Categorification
范畴化是通过用范畴替换集合，用函子替换函数，用函子之间的自然同构替换函数之间的方程，从而找到集合论概念的范畴论类似物的过程，函子之间的自然同构反过来又应该满足它们自己的某些方程，称为“相干定律”。迭代这个过程需要“n-范畴”理论，即具有对象、对象之间的态射、态射之间的2-态射等直到n-态射的代数结构。在简单介绍了n-范畴及其与同伦理论的关系之后，我们讨论了可以看作是自然数和整数的迭代代数结构。这些包括缠结n-范畴、配边n-范畴和闭路空间Ω ^k S^k的同伦n-类型。最后，我们描述了弱n-范畴的定义的基础上的理论操作。
1998-02-05 math.CT math.QA
A Syntax for Strictly Associative and Unital $\infty$-Categories
本文提出严格结合且含单位的 $\infty$-范畴的首个类型论语法，以 insertion 计算规则保证严格性并获得相等性判定程序，且通过 OCaml 实现与高阶同伦示例验证。
2024-07-04 cs.LO math.CT
Sheafifiable homotopy model categories
如果一个奎伦模型范畴可以用某种逻辑语法来指定（直观地说，“是代数/组合足够”），这样它就可以在任何层范畴中定义，那么奎伦公理在任何地点上的满足是它们在集范畴上被满足的纯粹形式上的结果。这样的数据产生了一个函子，从拓扑和几何态射范畴到奎伦模型范畴和奎伦映射。
2001-02-11 math.AT math.CT
Coherence for lenses and open games
计算机科学中的多态透镜范畴，以及合成对策论中的开放对策范畴，都有一种奇怪的结构，让人想起紧凑的封闭范畴，但在某些关键方面有所不同。具体地说，它们有一个态射族，其行为类似于紧致闭范畴的计数器，但没有相应的单位;它们有一个“部分”对偶，其行为类似于紧致闭范畴中的换位，当它被定义时。我们公理化这个结构，我们称之为“目的论范畴”。我们精确地定义了一种适合于这些范畴的图解语言，并证明了它们的一个连贯性定理。这支持了在组合对策论中使用图解推理，这种推理以前只被非正式地使用。
2017-09-15 cs.LO math.CT
Rewriting techniques for relative coherence
该研究拓展代数结构相干性的重写证明方法，覆盖部分相干性与笛卡尔结构两类情形，构建抽象及项重写系统层面的重写技术与定理，可推导幺半范畴等的相干定理。
2025-07-23 math.CT
Weak units, universal cells, and coherence via universality for bicategories
多-双范畴推广平面多范畴的方式与双范畴推广幺半范畴的方式相同。在多双范畴中，存在足够多的满足某些泛性质（可表示性）的2-胞，在单输入单输出2-胞的2-图上诱导出相干代数结构。这个理论的一个特例被Hermida用来证明双范畴的严格化。对于更高维的范畴，完全严格化是不可能的，似乎是由于具有退化边界的2-胞腔的问题;它由C. Simpson认为排除单位的半严格化是可能的。我们研究多bicategories 2细胞退化的边界被禁止，并表明，我们可以通过不同的建设弱单位恢复的bicategory的结构。证明了这些单位的存在性等价于满足低维泛性质的1-胞腔的存在性，并研究了单位的保持性与泛胞腔的关系.然后，我们引入合并双范畴，多双范畴的一个变种，具有更多的组合操作，它承认一个自然的monoidal封闭结构，使访问更高的态射。我们推导出可表示的合并双范畴和相应的双范畴概念的态射，变换和修改之间的等价关系。最后，我们证明了一个半严格化定理的可表示合并双范畴的复合材料和单位的选择。
2019-09-27 math.CT
Contravariance through enrichment
在2-范畴上定义了严格对合和弱对偶对合，并证明了一个相干定理，即每一个具有弱对偶对合的双范畴都等价于一个具有严格对偶对合的2-范畴.为此，我们引入了“具有逆变性的2-范畴”，这是一种以“逆变态射”为基本概念的增强的2-范畴，它既可以被看作是广义多范畴，也可以被看作是丰富范畴。这使得对偶对合使用绝对加权共极限的一个普遍的特征，导致相干定理的概念性证明。
2018-01-24 math.CT
Partial Linearity: Diagolinear Categories
Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）；National Institute for Theoretical and Computational Sciences (NITheCS)（理论与计算科学国家研究所）
本文将Lawvere意义上的线性概念推广到具有兼容求和与积结构的范畴，定义部分线性范畴并建立其一致性定理，同时推广了中心态射的概念。
2026-11-03 math.CT
The Coherence Theorem for Ann-Categories
本文给出了Ann-范畴的凝聚定理的证明，其公理集和最初的基本性质在[9]中给出。设$$\A=(\A,{\Ah},c,(0,g,d),a,(1,l,r),{\Lh},{\Rh})$$是Ann-范畴。相干定理指出，在范畴$ \A$中，任何由上述同构和复合识别以及两个运算$\tx$，$\ts$构建的态射只依赖于它的源和它的目标。Mac Lane [7]建立了关于monoidal范畴和对称幺半范畴的第一个凝聚定理。在此之后，如参考文献所示，有许多结果涉及到某些类别的范畴的连贯性问题。对于Ann-范畴，应用Hoang Xuan Sinh在[2]中关于Gr-范畴的思想，通过忠实地将任意Ann-范畴“嵌入”到一个相当严格的Ann-范畴中，构造了凝聚定理的证明.这里，一个{ \it quite strict} Ann-范畴是一个Ann-范畴，它的所有约束都是严格的，除了交换性和左分配性。本文是文[9]的继续。如果没有解释，本文中的术语和符号与[9]相同。
2007-08-03 math.CT
First-Order Logical Duality
从逻辑的角度来看，斯通对偶布尔代数涉及理论在经典命题逻辑和他们的收集模型。理论可以被看作是布尔代数的表示，模型的集合可以被拓扑化，这样理论就可以从它的模型空间中恢复出来。这种情况可以被看作是一种形式上的二元性，它把句法和语义两个范畴联系起来，通过归巢中介成一个共同的二元对象，在这种情况下是2。在目前的工作中，我们推广整个安排从命题的一阶逻辑。用一阶逻辑中的布尔范畴代替布尔代数，用模型的拓扑群胚及其同构代替模型空间。由此产生的句法和语义范畴之间的对偶，首先以逆变附加词的形式表达，通过归巢到一个共同的对偶对象（现在是$\Sets$）中来建立，它一度被视为布尔范畴，一度被视为配备有内在拓扑的广群。我们的研究的总体框架是由拓扑斯理论提供的。直接证明的主要结果，但专家将认识到拓扑思想的背景。事实上，语法和语义之间的对偶性实际上是代数和几何之间的对偶性在隐藏在我们形式理论后面的几何态射的两个方向上的表现。在此过程中，我们通过一个简化的相干拓扑覆盖定理，从一个可判定的相干理论的模型广群中构造了它的分类拓扑。
2013-06-28 math.CT math.LO
A categorical model structure for generalized algebraic theories
该研究在广义代数理论范畴上构造了Quillen模型结构，比较了两类广义代数理论态射，证明了相关严格化结果，并刻画了模型的可严格化性，揭示了其语义行为。
2026-08-31 math.CT math.LO
Syntax for Split Preorders
分裂前序是两个集合的不交并上的一个前序关系，这两个集合在合成分裂前序时充当源和目标。本文通过生成元和方程给出了SplPre范畴，其箭头是两个有限序数的不交并上的分裂前序。对于SplPre的子范畴Gen和范畴Rel也是如此，Gen的箭头是等价关系，Rel的箭头是有限序数之间的二元关系，并且Rel在SplPre中有一个保持合成的映射的同构像，但不保持恒等箭头。先前已经表明，SplPre和Gen在Brauer风格的Rel中具有同构表示。本文对Gen和Rel的句法表示，展示了Gen特殊的Frobenius代数结构和Rel特殊的双代数结构，后者是建立在SplPre中Gen和Rel的双代数结构之上的。这指向代数建模的各种类别的动机的逻辑，和相关的类别，其中一个可以建立连贯性方面的Rel和根。它也揭示了之间的关系概念的弗罗贝纽斯代数和双代数。语法表示的完备性通过规范形式证明，SplPre和Gen的规范形式在某种意义上正交于Rel的无组合（即无切割）规范形式。本文最后表明，假设的代数结构的SplPre，根和Rel不能扩展新的方程，而不会陷入平凡。
2012-10-18 math.CT math.LO
Constructing monoidal structures on fibered categories via factorizations
本研究针对小范畴上纤维化范畴的幺半群结构构造问题，提出利用光滑态射与闭浸入对应的子范畴限制的因子分解方法，证明满足相干条件的限制对可唯一确定整体幺半群结构，并给出适配反常层的逆像替换直像的变体方法。
2024-12-11 math.AG math.CT
Framed bicategories and monoidal fibrations
在某些双范畴中，1-胞元是0-胞元之间的“态射”，例如范畴之间的函子，但在另一些双范畴中，1-胞元是0-胞元上的“对象”，例如双模、跨度、分配器或参数化谱。许多双范畴概念在这些情况下不能很好地工作，因为“0-胞元之间的态射”，如环同态，缺失了。我们可以通过使用伪双范畴来包含它们，但通常这些态射也会诱导作用于1-胞体的碱基变化函子。我们避免复杂的连贯性问题，通过描述基地的变化“非代数”，使用分类纤维化。由此产生的“框架双范畴”组装成2-范畴，伴随着等价、附加等概念，这些概念比通常的双范畴概念更适合我们的例子。然后，我们描述了两种方法来构建框架bicategories。一个是环和双模的类似物，它从一个框架双范畴开始并构建另一个。另一个从一个“monoidal纤维”，这意味着一个参数化的家庭的幺半范畴，并产生一个类似的框架双范畴的跨度。结合这两者，我们得到一个结构，其中包括丰富和内部范畴作为特殊情况。
2009-01-09 math.CT
Statistical models as natural transformations: meaningfulness, coherence and priors as states in Markov categories
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文证明统计模型是设计范畴到Stoch范畴函子间的自然变换，提出有意义性与相干性概念，并揭示岭回归作为高斯线性模型关于高斯先验的贝叶斯反演。
2026-10-06 math.CT math.PR math.ST
Skew monoidal monoids
斜幺半范畴是具有不可逆“相干”态射的幺半范畴。如前所述，环R上的双代数胚可以刻画为范畴Mod R上的闭斜幺半群结构，其中单位对象是R。这为研究双代数胚和Hopf代数胚提供了一种新的途径。关于一般范畴上的斜monoidal结构知之甚少。在本文中，我们研究单对象的情况下：斜monoidal monoid（SMM）。我们发现，他们拥有一个双代数胚描述的（co）模范畴的SMM对称对。这些双代数胚是它们自己基的子幺半群，并且在源侧的基上秩为1。给出了SMM的各种等价定义，研究了它们的（余）模范畴的结构，讨论了SMM上可能的闭结构和Hopf结构。
2016-08-29 math.CT math.QA
Local coherence and recollement of abelian categories
Moscow Institute of Physics and Technology (MIPT)（莫斯科物理技术学院）；Center of Fundamental Mathematics（基础数学中心）；Faculty of Mathematics, HSE University（高等经济大学数学系）
本文研究阿贝尔范畴局部相干性在粘合下的传递条件，引入拟射影伴随函子对，推广相干准则，将Stenström的刻画扩展到紧组装Grothendieck范畴，汇集环相干性的等价条件。
2026-10-14 math.AC math.CT math.RA
Derived Braids of Decreasing Products and their Categories
本文证明由偶数股分量辫构成的递减积具有等价导出辫，从而将导出辫相等推广为Yang-Baxter方程的广义形式，并关联Joyal-Street相干性结果。
2023-08-06 math.CT math.QA
Categories for the practising physicist
在这一章中，我们将以一种有点非传统的方式来考察范畴论中的一些特殊主题。我们的主要重点将是monoidal范畴，主要是对称的，我们提出了一个物理解释。这些与量子基础和量子信息学特别相关。特别注意的范畴，其中有有限维希尔伯特空间作为对象，线性映射作为态射，张量积作为其monoidal结构（FdHilb）。我们还提供了一个详细的讨论范畴的集合作为对象，关系作为态射，和carnival产品作为其monoidal结构（Rel），第三，范畴与流形作为对象和cobordisms之间作为态射（2Cob）。虽然集合、希尔伯特空间和流形不共享任何非平凡的共同结构，但这三个类别实际上在结构上非常相似。共同的特点是图解演算，紧凑的封闭结构和特殊类型的内部commonies发挥了重要作用，在每一个。范畴FdHilb和Rel还允许范畴矩阵演算。这些特征一起引导我们走向拓扑量子场论。我们还讨论了姿态范畴，群表示如何实际上是范畴结构，以及monoidal范畴的严格化和连贯性是什么。为了补充现有的文献，我们省略了一些非常基本的主题。对于这些，我们建议读者参考其他可用的来源。
2009-10-12 math-ph math.CT math.MP
A model structure for cartesian 2-fibrations
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；University of Hamburg（汉堡大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Dalhousie University（达尔豪斯大学）；Univ. Artois, UR 2462 , Laboratoire de Mathématiques de Lens (LML)（阿图瓦大学，UR 2462，伦斯数学实验室 (LML)）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文通过带标记2-范畴构造模型结构，使纤维对象恰为笛卡尔2-纤维化，并证明带标记Grothendieck构造将其等同于严格2-函子，同时构造同时反转态射和2-胞腔的局部化。
2026-09-11 math.AT math.CT
A Note on Generalized Algebraic Theories and Categories with Families
我们给出了一个新的语法独立的定义的概念，广义代数理论作为一个始对象的范畴的范畴与家庭（CWFS）的额外结构。为此，我们定义归纳如何建立一个有效的签名$Σ$的广义代数理论和相关类别的cwfs的$Σ$ -结构和cwf-态射，保持这种结构的鼻子。我们的定义指的是上下文、类型和术语的统一族，这是一个纯粹的语义概念。此外，我们展示了如何在语法上构造初始cwfs与$Σ$ -结构。这个结果可以看作是Birkhoff方程逻辑完备性定理的推广。它是通过扩展Castellan、Clairambault和Dybjer的初始cwf构造而得到的。我们提供的例子，广义代数理论的幺半群，范畴，范畴与家庭，范畴与家庭的额外结构的一些类型形式的依赖型理论。它们的模型是内部幺半群、内部范畴和在一个有族范畴中有族的内部范畴（有额外结构）。
2021-03-16 cs.LO math.CT math.LO
Invertibility and parity in symmetric monoidal categories
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；The Ohio State University Newark（俄亥俄州立大学纽瓦克分校）
本文引入了形式态之间可逆对象的奇偶性概念，并利用其证明了相应的协整定理。通过自由置换范畴的详细处理及超整数的骨骼模型，展示了两者之间的等价关系。
2026-04-16 math.AT math.CT
ViCAR: Visualizing Categories with Automated Rewriting in Coq
ViCAR 是一个 Coq 库，提供幺半范畴定义、一致性验证、引理策略及字符串图可视化，支持图形化推理与自动重写。
2025-09-25 cs.PL math.CT
Rewriting for Symmetric Monoidal Categories with Commutative (Co)Monoid Structure
本文研究弦图重写中比完整 Frobenius 结构更弱的交换幺半群结构，并通过超图双推出重写的可靠且完备解释刻画了模去交换幺半群等式的弦图重写。
2025-01-30 cs.LO math.CT
From Coherent Structures to Universal Properties
给定一个包含双模演算的2-范畴$\twocat{K}$，其上的2-单子T与双模演算相容，我们构造了一个包含2-单子S的2-范畴$\twocat{L}$，使得：（1）S具有伴随伪代数性质.（2）S和T的伪代数的2-范畴是等价的。因此，凝聚结构（伪T-代数）被转化为普遍特征的（伴随伪S-代数）。2-范畴$\twocat{L}$由$\twocat{K}$的双模范畴上T诱导的伪单子的Lax代数组成。给出了伪S-代数的一个内在的可表示性刻画。上述变换的两个主要结果是松弛态射和强态射的分类，以及伪代数的相干结果。我们应用该理论的内部范畴的背景下，并检查monoidal和monoidal球状范畴（包括他们的monoid分类），以及伪函子到$\Cat$。
2000-06-21 math.CT
A semi-strictly generated closed structure on Gray-Cat
本文证明 Gray-范畴的半严格生成内部 hom 构成 Gray-Cat 上的闭结构，利用满足严格单位与复合条件的三自然变换克服中间四交换律失效问题，并得到辫子幺半双范畴严格化的加强推论。
2024-07-02 math.CT
Higher theories of algebraic structures
（对称）有色运算符或“多范畴”的概念可以从交换代数的概念通过我们称之为“理论化”（theorization）的某种一般过程（我们的术语来自于与威廉·劳维尔（William Lawvere）的代数理论概念的类比）得到。利用高阶结合性结构中的归纳性，对每一个整数$n\ge 0$，我们得到了“$n$ -理论”的概念，从而归纳地“理论化”了交换代数的概念--$n$次.因此，$n$ -理论之间的（有色）态射是（$n-1$）-理论的“分级的”和“丰富的”推广。这些“高级理论”的归纳层次，特别是高阶范畴的层次，得到扩展。事实上，理论化比路易斯·克莱恩意义上的范畴化过程产生了更一般的结构。在这个层次的低“理论”顺序的一部分中，分级的和丰富的$1$ -和$0$ -理论在不同的地方极大地推广了对称的、辫状的和许多其他种类的丰富的多范畴及其代数。我们用更高的理论进行各种各样的建构，并得到一些基本的概念和事实。我们还发现迭代理论的更一般的代数结构，包括（彩色）propriad的布鲁诺Vallette和各种拓扑域论（TFT）。我们表明，“TFT”在扩展的上下文中可以反映一个非常不同的类型的数据从TFT在传统意义上，尽管密切正式的概念相似。这项工作的目的是说明使用简单的理解更高的一致性的结合性。
2017-04-10 math.AT math.CT math.QA
