和Kelly（AK）协议开始，我们沿着三个步骤推导出相应弱测量的系统扩展：第一、弱测量算子的一种貌似合理的形式，类似于高斯-克劳斯算子，通常用于模拟单个可观测量的弱测量，它是通过投影一个朴素的扩展而获得的（有效的可交换观察）到相应的Gabor空间。其次，我们证明了这样得到的一组测量算子满足概率的归一化条件，以获得给定的位置和动量的值在弱测量操作，即这组构成一个积极的运营商价值的措施（POVM）的位置-动量空间。最后，我们表明，这样得到的测量算子对应于AK测量协议的推广，其中初始检测器波函数适当加宽。
Positron Position Operators. I. A Natural Option
这里，我所说的“位置算符”是指作用于合适的希尔伯特空间的合适位形空间上的POVM（正算符值测度），它定义了量子理论的可观测位置;我所说的“正电子位置算符"是指对正电子和电子的联合处理。考虑了闵可夫斯基时空中或盒子中的标准自由二次量子化狄拉克场。在相关的Fock空间上（即，正电子Fock空间和电子Fock空间的张量积），有一个明显的POVM P_obv，但我提出了一个不同的，我称之为自然的POVM，P_nat。事实上，它是一个PVM（投影值测度）;它捕获了对应于场算子Psi_s（x）和局部可观测量代数的局部性意义。P_nat的存在取决于一个数学猜想，目前我既不能证明也不能反驳;在这里，我探索的猜想的后果。我提出了一种可能性，即P_nat而不是P_obv是物理上正确的可观察位置，并定义了电子和正电子位置联合分布的玻恩定则。我描述了P_nat的性质，包括严格的非超光速信号性质，以及它如何避免Hegerfeldt-Malament不去定理。我还指出了如何定义符合P_nat的Bohmian轨迹，以及如何将P_nat推广到弯曲的时空。
Quantum observables for probabilistic classical particles
研究针对微观物理中概率性经典粒子，提出用更稳健的量子可观测量，通过刘维尔方程的量子形式体系探讨，展示量子系统如何从经典统计中产生，还研究了特殊势下子系统及双缝实验干涉等，守恒可观测量或与尘埃、行星动力学有关。
Observables and unobservables in quantum mechanics: How the no-hidden-variables theorems support the Bohmian particle ontology
本文认为，远离挑战-甚至驳斥-玻姆的量子理论，无隐变量定理，事实上支持玻姆本体论的量子力学。原因是：（i）所有的测量都归结为位置测量;（ii）玻姆的理论基于粒子位置的本体论、粒子演化的定律以及与该定律相关的概率测度，对测量结果统计提供了清晰而连贯的解释。无隐变量定理告诉我们的是：（1）人们不能从可观测量中推断出物理系统所具有的性质;（2）测量是一种相互作用，就像其他相互作用一样，改变了被测系统的状态。
Sequential modular position and momentum measurements of a trapped ion mechanical oscillator
位置和动量观测值的非对易性是量子物理学的标志性特征。然而，这种不相容性并不延伸到这些基本变量中周期性的可观测量。这种模变量观测量已被建议作为容错量子计算和增强的量子传感的工具。在这里，我们实现了连续测量的模块化变量的振荡运动中的一个单一的被困离子，使用状态相关的位移和一个预示着非破坏性的读出。我们调查的交换性质的模块化变量可观的连续测量之间的时间证明没有信号，使用各种输入状态。在存在量子干涉的情况下，我们使用压缩输入态来增强，不同周期的测量显示了信号的时间。连续测量允许我们提取模变量的两次迭代，我们使用它来违反Leggett-Garg不等式。实验涉及多达8个相干、压缩或Fock态波包的多分量叠加的控制和相干性。信号的时间以及Leggett-Garg不等式作为有效的量子证人，我们在这里探测与机械振荡器，一个系统，它有一个自然的交叉从量子到经典政权。
Canonical Quantization, Quasi-Hermiticity, Observables and the Construction of Complete Basis Sets
我们考虑了量子力学非谐振子的各种“系统引导”基组的设计问题。利用基于超对称量子力学的思想，我们设计了通常的位置和动量的正则变换，以生成具有单位泊松括号的广义“类笛卡尔位置W和动量p_W”。这些量子化后狄拉克，导致一个无限的家庭潜在的“运营商可观的”。基本的问题是，除了一个算子之外，所有算子在原始位置表示中都不是厄米特算子（形式上是自伴的）。我们表明，由此产生的运营商是“准厄米特”相对于x-表示，所有的厄米特在W-表示。根据如何处理经典动量p_W表达式中正则变换的雅可比矩阵，量化会产生a）连续互无偏基（MUB）b）正交基（具有狄拉克δ归一化）c）双正交基（具有狄拉克δ归一化）d）新的W谐振子产生标准正交基（作为W的函数）和相关的相干态。MUB包括W-广义傅里叶变换核，其特征向量是W-谐振子本征态，具有谱（p/mi，p/mi）。W、p_W满足不确定度乘积关系：Δ-W * Δ-p_W gte 1/2。
A note on the Pauli problem in light of approximate joint measurements
我们表明，存在信息不完整的相空间观测量，使笛卡尔的利润是信息等价的位置和动量。这表明，即使系统的状态不是由统计唯一确定的，也可以从单个可观测量的统计中重建量子系统的位置和动量分布，因此也可以从单个测量中重建。
Mass as a Relativistic Quantum Observable
包含在不同方向上传播的光子的场态具有非零质量，这是量子可观察的。我们解释这个质量的转变下的转换加速帧定义的时空观测量规范共轭的能量动量观测。在非零自旋存在的情况下，量子可观测量的位移不同于经典相对论的预测。特别地，能量动量的量子红移受到自旋的影响。然而，位置和能量-动量观测量的移动遵循从正则化子的不变性导出的简单的普适规则。
Spatial correlations of field observables in two half-spaces separated by a movable perfect mirror
我们考虑由有限质量的反射边界隔开的两个腔的系统，该反射边界是自由移动的，并且由谐振势约束到其平衡位置。这产生了有效的镜场相互作用，以及由可移动边界介导的场模式之间的有效相互作用。在每个腔中定义两个无质量标量场。我们考虑系统的二阶相互作用基态，它包含了镜的自由度和标量场的虚激发。我们研究了两个腔中场观测量之间的关联函数，发现在相互作用的基态中，两个腔中的平方标量场是相互关联的。我们讨论的相关性的依赖关系上的距离的两个点被认为是从镜子的平均位置和它的质量和振荡角频率。这些结果显示了由可移动反射镜分隔的两个半空间之间的一种通信，由其位置波动介导。利用两个或多个机构之间的色散相互作用极化机构的这种新现象的可观测性进行了讨论。的截止频率的依赖性引入正则化的频率积分，以及一个真正的导体的情况下，也进行了讨论。
On the complementarity of the quadrature observables
在本文中，我们研究的正交可观测量对的耦合特性，表明，除了外尔关系，他们共享相同的耦合特性的位置-动量对。特别是，它们是互补的。我们确定了协变相空间观测量相对于任意旋转参考系的边缘观测量，并观察到这些边缘观测量是不尖锐的正交观测量。相关的分布构成了协变相空间可观测的相空间分布的Radon变换。由于正交分布是一个状态的Wigner函数的Radon变换，我们还展示了正交观测量和层析观测量之间的关系，并展示了如何构造相空间的观测量从正交观测量。最后，我们给出了一种方法，测量任何互补的正交可观测量对与一个单一的测量方案。
Choice of a Metric for the Non-Hermitian Oscillator
谐振子哈密顿量，当增加一个非厄米$\cal{PT}$对称部分，可以转化为厄米哈密顿量。这是通过引入一个度量来实现的，该度量通常将其他可观测量（例如通常的动量或位置）呈现为非厄米算符。度量取决于一个真正的参数，其中的全部范围进行了调查。给出了度量和每个相关哈密顿量的显式函数依赖性。这个参数的特定选择决定了位置和动量的特定组合是一个可观测的;这可以是标准位置或动量，但不能同时是两者。奇异性的度量进行了探索，并研究其可移除性。这些发现的物理意义进行了讨论
Relativistic Wigner Function, Charge Variable and Structure of Position Operator
提出了一类Weyl符号与电荷变量无关（即位置和动量的任意组合）的观测量的相对论性相空间表示.动力学方程与非局部理论（牛顿-维格纳位置算子方法的推广）中的类似物在粒子不可能产生的条件下相吻合。差异表现在对可能的初始条件的具体限制上。
The uncertainty relation for joint measurement of position and momentum
我们证明了一个不确定性关系，它对任何位置和动量的联合测量施加了约束。它的形式是$(ΔP)(ΔQ)\geq C\hbar$，其中“不确定性”量化了联合测量的边际与相应的理想可观测值之间的差异。应用到一个近似的位置测量，然后是一个动量测量，不确定性成为位置测量的精度$ΔQ$，和扰动$ΔP$的共轭变量引入这样的测量。我们还确定了最佳常数$C$，这是一个独特的相空间协变测量。
Consistent Evaluation of Operators Involving the Position Operator in the Bloch Representation: Application to the Orbital Moment
提出三条规则和规范过滤方案，解决布洛赫表示中位置算符相关算符评估的不一致问题，并应用于波包自旋和万尼尔函数局域环流的统一。
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