Sums with convolution of Dirichlet characters
Dmitry Ushanov
本文改进了Shparlinski和Banks关于Dirichlet特征标卷积和的一个结果。
We improve a recent result by Shparlinski and Banks related to sums with convolution of Dirichlet characters.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Exponential sums with coefficients of certain Dirichlet series
在t-和q-方面的广义Lindelöf假设下，我们得到了一类狄利克雷级数系数的指数和的界.我们使用这些估计建立一个有条件的结果平方的Hecke特征值在Piatetski-Shapiro素数。
Convolution formula for the sums of generalized Dirichlet L-functions
利用Kuznetsov迹公式，证明了广义Dirichlet $L$ -函数和的谱分解.在应用程序是一个明确的公式有关的规范的总理测地线矩的对称平方$L$ -功能和渐近展开的平均中心值的广义狄利克雷$L$ -功能。
Bounds for moments of quadratic Dirichlet character sums of prime moduli
本文在广义黎曼假设下，先对模8p的二次Dirichlet L-函数平移矩建立精确上界，再据此证明素数模二次Dirichlet特征和矩的界。
Computing Dirichlet character sums to a power-full modulus
Postnikov特征公式用于表示狄利克雷特征和的大部分二次指数和。二次和，然后计算使用的分析算法，以前推导出的作者。如果模数足够平滑，则这导致功率节省。作为应用，给出了一种计算复杂度指数为1/3且模足够光滑的Dirichlet L-函数的快速实用方法.
Bounds for moments of quadratic Dirichlet character sums
本文研究平滑二次 Dirichlet 特征和的矩估计问题，在广义 Riemann 假设下证明其上界，从而确认 M. Jutila 的相关猜想。
In this paper, we study the alternating Euler $T$-sums and $§$-sums, which are infinite series involving (alternating) odd harmonic numbers, and have similar forms and close relations to the Dirichlet beta functions. By using the method of residue computations, we establish the explicit formulas for the (alternating) linear and quadratic Euler $T$-sums and $§$-sums, from which, the parity theorems of Hoffman's double and triple $t$-values and Kaneko-Tsumura's double and triple $T$-values are further obtained. As supplements, we also show that the linear $T$-sums and $§$-sums are expressible in…
Estimates for character sums and Dirichlet $L$-functions to smooth moduli
我们使用van der Corput方法的$q$ -模拟来估计短特征和以平滑模。若$χ$是模无平方的本原Dirichlet特征标，则$q^δ$ -光滑整数$q$证明了$$L(\frac12,χ)\ll_εq^{\frac{27}{164}+O(δ)+ε}.$$
Exponential sums with Dirichlet coefficients of L-functions
改进和推广了作者最近的结果，给出了区间上所有整数和素数上L函数的Dirichlet系数指数和的条件估计.特别是，我们建立了新的条件结果指数和Hecke特征值和平方的Hecke特征值素数。我们利用这些估计来改进我们最近关于对称平方L函数的Hecke本征形在黎曼假设下的Piatetski-Shapiro素数处的Hecke本征值平方的结果。
Moments of quadratic Dirichlet character sums
本文研究二次狄利克雷特征和的高次幂矩，利用多变量 Tauberian 定理得到渐近行为，并给出 Jutila 猜想中对数因子指数的下界及 L-函数平移矩加权平均的下界。
Mean values of cubic and quartic Dirichlet Characters
我们评估的平均三次和四次狄利克雷特征的总和与模的大小可比的长度的个人总和。这推广了Conrey，Farmer和Soundararajan关于二次Dirichlet特征和的一个结果.
Distribution of sums involving Dirichlet characters over the $k$-free integers
在广义黎曼假设和Riemann zeta函数（或Dirichlet $L$-函数）负离散矩有界条件下，证明了$k$-无平方因子整数上归一化部分和$x^{-\frac{1}{2k}}\sum_{n\leq x}f(n)$的对数极限分布的存在性，并加强了关于这些部分和精确量级的猜想。
Multiplicative Functions and a Taxonomy of Dirichlet Characters
证明了一种估计与狄利克雷字符编织的乘性函数的总和的方法，导致这样的总和是大的字符的分类。
On the mean value of the generalized Dirichlet L-functions with the weight of the Gauss Sums
设$q\ge3$是一个整数，$χ$表示模$q$的Dirichlet特征标，对任意实数$a\ge 0$，定义了广义Dirichlet $L$ -函数$$ L(s,χ,a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{χ(n)}{(n+a)^s}, $$，其中$s=σ+it$中的$σ>1$和$t$都是实数.通过解析延拓，它可以推广到所有的$s$。对于任何整数$m$，著名的高斯和$G(m,χ)$定义如下：$$G(m,χ)=\sum_{a=1}^{q}χ(a)e\left(\frac{am}{q}\right), $$其中$e(y)=e^{2πiy}$。本文主要目的是用解析方法研究广义Dirichlet $L$ -函数的均值性质，得到一个精确的渐近公式。
Sums of $L$-functions over the rational function field
Friedberg，Hoffstein和Lieman利用二次和高阶$L$ -函数和Gauss和构造了两个相关的重狄利克雷级数.我们在有理函数域的情况下，显式地计算这些多重狄利克雷级数。这是通过利用$L$ -函数的函数方程和与两个多重狄利克雷级数相关的函数方程来完成的。我们还指出了这些系列和它们的$p$ -部分之间的一个非常简单的对应关系。
The reciprocity law for the twisted second moment of Dirichlet L-functions
给出了最近由Conrey证明的Dirichlet L函数的扭曲二阶矩的倒易律的一个新证明。我们的方法是分析某些两个变量的和，其中变量满足一次同余方程。我们表明，这些款项满足一个优雅的互惠公式。在模为素数的情况下，这些和与扭转二阶矩密切相关，并且这些和的互易公式包含Conrey的互易公式。我们还扩大了Conrey公式的一致性范围。
Character sums over products of prime polynomials
本文研究了$\mathbb{F}_q[t]$中多项式上的Dirichlet特征标的和问题.我们的主要结果是明确的公式，这些总和的Dirichlet L-函数的零点。我们还展示了新的现象，切比雪夫型偏差的不可约因子的数量是非常大的。
Zeros of $L$-functions and large partial sums of Dirichlet coefficients
该研究针对满足弱广义Ramanujan猜想的$L$-函数，证明其Dirichlet系数的大偏和会排斥低零点远离临界线，拓展并定量改进了前人相关研究成果。
In this paper we study sums of Dirichlet series whose coefficients are terms of the Thue-Morse sequence and variations thereof. We find closed-form expressions for such sums in terms of known constants and functions including the Riemann zeta function and the Dirichlet eta function using elementary methods.
We prove an asymptotic formula for the mean-square average of $L$- functions associated to subgroups of characters of sufficiently large size. Our proof relies on the study of certain character sums ${\cal A}(p,d)$ recently introduced by E. Elma. We obtain an asymptotic formula for ${\cal A}(p,d)$ which holds true for any divisor $d$ of $p-1$ removing previous restrictions on the size of $d$. This anwers a question raised in Elma's paper. Our proof relies both on estimates on the frequency of large character sums and techniques from the theory of uniform distribution. As an application we dedu…
Large value estimates for Dirichlet polynomials and trilinear sums over short intervals
本文借鉴Matomäki等人的方法，对$\ rac{1}{2} < \ heta < \ rac{4}{7}$改进了短区间三线性和的Baker--Harman--Pintz估计，得到$\ rac{1}{2} < \ heta < 1$的新结果，可改进Li关于短区间素数的研究。
Modified Dirichlet character sums over the $k$-free integers
本文研究 $k$-自由整数上 $\pm 1$ 乘法函数部分和的抵消量，在二次狄利克雷 $L$-函数黎曼假设下，对修正二次狄利克雷特征证明了 $x^{1/(k+1)}$ 的抵消，改进了已有条件结果。
Shifted convolution sums play a prominent rôle in analytic number theory. We investigate pointwise bounds, mean-square bounds, and average bounds for shifted convolution sums for Hecke eigenforms.
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: IV
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文开始了我们所谓的II型和的一般性研究，利用循环方法框架和卷积的移位卷积和获得所有的低阶项的渐近公式中的均方沿$[T,2T]$的狄利克雷多项式的长度达$T^3$与除数函数作为系数。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: V
在这一系列的文件中，我们检查的$2k$次时刻和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文完成了我们称之为II型和的一般性研究，它利用循环方法框架和移位卷积和的卷积来获得以除数函数为系数的任意长度的Dirichlet多项式的均方沿$[T,2T]$的渐近公式中的所有低阶项。
Shifted convolution sums and Eisenstein series formed with modular symbols
二阶Eisenstein级数的傅里叶系数被描述为移位卷积和。该描述用于获得移位卷积和的谱分解和估计。
Elementary Evaluation of Convolution Sums involving primitive Dirichlet Characters for a Class of positive Integers
推广了E. Ntienjem到所有正整数。设$\EuFrak{N}$是$\mathbb{N}$的由$\,2^ν\mho$组成的子集，其中$ν$在$\{0,1,2,3\}$中，$\mho$是不同奇素数的无平方有限积。我们讨论的卷积和，$\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}^{2}} {α\,l+β\,m=n} } }{\sum}σ(l)σ(m)$，当$αβ$是在$\mathbb{N}\setminus\EuFrak{N}$的评价。属于这类卷积和的评价是通过应用模形式和原始Dirichlet特征来实现的。此外，我们重新评估了$αβ=9$，$16$，$18$，$25$，$36$的卷积和。如果$αβ\equiv 0 \pmod{4}$，我们确定自然数$a,b$，并使用评估的卷积和与其他已知的卷积和一起进行$n$的八元二次形式$a\,(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2})+ b\,(x_{5}^{2} + x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + x_{8}^{2})$的表示数。类似地，如果$αβ\equiv 0 \pmod{3}$，我们计算自然数$c,d$，并利用评估的卷积和与其他已知的卷积和来确定由八元二次形式$c\,(\,x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}…
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: III
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文研究了经典的除数和移位卷积问题的结构公式的精确输入，从而得到了以除数函数为系数的长度为$T^2$的Dirichlet多项式沿$[T,2T]$的均方渐近公式中的所有低阶项.
On Multiple Shifted Convolution Sums
本文利用圆法及多种标准工具，对二次扭曲的 GL2 L-函数平移卷积和平均值给出了强估计。
We study the behavior of the shifted convolution sum involving fourth power of the Fourier coefficients of holomorphic cusp forms with a weight function to be the $k$-full kernel function for any fixed integer $k\geq2$.
Inspired by a famous identity of Ramanujan, we propose a general formula linearizing the convolution of Dirichlet series as the sum of Dirichlet series with modified weights; its specialization produces new identities and recovers several identities derived earlier in the literature, such as the convolution of squares of Bernoulli numbers by A. Dixit and collaborators, or the convolution of Bernoulli numbers by Y. Komori and collaborators.
$Ω$-bounds for the partial sums of some modified Dirichlet characters II
本文研究修正Dirichlet特征的部分和下界问题，通过结合解析数论、调和分析、Baker对数线性型理论与模1均匀分布序列偏差界工具，证明了本原特征下例外素数集合$S$对应部分和的$\Omega$型下界，推进了相关猜想的研究进展。
Fibonacci, Dirichlet, and Gauss in a single sum
研究分数部分和\(\sum_{k = 1}^{n}\{F_n/F_k\}\)，其渐近行为因\(n\)奇偶性而异，奇数\(n\)对应高斯圆问题，偶数\(n\)对应狄利克雷除数问题，还证明了二阶递推数列类似公式。
Note on large quadratic character sums
本文在广义黎曼假设下，证明了二次狄利克雷特征和存在大值的Omega结果，深化了对该特征和极值行为的理解。
Eisenstein Series and Convolution Sums
我们计算了权$2$和权$4$ Eisenstein级数在不同尖点的傅里叶级数展开式。然后，我们使用这些计算的结果给出卷积和$ \sum_{a+p b=n}σ(a)σ(b)$，$ \sum_{p_1a+p_2 b=n}σ(a)σ(b)$和$ \sum_{a+p_1 p_2 b=n}σ(a)σ(b)$的公式，其中$p, p_1, p_2$是素数。
Evaluating convolutions of divisor sums with quasimodular forms
我们提供了一个系统的方法来计算算术和，包括一些以前计算的Alaca，Alaca，Besge，程，Glaucine，Huard，Lahiri，Lemire，Melfi，Ou，Ramanujan，Spearman和Williams。我们的方法是基于准模形式。这种模形式的推广是由Kaneko和Zagier构造的。
On sums involving powers of harmonic numbers
本文研究由调和数幂生成的Dirichlet级数，推导相关级数并分析其解析性质与渐近行为，进而揭示其与Euler-Mascheroni常数无理性证明之间的可能联系。
Non-Random Behaviour in Sums of Modular Symbols
在$N$是素数且等于Dirichlet特征标的导子的情况下，给出了$Γ_0(N)$上Dirichlet特征标和模符号扭曲的Eisenstein级数的傅里叶系数的显式表达式.我们通过计算与这些Eisenstein级数密切相关的自守函数的谱分解得到这些表达式。作为一个应用程序，我们然后评估某些模块符号的方式，这与过去的工作Goldfeld，O'Sullivan，Petridis和Risager。在一种情况下，我们发现这个和中的抵消比“平方根抵消”的常见现象所预测的要少，而在另一种情况下，我们发现更多的抵消。
Character sums of composite moduli and hybrid subconvexity
设$M=M_1 M_2 M_3$是三个不同素数的乘积，并且设$χ=χ_1 χ_2 χ_3$是模$M$的狄利克雷特征标，使得每个$χ_i$是$i=1,2,3$的模$M_i$的本原特征标。本文给出了一种$δ$ -符号方法，用于获得$\sum_{n=1}^\infty χ(n) W(n/N)$形式的光滑特征和中的非平凡消去，其中$N$的大小约为$\sqrt M$，$W$是$(0, \infty)$上的光滑紧支撑权函数.作为推论，我们建立了相应的Dirichlet $L$ -函数的混合次凸性界。
Sums of Fourier coefficients involving theta series and Dirichlet characters
本文研究了全纯或 Maass 尖点形式与 theta 级数及 Dirichlet 特征标相关的 Fourier 系数加权求和问题，针对任意 $\ell \geq 3$ 给出了该和式的非平凡估计。
Large quadratic character sums
本文在广义黎曼假设下证明二次狄利克雷特征和的Omega结果，其精确度与之前大素数模所有特征的结果相当。
In [arXiv:1504.07804], Keating, Rodgers, Roditty-Gershon and Rudnick established relationships of the mean-square of sums of the divisor function $d_k(f)$ over short intervals and over arithmetic progressions for the function field $\mathbb F_q[T]$ to certain integrals over the ensemble of unitary matrices. We consider similar problems leading to distributions over the ensemble of symplectic matrices. We also consider analogous questions involving convolutions of the von Mangoldt function.
Large quadratic character sums with multiplicative coefficients
本文在广义黎曼假设下，研究了具有乘法系数的二次狄利克雷特征和的条件大值，并证明了若干Omega结果。
Shifted convolution sums and Burgess type subconvexity over number fields
设$F$是数域，$π$是$\mathrm{GL}_{2}(F)\backslash\mathrm{GL}_{2}(\mathbf{A})$的具有酉中心特征标的不可约尖点表示.则该界$$L(1/2,π\otimesχ)\ll_{F,π,χ_{\infty},\varepsilon} \mathcal{N}(\frak{q})^{3/8+θ/4+\varepsilon}$$对导体$\frak{q}$的任何Hecke特征标$χ$成立，其中$θ$是Ramanujan-Petersson猜想的任何常数（$θ=7/64$是可容许的）。该证明基于移位卷积和的谱分解。
Estimates for Character Sums with Various Convolutions
当$A,B,C,D\subset \mathbb F_p$、含有$p$元素的域和$χ$是模$p$的非平凡乘法特征时，我们给出了\[\left|\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\sum_{c\in C}χ(a+b+c)\right|\]和\[\left|\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\sum_{c\in C}\sum_{d\in D}χ(a+b+cd)\right|\]形式和的估计.
A Sieve Method for Shifted Convolution Sums
研究了${\rm SL}_2 (\mathbbm{Z})\backslash \mathbbm{H}$上与量子唯一遍历性问题有关的移位卷积求和项的平均大小。建立一个上限筛法处理这样的总和，我们实现了一个无条件的结果，这表明，平均大小的总和项应足以在量子唯一遍历性的应用。换句话说，虽然受欢迎，但可能不需要取消求和项。在适当的条件下，筛法还可用于其它乘性函数的移位和，得到类似的结果。
The asymptotic formula of the fourth moment of Dirichlet $L$-functions at the central value was predicted in a conjecture by J. B. Conrey, D. W. Farmer, J. P. Keating, M. O. Rubinstein, and N. C. Snaith, and the prime moduli case was proved by M. P. Young in 2011. This work establishes this asymptotic formula for general moduli. The work relies on the study of a special divisor sum function, called $\mathcal{D}_q$-function, which plays a key role in deducing the main terms. Another key ingredient is an application of new bounds for double sums in Kloosterman sums, applied in the estimate of th…
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions
对于两个数论函数$f$和$g$，我们研究了形式为$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$的卷积和，给出了其具有显式误差项的渐近公式.在这里，我们介绍了有限拉马努金展开的算术函数的概念，并延长我们以前的工作在这个设置。
$Ω$-bounds for the partial sums of some modified Dirichlet characters
本文研究修正 Dirichlet 特征的部分和，证明其在特定条件下达到 $Ω((\log x)^{|S|})$，并利用素数对数比值的 Diophantine 性质分析高阶 Riesz 均值，支持相关猜想的修正版本。
On Character Sums and Exponential Sums over Generalized Arithmetic Progressions
研究了Dirichlet特征标和的上界.证明了广义真等差数列上特征和的一致上界，推广了经典的Polya不等式和Vinogradov不等式.我们的论点是基于得到一个上界的广义等差数列的傅里叶系数的l1范数。我们的方法也适用于多项式指数和的上界。
On the asymptotic density of the support of a Dirichlet convolution
设v是具有正渐近密度支撑的乘法算术函数。证明了对任意非恒零算术函数f，使得\sum_{f(n) \neq 0} 1 / n < \infty，Dirichlet卷积f * v的支集具有正的渐近密度.当f是一个乘性函数时，我们也给出了这个要求的定量版本。这推广了以前的结果P.波拉克和作者，关于支持莫比乌斯和狄利克雷变换的算术函数。
Evaluation of the Convolution Sums $\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}_{0}^{2}} {α\,l+β\,m=n} } }{\sum}σ(l)σ(m)$, where $αβ=44,52$
对所有自然数$n$计算卷积和$\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}_{0}^{2}} {α\,l+β\,m=n} } }{\sum}σ(l)σ(m)$，其中$αβ=44,52$。然后，我们使用这些卷积和，以确定一个自然数的八元二次型$a\,(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2})+ b\,(x_{5}^{2} + x_{6}^{2} + x_{7}^{2} + x_{8}^{2})$，其中$(a,b)= (1,11),(1,13)$的表示数的公式。
Multiple Dirichlet Series and Shifted Convolutions
定义了一元和二元移位Rankin-Selberg卷积的亚纯延拓，并得到了它们的亚纯延拓。作为示例应用程序，这种延续是用来获得估计单，双移位和一个Burgess型界的$L$系列相关的模形式的任意中心字符。作者及其同事的后续工作提供了进一步的应用。
Evaluation of the convolution sums $\sum_{l+15m=n} σ(l) σ(m)$ and $\sum_{3l+5m=n} σ(l) σ(m)$ and some applications
我们评估卷积和$\sum_{l,m\in {\mathbb N}, {l+15m=n}} σ(l) σ(m)$和$\sum_{l,m\in {\mathbb N}, {3l+5m=n}} σ(l) σ(m)$的所有$n\in {\mathbb N}$使用准模形式的理论，并使用这些卷积和来确定一个正整数$n$的形式$$ x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2 + x_3x_4 + x_4^2 + 5 (x_5^2 + x_5x_6 + x_6^2 + x_7^2 + x_7x_8 + x_8^2). $$的表示数。我们还确定了正整数的表示数的二次形式$$ x_1^2 + x_2^2+x_3^2+x_4^2 + 6 (x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2), $$通过使用卷积和Alaca，Alaca和Williams \cite{{aw3}, {aw4}}早期获得。
We establish that three well-known and rather different looking conjectures about Dirichlet characters and their (weighted) sums, (concerning the Pólya-Vinogradov theorem for maximal character sums, the maximal admissible range in Burgess' estimate for short character sums, and upper bounds for $L(1,χ)$ and $L(1+it,χ)$) are more-or-less "equivalent". We also obtain a new mean value theorem for logarithmically weighted sums of 1-bounded multiplicative functions.
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions, II
我们继续我们的研究卷积和两个算术函数$f$和$g$，形式$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，在启发式渐近公式的上下文中。这里，整数$h\ge 0$通常被称为卷积和的{ \it移位}。为了研究广义$f,g$的有限Ramanujan展开式的卷积和，我们进一步研究了广义$f,g$的有限Ramanujan展开式.此外，我们介绍了另一种Ramanujan扩展的卷积和的$f$和$g$，即在其移位$h$方面，我们比较这个\lq \lq移位Ramanujan扩展\rq \rq，与我们以前的有限扩展的$f$和$g$参数。最后但并非最不重要的，我们给出了这样的移位扩展的例子，在经典文献中，启发式公式。
Asymptotic bounds for special values of shifted convolution Dirichlet series
Hoffstein和Hulse通过将通常的Rankin-Selberg卷积L-级数“移位”一个参数h，定义了两个尖点形式的移位卷积级数。我们利用调和Maass型理论研究了这些级数的某些值在h-方面的行为，并证明了当h趋于无穷大时的多项式界。我们的方法依赖于Mertens和Ono的结果，他们证明了这些值是混合模拟模形式的傅里叶系数。
Special values of shifted convolution Dirichlet series
在最近的一篇重要论文中，Hoffstein和Hulse通过定义移位卷积$L$-函数，推广了Rankin-Selberg卷积$L$-函数的概念。我们调查对称版本的功能。在适当的条件下，证明了某些特殊值的生成函数是弱全纯拟模形式与“混合拟模”形式的线性组合。
In this paper, we investigate the sums of mutliple zeta(-star) values of height one: $Z_{\pm}(n)=\sum_{a+b=n} (\pm 1)^bζ(\{1\}^a,b+2)$, $Z_{\pm}^{\star}(n)=\sum_{a+b=n} (\pm 1)^bζ^{\star}(\{1\}^a,b+2)$. In particular, we prove that the weighted sum $\sum_{\substack{0\leq m\leq p\\ m: {\rm even}}} \sum_{\mid\boldsymbolα\mid=p+3} 2^{α_{m+1}\ +1}ζ(α_0,α_1,\ldots,α_m,α_{m+1}+1) $ can be evaluated through the convolution of $Z_{-}(m)$ and $Z_{+}(n)$ with $m+n=p$.
Generalized factorials characterized by Dirichlet convolution
本文扩展了A.B. Mingarelli构造广义阶乘的方法，利用超加性算术函数对进行推广，并借助Dirichlet卷积刻画了不同函数对生成相同广义阶乘的条件，同时给出了Euler常数无理性的结果。
$L$-series associated to symmetric functions mod $N$ with applications related to $ζ(3)$, $ζ(5)$
为了明确地计算与$ζ(2n+1)$更密切相关的无穷级数的和，特别是$ζ(3)$，$ζ(5)$的和，我们发展了一个新的$L$ -级数理论.推广了与Dirichlet特征标相关的$L$ -级数和的相应理论.
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