The spectral decomposition of shifted convolution sums
Valentin Blomer, Gergely Harcos
本文研究了移位卷和的谱分解问题，针对全纯或Maass尖点形式的Hecke特征值，提出了相应的谱分解方法。
我们得到了全纯或Maass尖点形式的Hecke特征值中移位卷积和的谱分解。
We obtain a spectral decomposition of shifted convolution sums in Hecke eigenvalues of holomorphic or Maass cusp forms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bounds on shifted convolution sums for Hecke eigenforms
移位卷积和在解析数论中起着重要的作用。我们调查逐点界，均方界，和平均界移位卷积和赫克特征形。
Shifted bilinear sums of Salié sums and the distribution of modular square roots of shifted primes
研究Salié和的移位双线性和的上界，并分析移位素数的模平方根分布，揭示$b\not \equiv 0 \bmod q$时的新困难。
Shifted convolution sums and Eisenstein series formed with modular symbols
二阶Eisenstein级数的傅里叶系数被描述为移位卷积和。该描述用于获得移位卷积和的谱分解和估计。
Multiplicative Energy of Shifted Subgroups and Bounds On Exponential Sums with Trinomials in Finite Fields
本文给出了素有限域子群中共线性三元组的一个新的界，并利用它给出了具有三项式的指数和的一些新的界。
On certain kernel functions and shifted convolution sums of the Fourier coefficients
研究了全纯尖点形式的傅里叶系数的四次幂的移位卷积和的性质，其中权函数为$k$ -满核函数，且对任意固定整数$k\geq2$ .
On Multiple Shifted Convolution Sums
本文利用圆法及多种标准工具，对二次扭曲的 GL2 L-函数平移卷积和平均值给出了强估计。
Triple Shifted Sums of Automorphic L-Functions
本文给出了两类全纯尖点形式的傅里叶系数的三重移位卷积和的三复变数亚纯延拓。这个构造的基础是基于Jeffrey Hoffstein最近开发的一个特殊截断庞加莱级数的谱展开的延续。其结果是，我们能够产生以前未研究的和非平凡的渐近截断移位总和，我们期望对应于非对角项的自守L函数的第三时刻。
Character sums over shifted primes
对于整数$q$，设$χ$是本原乘法特征标$\pmod q.$。对于与$q$互质的整数$a$，我们得到了和$$\sum_{n\le N}Λ(n)χ(n+a),$$的一个新的界，其中$Λ(n)$是von Mangoldt函数。这个界改进和推广了Friedlander，Gong和Shparlinski的一个结果
A Sieve Method for Shifted Convolution Sums
研究了${\rm SL}_2 (\mathbbm{Z})\backslash \mathbbm{H}$上与量子唯一遍历性问题有关的移位卷积求和项的平均大小。建立一个上限筛法处理这样的总和，我们实现了一个无条件的结果，这表明，平均大小的总和项应足以在量子唯一遍历性的应用。换句话说，虽然受欢迎，但可能不需要取消求和项。在适当的条件下，筛法还可用于其它乘性函数的移位和，得到类似的结果。
Shifted convolution sums and Burgess type subconvexity over number fields
设$F$是数域，$π$是$\mathrm{GL}_{2}(F)\backslash\mathrm{GL}_{2}(\mathbf{A})$的具有酉中心特征标的不可约尖点表示.则该界$$L(1/2,π\otimesχ)\ll_{F,π,χ_{\infty},\varepsilon} \mathcal{N}(\frak{q})^{3/8+θ/4+\varepsilon}$$对导体$\frak{q}$的任何Hecke特征标$χ$成立，其中$θ$是Ramanujan-Petersson猜想的任何常数（$θ=7/64$是可容许的）。该证明基于移位卷积和的谱分解。
Applications of zero-free regions on averages and shifted convolution sums of Hecke eigenvalues
本文假设Vinogradov-Korobov型无零点区域与广义Ramanujan-Petersson猜想，建立了$SL(n,\mathbb{Z})$上Hecke-Maass尖形式傅里叶系数短和的非平凡上界，并应用于移位和均值及系数变号的条件性结果。
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions
对于两个数论函数$f$和$g$，我们研究了形式为$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$的卷积和，给出了其具有显式误差项的渐近公式.在这里，我们介绍了有限拉马努金展开的算术函数的概念，并延长我们以前的工作在这个设置。
Transition Mean Values of Shifted Convolution Sums
设f是Hecke代数的正规本征函数SL_2（Z）的权为k的经典全纯尖点形式，λ（n）是它的本征值.本文研究了特征值λ（n）在多次移位h上平均后的“移位卷积和”，并得到了渐近估计。结果有点令人惊讶：人们遇到了一个过渡区域，该区域取决于平均长度的平方与h的比值。这一现象与Conrey，Farmer和Soundararajan在2000年的论文Transition Mean Values of Real Characters中所遇到的类似，并讨论了这两个结果与Eisenstein级数和多重狄利克雷级数的关系。
Shifted convolution sums involving theta series
设$f$是一个任意水平的尖点新形式（全纯的或Maass的），用$λ_f(n)$表示它的$n$ -次Hecke特征值.本文研究了移位卷积和$$ r(n)=\#\left\{(n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2:n_1^2+n_2^2=n\right\}. $$，并建立了$\mathcal{S}_h(X)$关于移位$h$的统一界.
Shifted convolution sums for $GL(3)\times GL(2)$
对于移位卷积和$$ D_h(X)=\sum_{m=1}^\inftyλ_1(1,m)λ_2(m+h)V(\frac{m}{X}) $$，其中$λ_1(1,m)$是$SL(3,\mathbb Z)$ Maass形式$π_1$的傅立叶系数，$λ_2(m)$是$SL(2,\mathbb Z)$ Maass或全纯形式$π_2$的傅立叶系数，并且$1\leq |h| \ll X^{1+\varepsilon}$，我们建立了界$$ D_h(X)\ll_{π_1,π_2,\varepsilon} X^{1-(1/20)+\varepsilon}. $$。
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions, II
我们继续我们的研究卷积和两个算术函数$f$和$g$，形式$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，在启发式渐近公式的上下文中。这里，整数$h\ge 0$通常被称为卷积和的{ \it移位}。为了研究广义$f,g$的有限Ramanujan展开式的卷积和，我们进一步研究了广义$f,g$的有限Ramanujan展开式.此外，我们介绍了另一种Ramanujan扩展的卷积和的$f$和$g$，即在其移位$h$方面，我们比较这个\lq \lq移位Ramanujan扩展\rq \rq，与我们以前的有限扩展的$f$和$g$参数。最后但并非最不重要的，我们给出了这样的移位扩展的例子，在经典文献中，启发式公式。
Shifted convolution sums of $GL_3$ cusp forms with $θ$-series
令$A_f(1,n)$是Hecke-Maass尖点形式$f$的归一化傅立叶系数，用于$SL_3(\mathbb{Z})$和$$ r_3(n)=\#\left\{(n_1,n_2,n_3)\in \mathbb{Z}^3:n_1^2+n_2^2+n_3^2=n\right\}. $$。令$1\leq h\leq X$和$ϕ(x)$是$[1/2,1]$上紧支持的光滑函数。证明了$$ \sum_{n\geq 1}A_f(1,n+h)r_3(n)ϕ\left(\frac{n}{X}\right) \ll_{f,\varepsilon} X^{\frac{3}{2}-\frac{1}{8}+\varepsilon} $$关于位移$h$是一致的.
Shifted sums of the Bernoulli numbers, reciprocity, and denominators
我们考虑的数字$\mathcal{B}_{r,s} = (\mathbf{B}+1)^r \mathbf{B}^s$（在本影符号$\mathbf{B}^n = \mathbf{B}_n$与伯努利数），有一个众所周知的互惠关系，这是经常发现的文献，可以追溯到19世纪。在最近的一篇论文中，自互伯努利多项式，其系数与这些数字有关，出现在幂和和所谓的Faulhaber多项式的上下文中。数$\mathcal{B}_{r,s}$可以用迭代和差来递归表示，因此这些数一般不为零并不明显。作为一个主要的结果，在其他属性，我们显示了这些数字的非零，除了例外情况。我们进一步推导出一个显式的产品公式，其分解子，从冯Staudt-Clausen型关系。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients, II
设$f(n)$是一个乘法函数，其中$|f(n)|\leq 1, q$是一个素数，$a$是一个整数，其中$(a, q)=1, χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.设$\varepsilon$是一个足够小的正常数，$A$是一个大常数，$q^{\frac12+\varepsilon}\ll N\ll q^A$。本文证明了$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll N\frac{\log\log q}{\log q} $$和$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll N\frac{\log\log q}{\log q}, $$，其中$t\geq 2, a_1, \ldots, a_t$是模$q$的不同整数.
On the asymptotics of the shifted sums of Hecke eigenvalue squares
本文的目的是得到Hecke特征值平方和的平均移位渐近性。我们表明，$X^{\frac{2}{3}+ε} < H <X^{1-ε},$有常数$B_{h}$，使$$ \sum_{X\leq n \leq 2X} λ_{f}(n)^{2}λ_{f}(n+h)^{2}-B_{h}X=O_{f,A,ε}\big(X (\log X)^{-A}\big)$$的所有，但$O_{f,A,ε}\big(H(\log X)^{-3A}\big)$整数$h \in [1,H]$其中$\{λ_{f}(n)\}_{n\geq1}$是归一化赫克特征值的一个固定的全纯尖点形式$f.$我们的方法是基于Hardy-Littlewood圆方法。我们将小弧分为两部分$m_{1}$和$m_{2}.$为了治疗$m_{2},$，我们使用Hecke关系，米勒的一个界限，适用于一些参数从一份文件的Matomäki，Radziwill和陶。我们应用Parseval恒等式和Gallagher引理来处理$m_{1}.$
Sums of values of non-principal characters over shifted primes
本文研究非主特征在移位素数序列上的取值和，在 $x\ge D^{5/6+\varepsilon}$ 条件下证明了带指数衰减因子的非平凡上界估计。
Large values of shifted mixed character sums
研究大偏移混合特征和的界，扩展了Montgomery和Iggidr的结果，允许一般非主特征和考虑不完整混合特征和。
Selberg sieve weights and sign changes of Kloosterman sums. I. Uniform asymptotics for shifted weights
本文证明带二次截断函数的除数和关联的均匀渐近公式，误差为O_g(Y/(log Y)^2)，主项为导数双线性形式，为Kloosterman和符号变化问题提供关键估计。
Shifted convolution sums of coefficients of symmetric power $L$-functions with $k$-full kernels over sums of squares in arithmetic progressions
研究全模群上整权Hecke本征形式f的对称幂L-函数系数在模q同余1的m平方和上的部分和及其二阶矩，并应用于系数与k-满核函数的平移卷积和及符号变化计数。
On certain kernel functions and shifted convolution sums of Hecke eigenvalues
本文针对全模群上偶整权重的归一化本原全纯尖点形式的第j次对称幂L-函数系数，研究以k-full核函数为权的移位卷积和的行为，属于数论领域的解析数论研究。
Averages of shifted convolutions of $d_3(n)$
研究了广义除数函数$d_3(n)$的移位卷积的一阶矩和二阶矩。
Averages of shifted convolution sums for $GL(3) \times GL(2)$
令$A_f(1,n)$为$GL(3)$ Maass尖点形式$f$的归一化傅立叶系数，令$a_g(n)$为$GL(2)$尖点形式$g$的归一化傅立叶系数。令$λ(n)$为$A_f(1,n)$或三重除数函数$d_3(n)$。本文证明了对任意$ε>0$，任意整数$r\geq 1$和$r^{5/2}X^{1/4+7δ/2}\leq H\leq X$都有$δ>0$，$$ \frac{1}{H}\sum_{h\geq 1}W\left(\frac{h}{H}\right) \sum_{n\geq 1}λ(n)a_g(rn+h)V\left(\frac{n}{X}\right)\ll X^{1-δ+ε}, $$，其中$V$和$W$是光滑紧支撑函数，隐含常数只依赖于相应的形式和$ε$ .
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: IV
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文开始了我们所谓的II型和的一般性研究，利用循环方法框架和卷积的移位卷积和获得所有的低阶项的渐近公式中的均方沿$[T,2T]$的狄利克雷多项式的长度达$T^3$与除数函数作为系数。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients
设$f(n)$是一个满足$|f(n)|\leq 1$的乘法函数，$q$ $(\leq N^2)$是一个素数，$a$是一个具有$(a,\,q)=1$的整数，$χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.本文将证明$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}. $$我们还将证明\begin{align*} &\sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)\\ &\quad+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}, \end{align*}其中$t\geq 2$，$a_1,\,\cdots,\,a_t$是模$q$的两两不同的整数.
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: V
在这一系列的文件中，我们检查的$2k$次时刻和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文完成了我们称之为II型和的一般性研究，它利用循环方法框架和移位卷积和的卷积来获得以除数函数为系数的任意长度的Dirichlet多项式的均方沿$[T,2T]$的渐近公式中的所有低阶项。
Shifted convolution of divisor function $d_3$ and Ramanujan $τ$ function
研究了除数函数$d_3$与Ramanujan $τ$函数的移位卷积和.
Identities for the shifted harmonic numbers and binomial coefficients
给出了n + α阶移位调和数和与倒数二项式系数关于α阶移位调和数的新的封闭形式表示.一些有趣的新的后果和说明性的例子。
Shifted Convolution $L$-Series Values for Elliptic Curves
使用显式构造的Weierstrass模拟模形式的形式，我们提供了一个闭公式生成的值的移位卷积$L$ -值的某些椭圆曲线，可以计算到任意精度。这些恒等式提供了加权$2$新形式和移位卷积$L$值之间令人惊讶的关系。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: III
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文研究了经典的除数和移位卷积问题的结构公式的精确输入，从而得到了以除数函数为系数的长度为$T^2$的Dirichlet多项式沿$[T,2T]$的均方渐近公式中的所有低阶项.
Estimates for the shifted convolution sum involving Fourier coefficients of cusp forms of half-integral weight
本文给出了半整权尖点形式的傅里叶系数的移位卷积和的估计。
Sums with convolution of Dirichlet characters
本文改进了Shparlinski和Banks关于Dirichlet特征标卷积和的一个结果。
The Shifted Convolution of Divisor Functions
我们证明了一个渐近公式的移位卷积的除数函数$d_3(n)$和$d(n)$，这是均匀的移位参数，并具有省电的误差项。该方法也被应用于给出$d_3(n)$的移位卷积和全纯尖点形式的Fourier系数的类似估计。这些渐近性改进了几个不同作者以前的结果。
Multiple Dirichlet Series and Shifted Convolutions
定义了一元和二元移位Rankin-Selberg卷积的亚纯延拓，并得到了它们的亚纯延拓。作为示例应用程序，这种延续是用来获得估计单，双移位和一个Burgess型界的$L$系列相关的模形式的任意中心字符。作者及其同事的后续工作提供了进一步的应用。
Upper bounds for moments of zeta sums
该研究在黎曼假设前提下，借助黎曼zeta函数平移矩的成果，推导出zeta和的矩的上界，为数论领域相关研究提供了新的理论支撑。
Shifted convolutions and a conjecture by Mazur, Rubin and Stein
本文证明了Mazur，Rubin和Stein关于模符号的某些平均数的一个猜想。
Shifted convolution sums motivated by string theory
本文受弦理论中低能散射振幅计算启发，严格计算两类含除数函数与幂次或对数因子的移位卷积和，推导出精确恒等式并提出新的为零猜想。
The shifted convolution of generalized divisor functions
我们证明了一个渐近公式的移位卷积的除数函数$d_k(n)$和$d(n)$与$k \geq 4$，这是均匀的移位参数，并具有节能的误差项，提高以前的Fouvry和Tenenbaum，最近，Drappeau的结果。
Kernels of L-functions and shifted convolutions
给出了与尖点形式相关联的L函数的值的导数所属域的一个特征。建设涉及移位卷积系列的除数和，并建立它，我们结合部分F。Brown研究具有二重Eisentein级数性质的多重模值的技巧是本文作者和C。奥沙利文
Additive Sums of Generalized Shifted Ternary Divisor Functions
本文针对特定参数范围的广义移位三元加性除数和，在假设相关函数算术级数分布水平的条件下，证明了带显式主项和幂节省误差项的渐近公式。
Shifted convolution sum with weighted average : $GL(3) \times GL(3)$ setup
研究针对一般 $GL(3) \ imes GL(3)$ 移位卷积和，运用圆法证明其平均及加权平均版本的非平凡估计。
On the shifted convolution problem in mean
研究了固定非全纯尖点形式的Hecke特征值上的移位卷积问题的均值。对于加权情形，我们也得到了一个结果.此外，我们指出，证明产生类似的上界的移位卷积问题的傅里叶系数的一个固定的全纯尖点形式的平均。
Asymptotic bounds for special values of shifted convolution Dirichlet series
Hoffstein和Hulse通过将通常的Rankin-Selberg卷积L-级数“移位”一个参数h，定义了两个尖点形式的移位卷积级数。我们利用调和Maass型理论研究了这些级数的某些值在h-方面的行为，并证明了当h趋于无穷大时的多项式界。我们的方法依赖于Mertens和Ono的结果，他们证明了这些值是混合模拟模形式的傅里叶系数。
On asymptotics of shifted sums of Dirichlet convolutions
本文利用哈代-利特尔伍德圆法研究满足拉马努金猜想的乘性函数卷积的平移和，在广泛范围内证明了几乎对所有平移参数成立的渐近公式，并给出加权指数和的新上界。
Special values of shifted convolution Dirichlet series
在最近的一篇重要论文中，Hoffstein和Hulse通过定义移位卷积$L$-函数，推广了Rankin-Selberg卷积$L$-函数的概念。我们调查对称版本的功能。在适当的条件下，证明了某些特殊值的生成函数是弱全纯拟模形式与“混合拟模”形式的线性组合。
New bounds for $\mathrm{GL}(3)\times\mathrm{GL}(2)$ shifted convolution sums
本文针对GL(3)×GL(2)移位卷积和的两类情形，改进了幂节省界，结合两种圆法优化主弧分析，解决了一个开放情形并明确了关键抵消机制。
Shifted convolution and the Titchmarsh divisor problem over F_q[t]
本文解决了解析数论中关于除数函数的自相关的经典问题在大有限域极限下的一个函数域模拟。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: II
这是第二部分，我们检查的第二和第四时刻和转移的时刻的黎曼ζ函数的临界线上使用长狄利克雷多项式和除数相关。
The shifted convolution problem for Fourier coefficients of Siegel modular forms of degree $2$
本文提出了一种基于自守诠释的新方法，首次对更高秩群上的移位卷积和给出了非平凡估计，通过估计塞尔曼泊松级数的傅里叶系数实现。
Smoothed Shifted Convolutions of Generalised Divisor Functions
研究广义除数函数 \(d_k(n)\) 与除数函数 \(d(n)\) 的平滑移位卷积，证明其渐近公式，有与 \(k\) 无关的幂节省误差项，改进了特定条件下前人结果。
A shifted convolution sum for $GL(3)\times GL(2)$
本文估计了移位卷积和\[\sum_{n\geqslant1}λ_1(1,n)λ_2(n+h)V\Big(\frac{n}{X}\Big),\]，其中$V$是一个在$[1,2]$中具有支集的光滑函数，$1\leqslant|h|\leqslant X$，$λ_1(1,n)$和$λ_2(n)$分别是$SL(3,\mathbf{Z})$和$SL(2,\mathbf{Z})$ Hecke-Maass尖点形式的$n$阶Fourier系数.我们证明了一个上界$O(X^{\frac{21}{22}+\varepsilon})$，更新Munshi最近的结果。
Eisenstein Series and Convolution Sums
我们计算了权$2$和权$4$ Eisenstein级数在不同尖点的傅里叶级数展开式。然后，我们使用这些计算的结果给出卷积和$ \sum_{a+p b=n}σ(a)σ(b)$，$ \sum_{p_1a+p_2 b=n}σ(a)σ(b)$和$ \sum_{a+p_1 p_2 b=n}σ(a)σ(b)$的公式，其中$p, p_1, p_2$是素数。
Evaluating convolutions of divisor sums with quasimodular forms
我们提供了一个系统的方法来计算算术和，包括一些以前计算的Alaca，Alaca，Besge，程，Glaucine，Huard，Lahiri，Lemire，Melfi，Ou，Ramanujan，Spearman和Williams。我们的方法是基于准模形式。这种模形式的推广是由Kaneko和Zagier构造的。
Convolution formula for the sums of generalized Dirichlet L-functions
利用Kuznetsov迹公式，证明了广义Dirichlet $L$ -函数和的谱分解.在应用程序是一个明确的公式有关的规范的总理测地线矩的对称平方$L$ -功能和渐近展开的平均中心值的广义狄利克雷$L$ -功能。
Sums of divisor functions and von Mangoldt convolutions in $\mathbb F_q[T]$ leading to symplectic distributions
在[arXiv：1504.07804]中，Keating、Rodgers、Roditty-Gershon和Rudnick建立了除数函数$d_k(f)$在短间隔上和函数域$\mathbb F_q[T]$的等差数列上的和的均方与酉矩阵系综上的某些积分的关系。我们考虑类似的问题，导致分布在合奏辛矩阵。我们也考虑类似的问题，涉及卷积的冯Mangoldt功能。
Sums of multiplicative characters with additive convolutions
本文给出了具有小加法加倍的集合的特征函数的加法卷积的乘法特征标的二进制和三进制和的新估计。特别地，我们改进了M. C.昌证明使用Croot-Sisask几乎周期引理。
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