Quantum error-correction codes on Abelian groups
Massoud Amini
我们证明了有限交换群上量子傅里叶变换的比特翻转公式的一般形式，并利用它对这些群上的一些一般CSS码进行编码。
We prove a general form of bit flip formula for the quantum Fourier transform on finite abelian groups and use it to encode some general CSS codes on these groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Active error correction for Abelian and non-Abelian anyons
我们考虑一类解码算法，适用于阿贝尔和非阿贝尔任意子的纠错。这个类包括最近引起关注的多个算法，包括Bravyi-Haah RG解码器。它们被应用到两个问题的Single Shot错误校正（完美的综合征测量）和主动错误校正（嘈杂的综合征测量）。对于阿贝尔模型，我们提供了一个阈值证明在这两种情况下，显示有一个有限的噪声阈值下，错误可以任意抑制时，在这个类中的任何解码器被使用。对于非阿贝尔模型，这样的证明被发现为Single Shot的情况。本文详细研究了非阿贝尔任意子主动纠错译码的方法。与阿贝尔的情况下的差异进行了讨论。
Fault-Tolerant Quantum Error Correction for non-Abelian Anyons
虽然拓扑量子计算在零温度下本质上是容错的，但它在任何有限温度下都失去了拓扑保护。我们提出了一个计划，以保护存储在系统中的信息支持非循环任意子对热和测量误差。校正程序建立在Gács [Gacs 1986]和Harrington [Harrington 2004]的工作基础上，并作为局部元胞自动机运行。与以前研究的方案相比，我们的方案对阿贝尔和非阿贝尔任意子都有效，并考虑了测量误差。我们解析地证明了一类非阿贝尔任意子模型的容错阈值的存在性，并对Ising任意子模型的具体例子进行了数值模拟。我们的模拟结果与$10^{-4}$和$10^{-3}$之间的阈值一致。
Improved HDRG decoders for qudit and non-Abelian quantum error correction
硬判决重整化群（HDRG）译码器是一类重要的拓扑量子纠错译码算法。由于它们的通用性，它们已被用于解码系统的分形逻辑算子，颜色码，量子拓扑码，和非阿贝尔系统。在这项工作中，我们开发了一种方法，执行HDRG解码，结合现有的解码器的优势，并进一步改善他们。特别是，我们增加了一个逻辑错误所需的最小数量的错误在一个系统中的线性大小$L$从$Θ(L^{2/3})$到$Ω(L^{1-ε})$的任何$ε>0$。我们应用我们的算法解码$D(\mathbb{Z}_d)$量子双模型和非阿贝尔任意子模型与Fibonacci类融合规则，并表明它确实显着优于以前的HDRG解码器。此外，我们提供了第一个研究连续误差校正与不完美的伴随式测量的$D(\mathbb{Z}_d)$量子双模型。我们的算法的并行运行时间是$\text{poly}(\log L)$完美的测量情况。在连续的情况下，不完美的伴随式测量，平均运行时间是$O(1)$的阿贝尔系统，而连续的错误校正非阿贝尔任意子仍然是一个开放的问题。
Abelian and non-abelian quantum two-block codes
本文研究由可交换方阵构造的量子双块CSS码，提出了广义自行车码和双块群代数码的构造方法，给出了基于群类型的码维数表达式与非阿贝尔判据，并推导了适用于超图乘积码的距离下界。
Quantum stabilizer codes from Abelian and non-Abelian groups association schemes
给出了一种构造二进制量子稳定子码的新方法，该方法基于阿贝尔群和非阿贝尔群结合方案。利用U6n、T4n、V8n和二面体D2n群的正则表示的基构造了基于非Abel群的结合方案。通过使用阿贝尔群关联方案，然后是循环群和非阿贝尔群关联方案，在表4、5和10中给出了高达40个量子比特的二进制稳定器码的列表。此外，还提出了几种具有良好量子参数的距离为5和7的二元稳定子码。这种方法特别适用于阿贝尔群结合方案，其优点是可以利用结合方案的交换结构构造任意距离的二进制量子稳定子码
Generalized Color Codes Supporting Non-Abelian Anyons
我们提出了一种基于有限群的颜色码的推广$G$。对于非阿贝尔群，所得到的模型支持非阿贝尔任意子准粒子和拓扑序。我们研究了这些模型的性质，例如它们与Kitaev量子双模型、准粒子谱和边界结构的关系。
Non-Abelian statistics with mixed-boundary punctures on the toric code
复曲面码是一个简单且精确可解的拓扑序实现阿贝尔任意子的例子。然而，它被证明支持非局部晶格缺陷，即扭曲，表现出非阿贝尔的任何离子行为[1]。受此结果的启发，我们研究了在复曲面代码上具有来自穿孔缺陷的非阿贝尔统计的潜力。我们证明了一个编码与混合边界穿刺再现伊辛融合，和一个逻辑泡利- $X$后，他们的编织。我们的构造为局部晶格缺陷展现出可用于量子信息任务的非阿贝尔性质铺平了道路。
Lifted surgery for non-Abelian two-block group-algebra codes
该研究将提升手术扩展到非阿贝尔双块群代数码，证明非交换性带来的测量增益至多为最大阿贝尔子群指数，并找到增益为2和3的码，在电路模拟中非阿贝尔装置更可靠且轮数更少。
Fault-tolerant error correction for a universal non-Abelian topological quantum computer at finite temperature
我们研究容错错误校正的量子存储器构造为一个二维模型的斐波那契任意子在环面上，在存在的热噪声表示的对创建过程和测量误差。校正过程基于源自Gács和Harrington的作品的元胞自动机解码器。通过数值模拟，我们观察到，这个代码的行为容错和阈值行为可能存在。因此，我们提供了强有力的证据，容错通用非阿贝尔拓扑量子计算机的存在。
A Gauge-Covariant Theoretical Framework for Non-Abelian Holonomy Estimation and Feed-Forward Correction in Time-Bin Photonic Qudits
针对时间箱光子qudit处理中非阿贝尔几何畸变，提出基于Wilczek-Zee完整性的规范协变估计和前馈修正框架，推广了阿贝尔标量相位方法到矩阵值情形。
Continuous error correction for Ising anyons
拓扑量子计算中的量子门是通过编织非阿贝尔任意子来实现的。这些编织过程可能以非常低的错误率进行。然而，要使拓扑量子计算架构真正可扩展，即使是罕见的错误也需要纠正。对非阿贝尔任意子的纠错是复杂的，因为它需要在连续的基础上进行，并且在我们纠正现有错误的同时可能会出现更多的错误。在这里，我们提供了这个问题的第一个研究，并证明其可行性，建立非阿贝尔任意子作为一个可行的平台，可扩展的量子计算。因此，我们专注于伊辛任意子作为最突出的例子，非阿贝尔任意子，并表明，对于这些有限的错误率确实可以不断纠正。存在阈值错误率$p_c>0$，使得对于所有错误率$p<p_c$，可以使每个时间步长的逻辑错误的概率在逻辑量子比特的距离上呈指数地小。
Abelian multi-cycle codes for single-shot error correction
本文提出了一种量子低密度奇偶校验码，局部等价于高维量子超图积码，通过高冗余低权重稳定器生成器提高容错解码精度，并具有单次错误校正特性。
Non-Abelian linear Boltzmann equation and quantum correction to Kramers and Smoluchowski equation
提出了一个量子线性玻尔兹曼方程，该方程是根据与测试粒子相互作用的宏观系统的算符值动力学结构因子构造的。由于这种算子结构，它是一个非阿贝尔线性玻尔兹曼方程，当通过维格纳函数表示时，它允许与经典方程进行直接比较。考虑布朗粒子，在能量和动量转移小的情况下，用最直接的方法得到了相应的Fokker-Planck方程。一个典型的量子校正的Kramers方程，从而出现，描述扩散的位置，并进一步意味着纠正爱因斯坦的扩散系数在高温和摩擦极限，其中Smoluchowski方程出现。
Parafermions in a Kagome lattice of qubits for topological quantum computation
用简单的物理系统设计复杂的非阿贝尔任意子模型对于拓扑量子计算至关重要。不幸的是，最简单的系统通常仅限于马约拉纳零模（伊辛任意子）。在这里，我们超越了这个障碍，表明非阿贝尔任意子的$\mathbb{Z}_4$ parafermion模型可以在量子比特晶格上实现。我们的系统还包含阿贝尔$D(\mathbb{Z}_4)$任意子作为低能激发。我们发现，编织这些parafermion与对方和与$D(\mathbb{Z}_4)$任意子允许整个$d=4$克利福德群生成。还详细研究了模型的纠错问题，保证了拓扑运算的容错性。重要的是，由于非阿贝尔任意子是通过缺陷线而不是作为激发来设计的，因此不需要非阿贝尔纠错。相反，纠错问题是在底层阿贝尔模型上执行的，允许实现高噪声阈值。
Nonstabilizer Quantum Codes from Abelian Subgroups of the Error Group
本文的动机是计算机生成的非加性（（5，6，2））码在一篇文章中描述的Rains，Hardin，Shor和Sloane。我们描述了一个理论的非稳定器代码的非添加剂的代码的Rains等人是一个例子。此外，我们给出了从好稳定子码构造好非稳定子码的一般策略，并给出了一些显式构造和渐近好非稳定子码。实际上，我们在所有有限域上构造了一类距离为2的非稳定子码，其中（（5，6，2））是一类特例.更有趣的是，使用我们的理论，我们还能够明确地构造距离为3的非稳定器量子码的例子。就像稳定器码的情况一样，我们可以设计相当有效的编码和解码过程。
Fault-Tolerant Renormalization Group Decoder for Abelian Topological Codes
我们提出了一个三维推广的重整化群解码算法的拓扑码与阿贝尔任意子激发，我们以前介绍了二维。这种3D实现方式通过结合校正子测量的失败概率来扩展我们先前的2D算法，即，它允许容错解码。我们报告了一个容错存储阈值为1.9（4）%的Kitaev的复曲面代码受到3D位翻转通道（即，包括不完美的综合征测量）。将该数字与通过完美匹配获得的2.9%值进行比较。3D泛化继承了2D算法的许多特性，包括在存储器的空间-时间体积中的线性复杂度，其可以被并行化为对数时间。
Demonstrating non-Abelian braiding of surface code defects in a five qubit experiment
目前，量子计算的主流方法是通过表面码。一种存储和操纵量子信息的方法是在代码中创建缺陷，这些代码可以像粒子一样移动和使用。具体来说，他们模拟了被称为Majoranas的奇异粒子的行为，这是一种非阿贝尔任意子。通过交换这些粒子，可以实现量子计算的重要门。在这里，我们研究了两个表面码Majoranas的最简单的可能的交换操作。这被发现只对五个量子比特起作用。然后，系统被截断为这五个量子位，以便交换过程可以在IBM 5Q处理器上运行。结果显示了预期的交换效果。这篇论文的写作风格应该是专业和业余科学家都能理解的。
Self correction requires Energy Barrier for Abelian quantum doubles
本文严格地建立了基于任意阿贝尔群$\mathbb{Z}_d$的量子偶的混合时间的阿克里乌斯定律。我们已经在数学上很好地定义了能量势垒的概念，它与环境必须向系统提供的最小能量成本有关，以便产生广义泡利误差，对于任何广义泡利误差都是最大化的，而不仅仅是逻辑运算符。我们在阿贝尔量子双模型中计算了这个广义能垒，发现它是一个与系统大小无关的常数。因此，我们排除了熵保护这一广泛的模型组的可能性。
Clifford circuits over non-cyclic abelian groups
本文研究非循环有限阿贝尔群上的广义Clifford群，证明其线路可被高效经典模拟，并给出基于局部双qudit Clifford门与魔态的通用量子计算线路构造。
Floquet Abelian Multicycle Codes
该研究提出Floquet AMC码，构造AMC4实例得到特定参数的Floquet存储器，在EM3噪声模型下测得伪阈值约1.2%，实现了高维同调冗余的紧凑仅测量量子码。
Decoding non-Abelian topological quantum memories
使用非阿贝尔任意子进行量子计算的可能性已经被考虑了十多年。然而，如何获得和处理关于发生了哪些错误的信息以消除其影响的问题尚未得到考虑。这与阿贝尔任意子的量子计算方案形成鲜明对比，阿贝尔任意子的解码算法已经为许多拓扑纠错码和错误模型量身定制。在这里，我们解决这个问题，考虑一般的非阿贝尔纠错的属性。我们还选择了一个特定的任意子模型和误差模型来更详细地探讨这个问题。任意子模型是$D(S_3)$的电荷子模型。这与斐波那契任意子等重要模型共享许多属性，使我们的方法普遍适用。错误模型是一个简单的推广的情况下，阿贝尔任意子的错误校正方法的初始基准。结果发现，误差校正是可能的下的阈值为$7 \%$的总概率的错误在每个物理自旋。这与阿贝尔模型的阈值非常相似。
Fault-tolerant mixed boundary punctures on the toric code
本文证明环面码混合边界穿刺模型在反对称子空间中同样支持非阿贝尔统计，并验证其在两个子空间中均具有抵抗集体退相位和集体旋转噪声的容错能力，同时提出并验证了一种三体量子信息掩蔽方案。
Nested Quantum Error Correction Codes
量子纠错理论是十多年前建立的，作为对抗量子信息处理中退相干的主要工具。虽然量子纠错码的研究已经取得了很大的进展，但是从旧码构造新的量子纠错码的方法还很有限。在这里，我们展示了一个简单而通用的方法来构造新的量子纠错码嵌套在一起的量子码。将寻找长量子纠错码的问题归结为寻找几个具有一定性质的短量子码的问题。我们的方法适用于所有长度和所有距离的代码，是相当有效的构造最佳或接近最佳的代码。在量子纠错理论中，由旧码构造新码的两种主要方法是级联和粘贴，这两种方法可以在嵌套量子纠错码的框架下理解。
Non-Abelian Quantum Low-Density Parity Check Codes and Non-Clifford Operations from Gauging Logical Gates via Measurements
本文提出通过测量和反馈校准逻辑门来构造非阿贝尔qLDPC码的方法，并展示了该方法可用于实现非Clifford操作。
Non-Clifford gates between stabilizer codes via non-Abelian topological order
本研究提出通过非阿贝尔拓扑有序作为中间步骤，实现稳定子码间非克利福德逻辑门的协议，并具体展示了利用S_3量子双体生成受控电荷共轭门的方法，为分类非阿贝尔量子相的计算能力奠定基础。
Universal quantum computation in the surface code using non-Abelian islands
表面码是目前提出的用于执行量子纠错的主要方法。然而，尽管它有许多优点，它没有本地的方法来容错应用非Clifford门。因此，需要额外的技术来实现通用的量子计算。在这里，我们提出了一个混合方案，它使用的一个量子点的变体的表面码的小岛，以提高标准表面码的计算能力。这使得前者中的非阿贝尔任意子的非平凡作用能够处理存储在后者中的信息。具体来说，我们表明，可以准备一个非稳定剂状态，这使得普遍性得以实现。
Quantum loop models and the non-abelian toric code
我定义的量子回路模型的自由度是伊辛自旋的正方形晶格中的复曲面代码，但在那里的激发应该有非阿贝尔统计。内积是拓扑的，允许在晶格上直接实现任意子融合矩阵。它还使得在基态中，对于每个环$d$的各种权重值，去精细化任意子成为可能。对于d= \sqrt{2}，只有四自旋相互作用时才能出现带隙的非阿贝尔拓扑相。
Mixed-state topological order and error-correction thresholds in non-Abelian codes: rigorous results
研究非阿贝尔码受噪声影响时的恢复阈值，提出通用严格技术，可捕捉二维码受任意局部噪声影响，证明一定噪声强度下逻辑信息可高精度恢复，噪声破坏态有混合态拓扑序特征，还介绍了方法在高维及相关噪声模型的应用。
Homological codes and abelian anyons
我们研究了Kitaev的阿贝尔复曲面码模型定义在CW复形上的推广。在该模型中，qudits被附加到$n$维单元，并且相互作用由广义星和元胞算子给出。这些定义的coboundary和边界映射的局部有限细胞cochain复杂和细胞链复杂。我们发现，挫折自由基态的设置和某些本地化激发所携带的电荷的类型只依赖于适当的同伦类型的CW复杂。作为一个应用程序，我们表明，同调产品的CSS代码与无限环面代码的激发阿贝尔任意统计。
Pauli topological subsystem codes from Abelian anyon theories
本文构造了由任意二维阿贝尔任意子理论刻画的Pauli拓扑子系统码，通过“规范掉”拓扑稳定子码中的任意子类型实现，扩展了分类至复合维度量子比特，并证明每个阿贝尔任意子理论都是环面码和扭曲量子双模的子理论。
Complex abelian varieties and quantum error correction: a mathematical framework for GKP codes
本文通过复阿贝尔簇的几何研究GKP量子纠错码，建立其与阿贝尔簇理论的精确对应关系，并证明编码渐近等距、逻辑Clifford门由高斯幺正实现等关键结果。
Graph gauge theory of mobile non-Abelian anyons in a qubit stabilizer code
本文将表面码推广到含2、3、4度顶点的一般图，借助双涌现规范场与Kasteleyn定向建立移动非阿贝尔任意子的图规范理论，并给出编织、操控、读出及实验验证协议。
Non-abelian statistics from an abelian model
众所周知，阿贝尔$Z_2$任意子模型（复曲面码）可以在高度纠缠的二维自旋晶格上实现，其中任意子是位于泡利算子的弦状级联端点处的准粒子。在这里，我们表明，相同的纠缠态的相同的晶格能够支持非阿贝尔伊辛模型，其中的级联运营商的克利福德群的元素。伊辛任意子被证明是本质上的阿贝尔复曲面代码任意子的叠加，再现所需的融合，编织和统计特性。我们提出了一个字符串框架和辅助量子比特来实现这个模型的非平凡的手征。
Non-Abelian sheaf quantum LDPC codes: good and magical
本文通过杯积规范层丛码，构建了具有恒定编码率和线性距离的非阿贝尔qLDPC码族，并证明其码空间具有长程魔幻性，为超越Pauli稳定子的量子纠错码奠定基础。
Integer Linear Programming Decoder for Abelian and Non-Abelian Topological Codes
该研究针对任意拓扑序，提出基于整数线性规划的译码器，其在三类拓扑序的纠错任务中性能优于多数现有译码器，可应用于容错量子计算。
Quantum two-block group algebra codes
本文提出了量子双块群代数（2BGA）码，通过建立置换等价准则和参数界限，枚举了稳定子生成元权重W≤8的最优参数，揭示了其作为最小提升积码家族的优越性。
Exact Recovery for Non-Abelian Surface Codes
本文针对任意有限群的非阿贝尔曲面码，通过规范固定构造正交错误基，并设计电荷与通量转移电路，实现精确且确定性的错误恢复协议。
Hybrid Lattice Surgery: Non-Clifford Gates via Non-Abelian Surface Codes
本文提出通过混合晶格手术在标准表面码中实现非Clifford门和魔法态的方法，并扩展至更高层级的Clifford层级及超限门。
Low-overhead non-Clifford fault-tolerant circuits for all non-chiral abelian topological phases
本文提出基于1-形式对称不动点电路的低开销非克利福德容错电路，实现所有非手性阿贝尔拓扑相，并证明其在任意局域噪声下的容错性。
Non-Abelian Self-Correcting Quantum Memory and Transversal Non-Clifford Gate beyond the $n^{1/3}$ Distance Barrier
本研究提出了一种非阿贝尔自纠正量子记忆，通过非泡利稳定器码和高维杯积实现超越传统距离障碍的拓扑量子计算
Generating logical magic states with the aid of non-Abelian topological order
提出一种结合魔态制备与码变换的新协议，通过 $\mathbb{Z}_4$ 表面码经由非阿贝尔 $D_4$ 量子双模型等拓扑码变换，在 $\mathbb{Z}_2$ 表面码中生成魔态以实现容错逻辑非Clifford操作。
Topological Order with a Twist: Ising Anyons from an Abelian Model
任意子模型在其拓扑荷的某些排列下可以是对称的。然后，我们可以设想拓扑缺陷，在单值性下，根据对称性变换任意子。我们研究了实现这样的缺陷的环面代码模型，表明缺陷编织和融合的过程中有相同的结果，如果他们是伊辛任意子。这些思想也可以应用在拓扑码的上下文中。
Non-Abelian qLDPC: TQFT Formalism, Addressable Gauging Measurement and Application to Magic State Fountain on 2D Product Codes
本研究通过非阿贝尔qLDPC码和TQFT形式化，实现了常速率二维积码中非克莱因逻辑门的原生操作，并应用于魔态喷泉方案中。
Constant-Depth Clifford-Hierarchy Gates via Non-Abelian Surface Codes
本文利用非阿贝尔表面码在二维空间中实现了任意Clifford层级的恒定深度拓扑保护相位门，通过非阿贝尔群G的量子双体编码逻辑量子比特，并构造了基于对称保护拓扑相的恒定深度电路。
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