Fractal derivatives, fractional derivatives and $q$-deformed calculus
该研究分析分形导数与分数阶导数的异同，区分两类分形导数形式，证明q微积分导数、Caputo导数分别对应分形导数的连续近似，为分形系统相关研究提供理论参考。
2023-11-07 hep-ph math-ph math.MP
Fourier transforms on Cantor sets: A study in non-Diophantine arithmetic and calculus
分形配备了内在的算术导致一个自然的定义微分，积分和复数。应用形式主义的问题的傅立叶变换的分形，我们表明，所得到的变换具有所有预期的基本性质。作为一个例子，我们讨论了三进制中三分之一康托集上的一个信号。形式主义也适用于不自相似的分形。
2016-03-17 math-ph math.MP nlin.CD
Local Fractional Calculus: a Review
本文的目的是回顾与1996年引入的局部分数阶导数概念相关的发展。我们认为它的定义，性质，影响和可能的应用。这涉及到局部分数泰勒展开，莱布尼茨规则，链规则等应用程序中，我们考虑的分形时间过程的局部分数扩散方程和分形介质的应力和应变之间的关系。最后，我们指出了局部分数阶微分方程的一个随机形式。
2013-07-02 math-ph math.MP nlin.CD
Diffusion on Fractal Cesàro Curve
本文将F-演算应用于不同维数的分形Koch曲线和Cesàro曲线。提出了分形Koch和Cesàro曲线上的广义牛顿第二定律。导出了运动粒子在分形Cesàro上吸附的密度。最后给出了F-积分和F-导数的具体例子。
2017-04-07 math-ph math.CA math.MP
New Derivatives on Fractal Subset of Real-line
本文介绍了定义在分形集上的函数的广义分式Riemann-Liouville和Caputo类导数。在分形集上定义了Gamma、Mittag-Leffler和β函数。给出了非局部拉普拉斯变换，并将其应用于求解线性和非线性分形方程。利用这些新的非局部导数的优点在于，它们被用于更好地模拟过程的记忆效应。
2015-12-11 math-ph math.CA math.MP
Fokker Planck Equation on Fractal Curves
从分形曲线上的Chapmann-Kolmogorov方程出发，得到分形曲线上的Fokker-Planck方程。这是使用最近开发的微积分分形，它允许一个写微分方程的分形曲线。作为一个重要的特例，求出了扩散系数和漂移系数，从而得到了分形曲线上的扩散方程。这个方程在时间上是一阶的，在空间变量上它涉及阶数为$α$的导数，$α$是曲线的维数。这个方程的局部化初始条件的解决方案显示偏离普通的扩散行为，由于底层的分形空间中的扩散正在发生。该方程的精确解表现出次扩散行为。分形路径的维数可由分布函数估计。
2010-04-26 math-ph math.MP
Fractal tube formulas and a Minkowski measurability criterion for compact subsets of Euclidean spaces
我们建立了任意维欧氏空间的一大类紧子集的点态和分布分形管公式。这些公式被表示为在所考虑的紧集的复维数上的合适的亚纯函数的剩余之和（即，在其分形zeta函数的极点上）。我们的结果推广到更高的维度（并在一个显着的方式）相应的第一作者和范Frankenhuijsen先前获得的分形字符串。通过几个例子说明了它们，并应用于产生一个新的Minkowski可测性准则。
2017-05-10 math-ph math.CV math.MG
Geometry of fractional spaces
我们引入分数平坦空间，描述了一个连续的几何常数非整数Hausdorff和谱维数。这是欧几里得空间的类似物，但具有异常的标度和扩散性质。基本的工具是分数微积分，它以便于定义微分结构，距离，体积和对称性的方式铸造。通过广泛应用分形几何的概念和技巧，阐明了分数微积分与分形的关系，指出当分数空间的Hausdorff维数与谱维数之比大于1时，分数空间可视为分形空间.所有的结果都是解析的，并构成了生活在多重分形时空上的场论的基础，这将在一篇配套论文中提出。
2013-01-18 gr-qc hep-th math-ph
Electromagnetism on Anisotropic Fractals
本文导出了分形介质中电磁场的基本方程，这些方程由分形所嵌入的笛卡尔空间中三个方向x_{i}（i= 1，2，3）上的独立分形维数α_{i}表示。为了把握分形的一般各向异性结构，我们采用乘积测度，使得控制方程的整体形式可以转换为包含常规（整数阶）积分的形式，而局部形式则通过包含α i的系数的具有整数阶导数的偏微分方程来表示。首先，基于乘积测度的公式满足向量微积分的四个基本恒等式。这使得广义的格林-高斯和斯托克斯定理，以及各向异性分形的电荷守恒方程。然后，追求的概念方法，我们推导出法拉第和安培定律的分形介质，其中，随着两个辅助零发散条件，有效地给出了修改后的麦克斯韦方程组。在一个单独的轨道上进行，我们采用电磁场的变分原理，适当地适应分形介质，独立地导出这两个法律的相同形式。接着发现抛物型（对于导电介质）和双曲型（对于电介质）方程包含修正的梯度算子，而坡印廷矢量具有与非分形情形相同的形式。最后，麦克斯韦电磁应力张量的分形系统的重新制定。在所有的情况下，分形介质导出的方程明确地依赖于分形维数，并减少到传统的形式与欧几里得几何形状的连续介质时，设置的尺寸为整数。
2011-06-08 math-ph math.MP
On a connection between a class of q-deformed algebras and the Hausdorff derivative in a medium with fractal metric
在最近的几十年里，出现了各种各样的形式主义，被用来处理复杂系统。其中，我们可以引用Tsallis版本的《非广延统计学》中的q演算，它在应用于广泛的不同系统时取得了不可否认的成功; Kaniadakis的方法，基于相对论和热力学之间的兼容性;分数阶微积分（FC），处理异常传输和其他自然现象的动力学，还有FC的一些局部版本，声称能够研究分形和多重分形空间，并通过分数阶微分方程描述这些空间中的动力学。我们可能会问的问题是，这些替代方法之间是否存在共同点。在这篇简短的文章中，我们讨论了在统计力学的两个不同背景下，即Tsallis框架和Kaniadakis场景中，q-变形代数之间可能的关系，定义在分形介质中的分数导数算子的局部形式，即所谓的Hausdorff导数，映射到具有分形测度的连续介质中。这种联系开辟了新的理论，令人满意地描述动态的分形度量，如多孔或颗粒介质中的运输。与其他替代定义的FC的可能的连接也被考虑。对复杂性的见解连接到粗粒度的时空和物理一般的概念指出。
2015-03-04 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Ravello lecture notes on geometric calculus -- Part I
在这些笔记的讲座在2004年夏季学校的数学物理在拉韦洛，意大利，作者开发了一种方法，微积分中，更有效的选择限制采取的关键点的发展。例如，$k$维切空间被替换为在单个点上支持的简单$k$ -向量的表示，作为Banach空间中的单纯$k$ -链的极限（很像狄拉克单极）。这种微妙的差异具有强大的优势，我们将加以探讨。通过这些“无穷小”，我们得到一个坐标自由理论的流形上，建立在嘉当外部演算。一个无限的近似理论的微积分牛顿和Lebiniz成为可用的，现在可以重新审视旧的哲学问题，如模型是最自然的连续或物理。应用程序包括微积分的三个扩展：分形微积分，双层微积分（肥皂泡）和离散微积分。这篇论文是讲座前半部分的草稿。
2005-01-03 math-ph math.CA math.MP
Fractional differential and integral operations and cumulative processes
本文用累积减和累积增的方法，得到了分数阶微积分中的微分和积分运算的一般公式。揭示了传统分数阶微积分成功描述复杂系统的内在机理。建立了复物理与分数阶微分和积分运算之间的联系。
2016-08-26 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
An Overview of Complex Fractal Dimensions: From Fractal Strings to Fractal Drums, and Back
我们在这篇长篇综述文章中的主要目标是提供复分形维数理论和相关几何或分形zeta函数的概述，首先是分形弦的情况（具有分形边界的一维鼓），在\S 2中，然后在相对分形鼓的高维情况下，特别是$\mbr^N$的欧几里得空间的任意有界子集的高维情况下，对于任何整数$N \geq 1$，在\S 3.特别注意讨论各种例子说明一般理论，而不是提供完整的陈述的结果和他们的证据，为此，我们指的是作者以前的（联合）书籍中提到的文件。最后，在结语（\S 4）中，题为“从量子化数论到分形上同调”，我们简要回顾了作者与H. [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19]科布勒（在复杂的情况下）[CobLap1]，分别，以及在一本书的后半部分，在编写的作者，[Lap10]。
2018-09-26 math-ph math.MP
Box-counting fractal strings, zeta functions, and equivalent forms of Minkowski dimension
本文讨论了确定任意维欧氏空间中有界子集的Minkowski维数的一些技巧，包括：计盒维数和基于各种计盒函数的等价定义，利用Moran方程确定相似维数，以及利用相似维数的计算方法。（至少在自相似集的情况下）;（盒）计数函数的顺序;经典的结果紧子集的真正的线由于贝西科维奇和泰勒，适应理论的分形字符串;和横坐标收敛的新类zeta函数。具体来说，我们定义盒计数zeta函数的无限有界子集的欧氏空间，并讨论有关的结果距离和管zeta函数。呼吁分析这些zeta函数允许发展理论的复杂尺寸的有界集在欧几里德空间，延长技术和结果（普通）分形字符串获得的第一作者和范Frankenhuijsen。
2013-02-01 math-ph math.MP math.NT
Fractal Tube Formulas for Compact Sets and Relative Fractal Drums: Oscillations, Complex Dimensions and Fractality
本文为任意维欧几里得空间中的相对分形鼓建立逐点与分布分形管公式，用分形 ζ 函数的复维数留数表达邻域体积，并提出基于非实复维数或自然边界的新分形性定义。
2018-03-20 math-ph math.CV math.MG
Tube formulas for self-similar fractals
管公式（我们指的是合适的度量空间的子集的$ε$ -邻域的体积的显式公式）在许多情况下被用来研究子集的性质。对于欧几里得空间的光滑子流形，这包括Weyl关于谱渐近性的著名结果，以及曲率与谱之间的关系。此外，管公式包含有关粗糙集的维数和可测性的信息。在凸几何中，欧几里得空间的凸子集的管公式允许定义某些曲率测度。这些措施描述的曲率集是不是太不规则，以支持衍生物。在这篇综述论文中，我们描述了自相似分形的管公式发展的一些最新进展，以及它们的应用和与这里提到的其他主题的联系。
2007-11-01 math-ph math.DS math.MG
Quasiparticle solutions to the 1D nonlocal Fisher--KPP equation with a fractal time derivative in the weak diffusion approximation
本文基于半经典近似与Maslov方法，提出弱扩散近似下带非整数阶分形时间导数的非局部Fisher--KPP方程的准粒子解构造方法，并通过示例验证分形参数α的影响。
2025-03-19 math-ph math.AP math.MP
Zeta Functions and Complex Dimensions of Relative Fractal Drums: Theory, Examples and Applications
2009年，第一作者介绍了一类新的zeta函数，称为“距离zeta函数”，与任意维数的欧几里得空间的任意紧致分形子集相关。它代表了一个自然的，但非平凡的扩展理论的几何zeta函数的有界分形字符串。在这本回忆录中，我们介绍了类的“相对分形鼓”（或RFDs），其中包含类的有界分形字符串和紧凑的分形子集的欧几里得空间作为特殊情况。此外，RFD的相关（相对）距离zeta函数（在适当的意义上）扩展了上述分形zeta函数类。这个概念是非常普遍和灵活的，使我们能够查看几乎所有以前研究的分形zeta函数理论的各个方面，从一个统一的角度，以及远远超出了以前的理论。任何相对分形鼓的（绝对）收敛横坐标等于RFD的相对盒维度。我们特别注意的问题是构造RFD的距离zeta函数的亚纯扩张，以及构造超越$\infty$ -拟周期RFD（即，粗略地说，RFD有无穷多个准周期，所有这些都是代数独立的）。我们还描述了一类RFD（特别是一类新的有界集），称为{ \em最大超分形}，使（绝对）收敛的临界线仅由相关的相对距离zeta函数的不可移除的奇点。最后，我们还描述了一类Minkowski可测RFD，它具有任意重数$m\ge1$的复维数的无限序列，甚至沿临界线的本质奇点的无限序列。
2016-08-23 math-ph math.CV math.MG
