Position and momentum observables on R and on R^3
C. Carmeli, T. Heinonen, A. Toigo
我们刻画了R和R^3上所有的位置和动量观测量。我们研究了它们的一些运算性质，并讨论了它们的协变联合观测量。
We characterize all position and momentum observables on R and on R^3. We study some of their operational properties and discuss their covariant joint observables.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Observables have no value: a no-go theorem for position and momentum observables
一个非常简单的说明贝尔-科亨-斯佩克矛盾提出使用连续观测在无限维希尔伯特空间。指出单粒子位置和动量观测量假定值的\emph{existence}假设与量子力学是不相容的。
Observables of Angular Momentum as Observables on the Fedosov Quantized Sphere
本文构造了S2相空间上Fedosov *（Moyal星积的推广）的算子。结果表明，该乘积服从一般非相对论性量子力学中的标准角动量对易关系。本文件有三个目的。一个是找到一个精确的，非微扰的解决方案的Fedosov * 的分解。二是验证这些对易关系与普通非相对论性量子力学中的角动量对易关系相对应。最后是显示一个更一般的计算费多索夫 *;本质上unforming费多索夫的算法。
Position Measurements Obeying Momentum Conservation
我们提出了一个迄今为止未知的基本测量的基本限制：当物体和设备的总动量守恒时，量子物体的位置。这一结果扩展了著名的Wigner-Araki-Yanase（WAY）定理，并表明只有当设备中存在较大的动量不确定性时，精确的位置测量才是实际可行的。
Complementarity between Position and Momentum as a Consequence of Kochen-Specker Arguments
我们给出了两个简单的Kochen-Specker参数之间的互补的位置和动量分量的无自旋粒子，参数的结构是相同的佩雷斯和Mermin自旋1/2粒子。
Momentum-position realization of the Einstein-Podolsky-Rosen paradox
我们报告的动量位置实现EPR悖论使用直接检测共线II型相位匹配参量下转换发射的光子的近场和远场。使用这种方法，我们实现了测量的双光子动量-位置方差积的$0.01\hbar^2$，这大大违反了EPR和可分性标准的界限。
Uncertainty related to position and momentum localization of a quantum state
本文用熵不确定关系描述了与量子态的位置和动量局域化有关的不确定性。对[Phys.Rev.A74，052101（2006）]中的不等式作了改进，引入了一个新的熵测度，并给出了相应的不确定关系.
Four-dimensional Quantum Key Distribution using Position-Momentum and Polarization Correlations
我们的实验表明，它是可能的制备和检测光子对自发参量下转换表现出同时的位置动量和偏振相关性，足以实现一个四维密钥分配协议。
Characterization of non-classical particle propagation using superpositions of position and momentum
研究通过Sagnac干涉仪生成位置和动量叠加的光子，利用不同测量设置获取横向分布，展示干涉效应如何导致位置和动量的局部化，并违反牛顿第一定律。
Photon position observable
在双正交量子力学中，准厄米算符及其伴随算符的本征向量是双正交的和完备的，并且从量子态跃迁到这些本征向量中的任何一个的概率是正定的。我们应用这种形式主义的长期存在的问题，在量子场论的位置观察。对偶基是由场算符产生的正负频率单粒子态，其共轭性和双正交性是它们的对易关系的结果。在这些双正交基中，位置算符是协变的，Klein-Gordon波函数是局域化的。我们发现从单光子态跃迁到位置本征矢量的不变概率是一阶Glauber关联函数，它弥补了光子计数和光探测器对电磁能量密度灵敏度之间的差距.
Wigner function and the successive measurement of position and momentum
维格纳函数是一种准分布，它提供了量子力学系统在位置和动量相空间中的状态表示。在本文中，我们找到了维格纳函数和适当的测量之间的关系，包括系统的位置和动量，推广了冯诺依曼测量模型。我们引入两个探头耦合连续的时间投影仪与系统的位置和动量。我们表明，可以将维格纳函数的柯克伍德联合准分布的位置和动量，后者，反过来，是一个特殊的情况下，连续测量。我们首先考虑在连续希尔伯特空间中描述的量子力学系统的情况，然后转向离散的有限维希尔伯特空间的情况。
Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces
基于交换子的熵不确定性关系，在多维的位置和动量空间的推导，双重推广以前的熵不确定性关系的单模状态。它们提供了最优下界，并隐含了基于多维方差的不确定原理。文章最后提出了一个公开的猜想。
The position-momentum symmetry principle
它表明，傅立叶变换，关系的位置和动量表示的量子力学可以被理解为一个对称性原则，建立了等价的存在和成为现实的描述的后果。然而，有其他变换兼容相同的原则，可能导致不同的形式主义的量子力学。
A double slit and a position-momentum EPR correlation
由于发表了类似的论文（quant-ph/9904075），作者撤回了该论文。
Geometry of Uncertainty Relations for Linear Combinations of Position and Momentum
对于单自由度的量子粒子，我们导出了位置和动量观测量的$N$线性组合所满足的解析和与积不确定关系。状态独立的边界取决于它们的不相容程度，该不相容程度由$N$维系数空间中的一个子空间的面积定义。最大的不相容性发生，如果可观的相空间中产生正多边形。我们还猜想一个Hirschman型的不确定性关系N观测线性的位置和动量，推广原来的关系，下界的位置和动量香农熵的粒子。
Photon quantum mechanics with a position observable
本文提出了一种基于第二量子化的光子量子力学理论，通过扩展庞加莱算符和引入位置参数，建立了描述光子在光学电路中行为的协变模型，并探讨了其与传统量子力学的关系。
On position, momentum and their correlation
考虑了位置和动量观测量，研究了最简单的自由粒子一维运动量子系统的位置和动量观测量之间的关联。代数和特征值问题的相关性观测和它可能的相关性的泡利问题的解决方案进行了分析。这种相关性为波包的收缩和扩散提供了一种简单的解释，这种解释是基于量子场论提出的本体论的量子力学解释。几个属性和猜测有关的位置-动量的相关性被提到。
An Alternative Commutation Relation Between Position and Momentum Operators of Massless Particles
最近发表的一项工作似乎已经解决了为光子寻找合适的位置算符的问题，它是基于无质量粒子的位置算符和动量算符之间的一种新的对易关系[1]。虽然[1]的作者已经提出了一个支持新的交换子的经典推理，但在这里我们将基于量子力学论证来找到这个新的交换子。
Unified treatment of the total angular momentum of single photons via generalized quantum observables
在本文中，我们提供了一个一致的框架来解决臭名昭著的单光子总角动量（TAM）分解为自旋（SAM）和轨道（OAM）组件。特别地，我们发现分别在物理状态空间中产生内部旋转和空间旋转的正则SAM和OAM是相互兼容但不尖锐的量子可观测量，因此POVM（Positive Operator-Valued Measures）描述了它们的联合测量。另一方面，非正则SAM和OAM可以被构造为相互不兼容，但代表尖锐的量子可观测量，因此PVM（投影值测量），反映了它们与表征单光子波函数的横向条件的一致性。我们讨论了两种分解的联合测量的实现，并提供了一个明确的计算所有这些量的圆偏振高斯单光子态。
Position and momentum tomography
我们说明了使用的统计方法的时刻确定的位置和动量分布的量子对象从一个单一的测量统计。该方法用于三个不同的，虽然相关的，模型;顺序测量模型，阿瑟-凯利模型和八端口零差检测模型。在每种情况下，矩量法给出了一个大类的初始状态的位置和动量分布，相关的条件是分布的指数有界性。
Controlling and measuring a superposition of position and momentum
本文通过狭缝、透镜和干涉仪制备光子的位置与动量叠加态，实验观测到位置与动量间的量子干涉，并验证其概率结果比经典下界低5.9%。
The uncertainty relation for joint measurement of position and momentum
我们证明了一个不确定性关系，它对任何位置和动量的联合测量施加了约束。它的形式是$(ΔP)(ΔQ)\geq C\hbar$，其中“不确定性”量化了联合测量的边际与相应的理想可观测值之间的差异。应用到一个近似的位置测量，然后是一个动量测量，不确定性成为位置测量的精度$ΔQ$，和扰动$ΔP$的共轭变量引入这样的测量。我们还确定了最佳常数$C$，这是一个独特的相空间协变测量。
Position-momentum local realism violation of the Hardy type
我们表明，它是，在原则上，有可能进行局部现实主义违反实验的哈代型，其中只有位置和动量的测量是由两个粒子从一个共同的来源。在光域中，电磁场的同相和异相幅度分量的零差检测类似于位置和动量测量。因此，在仅采用零差检测的光学系统中，可能存在Hardy类型的局部真实性违反。
Position-momentum entangled photon pairs in non-linear wave-guides and transmission lines
本文分析了光在非线性波导和传输线中的相关特性，预言了Kerr型非线性光子电路中光子对EPR佯谬的位置-动量实现，以及如何产生和探测双光子纠缠态。
On the coexistence of position and momentum observables
我们研究了位置和动量观测量共存的问题。我们刻画了具有一个联合观测量的位置和动量观测量对。
The Husimi function and a successive measurement of the position and the momentum
在本文中，我们考虑解释的Husimi函数的概率分布的连续测量，这是明确分开的测量的位置和动量。我们还证明了这种连续测量在接近实验的情况下可以很容易地实现，并且这种测量对应于Aharanov的一种弱测量。
A Possible Einstein-Podolsky-Rosen Probe of the Momentum-Position Uncertainty Relation
有人建议，测量碱金属原子激发后，从陷阱提取的光电子发射的产品，可能会，使用EPR策略，表现出显着违反的动量-位置不确定性关系。如果这失败了，这是很有可能的，可能的原因，如追溯传播的影响和追溯失败，可以测试所提出的设备。
A position-momentum EPR state of distantly-separated trapped atoms
我们提出了一个制备一对远距离囚禁原子的位置和动量EPR态的方案。该方案利用非简并光学参量放大器输出的纠缠光场。在腔QED中，这些光场与被囚禁原子的运动态之间的量子态交换是通过相互作用实现的。
Multi-copy uncertainty observable inducing a symplectic-invariant uncertainty relation in position and momentum phase space
我们定义了一个不确定性观察，作用于几个副本的连续变量玻色子态，其平凡的不确定性下界诱导非平凡的相空间不确定性关系的一个单一的副本的状态。利用Schwinger表示的角动量的玻色子算子，我们构造这样一个观察，是不变的辛变换（旋转和压缩相空间）。我们首先设计了一个两个副本的不确定性观测，这是一个离散谱算子消失的确定性，当且仅当它被应用于（两个副本）任何纯高斯状态集中在原点。其方差的非负性转化为薛定谔-罗伯逊不确定性关系。然后，我们将我们的构造扩展到一个三拷贝不确定性观测，它在位移（相空间中的平移）下表现出额外的不变性，因此它在每个纯高斯态上都消失了。由此产生的高斯幺正下的不变性使这一观察到的一个自然的工具来测量相空间的不确定性-或从纯高斯偏差-连续变量玻色子态。特别是，它表明，香农熵的观察提供了一个辛不变的熵测量的位置和动量相空间的不确定性。
Scheme for directly observing the non-commutativity of the position and the momentum operators with interference
虽然某组量子算符的非交换性（例如，产生/消灭算符和泡利自旋算符）近年来已在实验上得到证明，但位置和动量算符的交换关系迄今为止尚未直接得到证明。本文提出并分析了利用单光子量子干涉直接观测位置和动量算符非对易性的实验方案。虽然该方案是研究单光子态作为输入量子态，分析同样适用于物质波干涉，允许直接测试的位置动量交换关系与一个大质量的粒子。
Kochen-Specker Obstruction for Position and Momentum Using a Single Degree of Freedom
它表明，给定一个合理的连续性假设拥有的值，它是可能的，以构建一个Kochen-Specker障碍的任何坐标和共轭动量，表明这两个量中的最多一个可以有一个noncontextual值。
Position and Spin Operators, Wigner Rotation and the Origin of Hidden Momentum Forces
利用作者和Wigner对自旋为1的粒子所得到的位置算符，我们得到了具有结构的粒子所受的隐动量力的量子相对论结果。特别地，我们的结果适用于隐藏的磁力表现在一些电磁学问题。我们还讨论了自旋和轨道角动量算子，以及维格纳旋转。
Optimal estimation of conjugate shifts in position and momentum by classically correlated probes and measurements
由于位置和动量的同时和非平凡的小变化，多参数估计是必要的力传感。因此，设计允许同时估计所有参数的量子探针是一项重要的任务。量子谐振子位置和动量共轭变化的最佳估计方法是利用纠缠态或量子非高斯态的探针。我们表明，同样的结果可以得到一个更可行的方式，采用独立的不同压缩高斯状态的经典相关的位置或动量测量。该结果表明，探针状态和直接适用于力感测的测量值之间的经典相关性具有未经探索的力量
Position-Momentum Uncertainty Relation for an Open Macroscopic Quantum System
在这项研究中，我们探讨了原始海森堡位置-动量不确定关系在宏观谐振子与环境微粒子相互作用中的有效性。我们的结果表明，在准经典的情况下，原来的不确定关系不成立时，在环境中的粒子数是小的。尽管如此，增加环境自由度解决了我们调查区域的侵权问题。
Quantum diffraction of position-momentum entangled photons from a sharp edge
本文介绍了一个位置-动量纠缠光子在直刃上的量子衍射实验。一个纠缠对中的单个光子的路径被一个尖锐的边缘部分地阻挡，而另一个光子在一个静止的位置被检测到，而不显示另一个光子的哪条路径信息。只有在空间分离光子的相关条件探测中才能发现尖锐边缘的量子衍射图样，而在单个光子的局部探测中不会形成衍射图样。本文还对位置-动量纠缠光子从锐边的量子衍射进行了理论分析。实验测量的量子衍射图案与理论计算的位置-动量纠缠光子的量子衍射图案进行了比较。
Quantum Cryptography Using Momentum and Position Variables in a Simple Optical Arrangement
本文提出在由激光器、狭缝和透镜构成的简单光学装置中，利用位置与动量量子态实现BB84协议变体，从而验证了该量子密钥分发方案的可行性。
Multi-slit interferometry and commuting functions of position and momentum
在最近的一个改进的双针孔衍射实验中，干涉图样的存在被间接地建立起来，同时双针孔的成像也近乎完美。我们的理论分析表明，该实验构成了一个量子态的准备，即在一个很好的近似下，一个位置和动量的交换函数的联合本征态。因此，通过特定的实验装置获得关于动量分布的信息是可能的，对位置分布的影响可以忽略不计。此外，我们明确地构建了一类同时定位在位置和动量空间中的周期集上的状态，因此它们是在多缝干涉测量中联合测量的可观测量的本征态（到一个很好的近似）。最后，我们表明，通过适当的设置变化，实验证明了位置和动量测量的相互干扰。
Position-momentum uncertainty products
指出了位置-动量测不准积$U=Δx Δp$的两个有趣的性质。我们证明了具有狄拉克δ势$[V(x)=-V_0 δ(x)],V_0>0$的薛定谔算符的两个特殊（不可微）本征态也满足海森堡测不确定原理，得到了$U> \frac{\hbar}{2}$ .这些本征态之一是零能量和零曲率的束缚态。
Mutually Unbiased Quantum Observables
我们首先定义有限维希尔伯特空间上的互无偏（MU）观测量。我们还考虑了更一般的概念部分MU观测。讨论了MU观测量、值互补观测量和其它两个涉及观测量序列乘积的条件之间的关系。接下来，我们提出了一个特殊的激励情况下，MU观测称为有限的位置和动量观测。这些是通过有限傅立叶变换关联的原子可观测量。有限的位置和动量观测量给出的例子部分MU观测值是互补的，那些不是值互补的。涉及这些概念的各种开放的问题。这些问题主要涉及到将这一工作从锐可观测量扩展到非锐可观测量。
Position and momentum cannot both be lazy: Quantum reciprocity relation with Lipschitz constants
我们提出了任意量子态的位置和动量概率分布的Lipschitz常数之间的折衷。我们把这种折衷称为量子互易关系。函数的Lipschitz常数可以被认为是量化该函数的波动程度，并且通常与其扩散无关。位置和动量分布的扩展被用来获得著名的海森堡量子测不准关系。我们发现，产品的Lipschitz常数的位置和动量概率分布是有界的数量是普朗克常数的平方反比的顺序。
A note on entropic uncertainty relations of position and momentum
我们考虑了最近文献中讨论的位置和动量的两种熵测不准关系。通过对其中之一进行适当的重新缩放，我们分别获得了高分辨率和低分辨率测量的平滑插值。因为我们的插值从来没有在文献中提到过，我们提出它作为一个改进的熵的位置和动量的不确定性关系的候选人。到目前为止，作者既不能证伪也不能证明新的不等式。我们认为，做其中任何一件事都是一个挑战。
Localised solution of stochastic Schrödinger equation describing simultaneous continuous measurement of position and momentum
本文提出描述同时连续测量位置与动量的随机 Schrödinger 方程，求解得到满足不确定性原理的局域化状态，表现为中心在相空间随机运动的固定 Gaussian 波包，并证明其局域稳定性。
Single-slit diffraction and the Heisenberg principle for position and momentum
单色光由空间宽度为Δx的单个狭缝制备。考虑衍射图样，得到相应的动量几率密度。设P是在宽度为Δp的有限窗口中测量动量的概率权重。当h为普朗克作用常数时，对于小Δp，证明了渐近律P ~ ΔxΔp/h。
Extreme Covariant Quantum Observables in the Case of an Abelian Symmetry Group and a Transitive Value Space
我们表示为POVM（正规化的正算子值的措施）的量子观测量，并考虑凸的观测值是协变的局部紧阿贝尔对称群$G$的酉表示。这样的观测值的值空间是传递的$G$ -空间。我们刻画了协变观测量的极值点，并确定了所有量子观测量的较大集合的协变极值点。结果被应用到位置，位置差和时间观测量。
Measurement of two-photon position-momentum EPR correlations through single-photon intensity measurements
测量双光子态的位置-动量EPR关联对于从量子密钥分发到符合成像的许多量子信息应用都是非常重要的。然而，用于测量位置-动量EPR相关性的所有现有技术都涉及重合检测，因此存在导致不太准确的测量的问题。在这封信中，我们提出并证明了一个实验方案，不需要符合检测测量EPR的相关性。我们的技术适用于纯的双光子态，无论该状态是可分离的还是纠缠的。我们从理论上证明了，如果纯双光子态满足一定的条件，那么位置-动量EPR关联可以通过仅对其中一个光子进行强度测量来获得。我们实验证明了这种技术的纯双光子状态所产生的I型自发参量下转换，并尽我们所知，我们报告的最准确的测量位置动量EPR相关性到目前为止。
Uncertainties in the Measurement of the Momentum and Position of an Electron
有人建议，通过在任意长的飞行路径的两端观测粒子，可以使粒子动量测量的不确定度任意小，然而，考虑到探测过程的性质，不确定原理的通常极限与飞行路径的长度无关。
Position-momentum uncertainty relations based on moments of arbitrary order
利用基于Renyi熵的测不准关系，改进了d维量子系统中基于任意阶矩的类位置-动量测不准不等式，该不等式是著名的海森堡不确定原理公式的推广.所得到的下界的准确性是物理计算分析的两个主要原型在d维物理：类氢和类氢化物系统。
Position and Momentum Entanglement of Dipole-Dipole Interacting Atoms in Optical Lattices: The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox on a Lattice
我们研究了一种可能的实现的位置和动量相关的原子对，被限制在两个相互移动的光晶格的相邻网站，并通过激光诱导偶极-偶极相互作用纠缠。爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）"悖论“[物理评论47，777（1935）]与平移变量，然后修改晶格衍射效应。这个“悖论”在这个方案中可以得到高度的准确性的验证。
Position-momentum correlations in matter waves double-slit experiment
本文讨论了用高斯波包表示的物质波的双缝干涉。用格林函数传播子模拟干涉图样，强调坐标相关性和相位。我们探讨了相位和位置-动量相关性之间的联系，在强度，可见性和可预测性的波包干涉。这个公式将表明一些方面，可以是有用的粒子，原子或分子干涉的理论和实验治疗。
Position and momentum information-theoretic measures of the pseudoharmonic potential
本文利用Fisher信息、Shannon熵、Renyi熵、Tsallis熵和Onicescu信息能，对赝谐势在位置和动量空间中的信息论测度进行了解析和数值研究.所得结果适用于某些双原子分子。利用Srivastava-Niukkanen线性化公式，利用Lauricella超几何函数，在位置空间中解析地得到了Renyi熵和Tsallis熵.它们也是在动量空间中用组合数学的多元贝尔多项式得到的。我们观察到，Fisher信息增加与$n$在位置和动量空间，但减少与$\ell$为所有考虑的双原子分子。香农熵也随着位置空间中$n$的增加而增加，并且随着$\ell$的增加而减小。还讨论了Renyi熵和Tsallis熵随$\ell$的变化。还获得了Onicescu信息能量的精确值和数值，之后获得了Fisher，Shannon和Renyi的信息理论冲量与长度的比率。
Time-dependent harmonic potentials for momentum or position scaling
冷却方法和粒子减速器以及加速器是不同领域和系统的基础研究和应用的基本工具。我们提出了一个通用的机制来标度粒子的动量，无论其初始位置和动量，通过瞬态谐波势。时变频率的设计利用了从“绝热捷径”中得出的线性不变和逆技术。该过程的时间可以预先决定，并分析其对系统演化和最终特征的影响。我们解决量子系统，但发现的协议也适用于经典粒子。类似的过程对于位置缩放也是可能的。
Experimental investigation of quantum key distribution with position and momentum of photon pairs
研究了参量下转换光子对位置和动量的Einstein-Podolsky-Rosen关联在安全量子密钥分发协议实现中的应用.我们表明，安全性是由下变频对之间的纠缠保证，可以通过直接比较Alice和Bob的测量结果或评估Mancini等人提出的不等式来检查。88，120401（2002））。
Allowed region of the mean values of angular momentum observables and their uncertainty relations
该研究通过算符线性组合的最大本征值态生成角动量相关可观测量均值的允许区域，推导紧不确定/确定关系，揭示其随角动量量子数的变化规律，并结合多量子比特系统与量子德菲涅定理得到无穷大量子数极限下的结果。
Local and nonlocal observables in quantum optics
它指出，存在一个明确的定义的地方，使人们能够区分本地和非本地量。这两种类型的观测共存于量子光学中，但在试图测量它们时必须非常小心。形式上依赖于空间位置$\bi r$的非局部可观测量不能在不干扰该可观测量在所有其他位置的测量的情况下{ \em局部}测量。
A closer look at the uncertainty relation of position and momentum
我们考虑由冯·诺依曼-吕德斯投影制备的粒子。对于这些粒子的动量的标准偏差进行了讨论。我们表明，无限的标准差不是例外，而是典型的。给出了有限标准差的一个充要条件。最后，一个新的不确定性关系推导出来，它表明，后者是不能改进的。
Heisenberg position-momentum uncertainty relation beyond central potentials
最近，在[New J. Phys. 8，330（2006）]中表明，如果相关的量子态描述中心势中的粒子，则三维海森堡不确定原理可能会显著地变尖锐。我将这个结果推广到角动量算符的平方不为本征态的情形。我得到了一个新的下界，其中涉及的平均值和方差的$\hat{L}^2$运营商。
Single-Photon Observables and Preparation Uncertainty Relations
我们提出了一个程序来定义所有的单光子观测值的正算子值的措施（POVMs），特别是自旋和位置。我们确定的$0$ -螺旋光子态的抑制作为一个从扩展的希尔伯特空间到光子希尔伯特空间的投影。我们表明，所有的单光子观测值一般描述POVM，通过将此投影到适当的投影值的措施（PVM），定义在扩展的希尔伯特空间。与动量和螺旋度相关的POVM减少为PVM，与位置和自旋相关的POVM不同，这一事实反映了这些观测量的内在不清晰性。最后，我们广泛地研究了位置和动量的制备不确定性关系以及自旋的概率分布，探索了几种自旋和偏振选择的单光子高斯态。
Quantum Brownian motion simulation of the control effect for two harmonic oscillators coupling in position and momentum with general environment
本文研究了玻色子非马尔可夫环境中两个耦合量子谐振子的位置和动量耦合的动力学性质。利用量子态扩散方法推导出了系统的精确解析主方程，并利用两个谐振子之间的相互作用给出了系统加入控制时的量子轨道描述。通过数值模拟，比较了不同控制效应下纠缠的演化。最后，我们利用非线性量子态扩散方法得到了相同的演化结果，从而加强了我们的上述结果。
Optimal Joint Measurements of Position and Momentum
本文研究了位置和动量同时测量的最大精度无偏测量值的分布。它示出，如果测量是追溯最优的，那么结果的分布由初始状态Husimi函数（或Q-表示）给出。如果测量是预测最优的，则结果的分布与最终状态反胡西米函数（或P-表示）有关。讨论了这一普适性质对Husimi函数解释的意义。
Quantum kinematics on q-deformed quantum spaces II, Wave functions on position and momentum space
本文第二部分的目的是试图描述q变形形式的位置和动量空间上的波函数。这项任务是在本文件第一部分所制定的框架内完成的。为了使第二部分独立的最重要的结果，第一部分进行审查。然后，它表明，q-变形指数和q-变形δ函数的动量和位置本征函数的作用，分别。导出了它们的完备性和正交关系。对于这两个基地的本征函数矩阵元素的位置和动量算子计算。讨论了乘法算子谱分解的q-变形形式，并提出了Heaviside函数的q-模拟。从拟点的概念所提供的观点来解释这些结果，使形式主义具有了物理意义。详细说明了期望值的定义和概率密度的计算。最后，它概述了如何考虑到目前为止进行反对称空间。
Quantum interference of position and momentum: a particle propagation paradox
通过最大化在两个明确定义的区间内找到它们的实验观测值的概率，可以实现位置和动量的最佳同时控制。粒子在自由空间中沿直线运动的假设可以通过推导在任意中间时间t在相应的空间间隔中找到粒子的概率的下限来检验。在这里，它表明，这个下限可以违反量子叠加的状态限制在各自的位置和动量间隔。粒子传播不等式的这些违反表明，量子力学在基本水平上改变了运动定律，为量子力学中的因果关系和时间演化提供了新的视角。
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