An Infinite Antichain of Permutations
Miklós Bóna, Daniel A. Spielman
我们构造性地证明了有限置换的删除项序的偏序集包含一个无限反链。
We constructively prove that the partially ordered set of finite permutations ordered by deletion of entries contains an infinite antichain.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Large infinite antichains of permutations
置换的无限反链长期以来被用来构造有趣的置换类和反例。我们证明了具有任意大增长率的无限反链的存在性，并详细地讨论了其构造。因此，我们证明了每一个真置换类都包含在一个具有有理生成函数的类中。虽然这个结果暗示了Marcus-Tardos定理的结论，但我们在证明中使用了该定理。
Profile classes and partial well-order for permutations
已知在模式包含序下的置换集不是部分良序。刻画这个偏序集中的部分良序闭集（等价于：下集或理想）仍然是一个开放的问题。给定一个0/+-1矩阵M，我们定义一个置换的闭集，称为M的轮廓类。这些集合是Atkinson、Murphy和Ruskuc所考虑的集合的推广。我们证明了M的剖面类是部分良序的当且仅当相关图是森林。与我们构造的证明这一结果的方向之一的反链相关，我们构造了奇异的基本反链，它缺乏所有以前已知的基本反链排列所表现出的周期性。
An infinite antichain of planar tanglegrams
相反的期望所产生的缠结库拉托夫斯基定理的。洛杉矶查巴尔卡Székely和S. Wagner [SIAM J. Discrete Math.31（3）：1732--1750，（2017）]中，我们构造了一个关于诱导子缠结图偏序的平面缠结图的无限反链. R.E.塔尔扬河放大图片作者：D.A.博纳，可能还有其他人，表明了偏序集的有限排列有序删除的条目包含一个无限的反链，即存在一个无限的集合排列，使他们都不包含另一个作为一个模式。我们的结构为Spielman和Bóna的结构增加了一个转折[Electr. J. Comb，Vol. 7. N2.]
Rowmotion on 321-avoiding permutations
我们给出了一个自然的定义行运动的$321$ -避免置换，通过翻译，通过双射涉及Dyck路径和Lalanne-Kreweras对合，类似的概念，反链的正根偏序集的类型$A$。我们证明了一些置换统计量，如不动点的数量，是homomesic下的rowmotion，这意味着他们有一个恒定的平均在其轨道。我们的设置还提供了一个更自然的描述著名的阿姆斯特朗-树桩-托马斯等变双射之间的反链和非交叉匹配的类型$A$和$B$，通过显示，它是等价的罗宾逊-申斯特-克努特对应$321$ -避免排列置换。
The Aharoni--Korman conjecture for $N$-free posets with no infinite antichain
给出了无$P_4$图是余图的一个充要条件。这使我们能够得到一个简单的证明，有限的$P_4$ -自由图是有限的余图。证明了无无限反链的$N$ -free链完备偏序集和无无限反链的$N$ -free偏序集是串并联的.由此得到了每个不含无限反链的$N$ -free偏序集都有一个链和一个反链划分，使得每个部分都与链相交.这回答了Aharoni和Korman在这种情况下的一个猜想（Order \textbf{9}（1992）245- 253）。
The structure of interval orders with no infinite antichain
证明无无限反链的区间序具有Gallai分解，并构造了任意可数序数阶的良拟序素区间序。
The chain covering number of a poset with no infinite antichains
偏序集$P$的链覆盖数$\Cov(P)$是覆盖$P$所需的最少链数。对于基数$ν$，我们给出了一个由基数和覆盖数组成的偏序集列表，使得对于每个不含无限反链的偏序集$P$，$\Cov(P)\geq ν$当且仅当$P$嵌入列表中的一个成员.如果$ν$是后继基数，则该列表有两个元素，即$[ν]^2$及其对偶，如果$ν$是极限基数且$\cf(ν)$是弱紧的，则该列表有四个元素。对于$ν= \aleph_1$，第一作者给出了一个列表，F.多莱给每一个无限的继承人红衣主教$ν$。
A note on infinite antichain density
设$\mathcal{F}$是$\mathbb{N}$的有限子集的反链. $|\mathcal{F}\cap 2^{[n]}|$的数量以$n\to\infty$的形式增长的速度有多快？证明了对于满足$\sum_{n=n_0}^\infty f_n/2^n \le 1/4$，$f_{n_0}=1$和$f_n\le f_{n+1}\le 2f_n$的正整数序列$(f_n)_{n\ge n_0}$，存在$\mathbb{N}$的有限子集的无限反链$\mathcal{F}$，使得对所有的$n\ge n_0$都有$|\mathcal{F}\cap 2^{[n]}| \geq f_n$.由此可见，对于任何$\varepsilon>0$，都存在一个反链$\mathcal{F}\subseteq 2^\mathbb{N}$，使得$$\liminf_{n \to \infty} |\mathcal{F}\cap 2^{[n]}| \cdot \left(\frac{2^n}{n\log^{1+\varepsilon} n}\right)^{-1} > 0.$$这解决了一个问题的Sudakov，Tomon和瓦格纳在一个强的形式，本质上是紧的。
Infinite Sperner's theorem
极值集合论中最经典的结果之一是Sperner定理，它说布尔格$2^{[n]}$中最大的反链的大小为$Θ\big(\frac{2^n}{\sqrt{n}}\big)$。受Erdens关于无穷Sidon序列增长的一个老问题的启发，本文研究了极大无穷反链的增长率。利用著名的前缀码的Kraft不等式，不难证明无限反链应该比相应的有限反链“细”。更确切地说，如果$\mathcal{F}\subset 2^{\mathbb{N}}$是一个反链，那么$$\liminf_{n\rightarrow \infty}\big|\mathcal{F} \cap 2^{[n]}\big|\left(\frac{2^n}{n\log n}\right)^{-1}=0.$$我们的主要结果表明，这个界限本质上是紧的，也就是说，我们构建了一个反链$\mathcal{F}$，使得$$\liminf_{n\rightarrow \infty}\big|\mathcal{F} \cap 2^{[n]}\big|\left(\frac{2^n}{n\log^{C} n}\right)^{-1}>0$$对某个绝对常数$C>0$成立。
Permutations sorted by a finite and an infinite stack in series
通过构造一个无限反链，证明了按深度为$t \geq 3$的栈和无限栈的序列排序的置换集具有无限基.这就回答了一个悬而未决的问题，即在两个堆栈串联的排序过程中，基础从有限变为无限的点。
The finite antichain property in Coxeter groups
证明了无限Coxeter群上的弱序包含无限反链当且仅当该群不是仿射的。
Regular families of forests, antichains and duality pairs of relational structures
同态对偶对在关系结构理论和约束满足问题中起着至关重要的作用。两个类都是有限的情况下，充分的特点。两边都是无穷大的情况似乎很复杂。我们还知道，如果我们附加限制，即两个类都是反链，那么有限-无限对偶对是不可能的。本文刻画了无穷-有限反链对偶和左边为树或森林的无穷-有限对偶。这项工作建立在我们以前的论文中，给出了几个例子的无限有限反链对偶对的有向图和一个完整的表征毛虫对偶。
The Aharoni--Korman conjecture for posets whose incomparability graph is locally finite
Aharoni和Korman（Order 9（1992）245- 253）证明了没有无限反链的有序集都有一个链和一个反链的划分，使得每个部分都与链相交。对于不可比图是局部有限的偏序集，证明了该猜想。由此推论，对于没有无限反链的无$(3 + 1)$偏序集，该猜想成立.
On the Average Sizes of Ideals and Antichains in Some Infinite Families of Posets
研究有根无标号树生成的偏序集族中理想与反链的平均大小，利用生成函数和奇点分析证明二次根分解族中理想平均大小为 n/3，并分析反链常数及分支限制的影响。
Well-Quasi-Order for Permutation Graphs Omitting a Path and a Clique
我们考虑了一类既不含路又不含团的置换图的好拟序。我们的主要结果是，类的置换图省略$P_5$和团的任何大小是良好的准有序。这是证明了相应的排列的结构分解。我们还展示了三个无限反链，以表明类的置换图省略$\{P_6,K_6\}$，$\{P_7,K_5\}$，和$\{P_8,K_4\}$不是良好的准序。
The Aharoni--Korman conjecture is false
本文构造了一个反例，证明Aharoni和Korman在1992年提出的关于有限反链条件偏序集的猜想是错误的，并讨论了可能成立的变体。
A semigroup is finite if and only if it is chain-finite and antichain-finite
半群$S$的子集$A$称为$chain$（$antichain$），如果对于任何（不同的）元素$x,y\in S$，$xy\in\{x,y\}$（$xy\notin\{x,y\}$）。一个半群$S$称为（$anti$）$chain$ - $finite$，如果$S$不含无限（反）链。证明了每个反链有限半群$S$是周期的，且对于$S$的每个幂等元$e$，集合$\sqrt[\infty]{e}=\{x\in S:\exists n\in\mathbb N\;\;(x^n=e)\}$是有限的.反链有限半群的这个性质被用来证明一个半群是有限的当且仅当它是链有限和反链有限的。另外，我们还给出了一个反链有限半格的例子，它不是一个多链的并集。
On infinite-finite duality pairs of directed graphs
（A，D）对偶对在一般关系结构理论和约束满足问题中起着至关重要的作用。两个类都是有限的情况下，充分的特点。两边都是无穷大的情况似乎很复杂。我们还知道，如果我们附加限制，即两个类都是反链，那么有限-无限对偶对是不可能的。在本文中（这是一系列的第一个），我们开始详细研究无限有限的情况。这里我们集中讨论有向图。我们证明了无限-有限对偶对的一些基本性质，包括D的大小的上下界上界，并证明了当A是反链时，A的元素必等价于森林.然后我们构造一些有启发性的例子，其中A的元素是路径或树。注意，无限-有限反链对偶的存在性以前并不为人所知。
The structure of FAC posets and the Aharoni--Korman conjecture
本文研究满足有限反链条件（FAC）的偏序集，证明Aharoni-Korman猜想对一类可数偏序集成立，并给出结构分解结果。
A Note On Immersion Intertwines Of Infinite Graphs
我们提出了一个建设两个无限图$G_1$和$G_2$，和一个无限集$\mathscr{F}$的图，使$\mathscr{F}$是一个反链的浸入关系，并为每个图$G$在$\mathscr{F}$，$G_1$和$G_2$的子图$G$，但没有图适当浸入$G$承认一个浸入$G_1$和$G_2$。这表明，由浸入关系排序的无限图类不具有有限内插性质。
Infinite permutations of lowest maximal pattern complexity
无限置换是非负整数集合的线性序。一般来说，无限排列的性质类似于无限词的性质，它们既有相同之处，又有不同之处。本文定义了无限排列的最大模式复杂度，并证明了这个复杂度函数是最终常数当且仅当该排列是最终周期的。然后，我们刻画了最小复杂度（等于n）的非周期置换，并发现它们都是使用Sturmian词构造的。
Permutations generated by a stack of depth 2 and an infinite stack in series
我们证明了由深度为2的堆栈和串联的无限堆栈生成的排列集具有由长度为5，6，7和8的20个排列组成的基础（定义禁止模式集）。我们通过一个“规范”生成算法证明了这一点。
Permutations generated by a depth 2 and infinite stack in series are algebraic
证明了有序序列$12\dots n$通过深度为2的堆栈和无限堆栈串联生成的置换类与明确的上下文无关语言是双射的，其中长度为$n$的置换由长度为$3n$的字符串编码。因此，计算每个长度的排列数的序列具有代数生成函数。我们使用显式上下文无关语言来计算生成函数：\begin{align*} \sum_{n\geq 0} c_n t^n &= \frac{(1+q)\left(1+5q-q^2-q^3-(1-q)\sqrt{(1-q^2)(1-4q-q^2)}\right)}{8q} \end{align*}其中$c_n$是可以生成的长度为$n$的排列数，而$q \equiv q(t) = \frac{1-2t-\sqrt{1-4t}}{2t}$是加泰罗尼亚生成函数的简单变体。这反过来又意味着$c_n^{1/n} \to 2+2\sqrt{5}$。
Restricted Permutations, Fibonacci Numbers, and k-generalized Fibonacci Numbers
当$π$不包含具有与$σ$相同的所有成对比较的子序列时，置换$π\in S_n$被称为{ \it避免}置换$σ\in S_k$。对于任何排列集合$R$，我们写$S_n(R)$来表示$S_n$中避免$R$中的每个排列的排列集合。1985年，Simion和Schmidt证明了$|S_n(132, 213, 123)|$等于斐波那契数$F_{n+1}$。在本文中，我们推广这个结果在几个方面。本文首先利用Mansour的一个结果证明了对于某个无穷置换族中的任意置换$τ$，$|S_n(132, 213, τ)|$都是用斐波那契数或$k$ -广义斐波那契数表示的.在许多情况下，我们给出明确的枚举，我们证明双射。然后，我们使用生成函数技术表明，对于任何排列$γ$在第二个无限家庭的排列，$|S_n(123, 132, γ)|$也给出了斐波那契数或$k$ -广义斐波那契数。在许多情况下，我们给出明确的枚举，其中一些我们证明双射。我们继续使用生成函数的技术表明，对于任何排列$ω$在第三无限家庭的排列，$|S_n(132, 2341, ω)|$给出的斐波那契数，并为任何排列$μ$在第四无限家庭的排列，$|S_n(132, 3241, μ)|$给出的斐波那契数和$k$ -广义斐波那契数。在某些情况下，我们给出了明确的枚举。最后，我们给出了一个无限类的例子，一组$R$的排列，其中$|S_n(R)|$满足一个…
A matrix approach to the structure, enumeration, and applications of partially ordered sets
本文提出利用矩阵理论研究偏序集的结构、计数及应用，通过构造偏序集矩阵的主子矩阵，统一解决非同构偏序集和反链问题。
Permutation Complexity of the Thue-Morse Word
给定一个可数集X（通常取为自然数或整数），X的一个无限置换π是X的一个线性序。本文研究了与Thue-Morse字相关的自然数上的无穷置换的组合复杂性。通过研究子排列中的模式和Thue-Morse态射对子排列的作用，建立了复杂度的计算公式。
Permutation Complexity and the Letter Doubling Map
给定一个可数集X（通常取为N或Z），X的无限置换$π$是X的线性序$<_π$。本文研究了N上无限排列在字母加倍映射下与一致递归非周期二进制字象相关的组合复杂性。对于一般的词，给出了复杂度的上界，对于Sturmian词和Thue-Morse词，给出了复杂度的计算公式.
Simple permutations: decidability and unavoidable substructures
我们证明了如果一个基于矩阵的置换类包含无穷多个简单置换，则它是可判定的，并建立了简单置换的一个不可避免的子结构结果：每个足够长的简单置换包含长度为k的交替或振荡.
On automatic infinite permutations
无限排列$α$是$\mathbb N$的线性序。我们研究了类似于无限词的无限排列的性质，并指出了排列与词之间的一些相似性和一些不同之处。在本文中，我们试图推广置换的概念的自动性。正如我们将要说明的，在词的情况下是等价的标准定义在置换的上下文中是不等价的。我们调查这些定义之间的关系，并证明它们构成了一个包含链。我们还构造和研究了一个生成Thue-Morse置换的自动机。
Infinite Motion and 2-Distinguishability of Graphs and Groups
群A忠实作用于集合X是2-可区别的，如果存在X的2-染色不被A的任何非单位元保持，等价地，如果存在X的具有平凡集态稳定子的真子集. A中元素a的运动是X中移动a的点的数目，群A的运动是它的非恒等元素的最小运动。对于有限A，运动引理说如果A的运动足够大（特别是至少2 log_2 |A|），那么动作是2-可区分的。对于X具有组合或代数结构的许多情况，运动引理意味着Aut（X）对X的作用在所有情况下都是2-可区分的。我们证明了可数无限置换群的运动引理的一个无限版本，它指出无限运动足够大以保证2-可解性。由此我们推出了一些结果，包括这样一个事实，即每一个局部有限的，连通图的自同构群是可数无限的是2-可区别的。我们不能将运动引理推广到不可数的置换群，但是我们证明了具有无限运动的2-可区别置换群在具有无限运动的群类中是稠密的.我们猜想一个扩展的运动引理，我们期望持有的一类限制性的不可数置换群，我们得出结论，一系列的开放性问题。我们的结果的后果是绘制的轨道等价的无限置换群。
Orbit-equivalent infinite permutation groups
设G，H是无限集X上的闭置换群，H是G的子群.证明了如果G和H是轨道等价的，即在X的有限子集集合上具有相同的轨道，且G是本原的但不是2-传递的，则G=H.
Interlocked permutations
具有可数无限输入字母表的信道的零差错容量形式上推广了Shannon关于离散无记忆信道容量的经典问题。我们解决了三个特定通道的问题。我们的结果是纯组合的，并与第三作者以前的工作置换容量。
Infinite ternary square-free words concatenated from permutations of a single word
我们回答了Harju的一个问题：一个无限的无平方三进制字与$n$ -干分解存在任何$n\ge 13$。我们证明了对于每个$k\ge 23$，存在长度为$k$的一致三元态射.这几乎完全解决了作者和Rampersad的一个问题。
Minimal complexity of equidistributed infinite permutations
无限排列是自然数集合的线性排序。一个无限排列可以定义为一个实数序列，其中只考虑元素的元素的阶。本文研究了一类新的{ \it等分布}无穷置换，即可由等分布序列定义的无穷置换.类似于无限字，无限排列的复杂度$p(n)$被定义为计算其长度为$n$的子排列的数量的函数。对于无限字，Morse和Hedlund在1938年的一个经典结果指出，如果一个无限字的复杂度对于某些$n$满足$p(n) \leq n$，那么这个字最终是周期的。因此，非周期字的最小复杂度等于$n+1$，具有这种复杂度的字称为Sturmian。对于无限排列，这并不成立：存在复杂度函数任意缓慢增长的非周期排列，因此不存在最小复杂度的排列。我们发现，不同于一般的排列，最小的复杂性的等分布排列$α$是$p_α(n)=n$。最小复杂度的等分布排列类与所谓的Sturmian排列类相一致，直接与Sturmian词相关。
Estimates on the number of partially ordered sets
（k，n）型偏序集是这样的集合：a）每个集合的基数为n，b）每个集合的维数为2，c）每个集合中的最大反链的长度为k。设α_k（n）是（k，n）型偏序集的个数.我们证明了α_k（n）<min{k^{2n}/（（k！）^ 2），（n-k+1）^{2n}/（n-k）！）^ 2）}。记S_n中使其最大降链长度为k的置换的个数为k_k（n）。我们证明了：k_k（n）<k^{2n}/（k-1）！）^ 2）。我们调查之间的联系对的线性秩序，对杨图，二维阵列的正整数和矩阵的非负整数。这项调查是基于论文的申斯特和克努特。我们给出了n_k（n）的生成函数。Gessen于1990年获得。
Rational generating series for affine permutation pattern avoidance
我们考虑避免固定置换模式的仿射置换集。Crites给出了一个简单的特征，当这个集合是无限的。我们发现生成系列使用Coxeter长度统计，并证明它总是可以表示为一个有理函数。我们还给出了模式的特征，其生成系列的系数是周期性的。证明利用了仿射对称群的一种新的多面体编码。
The two-sided infinite extension of the Mallows model for random permutations
我们在整数集合Z的置换群上引入一个概率分布Q。分布Q是有限对称群上Mallow分布的自然扩张。由自然数的集合N的置换群支持的Q的单侧无限对应物在我们的论文中先前进行了研究[Gnedin和Olshanski，Ann.Prob.38（2010），2103-2135; arXiv：0907.3275]。我们分析了Q的各种特征，如它的对称性，支持度和边缘分布。
Finitely labeled generating trees and restricted permutations
生成树是枚举各种组合对象，特别是限制排列的有用技术。通常，避免一组模式的排列集的生成树需要无限多个标签。然而，有时候，这个生成树只需要100个标签。我们的特点，这种现象发生的模式的有限集。我们还提出了一个算法-事实上，一个特殊情况下的算法的Zeilberger-这是保证找到这样一个生成树，如果它存在。
Schubert Calculus and the Heisenberg Algebra
本文利用后稳定舒伯特多项式建立海森堡代数表示的同构，并用二维费米子模型解释无限置换及舒伯特多项式的管道梦模型。
Sequences of symmetry groups of infinite words
在本文中，我们引入了一个新的概念，一个序列的对称群的无限字。给定对称群$S_n$的子群$G_n$，它通过置换作用于长度为$n$的有限字的集合。我们将无限字$w$与其对称群的序列$(G_n(w))_{n\geq 1}$相关联：对于每个$n$，$w$的对称群是对称群$S_n$的子群$G_n(w)$，使得对于$w$的每个置换$g \in G_n(w)$和每个长度为$n$的因子$v$，$g(v)$是$w$的因子。研究了无限字对称群的一般性质，刻画了几类无限字对称群的序列。我们证明了对于$S_n$的每个子群$G$，都存在一个无穷字$w$，且其值为$G_n(w)=G$ .另一方面，可能的序列$(G_n(w))_{n\geq 1}$的结构是相当有限的：我们表明，他们不能包含每个顺序$n$某些周期，换位和其他一些排列。对称群序列也可以刻画一个广义周期性。我们证明了对称群的Sturmian的话，更一般的Arnoux-Rauzy的话是为了两个足够大的$n$ ;另一方面，对称群的某些Toeplitz字有指数增长。
Canonical Representatives of Morphic Permutations
无限排列可以定义为自然数集合的线性排序。特别地，可以用$\{0,\ldots,q-1\}$上的非周期无限字作为该字移位的字典顺序来构造无限置换。本文讨论了这样定义的一个无穷置换是否有一个典型代表，即它可以由[0，1]中的一个数列定义，使得它的元素在任意区间中的频率等于该区间的长度。我们表明，一个典型的代表存在当且仅当这个词是唯一遍历的，这就是为什么我们使用术语遍历排列。我们还讨论了如何构造由形态词定义的置换的规范表示，并将Makarov，2009年的Thue-Morse置换的构造推广到更广泛的一类无限词。
Distributions of several infinite families of mesh patterns
Brändén和Claesson引入了网格模式，为某些排列统计量提供了显式扩展，作为（经典）排列模式的线性组合。Hilmarsson等人进行了第一次避免网格图案的系统研究，而第一个系统的研究网格模式的分布是由前两位作者进行的。在本文中，我们提供了深远的推广8个已知的分布结果和5个已知的避免结果有关的网格模式，通过给定的分布或避免公式，某些无限族的网格模式的分布或避免公式，为较小的模式。此外，作为一般结果的推论，我们找到了一个长度为2的网格模式的分布。
Some multivariate master polynomials for permutations, set partitions, and perfect matchings, and their continued fractions
我们发现Stieltjes型和雅可比型连分数的一些“主多项式”，枚举排列，集分区或完美匹配大量（有时无限）的同时统计。我们的结果包含许多以前获得的身份作为特殊情况下，提供了一个共同的改进。
Rationality for subclasses of 321-avoiding permutations
我们证明了，每一个真子类的321-避免排列，要么是由许多额外的限制，或者是很好的拟序定义有一个合理的生成函数。要做到这一点，我们表明，任何这样的类是在双射对应的正规语言。证明大量使用了形式语言和大量的编码，包括一种称为面板编码的新映射，它将语言映射到正整数的无限字母表上，避免将某些子字映射到有限字母表上的语言。
Words containing all permutations of a family of factors
我们证明，如果一个一致经常性的无限字包含作为一个因素的任何有限的置换的话，从一个无限的家庭，那么这个字是周期性的，或其复杂性（即，因素的数量）增长速度比线性。这个结果推广了de Luca和Zamboni最近的一篇论文中的一个引理，其中证明了这样一个无限词不可能是Sturmian的。
Ramsey-like theorems for separable permutations
研究无限团边着色中避免特定模式的无限制子团的存在性，证明可分离排列的避免性等价于标准模型中无限齐次集的存在，其他模式则不然。
Subdegree growth rates of infinite primitive permutation groups
一个集合$Ω$的置换的传递群$G$是本原的，如果$Ω$上唯一的$G$ -不变等价关系是平凡和泛关系。如果是$α\in Ω$，则稳定子$G_α$在$Ω$上的轨道称为$G$的$α$ -子轨道;当$G$传递作用时，这些$α$ -子轨道的基数是$G$的子次数。如果$G$连续作用在一个无限集合$Ω$上，并且$G$的所有子轨道都是有限的，Adeleke和Neumann问，在将$G$的子度枚举为非减序列$1 = m_0 \leq m_1 \leq ...$之后，在局部有限距离传递图上距离传递的无限本原群的子度增长率是否是极值的，并推测可能存在若干$c$，它们可能依赖于PDMATHAMM，可能仅依赖于PDMATHAMT，使得$m_r \leq c(m-2)^{r-1}$。在本文中，它表明，这样的枚举是不可取的，因为存在无限的原始置换群拥有没有无限的子度，其中两个不同的子度都等于基数的无穷多个子轨道。用来说明这一点的例子提供了几种构造无限本原图的新方法。一个修订后的枚举方法，然后提出，它表明，根据这一点，Adeleke和诺依曼的问题可能会得到回答，至少对于群体表现出适当的增长率。
Divergent permutations
如果两个自然数的排列中相同位置的元素之差的绝对值趋于无穷大，则这两个排列发散。我们证明了自然数的两两发散排列存在无穷多个。我们将这一结果与更一般的问题的置换能力的无限图。
The Infinite Limit of Separable Permutations
令$P_n^{\text{sep}}$表示$S_n$中可分置换集上的一致概率测度。设$\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\cup\{\infty\}$具有适当的度量，用$S(\mathbb{N},\mathbb{N}^*)$表示由从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}^*$的函数$σ=\{σ_i\}_{ i=1}^\infty$组成的紧致度量空间，当限制为$σ^{-1}(\mathbb{N})$ \rm时，这些函数是注入;即，如果$σ_i=σ_j$，$i\neq j$，则$σ_i=\infty$。通过定义$σ_j=j$扩展排列$σ\in S_n$，对于$j>n$，我们有$S_n\subset S(\mathbb{N},\mathbb{N}^*)$。我们表明，$\{P_n^{\text{sep}}\}_{n=1}^\infty$弱收敛于$S(\mathbb{N},\mathbb{N}^*)$再生型的极限分布，我们明确计算。
Infinite Limits of Finite-Dimensional Permutation Structures, and their Automorphism Groups: Between Model Theory and Combinatorics
在对齐次置换进行分类的过程中，Cameron引入了置换作为两个线性序语言中的结构的观点，这里采用这种结构观点。本文的主要内容是研究Cameron提出的关于有限维排列结构的分类问题。针对这个问题，我们提出了一个建设，我们猜想产生所有这样的结构。给出了这一猜想的一些证据，包括齐次三维置换结构的分类。接下来，我们考虑我们所构造的齐次有限维置换结构的自同构群的拓扑动力学，这需要证明所有相关合并类的结构拉姆齐定理。因为在这些齐次有限维置换结构中的$\emptyset$可定义的等价关系可以形成任意的有限分配格，模型论的代数闭包运算可能变得相当复杂，所以我们需要Hubička和Nešetril最近引入的框架。最后，我们考虑的判定问题是否有限约束的置换避免类是原子的，或等价地，有联合嵌入性质。作为这个问题的第一近似，我们证明了相应的判定问题在图的范畴中的不可判定性。修改这个证明也给出了不可判定性，在图的范畴内，相应的判定问题的联合同态属性，这是感兴趣的无限域约束满足问题。
Three Infinite Classes of APN Permutations on $Z_n$
本文在循环群上构造了三族无限类APN置换，利用Singer循环、二项式和完成倒数等方法，首次自2011年以来产生无限多个非标准形式的合数阶数，填补了该领域的空白。
Partition models, Permutations of infinite sets without fixed points, and weak forms of AC
该研究在ZF、ZFA系统中探究三类数学命题与弱选择公理的新关联，证明了图论相关原理与Kőnig引理等价，还明确了有限分划模型中弱选择公理的状态及Van Douwen选择原理在两类置换模型中的成立性。
Orbital graphs of infinite primitive permutation groups
若$G$是作用在集合$Ω$和$α, β\in Ω$上的群，则顶点集为$Ω$且弧集为轨道$(α, β)^G$的有向图称为$G$的{ \em轨道有向图}。稳定器$G_α$作用于$Ω$的每个轨道称为$G$的{ \it子轨道}。一个有向图是{ \em局部有限}的，如果每个顶点至多与1/2个其他顶点相邻。一个局部有限有向图$Γ$有不止一个端点，如果存在一个有限顶点集$X$，使得导出有向图$Γ\setminus X$至少包含两个无限连通分支;如果存在一个只包含一个元素的有限顶点集，则$Γ$有{ \em连通度1}。本文证明了：如果$G$是一个子轨道都是有限的本原置换群，且有一个多个端点的轨道有向图，则$G$有一个本原连通度为1的轨道有向图，并且这个有向图是本质唯一的.这种有向图类似树在许多方面，并已充分特点，在以前的论文作者。
Gibbs measures on permutations over one-dimensional discrete point sets
我们考虑局部有限无限集$X\subset\mathbb{R}$的置换上的吉布斯分布，其中$X$的置换$σ$被分配（形式）能量$\sum_{x\in X}V(σ(x)-x)$。这是由量子玻色气体的费曼路径表示激发的;选择$X:=\mathbb{Z}$和$V(x):=αx^2$是主要的兴趣。在集$X$和势$V$上适当的正则性条件下，我们建立了该问题的无限体积Gibbs测度的存在性和完全分类，包括关于典型置换的无限圈数的结果.与以前的结果不同，我们的结论并不局限于小密度和/或高温。
Permutation monoids and MB-homogeneity for graphs and relational structures
本文研究了一阶结构的无限置换幺半群与双态幺半群之间的关系。从无限置换群结构的自同构群的研究和同态-齐次结构领域的最新进展出发，我们建立了一系列强调这种联系的结果。特别有趣的是MB-齐性的概念;一个关系结构$\mathcal{M}$是MB-齐性的，如果$\mathcal{M}$的有限子结构之间的每一个单态都扩展到$\mathcal{M}$的双态。讨论的结果包括闭置换幺半群的一个刻画，MB-齐次结构的一个Fraïssé-like定理，以及$2^{\aleph_0}$两两非同构可数MB-齐次图的构造.证明了任意有限群都是MB-齐次图的自同构群，并利用这一点构造了单位为任意给定有限群的寡纯置换幺半群。我们还考虑MB-齐性的各种众所周知的例子，均匀的结构，特别是给可数均匀无向图，也MB-齐性的一个完整的分类。
A recursive construction of t-wise uniform permutations
利用（2 t +1）-（2n，n，\cdot）组合设计、n个对象上的t-均匀排列集和n个对象上的（2 t +1）-均匀排列集，给出了2n个对象上的（2 t +1）-均匀排列集的递归构造.在这个过程中使用完全设计给出了n个大小不超过t^2n的对象上的t-均匀排列集，这是t \geq 4的t-均匀排列集的无限族的第一个非平凡构造。如果找到具有合适参数的非平凡设计，则将意味着结构的相应改进。
Log-concavity with respect to the number of orbits for infinite tuples of commuting permutations
本文提出了关于交换置换组轨道数 $A(p,n,k)$ 关于 $k$ 的对数凹性猜想，并基于广义 Turán 数关于 $k$ 的对数凹性，证明了该猜想 $p=\infty$ 的情形。
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