Canonical Form and Separability of PPT States in 2x2x2xN Composite Quantum Systems
S. M. Fei, X. H. Gao, X. H. Wang, Z. X. Wang, Ke Wu
我们给出了秩为$N$的${\cal C}^2 \otimes {\cal C}^2\otimes {\cal C}^2 \otimes {\cal C}^N$中PPT态的标准形式.从这个标准形式的一个必要的可分离的条件，这些国家。
We give a canonical form of PPT states in ${\cal C}^2 \otimes {\cal C}^2\otimes {\cal C}^2 \otimes {\cal C}^N$ with rank=$N$. From this canonical form a necessary separable condition for these states is presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Canonical Form and Separability of PPT States on Multiple Quantum Spaces
利用“减投影”方法证明PPT态在多量子空间上的可分性，得到了具有秩$N$的${\Cb}^{K_1} \otimes {\Cb}^{K_2} \otimes ... \otimes {\Cb}^{K_m} \otimes {\Cb}^N$复合量子系统中PPT态的一个标准形式，并由此给出了PPT态可分性的充分条件.
Canonical Form and Separability of PPT States in 2xMxN Composite Quantum Systems
研究了秩为$N$的${\cal C}^2 \otimes {\cal C}^M \otimes {\cal C}^N$复合量子系统中正部分转置（PPT）密度矩阵的标准形。这些PPT状态的一般表达式明确获得。从这个标准型给出了一个充分的可分性条件。
Separability of diagonal symmetric states: a quadratic conic optimization problem
我们研究了Dicke态混合物的可分性问题，所谓的对角对称（DS）状态的可分性。首先，我们证明了在DS的情况下，在$C^d\otimes C^d$（对称qudits）的可分性可以重新表述为一个二次锥优化问题。这种联系使我们能够在量子信息和这个数学领域之间交换概念和想法。例如，共正矩阵可以被理解为DS态的不可分解纠缠证据。因此，我们证明了部分转座（PPT）的正性是$d \leq 4$ DS态可分离的充分和必要条件。此外，对于$d \geq 5$，我们提供了PPT纠缠态的解析例子。第二，我们开发了新的充分可分性条件的PPT标准以外的二分DS状态。最后，我们专注于$N$ -partite DS量子比特，其中PPT是必要的和充分的可分性。在这种情况下，我们提出了一个家庭的几乎DS国家的PPT相对于每个分区，但仍然纠缠。
Separability bounds on multiqubit moments due to positivity under partial transpose
密度算子的正性反映在可观测矩的不等式序列中。非对易观测量的不确定性关系形成这些不等式的子集。此外，部分转置（PPT）下的积极性标准对矩施加了不同的限制，违反了信号纠缠。我们提出了一些新的组合矩的范围，随之而来的积极部分转置的密度算子和报告他们的违反纠缠多量子比特态。特别是，我们推导出一个多量子位矩矩阵（基于PPT约束的密度矩阵的二分司）的可分性界限，并表明，三个量子位纯态与非零纠缠违反这些PPT矩约束。进一步，我们通过PPT矩的界恢复了多量子比特Werner态可分性的充分必要条件。
Einstein-Podolsky-Rosen-like separability indicators for two-mode Gaussian states
利用一对类Einstein-Podolsky-Rosen（EPR）观测量的方差研究了双模高斯态的可分性。我们的出发点受到Duan {\em et al.} [Phys. Rev. Lett. {\bf 84}，2722（2000）]。我们评估的产品和这种方差的总和，以及正则化的总和的归一化形式的最小值。利用Simon的基于密度矩阵的部分转置（PPT）为正的条件的可分性准则[Phys.Rev.Lett. {\bf 84}，2726（2000）]，我们证明了这些极小值本身就是可分性指标。它们似乎量化了最大数量的EPR类相关性，这些相关性可以通过局部操作在双模高斯状态下创建。此外，我们重新考虑了Duan {\em et al.}提出的双模高斯态可分性的类EPR方法。没有提到PPT条件。通过优化它们的类EPR不确定性和的正则化形式，我们导出了任意双模高斯态的可分性指标。我们证明了相应的EPR类可分性条件显然等价于Simon的PPT条件。这两种不同的方法（EPR类和PPT）的一致性提供了一个更好的理解检查可分性问题，其明确的解决方案很久以前发现西蒙涵盖了所有感兴趣的情况。
Nonequivalence between absolute separability and positive partial transposition in the symmetric subspace
本研究针对量子纠缠理论中绝对可分态与绝对PPT态等价性的开放问题，探讨对称多量子比特态的情况，通过构造纠缠的五量子比特及更大奇数个量子比特的SAPPT态反例，证明SAPPT态并非总是对称绝对可分。
A Note on Quantum Entanglement and PPT
我们研究了量子态的PPT准则是充分和必要的可分性。我们提出了一类3x3二分混合态，并证明了这些态是可分的当且仅当它们是PPT。
On PPT States in KxMxN Composite Quantum Systems
研究了${\cal C}^K \otimes {\cal C}^M \otimes {\cal C}^N$中正部分转置态的一般表示.对于秩为- $N$的PPT态，得到了一个标准形，并由此给出了一个充分的可分离性条件.
Generalized Circulant Densities and a Sufficient Condition for Separability
在一系列文件与Kossakowski，第一作者研究了性质的密度，其中正部分transpositrionm（PPT）性质可以很容易地检查。Baumgartner、Hiesmayr和Narnhofer也从不同的角度研究了这些密度。在本文中，我们将展示如何支持这样的密度可以表示在有限几何中的线，以及如何相同的结构本身检查必要的PPT条件和一个新的充分条件的可分性。
Numerical studies of entangled PPT states in composite quantum systems
我们在这里报告的PPT状态的数值搜索结果与特定的密度矩阵和部分转置的秩。这项研究包括几个低维的二分量子系统。对于一系列秩，求出了极值PPT态，并将结果列在表中和图中。对不同维数系统的结果进行比较，发现了几个问题。我们讨论的极端PPT状态的行列上下限。
Operational criterion and constructive checks for the separability of low rank density matrices
本文考虑了Hilbert空间上的低秩密度算子$\varrho$，对于任意的$M$和$N$（$M\leq N$），以及正的部分转置（PPT）$\varrho^{T_A}\ge 0$ .对于秩$r(\varrho) \leq N$，我们证明了有一个PPT是必要的和充分的$\varrho$是可分离的，在这种情况下，我们还提供了其最小分解的纯产品状态。从这个结果可以看出，不存在具有PPT的秩3束缚纠缠态。我们还提出了一个必要和充分条件的一般密度矩阵的$\varrho$和$\varrho^{T_A}$的秩之和满足$r(\varrho)+r(\varrho^{T_A}) \le 2MN-M-N+2$的可分性。这种可分性条件具有构造性检查的形式，因此也为可分离状态提供了纯乘积状态分解，并且它适用于耦合多项式方程组具有有限数量解的情况，正如大多数情况下所预期的那样。
Almost complete solution for the NP-hard separability problem of Bell diagonal qutrits
在成功概率为$95 \%$的条件下，我们解决了具有正部分转置（PPT）的Bell对角四重态的可分性问题。由于束缚纠缠态的存在，可分离性问题，即区分可分离态和纠缠态，通常缺乏有效的解决方案。与可以通过局域操作和经典通信进行纠缠蒸馏的自由纠缠态相比，这些态不能通过Peres-Horodecki准则或PPT准则检测到。我们分析了一个大家庭的二分quutrit状态，可以是可分离的，自由纠缠或束缚纠缠。利用这些状态在欧几里得空间中的几何表示，提出了新的方法，允许分类的可分离和绑定纠缠贝尔对角态在一个有效的方式。此外，分类允许的可分离，自由和束缚纠缠态的类的相对体积的精确测定。详细地说，在所有Bell对角PPT状态中，$81.0 \%\pm0.1\%$被确定为可分离的，而$13.9\pm0.1\%$被束缚纠缠，并且只有$5.1\pm0.1\%$保持未分类。此外，我们的应用标准进行了比较，其有效性和关系作为探测器的束缚纠缠，这表明，没有一个单一的标准是能够检测所有的束缚纠缠态。
Some Properties of the Computable Cross Norm Criterion for Separability
可计算交叉范数（CCN）准则是一种新的强有力的分析和可计算的二体量子态可分性准则，也被认为可以系统地检测束缚纠缠。在某些方面，该标准补充了众所周知的Peres正部分转置（PPT）标准。在本文中，我们研究的CCN准则的重要分析性质。我们表明，在对比PPT标准，它是不够的尺寸2 × 2。在更高的维度，我们证明定理连接的量子态的保真度与CCN标准。我们还分析了本地操作下的CCN准则的行为，并确定了使其保持不变的操作。事实证明，CCN准则在局部操作下一般不是不变的。
Hilbert-Schmidt Geometry of n-Level Jakobczyk-Siennicki Two-Dimensional Quantum Systems
Jakobczyk和Siennicki研究了一组（广义）布洛赫向量的二维截面，对应于双量子比特系统的n × n密度矩阵（即n = 4的情况）。他们基本上发现了五种不同类型的（非平凡的）可分性机制。我们计算的Euclidean/Hilbert-Schmidt（HS）可分性概率分配给这些制度，并进行平行的二维截面分析的高级别的情况下n= 6，8，9和10。利用新引入的Mathematica 5.1版本的隐式定义区域积分功能-也在我们的n=4三参数熵最大化研究quant-ph/0507203中卓有成效地使用-我们获得了各种各样的精确HS概率。对于n>6，概率是具有部分正转置（PPT）的概率。对于n=6的情况，我们还获得了双可分性概率;在n= 8，9的情况下，双PPT概率;对于n=8，三PPT概率。到目前为止，最常见的n>4的概率是π/4 = 0.785398。我们还进行了一些相关的分析，有关（一维）边界（外部和内部）的可分性和PPT域，并尝试（有限的成功）一些精确的计算有关的9维（实）和15维（复杂）凸集的两个量子位密度矩阵-HS-可分性概率已被证明，但尚未验证。
Gaussian entanglement revisited
提出了一种新的方法来解决玻色连续变量系统的高斯量子态的可分性问题。我们推导出一个简化的必要和充分的分离性准则任意高斯态的$m$与$n$模式，它依赖于凸优化的边缘协方差矩阵上的一个子系统。我们进一步回顾了目前已知的结果，说明特定类别的高斯状态的可分性和正部分转置（PPT）之间的等价性。利用矩阵分析技术，如舒尔补和矩阵的手段，我们提供了一个统一的处理和紧凑的证明所有这些结果。特别是，我们恢复PPT可分性等价：（i）高斯态的$1$与$n$模式;和（ii）各向同性高斯态。在传递中，我们还检索（iii）最近建立的高斯态的可分性和它的完全高斯可拓性之间的等价性。我们证明了：（iv）在部分转置下不变的高斯态是可分的;（v）PPT准则对于$m$与$n$的高斯态的可分性是必要的和充分的;（vi）在被动光学作用下保持PPT的高斯态也不能被它们纠缠。这本身并不是一个必然的结论（因为高斯束缚纠缠态确实存在），并解决了一个在现有文献中没有回答的问题。本文，享受的量子光学和矩阵分析社区，整体提供的技术和概念的进步，这可能是有用的进一步应用在连续变量量子信息理论，超越可分性问题。
Dimension-Independent Positive-Partial-Transpose Probability Ratios
我们进行准蒙特卡罗数值积分在两个非常高的（80和79）维域-秩-9和秩-8 qutrit-qutrit（9 × 9）密度矩阵的参数空间。然后，我们估计概率的比率-在希尔伯特-施密特度量方面-一个通用的秩-9密度矩阵有一个正的部分转置（PPT）的概率，一个通用的秩-8密度矩阵有一个PPT（分离/非纠缠的先决条件）。仔细检查所产生的数值结果-尽管有某些大的波动-表明，实际上，真实的比率可能是2。我们早期的研究（eprint quant-ph/0410238）也得到了接近2的量子比特-量子比特和量子比特-量子三重态对的可比比率的估计（PPT条件完全暗示可分性的仅有两种情况）。因此，它值得证明（正如Zyczkowski第一个做的那样），对于所有NM维量子系统，这样的希尔伯特-施密特（秩-NM/秩-（NM-1））PPT概率比都是2。
The power of symmetric extensions for entanglement detection
本文介绍了可分性的对称扩张准则研究的新进展。首先，我们证明了O（1/N）阶的扰动是足够的，并且在一般情况下，有必要破坏任何允许N玻色对称扩展的状态的纠缠。另一方面，在具有正部分转置（PPT）的N玻色对称扩展中产生的态上诱导可分性所需的最小局部噪声量至少以O（1/N^2）的速度下降。从这些结果中，我们得到的时间和空间上的复杂性的弱成员资格问题的可分性攻击时，通过搜索PPT对称扩展的算法。最后，我们展示了如何估计我们所招致的错误时，我们近似的一组可分态的（PPT）N -可扩展的量子态，以计算纯状态估计问题中的最大平均保真度，量子信道的最大输出纯度，和纠缠的几何测量。
Separable State Decompositions for a Class of Mixed States
我们研究了某些量子态，PPT准则是充分和必要的可分性。提出了一类$n\times n$二分混合态，并导出了这类混合态的PPT条件。显式地构造了这些态的可分纯态分解。
Separability of Multipartite Quantum States with Strong Positive Partial Transpose
本文将强正部分转置（SPPT）的定义推广到多部系统。X首先考虑了三方案例。Y. Yu和H. Zhao [ Int. J. Theor.物理、54，292，（2015）]。不幸的是，在这种扩展中，诸如SPPT态的PPT、超SPPT态和纯SPPT态的可分性等期望的性质没有被保留。与此相反，本文提供了一个替代的推广，多部的情况下，这些属性的保留。我们还提供了SPPT态可分离的充分条件。
Separability criteria based on the Weyl operators
纠缠作为信息处理的重要资源，可以用量子态的特殊性质来描述。利用著名的Weyl基，我们提出了一种新的量子态的Bloch分解，并研究了它的可分性问题。这种分解使我们能够找到一个替代的相关矩阵的基础上的可分性的表征。结果表明，该判据对各向同性态、Bell对角态和某些PPT纠缠态的纠缠检测是有效的。我们还利用Weyl算符构造了一个用于量子隐形传态的检测算符。
Separability and entanglement of composite quantum systems
我们提供了一个构造性的算法来寻找有限维复合量子系统的任意密度矩阵的最佳可分逼近。该方法导致分离的条件和纠缠的措施。
Separability problem for multipartite states of rank at most four
量子信息中最重要的问题之一是可分性问题，它询问给定的量子态是否是可分的。我们研究了秩最多为4的多体状态，这些状态是PPT（即，它们的部分转置都是半正定的）。我们发现，任何PPT状态的秩2或3是可分离的，长度最多为4。对于秩为4的可分态，我们证明了它们的长度至多为6。它仅对某些量子比特-四重态或多量子比特态是6。事实证明，任何秩为4的PPT纠缠态都必须在3x 3或2x2 x2子系统上得到支持。我们得到了秩不超过4的PPT态的可分性问题的一个非常简单的判据：这种态是纠缠态的当且仅当它的值域不包含乘积向量。这个准则可以很容易地应用，因为3x 3或2x2 x2系统中的四维子空间包含乘积向量，当且仅当其Pluecker坐标满足齐次多项式方程（相应的Segre簇的Chow形式）。在前一种情况下，我们计算了Chow形式的显式行列式表达式，而在后一种情况下，这样的表达式已经知道。
Separability and entanglement in 2x3xN composite quantum systems
研究了$\Cb^2 \otimes \Cb^3 \otimes \Cb^N$复合量子系统中量子混合态的可分性和纠缠性。证明了所有具有正部分转置和秩$r(ρ)\leq N$的量子态$ρ$都是可分的。
Separability and entanglement in 2xN composite quantum systems
我们证明了2 $\times N$ -维量子系统的所有密度算符在相对于第一个系统部分转置后保持不变是可分的。基于这个判据，我们得到了这类量子系统中一般密度算符的一个充分分离条件。我们还给出了$2\times 2$ -维系统的可分性准则的一个简单证明[A. Peres，Phys. Rev. Lett { \bf 77}，1413（1996）]
Invariance of Bipartite Separability and PPT-Probabilities over Casimir Invariants of Reduced States
Milz和Strunz（{ \it J. Phys. A}：{ \bf{48} } [2015] 035306）最近研究了相对于希尔伯特-施密特（欧几里得/平坦）测度随机生成的两量子比特和量子比特-qutrit状态是可分离的概率。他们的结论是，在这两种情况下，可分性概率（在双量子比特的情况下显然正好是$\frac{8}{33}$）在单量子比特子系统的布洛赫半径（$r$）上保持{ \it常数}，在纯态边界（$r=1$）跳到1。在这里，首先，我们提出的证据表明，在qubit-qutrit的情况下，可分性概率均匀分布，以及，在{ \it广义}布洛赫半径（$R$）的qutrit子系统。虽然量子比特（标准）布洛赫矢量位于三维空间中，但量子比特广义布洛赫矢量存在于八维空间中。半径变量$r$和$R$本身是这些（“相干性”）向量的长度/范数（是{ \it二次} Casimir不变量的平方根）。此外，我们发现，不仅是qubit-qutrit可分性概率不变的qutrit子系统的二次Casimir不变量，但显然也超过{ \it立方}-类似的情况下，更一般地，与随机诱导措施的使用。我们还研究了两个quutrit（$3 \times 3$）和量子位-{ \it qudit}（$2 \times 4$）系统-与看似类似的{ \it positive-partial-transpose}-概率不变性保持在Alt…
Numerical and Exact Analyses of Bures and Hilbert-Schmidt Separability and PPT-Probabilities
我们采用准随机方法，最近开发的马丁罗伯茨，估计可分性概率，相对于Bures（最小单调/统计可分性）措施，通用的两个量子比特和两个rebit状态。这个过程基于黄金分割率的广义性质，在几乎170亿次迭代（以500万次的间隔记录）的过程中，产生了两个量子比特的估计，重复地接近$\frac{25}{341} =\frac{5^2}{11 \cdot 31} \approx 0.073313783$的小数点后9位。然而，尽管使用了超过230亿次迭代，我们目前还没有发现Bures两比特可分性概率的估计值为0.15709623的确切值（合理或其他）。Bures qubit-qutrit情况-Khvedelidze和Rogojin给出的估计值为0.0014-也进行了分析。$\frac{1}{715}=\frac{1}{5 \cdot 11 \cdot 13} \approx 0.00139860$的值与估计值0.00139884拟合良好。有趣的值（$\frac{16}{12375} =\frac{4^2}{3^2 \cdot 5^3 \cdot 11}$和$\frac{625}{109531136}=\frac{5^4}{2^{12} \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17}$）是为希尔伯特-施密特（HS）和布里斯量子比特-量子位（$2 \times 4$）正部分转置（PPT）概…
Density Matrix Diagonal-Block Lovas-Andai-type singular-value ratios for qubit-qudit separability/PPT probability analyses
在2017年Lovas和Andai的分析中，正式建立了由$\frac{29}{64}$的Slater为两个rebit密度矩阵的9维凸集所证明的希尔伯特-施密特可分性概率，其中一个重要变量是$D_2^{\frac{1}{2}} D_1^{-\frac{1}{2}}$的两个奇异值（$σ_1 \geq σ_2 \geq 0$）之比（$\varepsilon =\frac{σ_2}{σ_1}$）。其中，$D_1$和$D_2$是$4 \times 4$二重位密度矩阵$ρ$的对角$2 \times 2$块。在Lovas-Andai“可分性函数”（$\tildeχ_d(\varepsilon)$）框架内工作，Slater能够验证$\frac{8}{33}$和$\frac{26}{323}$的希尔伯特-施密特可分性概率的进一步结构，用于15维和26维两量子比特和两四分之一比特密度矩阵的凸集。在这里，我们研究了$V=D_2^{\frac{1}{2}} D_1^{-\frac{1}{2}}$的三个奇异值比的行为，其中$D_1$和$D_2$是关于希尔伯特-施密特测度随机生成的$6 \times 6$ rebit-retrit和qubit-qutrit密度矩阵的$3 \times 3$对角块。此外，我们开始采用$8 \times 8$密度矩阵的并行研究。这种分析的动机是这些奇异值在适当地扩展$\tilde…
Qubit-Qudit Separability/PPT-Probability Analyses and Lovas-Andai Formula Extensions to Induced Measures
我们首先寻找量子比特-qutrit和rebit-retrit对应物，以用于$\frac{8}{33} = \frac{2^3}{3 \cdot 11} \approx 0.242424$的（15维凸集）两个量子比特和$\frac{29}{64} =\frac{29}{2^6} \approx 0.453125$的（9维）两个rebit的希尔伯特-施密特可分性概率。部分基于大量的数值计算，我们提出了$\frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 =\frac{3^3}{2^3 \cdot 5^3} = 0.027$的qubit-qutrit值和$\frac{860}{6561} =\frac{2^2 \cdot 5 \cdot 43}{3^8} \approx 0.131078$的rebit-retrit值的可能性。这四个值的$2 \times m$系统（$m=2,3$）建议某些分子/分母序列涉及的权力$m$，我们进一步调查$m>3$。此外，我们发现，两个rebit，rebit-retit和两个retit $X$状态的希尔伯特-施密特可分性/PPT概率都等于$\frac{16}{3 π^2} \approx 0.54038$，以及更一般地，基于诱导测量的概率在这三组$X$状态之间是相等的。然后，我们将Lovas和Andai引入的广义双量子比特框架从Hilber…
Separability and entanglement in 2x2xN composite quantum systems
研究了${\cal C}^2\otimes{\cal C}^2\otimes{\cal C}^N$三方量子系统中混合态的可分性和纠缠。我们表明，所有的状态与正的部分转置，有秩$\le N$是可分离的。对于3量子比特情形（N=2），我们证明了所有具有正部分转置且秩为3的态$ρ$都是可分的.我们还提供了建设性的可分离性检查的状态$ρ$的秩的总和$ρ$和部分转置的秩相对于所有子系统小于15 N-1。
Internal Boundary between Entanglement and Separability Within a Quantum State
该研究提出量子态的纠缠/可分离性由态内阈值决定，引入最优可分离态概念，证明两体态可分解为最优纠缠态与最优可分离态的凸混合，并给出求解BSA等分解的可操作算法，解决了高维BSA计算的开放问题。
Spectral Conditions on the State of a Composite Quantum System Implying its Separability
对于孤立迹的复合量子系统的态上的任何酉不变凸函数F，存在一个临界常数C，使得对于态w，F（w）<= C意味着w不纠缠;对于任何可能的D > C，存在纠缠态v，F（v）=D。给出了C的上界和下界。计算了量子比特/量子比特和量子比特/量子三分体二分系统的某些F的临界值。得到了保证分离性的状态谱的简单条件。证明了在足够高的温度下，由任意组分的任一哈密顿量所确定的热平衡态是可分的。
Separability in 2xN composite quantum systems
分析了部分转置为正算子的$\C^2\otimes \C^N$上密度算子的可分性。我们证明了如果$ρ$的秩等于N，则它是可分的，并且束缚纠缠态的秩大于N。我们还给出了一般密度算子的可分性准则，使得它的秩与它的部分转置的秩之和不超过3N。如果它超过这个数字，我们表明，可以减去产品矢量，直到减少到3N，同时保持积极的$ρ$和它的部分转置。这自动地给了我们一般密度算子可分性的充分判据。我们还证明了所有的密度算子，保持不变的部分转置后相对于第一个系统是可分的。
Statistical Characterization of Entanglement Degradation Under Markovian Noise in Composite Quantum Systems
本文提出统计方法研究不同噪声模型对复合量子系统中纠缠退化的影响，通过PPTT度量揭示全局噪声与局部噪声对纠缠持续时间的影响差异。
Separability and correlations in composite states based on entropy methods
这项工作是一个调查的情况下，熵的方法可以给出一个答案的问题，量子可分性和经典关联的复合状态。在相应的纠缠度计算的指导下，利用几种熵泛函研究了纠缠和关联的性质。结果表明，除了在条件概率可以适当定义的特殊情况下，复合矩阵与其边缘密度矩阵的熵差可以是任意符号的.这种模糊性是复合密度矩阵的本征态的重叠矩阵元素与其边缘密度矩阵的重叠矩阵元素在概率和相关熵的定义中以及它们各自的本征值中也起重要作用的事实的结果。用两量子比特系统的纯态和混合态密度矩阵说明了一般结果。找到了两类可定义条件概率的密度矩阵：（1）具有交换分解的密度矩阵和（2）在表示中是解交换的，其中边值的密度矩阵是对角的.第一类状态包括那些其可分性目前被理解为由于状态的特定对称性的状态。第二种是一类新的状态，预计将有助于理解可分性。熵泛函的例子，包括关键的isospectral的情况下，这些退相干态进行了讨论。
Separability Criterion for multipartite quantum states based on the Bloch representation of density matrices
给出了一个新的可分性判据，即$N$ -分体量子态可分的必要条件.该判据是基于一个$N$ -partite量子态的Bloch表示，并利用多线性代数，特别是张量的矩阵化。我们的判据适用于$\mathcal{H}=\mathcal{H}^{d_1}\otimes \mathcal{H}^{d_2} \otimes ... \otimes \mathcal{H}^{d_N}.$中的{ \it arbitrary} $N$ -partite量子态。该判据可以检验一个$N$ -partite态是否纠缠，并适用于$N$ -partite系统的不同分区。我们提供的例子表明，这个标准的能力，以检测纠缠。我们证明了该判据可以检测束缚纠缠态。我们证明了一个三分态可分性的充分条件，在一定条件下可直接推广到$N > 3,$情形。我们还给出了一类包含$N$-量子比特PPT态的$N$-量子比特态可分性的充分必要条件。
A Separability-Entanglement Classifier via Machine Learning
确定一个给定的量子态是否纠缠的问题是量子信息处理的核心，这通常是一个NP难题。尽管提出了许多方法，如正部分转置（PPT）标准和k-对称可扩展性标准来解决这个问题，在实践中，他们没有一个使一个普遍的，有效的解决方案，即使是小尺寸的问题。可解释的，可分离的状态形成一个高维的凸集，它表现出非常复杂的结构。在这项工作中，我们建立了一个新的分离纠缠分类器的机器学习技术的支持。我们的方法优于现有的方法在一般情况下，在速度和准确性方面，开辟了途径，探索量子纠缠通过机器学习的方法。
Sufficient criteria for absolute separability in arbitrary dimensions via linear map inverses
本文利用线性映射及其逆提出任意维数量子态绝对可分性的新充分判据与极点，并结合凸几何优化及绝对PPT分析，将结果推广至多体系统。
Necessary and sufficient condition of separability for D-symmetric diagonal states
对于多体态，我们考虑D-对称性的概念。对于$N$量子比特系统，它符合通常的置换对称性。在$N$量子（$d\geq 3$）的情况下，D对称性比置换对称性强。对于$(\mathbb{C}^d)^{\otimes N}$中的所有D-对称矢量空间，我们定义了一个由矢量$\{|R_{N,d;k}\rangle: \,0\leq k\leq N(d-1)\}$组成的基，它类似于Dicke态。本文讨论了在基$\{|R_{N,d;k}\rangle\}$中对角的D-对称态的可分性问题。我们证明了如果$N$是偶的，而$d\geq 2$是任意的，则PPT性质是D-不变对角态可分性的充分必要条件.用这种方法，我们推广了Yu对量子比特所得到的结果。我们的策略是使用一些经典的数学结果的时刻问题。
Separability and the stella octangula
给出了2 × 2复合量子系统可分性的一个几何图象，给出了厄米矩阵空间中可分密度矩阵的区域。它依赖于Peres给出的可分性标准，并且它是Aravind描述的“Horodecki定理”和“Stella octangula”的扩展。
Conditional q-Entropies and Quantum Separability: A Numerical Exploration
我们重新讨论了复合量子系统的量子可分性与相对q熵的符号之间的关系。q-熵通过量omega_q = sum_i p_i^q依赖于密度矩阵特征值p_i。Renyi和Tsallis的度量构成了这些熵的特殊实例。我们进行了系统的数值调查的两个量子比特系统的混合状态的空间，以确定，作为一个函数的混合度，并为不同的值的熵参数q，体积在状态空间中所占据的那些状态的特征在于由正值的相对熵。类似的计算进行量子比特quutrit系统和复合系统所描述的希尔伯特空间的更大的维度。我们特别注意极限情况q ->无穷大。我们的数值结果表明，随着两个子系统的维数增加，复合量子系统的倾向，就其相对q熵而言，表现在一个经典的方式。
Separability and distillability in composite quantum systems -a primer-
量子力学已经有100年的历史了，但仍然充满活力，充满挑战性的开放问题。现代理论物理学的前沿问题如量子引力、弦论等，一方面涉及到量子理论，同时又涉及到现代数学的开放性问题。但是，即使在非相对论性的量子力学本身，也有一些基本的未解决的问题，可以用基本的术语来表述。这些问题也与现代数学的挑战性开放问题有关;特别是线性代数和泛函分析。本文将讨论其中两个问题：a）可分性问题，即当复合量子系统的状态不包含任何量子关联或纠缠时的问题，以及b）可分性问题，即当复合量子系统的状态可以使用局部操作（局部在此指给定系统的组成子系统）转换为纠缠纯态时的问题。尽管已经获得了关于上述问题的许多结果（特别是在最近几年中在量子信息理论的框架内），但这两个问题直到现在基本上仍然是开放的。我们将介绍有关这些问题的知识现状，并讨论这些问题与线性代数中最具挑战性的问题之一的关系：正算子映射的分类和特征。
Nonexistence of entangled continuous-variable Werner states with positive partial transpose
我们解决了一个关于纠缠连续变量（CV）Werner态存在性的公开问题。我们证明，没有这样的国家存在的所有PPT CV维尔纳状态是可分离的。可分离性如下观察到，这些CV维尔纳状态可以近似截断成一个有限维的产品状态的凸混合的状态。此外，产品状态的成分包括一个广义的非高斯测量，而令人惊讶的是，严格的上限量子不和谐比光子计数。这些结果揭示了只有负的部分转置纠缠的存在，并说明了更一般的非经典关联的复杂性，在这类典型的真正的非高斯量子态。
Distillability and PPT entanglement of low-rank quantum states
已知秩严格小于其两个约化态的最大秩的二分量子态可通过局域操作和经典通信进行量子交换。我们的第一个主要结果是，对于等级等于这一最大值的《不扩散条约》缔约国也是如此。（如果状态的密度矩阵的部分转置是半正定的，则状态是PPT，否则它是NPT。）1999年，在两个地方职级相等的特殊情况下，首次提出了这一点。我们的第二个主要结果提供了一个完整的解决方案的秩为4的二分态的可分性问题。也就是说，我们表明，这样的状态是可分的当且仅当它是PPT和它的范围包含至少一个产品状态。我们还证明了所谓的棋盘国家是可验证的，当且仅当它们是NPT。
Does Symmetry Imply PPT Property?
最近，在[1]中，作者证明了对PPT矩阵成立的许多结果对另一类在Hermitian Schmidt分解中具有某种对称性的矩阵也成立。这些矩阵在[1]中称为SPC（定义1.1）。在此之前，在[9]中，Tóth和Gühne证明了如果一个状态是对称的，那么它是PPT当且仅当它是SPC。一个很自然的问题出现了：SPC矩阵和PPT矩阵之间有什么联系？每个SPC矩阵都是PPT吗？这里我们证明了每个SPC矩阵都是$M_2\otimes M_2$中的PPT（定理4.3）。这个定理是以下事实的结果：$M_2\otimes M_m$中的每个密度矩阵，其张量秩小于或等于3，是可分的（定理3.2）。这个定理是[1]中关于$M_k\otimes M_m$中秩为2的张量矩阵的相同结果的推广。虽然，在$M_3\otimes M_3$中，存在张量秩为3的SPC矩阵，但它不是PPT（命题5.2）。我们还将提供一个$M_k\otimes M_k$中矩阵族的非平凡例子，其中SPC和PPT属性是等价的（命题6.2）。在这个族中，存在一个非平凡的子族，其中SPC性质等价于可分性（命题6.4）。
Entangled edge states of corank one with positive partial transposes
我们构造了一个参数化的家庭$n\otimes n$ PPT（积极的部分转置）状态的corank一为每个$n\ge 3$。通过适当的参数选择，我们证明了它们是$3\le n\le 1000$的corank 1的$n\otimes n$ PPT纠缠边态.它们以最极端的方式违反了可分性的范围准则。请注意，corank 1是这种状态的最小可能corank。部分转置的corank由$2n-3$给出，这也是corank 1的PPT纠缠边态的部分转置的最小可能corank。它们为$n\ge 4$提供了此类状态的第一个显式示例。
Quantum separability, time reversal and canonical decompositions
我们提出了一个基于物理原理的量子可分性的解释：局域时间反演。它立即导致了一个简单的表征可分离的量子态，再现结果已知持有的二元复合系统，从而是完整的低维。然后，我们描述了一个建设性的算法，找到规范分解的可分离和不可分离的混合状态的尺寸2x2和2x3。
Separable approximations of density matrices of composite quantum systems
本文研究了任意维MxN的二分量子系统A和B的态ρ的最佳可分近似（分解）。Lewenstein和A. Sanpera，Phys. Rev. Lett. 80，2261（1998）]。这样的近似允许以最佳的方式将任何密度算符表示为可分离态和某种形式的纠缠态的总和。对于两个量子比特系统（M=N=2），最佳可分近似具有可分态和投影到纯纠缠态的混合形式。给出了最佳可分近似下纯态不是最大纠缠态的必要条件。我们证明了在任意维的最佳可分近似下，纠缠态的权重提供了一个很好的纠缠度量。我们证明了在一般情况下，任意M和N的最佳可分近似对应于一个混合的可分和纠缠态都是唯一的。我们还开发了一个理论的最佳可分离近似的状态与正部分转置（PPT状态）。这种近似允许将具有正部分转置的任何密度算子分解为可分离状态和纠缠PPT状态的总和。我们讨论的过程中建设这样的分解。
What is "system" : the arguments from the decoherence theory
在退相干理论中，我们研究了“系统加环境”的复合系统的相互作用哈密顿量的可分性（非相关基对角化）条件的物理背景。证明了可分性条件可以作为定义“系统”的一个标准，但“系统”必须与其“环境”同时定义才能被定义。当推广到一组相互作用的组合系统时，这一结果意味着局部相互作用的可分性条件是相互联系的。通过研究哈密顿量的可分性来定义“系统”（和“环境”）的任务是退相干理论的一种逆任务。给出了一个完成任务的简单例子。
On the generation of random ensembles of qubits and qutrits Computing separability probabilities for fixed rank states
针对有限维复合量子系统概率特性的计算，讨论了随机混合态的产生问题。特别地，我们考虑量子比特和量子数对的随机Hilbert-Schmidt和Bures系综的生成，并计算相应的概率，以找到一个可分离的状态之间的固定秩的状态。
Entanglement in cyclic sign invariant quantum states
研究了循环符号不变量子态的纠缠特性，展示了其在不同维度下的分离性和PPT性质，构建了新的纠缠见证并推广了相关理论。
Entangled symmetric states of N qubits with all positive partial transpositions
从理论和实验的观点来看，对称态构成了一类重要的多体态。然而，这些态的纠缠特性，特别是正部分转置态（PPT）的纠缠特性还缺乏系统的研究。为了填补这一空白，我们最近肯定地回答了存在具有正部分转置的四量子比特纠缠对称态的公开问题，并彻底表征了这种态的纠缠特性[J. Tura et al.，A 85，060302（R）（2012）]利用本贡献，我们继续表征PPT纠缠对称态。一方面，我们详细介绍了我们以前工作的所有结果。另一方面，我们将它们推广到由任意数量的量子比特组成的系统。特别是，我们提供了这些国家制定的职级方面的可分性的标准。有趣的是，在大多数情况下，对称态要么是可分的，要么是典型可分的。然后，在这些系统中的边缘状态进行了研究，特别是显示，一般的PPT纠缠态的特征与四个和五个量子比特，这是足够的，只研究那些假设很少（分别为两个和三个）的具体配置的行列。最后，我们数值搜索极端的PPT纠缠态在这样的系统组成的多达23个量子比特。人们可以清楚地注意到这种极端状态的秩背后的规律性，特别是对于由奇数个量子比特组成的系统，我们发现存在极端状态的秩的单一配置。
On the separability of unitarily invariant random quantum states - the unbalanced regime
我们研究了随机量子态的纠缠相关性质，这些量子态是么正不变的，在这个意义上，它们的分布通过与任意么正算符共轭而保持不变。在大的矩阵尺寸限制下，这些随机量子态的分布由它们的极限谱来表征，这是一个紧支撑的概率分布。我们证明了在两个子系统中的一个是固定的，而另一个是增长的非平衡渐近状态下，随机二体幺正不变量子态的纠缠和PPT性质的几个结果.
Separable and entangled states of composite quantum systems; Rigorous description
本文给出了量子力学中可分态的一般描述。特别是，我们的结果给出了一个简单的证明，即不可分离性（或纠缠）是一个纯粹的量子（非交换）概念。这意味着分离性和不可分离性之间的区别只对由纯量子子系统组成的复合系统有意义。此外，我们还给出了纯态纠缠和混合态纠缠的统一刻画。
Separability of Graph Laplacian Quantum States: Utilizing Unitary Operators, Neighbourhood Sets and Equivalence Relation
本文研究了图拉普拉斯量子态的纠缠与可分性，提出通过结合酉算子、邻域集与等价关系来判定复合 Hilbert 空间内 $n$ 量子比特态可分性的准则。
Some Features of the Conditional $q$-Entropies of Composite Quantum Systems
复合量子系统中条件$q$ -熵的研究最近已成为人们相当感兴趣的焦点，特别是与可分性问题有关的研究。$q$ -熵通过量$ω_q = Trρ^q$依赖于密度矩阵$ρ$，并且在极限情况$q\to 1$中承认标准冯诺伊曼熵作为特定实例。一个全面的数值调查的纯态和混合态的二分系统的空间在这里进行，以确定在状态空间中所占的体积，这些状态表现出各种特殊的属性相关的符号，他们的条件$q$ -熵和他们的连接与其他分离性相关的功能，包括优势化条件。考虑熵参数$q$的不同值，以及与构成子系统相关联的希尔伯特空间的维度$N_1$和$N_2$的不同值。特别强调的是支付的单调性属性的分析，作为一个函数的$q$和作为一个函数的$N_1$和$N_2$，考虑的各种熵泛函。
Geometrical aspects of entanglement
我们研究纠缠的几何方面，与希尔伯特-施密特范数定义的度量上的密度矩阵。我们首先集中在两个两级系统的最简单的情况下，并表明，一个“相对论”的制定导致一个完整的分析问题的可分性。我们的方法是基于施密特分解的密度矩阵的复合系统和非酉变换的标准形式。密度矩阵的正性对于该方法的工作是至关重要的。类似的方法在更高的维度上也有一定的作用，但功能不太强大。我们进一步提出了一种数值方法来检验可分性，并通过两个三能级系统的复合系统中束缚纠缠的数值研究来说明这种方法。
Entanglement properties of composite quantum systems
本文综述了我们在复合量子系统纠缠特性方面的工作。纠缠的表征，即判断一个给定的量子态是否与其他量子态纠缠以及纠缠程度的可能性，仍然是量子信息理论中最基本的开放问题之一。我们讨论了我们最近的结果有关的问题的可区分粒子的可分性和可分性，采用见证算子的工具。最后，我们还陈述了关于不可分辨粒子的量子关联的结果。
Family of bound entangled states on the boundary of Peres set
束缚纠缠态是一种奇异的纠缠态，它需要非零的自由纠缠才能产生，但在局域操作和经典通信中却不能提取出自由纠缠。尽管这种状态在一些信息处理任务中已经显示出有用性，但对于任意的复合量子系统，还没有简单的方法来表征它们。在这里，我们提出了一个$(d-3)/2$参数家庭的BE状态，每个正部分转置（PPT）。通过在具有$d$奇数和$d\ge 5$的$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$中构造不可扩展的乘积基（UPB）来引入该PPT-BE态族。每个这样的PPT-BE状态的范围包含在$2(d-1)$维纠缠子空间中，而相关联的UPB子空间具有维度$(d-1)^2+1$。我们进一步表明，这些PPT-BE状态中的每一个可以被写为$(d-1)/2$数量的秩为4的PPT-BE状态的凸组合。此外，我们还证明了这些秩为4的PPT-BE态是$\mathbb{C}^d\otimes\mathbb{C}^d$中所有PPT态的凸紧集$\mathcal{P}$的极值点，即{ \it Peres}集.我们的结果的一个有趣的几何含义是，这些秩为4的PPT-BE极值点的凸包-$(d-3)/2$ -单纯形-位于集合$\mathcal{P}$和非PPT状态集合之间的边界上。我们还讨论了我们的建设的背景下的量子态歧视LOCC的后果。
Assisted state discrimination without entanglement
结果表明，最优态鉴别需要一种与可分态量子不和谐等价的量子关联，即不和谐。我们发现，在辅助态鉴别的最优过程中，只需要一方的不协调，而另一方的不协调和纠缠是不必要的。我们证实，量子不和谐，这是不对称的依赖于本地测量，是一个资源，辅助状态歧视。在不考虑纠缠的情况下，给出了一类$d$非正交态在辅助态鉴别中单边不协调消失的充要条件。作为一个副产品，我们发现，正部分转置（PPT）条件是一类$2\times d$状态的可分离性的必要和充分条件。
From the sandwiched quantum relative Tsallis entropy to its conditional form: Separability criterion beyond local and global spectra
当两个密度矩阵不对易时，推广了两个密度矩阵的量子相对Renyi熵，并由此确定了一个条件熵.这是在这里扩展到相应的Tsallis相对熵和它的条件形式。这种新的Tsallis条件熵的表达式证明了纠缠超越了基于复合量子态的全局和局域谱的方法。当约化的密度矩阵恰好是最大混合态时，该条件熵与Abe和Rajagopal（Physica A 289，157（2001））早先导出的Tsallis熵的表达式一致。本文研究了单参数W态族和GHZ态族在3和4量子比特下的可分性范围，结果表明，在其中一个分区中，由负Tsallis条件熵得到的结果与由Peres部分转置准则得到的结果是一致的.该标准被证明是非频谱通过其实用性，在确定纠缠等谱密度矩阵。
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