Fractional Fokker-Planck Equation for Fractal Media
我们考虑定义介质质量的方程的分数推广。我们证明了分数阶积分可以用来描述非整数质量维数的介质。利用分数阶积分，我们得到了Chapman-Kolmogorov方程（Smolukhovski方程）的分数阶推广。本文从分数阶Chapman-Kolmogorov方程出发，导出了分形介质的分数阶Fokker-Planck方程。使用傅里叶变换，我们得到具有分数坐标导数的福克-普朗克-扎斯拉夫斯基方程。分形介质的Fokker-Planck方程是对偶空间中的分数阶导数方程。
2006-02-14 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.MP
Fractional Hydrodynamic Equations for Fractal Media
我们使用分数阶积分来描述分形介质中的动力学过程。我们考虑分形介质的“分数”连续介质模型，并推导出质量密度、动量密度和内能平衡方程的分数推广。考虑了Navier-Stokes方程和Euler方程的分数阶推广。导出了分形介质的平衡方程。考虑了分数阶连续介质模型中的声波。
2006-02-14 astro-ph cond-mat.mtrl-sci math-ph
Calculus on fractal subsets of real line - I: formulation
提出了一种基于实数线分形子集的新微积分。定义了一个$α, 0 < α\leq 1$阶积分，称为$F^α$ -积分，它适用于对维数为$α$的具有分形支集$F$的函数进行积分.进一步定义了一个阶为$α, 0 < α\leq 1$的导数，称为$F^α$ -导数，它使我们能够区分像康托阶梯那样只在分形集上“变化”的函数.与经典的分数阶导数不同，$F^α$ -导数是局部的。$F^α$ -演算保留了普通演算的许多简单性。证明了几个结果，包括微积分基本定理的类似物。积分阶梯函数，这是一个概括的功能，如康托阶梯函数，起着关键作用，在此制定。此外，它产生了一个新的定义的维度，$γ$ -维。$F^α$ -微分方程是包含$F^α$ -导数的方程。它们可以用来模拟次线性动力系统和分形时间过程，因为次线性行为与自然出现的阶梯状函数相关联。作为例子，我们讨论了一个分形时间扩散方程，以及在分形介质中受摩擦的粒子的一维运动。
2003-10-23 math-ph math.MP
Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media
从分形介质的变分欧拉-拉格朗日方程出发，导出了分数阶广义的Ginzburg-Landau方程。为了描述分形介质，我们使用分数阶积分作为分形积分的近似。考虑了分形介质中Ginzburg-Landau方程的一些简单解，给出了分数阶Ginzburg-Landau方程或含分数阶导数的非线性Schrodinger方程的不同形式.应用了Agrawal变分原理及其推广。
2005-11-16 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.other cond-mat.stat-mech
Fractal derivatives, fractional derivatives and $q$-deformed calculus
该研究分析分形导数与分数阶导数的异同，区分两类分形导数形式，证明q微积分导数、Caputo导数分别对应分形导数的连续近似，为分形系统相关研究提供理论参考。
2023-11-07 hep-ph math-ph math.MP
Calculus on Fractal Curves in R^n
本文提出了一种新的分形曲线（如冯·科赫曲线）的计算方法.定义了沿分形曲线F的类黎曼积分，称为F-α-积分，其中α是F的维数。还定义了沿分形曲线的导数，称为F-α-导数。质量函数是曲线上的一个类似测量的算法量，在公式中起着核心作用。提出了一种计算质量函数的合适算法，以强调算法方面。这种微积分的几个方面保留了普通微积分的许多简单性。我们建立了一个共轭之间的这种微积分和普通微积分的实数线。证明了F-α-积分和F-α-导数分别与黎曼积分和普通导数共轭。事实上，它们可以用普通微积分和共轭中的相应算子来计算。在F上构造了Sobolev空间，推广了F-α-可微性.最后，我们通过一个沿分形路径吸收的例子来说明该框架在模型制作中的实用性。
2010-04-06 math-ph math.MP
ABC of multi-fractal spacetimes and fractional sea turtles
我们阐明了在量子引力中具有时空分形几何意味着什么，并表明它的性质不同于通常的分形。给出了多尺度和多重分形时空的一个弱定义和一个强定义，并对引力的多尺度理论进行了概述。然后，在分数阶理论与$q$ -衍生物的背景下，我们探讨生活在多重分形时空的后果。为了说明非相对论性物体的行为，我们举一个有趣的海龟的例子。我们发现，当只有时间方向是分形的，海龟以更快的速度比在一个正常的世界，而他们以较慢的速度游泳，如果只有空间方向是分形的。后一种几何类型是量子引力中最常见的几何类型。对于类时间分形，相对论性物体可以超过光速，但只有当它们的尺寸小于粒子物理相互作用的范围时，才能强烈地超过光速。我们还发现了新的结果对数振荡措施，措施介绍和他们的作用，在物理观测和未来的扩展无处可微的随机时空。
2016-04-06 hep-th math-ph math.MP
Generalized Local Fractional Taylor's Formula with Local Fractional Derivative
基于局部分数阶微积分，提出了一个含局部分数阶导数的广义局部泰勒公式。从分形几何的观点出发，局部分数次积分和导数理论已处理了分形和连续不可微函数，并已成功地应用于工程问题。给出了广义局部分数阶Taylor公式的证明，并讨论了广义局部分数阶Taylor公式在广义局部分数阶级数和函数逼近中的应用。最后讨论了Mittag-Leffler型函数的局部分数阶Taylor级数。
2012-06-28 math-ph math.MP
Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Order
本文是作者最近发表的论文（Journal of数学物理55（2014）083519）的延续，其中导出了与作为时间导数的Caputo导数和作为空间导数的Riesz-Feller导数相关联的分布阶统一反应扩散方程的计算解。研究了以分数阶广义Riemann-Liouville导数为时间导数，Riesz-Feller导数为空间导数的分布阶分数阶反应扩散方程的可计算解.本文给出了分数阶反应扩散方程的解。推导解所遵循的方法是联合拉普拉斯变换和傅里叶变换。所得到的解是一个封闭的和可计算的形式在熟悉的广义Mittag-Leffler函数。它们提供了优雅的文献中给出的结果的扩展。
2015-02-21 math-ph math.MP
Variational Approach for Fractional Partial Differential Equations
分数阶变分方法近年来得到了广泛的关注。著名的分数阶导数有Caputo导数、Riesz导数和Riemann-Liouville导数。提出了几种形式的分数阶变分原理。然而，由于分数阶变分导数的定义不仅包含左分数阶导数，而且还包含右分数阶导数，使得现有的分数阶变分理论很难应用于分数阶微分模型。利用一种修正的Riemann-Liouville导数，给出了分数阶变分导数的新定义，并建立了分数阶偏微分方程的分数阶Euler-Lagrange原理.
2010-06-25 math-ph math.MP
Superconducting diode effect in fractal superconductors: fractional-order Ginzburg-Landau theory for Josephson junctions
Istituto di Struttura della Materia of the National Research Council（国家研究委员会结构材料研究所）；Ankara University（安卡拉大学）；Institute of Physics, H.Cavid 33（H.卡维德物理研究所）；Khazar University（哈扎尔大学）
本文提出了一种分数阶吉辛格-兰道理论，用于研究分形超导体中非互易超导传输和二极管效应，通过调节分数阶和寿命奇点强度实现接近完美的超导二极管。
2026-01-05 cond-mat.mes-hall cond-mat.supr-con math-ph
Fractional Trigonometric Functions in Complex-valued Space: Applications of Complex Number to Local Fractional Calculus of Complex Function
本文介绍了复值空间中的分数阶三角函数，并给出了分形空间中复值函数的局部分数阶微积分的一个概要。
2011-06-14 math-ph math.MP
Continuous Medium Model for Fractal Media
我们考虑使用分数阶积分的分形介质的描述。我们推导出定义介质质量的方程的分数推广。我们证明了分数阶积分可以用来描述非整数质量维数的介质。研究了分数阶连续性连续性方程。
2005-06-06 cond-mat.dis-nn cond-mat.mtrl-sci math-ph
Liouville and Bogoliubov Equations with Fractional Derivatives
导出了具有非整数阶导数的Liouville方程、第一Bogoliubov族和Vlasov方程。利用分数阶体积元中的概率守恒，得到了含分数阶导数的刘维尔方程。该方程被用来获得Bogoliubov族和分数阶导数的分数动力学方程。讨论了Hamilton系统分数阶推广的统计力学。考虑了带电粒子系统的分数阶动力学方程。
2007-11-06 math-ph math.MP
The Hausdorff dimension of fractal sets and fractional quantum Hall effect
我们认为Farey系列的有理数{ \it分形集}标记的Hausdorff维数的值定义在区间1 $ $ $ < $ $ $ $h$ $ $ $ <$ $ $ $ 2$和分形曲线。我们的结果来自于分数量子霍尔效应的观察，即分数霍尔效应是在填充因子{ \it对偶拓扑量子数}对中发生的。这些量子数服从Farey级数的某些性质，因此我们得到{ \it量子霍尔跃迁的普适性类按$h$分类}。数论和物理学之间的联系在这种情况下自然出现。
2003-05-27 cond-mat hep-th math-ph
Expression of Generalized Newton Iteration Method via Generalized Local Fractional Taylor Series
局部分数阶导数和积分是处理处处连续但无处可微的分形函数的有效工具之一，在从基础科学到工程应用的各个领域都有广泛的应用。本文讨论了由广义局部分数阶Taylor级数和局部分数阶导数导出的广义Newton迭代法。从康托集到分式集，导出了分形空间上实直线数上的算子。在广义度量空间上存在广义不动点。
2012-06-21 math-ph math.MP
Fractional Hamiltonian analysis of higher order derivatives systems
研究了1+1维场论的分数阶哈密顿量分析，得到了分数阶Ostrogradski公式.分析了加速度平方分量简谐振子和阻尼谐振子的分数路径积分。用整数阶导数代替分数阶导数得到了经典结果。
2006-12-07 math-ph math.MP
Fractional Hamilton formalism within Caputo's derivative
在本文中，我们开发了一个分数哈密顿制定的动力系统定义的分数Caputo导数。给出了分数正则动量和分数正则哈密顿量的表达式，得到了分数正则哈密顿方程组。使用一个例子，它表明，规范的分数哈密顿和分数欧拉-拉格朗日公式导致同一组方程。
2006-12-07 math-ph math.MP
Geometry of fractional spaces
我们引入分数平坦空间，描述了一个连续的几何常数非整数Hausdorff和谱维数。这是欧几里得空间的类似物，但具有异常的标度和扩散性质。基本的工具是分数微积分，它以便于定义微分结构，距离，体积和对称性的方式铸造。通过广泛应用分形几何的概念和技巧，阐明了分数微积分与分形的关系，指出当分数空间的Hausdorff维数与谱维数之比大于1时，分数空间可视为分形空间.所有的结果都是解析的，并构成了生活在多重分形时空上的场论的基础，这将在一篇配套论文中提出。
2013-01-18 gr-qc hep-th math-ph
Local Fractional Calculus: a Review
本文的目的是回顾与1996年引入的局部分数阶导数概念相关的发展。我们认为它的定义，性质，影响和可能的应用。这涉及到局部分数泰勒展开，莱布尼茨规则，链规则等应用程序中，我们考虑的分形时间过程的局部分数扩散方程和分形介质的应力和应变之间的关系。最后，我们指出了局部分数阶微分方程的一个随机形式。
2013-07-02 math-ph math.MP nlin.CD
Quasiparticle solutions to the 1D nonlocal Fisher--KPP equation with a fractal time derivative in the weak diffusion approximation
本文基于半经典近似与Maslov方法，提出弱扩散近似下带非整数阶分形时间导数的非局部Fisher--KPP方程的准粒子解构造方法，并通过示例验证分形参数α的影响。
2025-03-19 math-ph math.AP math.MP
Fractional telegraph equation, Mittag-Leffler function, Hilfer derivative, Hadamard fractional derivative, Riesz-Feller space-fractional derivative
本文考虑时空分数阶电报方程，其中时间导数是Hilfer和Hadamard意义下的，空间分数阶导数是Riesz-Feller意义下的.我们给出了这类分数阶方程柯西问题解的傅里叶变换。并对一些具体案例作了可能的解释。
2015-06-19 math-ph math.AP math.MP
Calculus of variations with fractional derivatives and fractional integrals
本文证明了Euler-Lagrange分数阶方程，并证明了泛函同时含有分数阶导数和分数次积分的变分法问题在Riemann-Liouville意义下的最优性充分条件。
2009-07-06 math-ph math.MP math.OC
Fractional-order Variational Derivative
我们考虑了变分（泛函）导数定义的分数阶推广的一些可能途径。讨论了分数阶变分导数公式化的若干问题。为了给分数阶变分一个一致的定义，我们使用了一个分数阶广义的Gateaux微分。
2015-02-22 math-ph math.CA math.MP
Generalized Riemann - Liouville fractional derivatives for multifractal sets
将Riemann-Liouville分数次积分和导数推广到分数阶指数$d$是空间和时间坐标的函数（即$d=d({\bf r}(t),t)$）的情形.
2000-02-01 math-ph math.CA math.MP
On a connection between a class of q-deformed algebras and the Hausdorff derivative in a medium with fractal metric
在最近的几十年里，出现了各种各样的形式主义，被用来处理复杂系统。其中，我们可以引用Tsallis版本的《非广延统计学》中的q演算，它在应用于广泛的不同系统时取得了不可否认的成功; Kaniadakis的方法，基于相对论和热力学之间的兼容性;分数阶微积分（FC），处理异常传输和其他自然现象的动力学，还有FC的一些局部版本，声称能够研究分形和多重分形空间，并通过分数阶微分方程描述这些空间中的动力学。我们可能会问的问题是，这些替代方法之间是否存在共同点。在这篇简短的文章中，我们讨论了在统计力学的两个不同背景下，即Tsallis框架和Kaniadakis场景中，q-变形代数之间可能的关系，定义在分形介质中的分数导数算子的局部形式，即所谓的Hausdorff导数，映射到具有分形测度的连续介质中。这种联系开辟了新的理论，令人满意地描述动态的分形度量，如多孔或颗粒介质中的运输。与其他替代定义的FC的可能的连接也被考虑。对复杂性的见解连接到粗粒度的时空和物理一般的概念指出。
2015-03-04 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
A regularized representation of the fractional Laplacian in n dimensions and its relation to Weierstrass-Mandelbrot type fractal functions
我们证明了分数拉普拉斯算子（FL）是具有{ \it自相似}粒子间相互作用的谐波系统的主要特征算子。我们表明，FL代表的“{ \it分数连续极限}”的离散“自相似拉普拉斯”，这是从一个离散弹簧模型的Hamilton的变分原理。我们从广义自相似弹性势导出了FL的正则表示，它包含偶数阶对称有限差分算子的卷积，扩展了FL的标准表示，进一步导出了FL的正则表示$-(-Δ)^{\fracα{2}}$，它保持$α\in \R \geq 0$ .我们给出了一个明确的证明，正规化表示的FL给整数幂$\fracα{2} \in \N\_0$的分布表示的标准拉普拉斯算子$Δ$，包括平凡的单位操作$α\rightarrow 0$。我们证明，自相似{ \it谐波}系统是{ \it所有}由这个{ \it正则化表示FL}，因此可以被认为是自相似性的特征足迹在分布意义上。
2015-01-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Hilfer-Katugampola fractional derivative
我们提出了一种新的分数阶导数，Hilfer-Katugampola分数阶导数。受Hilfer导数的启发，该公式插值了著名的Hilfer，Hilfer-Hadamard，Riemann-Liouville，Hadamard，Caputo，Caputo-Hadamard，Liouville，Weyl，广义和Caputo型的分数阶导数。作为应用，我们考虑了一个非线性分数阶微分方程的初始条件，使用这种新的提法。证明了该方程等价于一个Volterra积分方程，并证明了非线性初值问题解的存在唯一性.
2017-11-10 math-ph math.CA math.MP
Nonholonomic Constraints with Fractional Derivatives
我们考虑了由分数阶导数方程定义的非完整约束的分数阶推广，并给出了一些例子。利用变分原理导出了相应的运动方程。
2006-03-27 cond-mat.stat-mech math-ph math.DS
