Contact structures on 3-manifolds are deformations of foliations
John B. Etnyre
本文回答了Eliashberg和Thurston提出的一个问题，即在闭定向三维流形上的所有切触结构都是叶理的$C^\infty$ -变形.
In this note we observe, answering a question of Eliashberg and Thurston, that all contact structures on a closed oriented 3-manifold are $C^\infty$-deformations of foliations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some tight contact foliations can be approximated by overtwisted ones
接触叶理是具有叶状切触结构的叶理。在这段话中，我们解释了一个turbulisation程序，使我们能够证明，紧密性是不是一个同伦不变量性质的接触叶理。
Contact perturbations of Reebless foliations are universally tight
我们给出了一个完整的证明，一个切触结构，是充分接近Reebless叶理是普遍紧张的事实。
Uniqueness of the contact structure approximating a foliation
根据Eliashberg和Thurston的一个定理，一个闭三维流形上的$C^2$ -叶理可以用切触结构来近似$C^0$ -，除非叶理的所有叶都是球面.三维环面上的例子表明，叶理的每个邻域都可以包含非同构的切触结构。本文证明了当圆上抛物环面丛上的叶理没有环面叶且不是无完整性的叶理时，在叶理的一个小邻域内的切触结构直到合痕的唯一性.这使我们能够将接触拓扑的不变量与叶理相关联。作为一个应用，我们证明了在给定的平面场的同伦类中的紧叶理空间一般是不连通的。
Foliations, contact structures and their interactions in dimension three
本文主要研究三维空间中叶理与切触结构之间的相互作用，重点研究了缝合流形及其不变量。本文包含两个原创性结果：具有非零第二同调的可定向不可约3-流形M带有超紧切触结构;可定向、张紧、平衡缝合3-流形不是积当且仅当它带有具有非平凡圆柱切接触同调的切触结构。第二个陈述的证明使用了末端周期曲面的末端周期同态的Handel-Miller理论。
Conformal Symplectic structures, Foliations and Contact Structures
本文给出了两个存在h-原理，第一个是关于闭流形上的共形辛结构，第二个是关于非空边界的叶状流形上的叶向共形辛结构。后一个h-原理允许将某些余维$1$叶理线性变形为切触结构。这些结果本质上是Borman-Eliashberg-Murphy h-原理在过扭切触结构中的应用，以及Eliashberg-Murphy辛化在配边体中的应用，同时也是本文所阐述的与叶状莫尔斯理论有关的工具的应用。
Existence of conformal symplectic foliations on closed manifolds
本文研究了维数至少为5的闭流形上辛和共形辛余维1叶理的存在性。我们的主要定理，根据最近的结果，由贝特尔森Meigniez，指出，在7维至少任何几乎切触结构是同伦的共形辛叶理。在5维中，我们在每个闭的，单连通的，几乎切触流形上构造显式共形辛叶理，以及在其中的一个大子集上构造诚实的辛叶理。最后，通过圆连通和，我们得到，在闭流形上，共形辛叶理的例子，允许线性变形的切触结构。
On Legendrian foliations in contact manifolds II: Deformation theory
利用[华13]中的结构定理，在特征叶理非奇异的假设下，研究了切触流形中余迷向子流形的形变理论.在“中间”的维度，我们发现一个有趣的关系与叶理理论。探讨了接触几何在叶理理论中的一些初步应用。
Taut foliations and contact pairs in dimension three
该研究从三维接触对构造余维一叶状结构，作为Eliashberg-Thurston定理的逆结果，刻画重叶状结构的存在性，为L-空间猜想提供新见解。
Ziggurats, taut foliations, and contact structures
该研究探讨带环面边界的紧致三维流形上横叶状结构的几何分布，通过推广相关定理建立叶状结构与接触结构的双向对应，运用接触几何方法研究金字形神塔的结构性质。
Approximating $C^0$-foliations by contact structures
证明了在具有连续切面场的可定向$3$ -流形上的任意二维可共定向叶理都可以用正、负切触结构$C^0$ -，除非所有叶理都是单连通的.作为应用，我们导出了紧$C^0$ -叶理的存在意味着在同一同伦类的平面场中存在泛紧切触结构，并且证明了一个闭$3$ -流形如果允许余维为1的紧$C^0$ -叶理，则它不是Heegaard-弗洛尔同调意义下的$L$ -空间.
H-principle for 4-dimensional contact foliations
本文介绍余维1叶理的拓扑研究，它允许叶上有接触或辛结构。对于闭定向4重中的任意共定向叶理，给出了一个叶理切触结构的参数存在h-原理。
Taut foliations through a contact lens
本综述研究三维空间中重叶状结构与紧接触结构的相互作用，提出从合适接触结构对构造重叶状结构的新方法，介绍相关在研工作并针对L-空间猜想给出推测性接触视角。
Contact structures, deformations and taut foliations
使用变形的叶理切触结构以及Anosov叶理的刚性属性，我们提供了无限的例子表明，在一个给定的同伦类的平面场的绷紧叶理的空间是在一般情况下不路径连通。类似的方法也证明了双曲曲面的基本群到具有固定欧拉类的圆的光滑同态群的表示空间一般不是路连通的。作为一个重要的步骤，我们解决的问题，普遍紧的切触结构的塞弗特纤维空间是变形的taut或Reeblessfoliation时，亏格的基础是积极的或扭转数的切触结构在吉鲁意义上是非负的。
The Liouville phenomenon in the deformation problem of coisotropics
Oh和Park（[OP]）关于余各向同性子流形的变形问题的工作为用一些明确的几何工具研究一类大而有趣的叶理开辟了可能性。这些工具组合成移位叶理复体（Ω^*[1]（\fol），d_ \fol）上的L-无穷代数的结构，它允许根据Maurer-Cartan方程对变形进行简明描述。无穷小形变由d_ \fol -闭形式给出，无穷小形变与全形变之间的关系可以用叶理上同调H^*_ \fol中的障碍类来研究.与叶理上同调密切相关的是Haefliger群Ω^*_c（T/H），这是一个未被充分认识的叶理叶空间模型。我们利用这个群来证明阻塞方程的可解性和不可解性。我们还表明，L-无穷装置能够检测的刘维/丢番图区别KAM理论，并认为更大的意义Haefliger的整合在叶地图通过这种精细结构的几何模型的叶空间。
A note on Mitsumatsu's construction of a leafwise symplectic foliation
Mitsumatsu构造了5-球面的某些余维为1的叶理的叶向辛结构。这启发作者改进了关于切触结构收敛于叶理的结果。本文利用具有某种2-形式的褶裥来描述接触结构收敛于叶辛褶裥。这样的2-形式出现在Nunes da Costa和Petalidou关于扭曲Jacobi结构的著作中，并且部分与Massot，Niederkruger和Wendl的弱控制有关。我们还构造了4-球面和圆的乘积上的叶辛叶理。
Deformations of Symplectic Foliations
我们发展了辛叶理的变形理论，即规则的叶理配备了一个叶向辛形式。本文的主要结果是每个辛叶理都有一个控制其变形问题的附加$L_\infty$ -代数。事实上，查看辛叶理作为定期泊松结构，我们建立一个一对一的对应关系之间的小变形的一个给定的辛叶理和相关的$L_\infty$ -代数的Maurer-Cartan元素。利用这一点，我们表明，辛叶理的无穷小变形可以被阻碍。此外，我们涉及辛叶理与叶理的一侧和（任意）泊松结构的其他方面，表明阻碍无穷小变形的前者可能会引起通畅的无穷小变形的后者。
On Legendrian foliations in contact manifold I: Singularities and neighborhood theorems
本文研究了切触流形的余迷向子流形的几个方面。特别地，我们给出了余迷向子流形的特征叶理的奇异性的一个结构定理。此外，我们建立了勒让德叶理附近切触结构芽的存在性和唯一性结果，这是余迷向子流形的一个特例。这篇笔记可以被认为是试图将三维接触几何中的曲面研究推广到更高维度。
Contact foliations and generalised Weinstein conjectures
该研究将切触流形上的Reeb流推广为高维切触叶状结构，提出两个叶拓扑相关的广义Weinstein猜想，并在和乐保黎曼度量等情形下给出部分正面结果，拓展了切触动力学的已有成果。
On deformations of coisotropic submanifolds with fixed characteristic foliation
本文研究辛流形中紧致余迷向子流形的形变问题，证明在固定特征叶层微分同胚类型的条件下形变无阻碍，从而推广了 Ruan 关于积分余迷向子流形的无阻碍性结果。
Morse-Smale characteristic foliations and convexity in contact manifolds
本文推广了Giroux的一个结果，即切触$3$-流形中具有Morse-Smale特征叶理的闭曲面是凸的.具体地说，我们表明，结果保持在接触流形的任意尺寸。作为应用，我们证明了A. Mori是$C^{\infty}$-接近于一个凸超曲面。
Thurston norm and Euler classes of tight contact structures
本文针对紧接触结构考察 Thurston 的 Euler 类范数猜想，证明先前紧叶状结构反例中的上同调类可由紧接触结构实现，从而支持相关猜想。
Connected sums and finite energy foliations I: Contact connected sums
考虑一个具有非退化接触形式$λ$和相容几乎复结构$J$的$3$ -流形$M$.我们表明，如果数据$(M, λ, J)$承认一个稳定的有限能量叶理，然后为一个通用的选择不同的点$p$，$q\in M$，流形$M'$通过采取连接和$p$和$q$承认一个非退化的接触形式$λ'$和兼容的几乎复杂的结构$J'$，使数据$(M', λ', J')$也承认一个稳定的有限能量叶理。一路上，我们发展了一些一般理论的研究有限能量叶理。
Deformations of Symplectic Foliations: algebraic aspects
本文是辛叶状结构形变理论系列研究的代数篇，证明了配套论文中构造的$L_\infty$-代数与选择无关，且Maurer-Cartan元素的规范等价对应辛叶状结构的同痕等价。
Finite Energy Foliations on Overtwisted Contact Manifolds
我们发展了一种方法，以保持伪全纯曲线在接触3流形手术沿横向链接。这使得利用一个几何自然的边值问题的全纯曲线在3-流形稳定的Hamilton结构，其中的边界条件定义的1-参数家庭的全实表面。本文应用该技术对每一个闭的超扭切触3-流形构造了一个有限能量叶理。
Non-existence of certain singularities in Legendrian foliations
本文证明了文[Hua 13]中定义的Legendrian叶状结构的奇异轨迹是一个连通分支的余维至多为2的紧致子流形。因此，给定接触$(2n+1)$ -流形中的任何闭$(n+1)$ -维共各向同性子流形$W$，$W$的足够小邻域中的切触结构由特征（勒让德）叶理唯一确定。
Bordered Floer homology and contact structures
本文在三带边流形的边缝合Heegaard弗洛尔同调中引入了一个切触不变量。不变量的输入是一个接触流形$(M, ξ, \mathcal{F})$，其凸边界配备有一个密切相关的特征叶理的签署奇异叶理$\mathcal{F}$。这样一个流形允许一个由吉鲁对应分类的叶状开书分解族，如利卡塔和维特西早期的工作所描述的。我们使用一类特殊的叶状开书构造可容许的有边缝合Heegaard图，并确定定义良好的类$c_D$和$c_A$在相应的有边缝合模块。叶状开放书籍表现出用户友好的胶合行为，我们表明，胶合兼容叶状开放书籍引起的不变量配对恢复Heegaard Floer接触不变量封闭接触流形。我们还考虑了一个自然映射与忘记叶理$\mathcal{F}$有利于分割集，并表明它映射的边界缝合不变量的缝合流形的接触不变量的Honda-Kazez-Matić定义。
Hodge theory on transversely symplectic foliations
本文发展了横辛叶理的辛Hodge理论。特别地，我们建立了具有（横）$s$ -Lefschetz性质的叶理的辛$dδ$ -引理.由于横辛叶理包含了许多几何结构，如切触流形、余辛流形、辛轨道折叠和辛拟折叠等，我们的工作提供了这些几何中辛Hodge理论的统一处理.作为应用，我们证明了在紧致$K$ -contact流形上，$s$ -Lefschetz性质蕴涵了上积为零的一般结果，并且证明了具有（横）$s$ -Lefschetz性质的$2n+1$维紧致$K$ -contact流形的杯长至多为$2n-s$ .对于任何偶数$s\geq 2$，我们也应用我们的主要结果来产生$K$ -contact流形的例子，这些流形是$s$ -Lefschetz但不是$(s+1)$ -Lefschetz.
Ozsvath-Szabo invariants and tight contact three-manifolds, III
利用张紧叶理、横向叶理和横向切触结构刻画了2-球面上Seifert纤维化的L-空间.本文给出了e_0=-1的切触Seifert纤维3-流形具有非零切触Ozsvath-Szabo不变量的一个充分条件.这就给出了一个判定给定的小塞弗特纤维L-空间是否具有非零接触Ozsvath-Szabo不变量的切触结构的算法。作为应用，我们证明了在三维球面上沿正环面纽结进行积分运算得到的三维流形上紧切触结构的存在性。最后证明了e_0大于等于-1的Seifert纤维L-空间上的每一个切触结构的平面性，并讨论了一些结果.
Paires de structures de contact sur les variétés de dimension trois
本文引入了三维流形上正切触结构对的概念，推广了Eliashberg-Thurston和Mitsumatsu的定义.这样的一对产生局部可积平面场$λ$。证明了如果$λ$是唯一可积的，且两个结构都是紧的，则$λ$的积分叶理不包含任何核心曲线同调为零的Reeb分支.此外，环境流形携带Reebless叶理。我们还证明了一个稳定性定理“à la Reeb”的积极对紧切触结构。
Contact line bundles, foliations, and integrability
本研究利用接触线丛截面空间的Jacobi结构构建接触系统非交换可积性，可统一处理两类接触流形的接触系统，还可用于研究耗散哈密顿系统。
Essential open book foliation and fractional Dehn twist coefficient
我们介绍了一个重要的开卷叶理，一个完善的开卷叶理，并开发技术估计的分数德恩捻系数（FDTC）的monodromies和FDTC的封闭编织，我们介绍以及。作为应用，我们定量地研究了过扭曲切触结构和非右转向单值点的“间隙”。给出了三维流形不可约且超环面的充分条件。我们还表明，一个3-流形的几何形状和一个封闭的辫子的补充确定的Nielsen-Thurston型的monodromies的开卷分解。
$C^0$-Contact Geometry of Surfaces in 3-Manifolds
该研究探讨3-流形中曲面的$C^0$-切触几何，证明切触同胚保持特征叶状结构、正则余迷向曲面具有$C^0$-刚性，同时构造反例表明切触凸性具有$C^0$-柔性。
Open Book Foliations
研究了三维流形中曲面上的开卷叶理，并给出了它在三维切触几何中的应用。本文证明了一个横链自环绕数的辫子理论公式，它揭示了与映射类群理论中的Johnson-Morita同态的一个意想不到的联系。我们也给出了一个替代的组合证明Bennequin-Eliashberg不等式。
Engel structures with trivial characteristic foliations
研究了MxS^1和MxI上的Engel结构，其中M是三维流形.我们假设这些结构具有平行于纤维S^1或I的特征线场。证明了它们在截面M上具有切触结构，在M × I的情况下，具有扭转数和两端的勒让德叶理。
Gauge equivalences for foliations and pre-symplectic structures
我们考虑两种几何对象的变形理论：一方面是叶理，另一方面是前辛形式。对于每一个，我们证明了几何概念的等价性给出的同位素同意的代数概念的规范等价性得到的$L_{\infty}$ -代数这些变形问题。
Seiberg-Witten invariants on manifolds with Riemannian foliations of codimension 4
我们定义Seiberg-Witten方程的闭流形赋予黎曼叶状余维4。当叶理是拉紧的，我们证明了紧的模空间的一些假设下，例如满足封闭的K-接触流形。此外，我们证明了一些消失和非消失的结果，我们强调，不变量可以用来区分不同的叶理上的非纯流形。
Transversely holomorphic flows and contact circles on spherical 3-manifolds
受球面三维流形上紧接触圆的模理论的启发，我们将紧接触圆与横向全纯流联系起来。本文从拓扑学的角度对这类一维叶理作了初步的研究。我们描述了一个复杂的模拟的经典Godbillon-Vey不变，所谓的Bott不变，和对数单值的封闭叶。Bott不变量允许我们用公式表示一个广义的Gaussian-Bonnet定理。我们计算这些不变量的庞加莱叶的3球，并推导出刚性报表，包括一个单值化定理orbifolds。然后将这些结果应用于拉紧接触圆的分类。
Contact complete integrability
在一个辛的设置完全可积性意味着存在的拉格朗日叶理的动态保持的。在本文中，我们描述完全可积性的接触设置为一个更微妙的结构：一个标志的两个叶理，Legendrian和co-Legendrian，和一个完整不变的横向措施，前者在后者。这相当于在协勒让德叶理的叶子上存在一个规范的$\R\ltimes \R^{n-1}$结构。此外，上述结构意味着存在的$n$接触领域保持一个特殊的接触1-形式，从而提供了几何框架，并建立与以前已知的接触可积性的定义等价。我们还证明了切触完全可积系统在求积中是可解的。我们给出了一个切触完全可积的例子：在伪欧几里得空间中椭球内的台球系统，限制在定向零测地线空间。我们描述了一个令人惊讶的加速机制，封闭的轻台球轨迹。
Leafwise de Rham cohomology of generic Reeb foliations
本文证明了对于通用Reeb foliation，其叶wise de Rham cohomology的H^0为实数域，而H^1在三维情况下为无限维。
Milnor fillable contact structures are universally tight
证明了正规复奇点链环上的正则切触结构是泛紧的。作为一个推论，我们显示存在封闭的，定向的，atoroidal 3-流形与无限的基本群进行普遍紧张的切触结构，不是变形的紧张（或Reebless）叶理。这回答了Etnyre的两个问题。
Strongly Fillable Contact Manifolds and J-holomorphic Foliations
我们证明了平面切触流形的每一个强辛填充都允许圆盘上的辛Lefschetz纤维化，并且3-环面的每一个强辛填充都同样允许环上的Lefschetz纤维化。由此可见，强可填充的平面切触结构也是Stein可填充的，并且3-环面的所有强填充都等价于辛变形和爆破。这些建设的结果，从一个紧凑性定理穿孔J-全纯曲线，叶状凸辛流形。我们也用它来表明，紧支持的辛同胚群的余切丛的2-环面是可收缩的，并定义一个障碍，强填充性，产生一个非规范理论证明盖伊最近nonfillability结果接触流形正吉鲁挠。
The foliated Weinstein conjecture
如果在叶理的切空间中存在余维1分布，使得对任何叶的限制是接触，则叶理被称为允许叶理化的切触结构。我们证明了一个版本的温斯坦猜想中存在的一个overtwisted叶。结果表明是尖锐的。
Holomorphic curves in the presence of holomorphic hypersurface foliations
我们证明了一个结果，建立限制的伪全纯曲线，可以存在于一个稳定的Hamilton流形的存在下，某些$\mathbb{R}$不变的叶理的辛化的全纯超曲面。这一结果在第一作者的工作中的代数挠高维接触流形的应用。
The Weinstein conjecture in the presence of submanifolds having a Legendrian foliation
Helmut Hessel在1993年引入了一种基于全纯曲线的新技术来证明Weinstein猜想。在这些方法适用的情况中，所有接触3-流形$(M,ξ)$与$π_2(M) \ne 0$。我们修改了Hessen的论点，证明了一些高维接触流形的例子的Weinstein猜想。特别是，我们能够证明与实射影空间的连通和总是具有封闭的可收缩Reeb轨道。
Riemannian foliations and geometric quantization
本文对具有黎曼零叶和紧叶闭包空间的常秩前辛结构引入了几何量子化。在这方面，我们证明了一个量化交换与减少定理。辛复曲面拟褶皱，悬浮液的等距行动的离散群体，和K-接触流形相关的例子进行了讨论。
Characteristic foliation of twisted Jacobi manifolds
研究了扭曲Jacobi流形的特征叶理。我们表明，扭曲的Jacobi流形是叶状成叶，根据奇偶的维度，赋予扭曲的接触或扭曲的局部共形辛结构。
A rigidity result for coisotropic submanifolds in contact geometry
本文研究接触流形中紧致正则余迷向子流形的余迷向形变，证明了在特征叶层微分同胚的邻近子流形中其具有刚性，并结合经典叶层刚性结果推广至所有邻近子流形。
An Example of Rank 2 Poisson Structure which is Stable Under Deformations
令$Π$是由拉回分量中的维度$2$叶状$\mathcal{F}$定义的射影空间中的秩$2$泊松结构。我们证明了对于$\mathcal{F}$的一般选择，包含$Π$的Poisson结构的不可约分量和包含$\mathcal{F}$的Foliations的不可约分量重合。
Deformation spaces and normal forms around transversals
给定一个流形M和一个子流形N，变形空间D（M，N）是一个浸入到R的流形，其零纤维是法丛，所有其他纤维都等于M。本文利用变形空间研究了奇异叶理的各种几何结构的局部行为，其中N是横截叶理的子流形。新的例子包括L_ \infty -代数胚、Courant代数胚和李双代数胚。在每种情况下，我们得到一个规范形式定理N，在正常的丛模型结构。
Bourgeois' contact manifolds are tight
本文证明了由切触流形的支撑开书确定的Bourgeois切触结构总是紧的，其证明基于利用全纯叶状结构和Kuranishi结构的切触同调计算。
Circle Foliations Revisited: Periods of Flows whose Orbits are all Closed
本文将测地圆叶状结构的结果推广到接触流形上的 Reeb 流与哈密顿流，证明连通接触流形上所有轨道闭合时周期完全相同，并给出谐振子、Lotka-Volterra 系统等例子及其在量子力学谱问题中的应用。
Genus zero transverse foliations for weakly convex Reeb flows on the tight $3$-sphere
本文研究紧3-球面上带指定有限个双曲且互不环绕的2指标Reeb轨道的弱凸Reeb流，给出其构成亏格零横截叶状结构绑定轨道的条件，并在实解析情形下证明稳定/不稳定流形分支不重合时Reeb流拓扑熵为正。
Deformations of pre-symplectic structures and the Koszul $L_\infty$-algebra
研究了前辛结构的变形理论，即固定秩的闭二形式。主要结果是一个参数化的附近变形的一个给定的前辛结构的$L_\infty$ -代数，我们称之为Koszul $L_\infty$ -代数。这个$L_\infty$ -代数是与泊松流形相关的Koszul dg李代数的表亲。此外，我们表明，商的Koszul $L_{\infty}$ -代数是同构的$L_\infty$ -代数控制的变形的基本特征叶理。最后，我们证明了前辛结构和叶理的无穷小变形都是受阻的。
Topological invariance of Liouville structures for taut foliations and Anosov flows
研究闭定向三维流形上紧叶状结构相关的刘维尔结构的拓扑不变性，通过特定方法证明其为拓扑不变量，还涉及阿诺索夫流弱叶状结构及轨道等价情况，证明结合平滑方案和沃格尔结果，附录用于构造新例子助于分类。
The geometry of symplectic pairs
本文研究了由两个常秩闭2-形式组成的辛对偶流形的几何性质，其核叶理是互补的。使用Boothby和王建设的变化，我们建立接触辛和接触对辛对。
On Integrable Systems & Rigidity for PDEs with Symmetry
本论文分为两个部分。第一部分详细研究了完全可积系统及其基本结构。我们研究他们的变形理论和不同的等价关系围绕它。我们激励弱等价的定义（发现在文献中）通过研究不同的解释的概念“奇异拉格朗日叶理”。最后，我们证明了一个规范形定理的启发Moser路径方法。在第二部分中，我们一般地研究了具有伪对称群的偏微分方程的形变理论。我们证明了一个解决方案是刚性的，如果它的变形上同调消失和某些“驯服”的估计举行，灵感来自纳什-莫泽快速收敛方法。一个重要的细节是，这一陈述适用于紧子流形周围的偏微分方程的局部解。作为应用，我们给出了几个经典范式定理的替代证明。关键词：完全可积系统，奇异叶理，奇异拉格朗日叶理，闭伪群，李代数层，几何偏微分方程，局部刚性，规范形，Nash-Moser，Moser路径方法，Newlander-Nirenberg，Eliasson。
Deformation retraction of the group of strict contactomorphisms of the three-sphere to the unitary group
证明了三球面形变收缩核上标准紧切触结构的严格接触同构群收缩到它的酉子群U（2）.
Engel Manifolds and Contact 3-Orbifolds
在早期的Engel流形研究中，R。蒙哥马利、嘉当延长线和发展地图是中心人物。然而，只有在特有的叶理“漂亮”的情况下，才能对发展图进行全面界定。本文引入了切触3-orbifold的Cartan延拓和与更一般的Engel流形相联系的发展映射，并给出了Cartan延拓是流形的充要条件.此外，我们还解释了3维切触型李群胚的Cartan延拓和与任何Engel流形相关联的发展映射，并证明了作为具有切触结构的“空间”的Cartan延拓所得到的所有Engel流形都是从切触3-orbifold得到的.
The foliated structure of contact metric $(κ,μ)$-spaces
本文研究了接触度量$(κ,μ)$ -空间的叶状结构。特别地，利用Legendre叶理理论，我们对接触度量$(κ,μ)$ -空间的Boeckx分类给出了一个几何解释，并找到了接触流形具有相容的接触度量$(κ,μ)$ -结构的必要条件.最后证明了在$|I_M|>1$或$|I_M|<1$的情况下，任何接触度量$(κ,μ)$ -空间$M$，如果其Boeckx不变量$I_M$不同于$\pm 1$，则允许相容的Sasakian或Tanaka-Webster并行结构.
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