Backward parabolic Ito equations and second fundamental inequality
Nikolai Dokuchaev
研究了倒向随机抛物型Ito方程解的正则性。对有边区域，得到了第二类能量不等式的一个类似结果和相关的存在性定理。
Regularity of solutions is studied for backward stochastic parabolic Ito equations. An analog of the second energy inequality and the related existence theorem are obtained for domains with boundary.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Duality and semi-group property for backward parabolic Ito equations
研究了带边界区域上的倒向抛物型Ito方程解的存在性、唯一性、半群性质和先验估计.我们还研究了向前和向后方程之间的对偶性。以某种反因果关系的形式建立了向后方程的半群。新颖之处在于，半群属性涉及扩散项，这是解决方案的一部分。
On backward stochastic differential equations driven by a family of Itô's processes
研究一类由一族伊藤过程驱动的倒向随机微分方程.我们证明了解的存在唯一性，并讨论了稳定性和比较定理。
Stochastic Itô Equations and Parabolic Second-Order Equations with singular Drift
本书研究带奇异漂移的随机伊藤方程理论，利用Morrey空间刻画奇异性，推导相关PDE结果，给出该类伊藤方程弱解与强解存在唯一的最优条件，成果具创新性。
The overarching goal of this paper is to establish a set-valued Itô's formula. As an application, we obtain the existence and uniqueness of solutions for the general set-valued backward stochastic differential equation which gives an answer to an open question proposed by Ararat et al. (C. Ararat, J. Ma and W.Q. Wu, Set-valued backward stochastic differential equation, arXiv:2007.15073).
On the Dirichlet Problem for Backward Parabolic Stochastic Partial Differential Equations in General Smooth Domains
在光滑区域上考虑变系数抛物型倒向随机偏微分方程。在加权索伯列夫空间中给出了解的存在性和唯一性结果，并使解的导数在边界附近爆破.
Second order backward stochastic differential equations and fully non-linear parabolic PDEs
引入了一类二阶倒向随机微分方程，并证明了它与完全非线性抛物型偏微分方程的关系。特别是，我们提供了这样的偏微分方程的解决方案的随机表示结果，并讨论了蒙特卡罗方法的数值处理。
Boundary value problems for functionals of Ito processes
研究了有界和无界区域上的倒向随机偏微分方程。得到了存在性和正则性结果。建立了正向SPDE的对偶关系。讨论了有界域上Ito过程的泛函表示。
For Itô stochastic processes in $\mathbb{R}^{d}$ with drift in $L_{d}$ Aleksandrov's type estimates are established in the elliptic and parabolic settings. They are applied to estimating the resolvent operators of the corresponding elliptic and parabolic operators in $L_{p}$ and $L_{p+1}$, respectively, where $p\geq d$.
On a Small Elliptic Perturbation of a Backward-Forward Parabolic Problem, with Applications to Stochastic Models
我们考虑一个双变量椭圆型偏微分方程。当一个参数趋近于零时，这个偏微分方程坍缩成一个抛物线方程，即在一部分区域中是前向抛物线，在其余区域中是后向抛物线。这样的问题自然会出现在各种随机模型中，例如数据处理系统的流体模型和马尔可夫调制队列。我们采用奇异扰动方法来研究小参数的问题。
Representation of functionals of Ito processes and their first exit times
得到了非马氏过程泛函及其首次出有界域时的表示定理。这些泛函表示通过向后抛物伊藤方程的解决方案。作为应用的一个例子，导出了Ito过程在边界被杀死的条件概率密度函数的前向Kolmogorov方程的类似形式。此外，建立了有界区域上SPDE的最大值原理和收缩性质。
RNN-BSDE method for high-dimensional fractional backward stochastic differential equations with Wick-Itô integrals
本文提出RNN-BSDE深度学习方法，利用Wick积分处理分数布朗运动驱动的分数阶倒向随机微分方程，并求解高维情形下的对应偏微分方程。
In this note we focus our attention on a stochastic heat equation defined on the Heisenberg group $\mathbf{H}^{n}$ of order $n$. This equation is written as $\partial_t u=\frac{1}{2}Δu+u\dot{W}_α$, where $Δ$ is the hypoelliptic Laplacian on $\mathbf{H}^{n}$ and $\{\dot{W}_α; α>0\}$ is a family of Gaussian space-time noises which are white in time and have a covariance structure generated by $(-Δ)^{-α}$ in space. Our aim is threefold: (i) Give a proper description of the noise $W_α$; (ii) Prove that one can solve the stochastic heat equation in the Itô sense as soon as $α>\frac{n}{2}$; (iii) Gi…
On the martingale problem for degenerate-parabolic partial differential operators with unbounded coefficients and a mimicking theorem for Ito processes
使用我们的同伴文章[arXiv：1112.4824v2]上的Schauder方法的退化抛物型偏微分方程的解的存在性的结果，我们解决了三个交织的问题，概率论和数学金融的动机，关于退化扩散过程。证明了半空间上具有无界局部Holder连续系数的退化椭圆型微分算子的鞅问题在Stroock和Varadhan意义下是适定性的.其次，我们证明了一类具有退化扩散和无界系数的随机微分方程弱解的存在性、唯一性和强马尔可夫性，并具有适当的Hölder连续性.第三，对于具有退化扩散和无界但适当正则系数的Ito过程，我们证明了强马尔可夫过程的存在性，它在概率律意义下是唯一的，其一维边缘概率分布与给定的Ito过程的边缘分布相匹配.
Regularity Results for a class of Semilinear Parabolic Degenerate Equations and Applications
本文考虑了一个可能强退化的抛物半线性问题，它可以应用于金融衍生品定价的微分模型。我们证明了所要求的正则性应用伊藤的公式，用于建立微分模型。
We obtain an existence and uniqueness theorem for fully coupled forward-backward SDEs (FBSDEs) with jumps via the classical solution to the associated quasilinear parabolic partial integro-differential equation (PIDE), and provide the explicit form of the FBSDE solution. Moreover, we embed the associated PIDE into a suitable class of non-local quasilinear parabolic PDEs which allows us to extend the methodology of Ladyzhenskaya et al (1968) to non-local PDEs of this class. Namely, we obtain the existence and uniqueness of a classical solution to both the Cauchy problem and the initial-boundary…
Strong solutions of semilinear parabolic equations with measure data and generalized backward stochastic differential equations
证明了在自然的数据假设下，右端含测度的半线性散度型抛物方程在索伯列夫空间中的强解可以用广义倒向随机微分方程的解表示.作为应用，我们利用反射倒向随机微分方程的解给出了障碍问题强解的随机表示。为了证明后一个结果，我们使用随机单应近似的反射向后方程的解决方案。近似可以被看作是一个随机模拟的单应近似的障碍问题的解决方案。
Classical Solutions of Path-dependent PDEs and Functional Forward-Backward Stochastic Systems
本文研究了泛函正倒向随机系统与路径依赖偏微分方程之间的关系。在泛函伊藤演算的框架下，我们引入了一个依赖于路径的偏微分方程，并证明了它的解是由一个泛函正倒向随机系统唯一确定的.
In this paper we present an approach to proving parabolic Aleksandrov estimates with mixed norms for stochastic integrals with singular ``moderated'' drift.
Non-Markovian Fully Coupled Forward-Backward Stochastic Systems and Classical Solutions of Path-dependent PDEs
研究了非马尔可夫完全耦合正倒向随机系统与路径依赖偏微分方程之间的关系。在泛函伊藤演算的框架下，给出了路径依赖偏微分方程的经典解的定义.在适当的假设下，我们证明了正倒向随机系统提供了路径依赖型偏微分方程唯一的经典解。
Forward-backward systems of stochastic differential equations generated by Bernstein diffusions
在这篇简短的文章中，我们提出了新的结果，带来了迄今为止未知的某些伯恩斯坦扩散游荡在有界凸区域的欧几里得空间的一方面，和过程通常发生在向前向后系统的随机微分方程的另一方面之间的关系。建立这种关系的一个关键点在于，我们考虑的伯恩斯坦扩散实际上是可逆的伊藤扩散。
We investigate existence, uniqueness and regularity for solutions of rough parabolic equations of the form $\partial _tu-A_tu-f=(\dot X_t(x) \cdot \nabla + \dot Y_t(x))u$ on $[0,T]\times\mathbb{R}^d.$ To do so, we introduce a concept of "differential rough driver", which comes with a counterpart of the usual controlled paths spaces in rough paths theory, built on the Sobolev spaces $W^{k,p}.$ We also define a natural notion of geometricity in this context, and show how it relates to a product formula for controlled paths. In the case of transport noise (i.e.\ when $Y=0$), we use this framework…
$L^{p}$ Theory for Super-parabolic Backward Stochastic Partial Differential Equations in the Whole Space
研究了超抛物型半线性倒向随机偏微分方程（简称BSPDE）。本文分别对$p\in (1,2]$和$p\in (2, \infty)$的情形，给出了BSPDE的Cauchy问题的$L^p$ -理论.还讨论了一个比较定理。
Backward uniqueness of stochastic parabolic like equations driven by Gaussian multiplicative noise
本文证明了随机半线性抛物型方程和线性乘性高斯噪声驱动的驯服Navier-斯托克斯方程解的向后唯一性。给出了具有初始控制器的非线性随机抛物型方程的逼近能控性的应用。证明的方法依赖于对数凸性的属性，已知的持有的解决方案，线性发展方程在希尔伯特空间与自伴主部。
In this paper, we establish the relationship between backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs, for short) and a kind of non-local quasilinear (and possibly degenerate) parabolic equations. We first introduce the extended backward stochastic Volterra integral equations (EBSVIEs, for short). Under some mild conditions, we establish the well-posedness of EBSVIEs and obtain some regularity results of the adapted solution to the EBSVIEs via Malliavin calculus. We show that a given function expressed in terms of the solution to the EBSVIEs solves a certain system of non-local paraboli…
In this paper we study a zero-sum switching game and its verification theorems expressed in terms of either a system of Reflected Backward Stochastic Differential Equations (RBSDEs in short) with bilateral interconnected obstacles or a system of parabolic partial differential equations (PDEs in short) with bilateral interconnected obstacles as well. We show that each one of the systems has a unique solution. Then we show that the game has a value.
Convergence rates in expectation for a nonlinear backward parabolic equation with Gaussian white noise
本文主要研究了由非线性抛物型方程终值的噪声观测值确定方程初值的问题。我们引入一个正则化的方法来建立一个近似解。我们证明了一个上界的平均积分平方误差的收敛速率。
Probabilistic representation of parabolic stochastic variational inequality with Dirichlet-Neumann boundary and variational generalized backward doubly stochastic differential equations
本文在非Lipschitz条件下证明了一类广义倒向双随机微分方程解的存在唯一性，并据此给出具有Dirichlet-Neumann边界条件的抛物型随机变分不等式的随机粘性解概率表示。
Average principles for forward-backward multivalued stochastic systems and homogenization for systems of nonlinear parabolic PDEs
本文针对前向-后向多值随机系统，在L^2p和L^2意义下分别证明了一般随机微分方程和后向随机变分不等式的平均原理，并应用于非线性抛物型偏微分方程的均匀化。
Backward Uniqueness and the existence of the spectral limit for some parabolic SPDEs
本文研究了一类抛物型随机偏微分方程解的大时间渐近性态。特别是，我们将证明向后唯一性结果和存在的抽象SPDE的谱极限，然后显示这些结果可以应用到一些具体的线性和非线性SPDE。例如，我们将考虑具有梯度噪声的线性抛物型SPDE和具有乘性噪声的随机NSE。我们的结果推广了在\cite{[Ghidaglia-1986]}中证明的确定性偏微分方程的结果。
The note provides the relation between symmetries and first integrals of Itô stochastic differential equations and symmetries of the associated Kolmogorov backward equation. Relation between the symmetries of the Kolmogorov backward equation and the symmetries of the Kolmogorov forward equation is also given.
We investigate the regularity of the law of Wong-Zakai-type approximations for Itô stochastic differential equations. These approximations solve random differential equations where the diffusion coefficient is Wick-multiplied by the smoothed white noise. Using a criteria based on the Malliavin calculus we establish absolute continuity and a Fokker-Planck-type equation solved in the distributional sense by the density. The parabolic smoothing effect typical of the solutions of Itô equations is lacking in this approximated framework; therefore, in order to prove absolute continuity, the initial …
New global Carleman estimates and null controllability for forward/backward semi-linear parabolic SPDEs
本文研究涉及状态及其梯度的抛物型SPDE的零能控性，通过推导新的全局Carleman估计和加权能量型估计，利用不动点论证将线性结果扩展到半线性正/反向抛物型SPDE。
Bernstein diffusions for a class of linear parabolic partial differential equations
本文证明了Bernstein过程的存在性，并将Bernstein过程与任意维欧几里得空间中定义在有界凸子集上的一类线性抛物初、终边值问题自然地联系起来.在一定的条件下，关于他们的端点分布，我们还证明了这样的过程成为可逆的马尔可夫扩散。此外，我们证明了这些扩散满足两个Itô方程的一些适当构造的Wiener过程，并从该分析导出Feynman-Kac表示的解决方案，给定的方程。然后，我们说明了我们的一些结果，考虑在一维有界区间和二维磁盘的热方程与诺依曼边界条件。
2D Backward Stochastic Navier-Stokes Equations with Nonlinear Forcing
研究了一类在布朗运动驱动下，带非线性强迫的二维倒向随机Navier-斯托克斯方程的强解的存在唯一性.我们使用谱近似和截断和变分技术。该方法的特点是互动分析的基础上的规律性的确定性Navier-Stokes动力学和伊藤型扩散过程的随机特性。
Backward SPDEs with non-local in time and space boundary conditions
研究了一类抛物型线性倒向随机偏微分方程，其特殊的边界条件是解的终值与整个过去解上的泛函相联系.得到了解的唯一性、可解性和正则性结果。
The effect of noise intensity on stochastic parabolic equations
本文讨论了噪声强度对随机抛物型方程解的影响。研究了噪声对随机抛物型方程能量解的影响。利用伊藤公式和能量估计方法，得到了能量解$u$在任意有限时刻$t$的激发指数.此外，我们改进了文献中的某些现有结果，提出了一个非常简单的方法来显示这些现有的结果。
Nonlinear Fractional Backward Doubly Stochastic Differential Equations with Hurst Parameter in (1/2,1)
我们首先陈述一个特殊类型的伊藤公式，涉及标准和分数布朗运动的随机积分。然后利用Doss-Sussman变换建立了由标准布朗运动和分数布朗运动驱动的倒向双随机微分方程与仅由标准布朗运动驱动的倒向随机微分方程之间的联系.采用同样的方法，我们进一步研究了分数布朗运动驱动的相关非线性随机偏微分方程和随机系数的偏微分方程.
Explicit solutions for a class of linear backward stochastic differential equations (BSDE) driven by Gaussian Volterra processes are given. These processes include the multifractional brownian motion and the multifractional Ornstein-Uhlenbeck process. By an Itô formula, proven in the context of Malliavin calculus, the BSDE is associated to a linear second order partial differential equation with terminal condition whose solution is given by a Feynman-Kac type formula. An application to self-financing trading strategies is discussed.
Notes on the Cauchy Problem for Backward Stochastic Partial Differential Equations
在整个欧几里得空间中考虑变系数抛物型倒向随机偏微分方程。在索伯列夫空间$H^n$（$=W^n_2$）中，在比X. Zhou [Journal of泛函分析103，275- 293（1992）].作为应用，得到了一个比较定理.
Stochastic parabolic equations in Musielak-Orlicz spaces with discontinuous in time N-function
本文研究由时间不连续 N-函数刻画增长与强制性的单调随机抛物方程，证明弱解存在性，并建立 Orlicz 空间中的 Itô 公式，统一涵盖 p(t,x)-Laplacian 与双相位问题。
Classical solutions to reaction-diffusion systems for hedging problems with interacting Ito and point processes
本文用概率方法研究了一类相互作用的半线性抛物型偏微分方程的经典解。在一个金融市场的建模框架与互动伊藤和点的过程中，这样的偏微分方程提供了一个自然的描述解决方案的对冲和估值问题的或有债权的递归支付结构。
In this paper we introduce a class of forward-backward stochastic differential equations on tensor fields of Riemannian manifolds, which are related to semi-linear parabolic partial differential equations on tensor fields. Moreover, we will use these forward-backward stochastic differential equations to give a stochastic characterization of incompressible Navier-Stokes equations on Riemannian manifolds, where some extra conditions used in [22] are not required.
Obstacle problem for semilinear parabolic equations with measure data
本文考虑半线性抛物型方程的Cauchy-狄利克雷问题的具有两个不规则反射壁的障碍问题。我们证明了该问题重整化解的存在唯一性，并给出了用罚函数法逼近解的结果。在证明中，我们使用了马尔可夫过程理论和倒向随机微分方程理论的概率方法。
Unified Optimality Conditions for Stochastic Optimal Control in the Rough Path and Itô Frameworks
本文建立了Itô与粗糙路径框架下随机最优控制PMP条件的统一形式，通过条件期望桥接伴随方程，并应用于生成模型微调与反馈控制。
An Asymptotic Comparison of Two Time-homogeneous PAM Models
对抛物型安德森模型（PAM）的威克-伊藤-斯科罗霍德和斯特拉托诺维奇解释都导致解是噪声强度e的实解析函数，并且在极限e->0时，两个解之间的差是e^2阶，并且是非随机的。
Maximum Principle for Quasi-linear Backward Stochastic Partial Differential Equations
本文研究抛物型拟线性倒向随机偏微分方程（简称BSPDE）的最大值原理。我们首先证明了拟线性边值问题在侧边满足Dirichlet零条件时弱解的存在唯一性。然后利用De Giorgi迭代方法，建立了拟线性倒向随机微分方程的最大值估计和全局极大值原理.为了研究弱解的局部正则性，我们还证明了倒向随机抛物型De Giorgi类的一个局部极大值原理。
Time-Homogeneous Parabolic Wick-Anderson Model in One Space Dimension: Regularity of Solution
尽管具有随机势的热方程是一个很好的研究对象，但一维空间中与时间无关的高斯白噪声的特殊情况还没有得到应有的关注。研究了有限区间上带纯空间高斯白噪声的随机热方程。主要结果是，在Wick-Itô-Skorokhod解释中，对于加性噪声和乘性噪声，解的时空正则性是相同的。
Reflected BSDEs and continuous solutions of parabolic obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍，一个唯一的连续的解决方案的问题承认一个随机表示的反射向后随机微分方程。我们还得到了解的一些正则性，并证明了一些有用的逼近结果。
Regularized solutions for some backward nonlinear parabolic equations with statistical data
本文研究了在随机噪声背景下，多维区域上一类非线性抛物型方程的初始条件的反问题。这个问题是不适定的，即，该解决方案并不连续地依赖于数据。为了正则化不稳定解，我们提出了一些新的方法来构造新的正则化解。我们还研究了正则化解与方程解之间的收敛速度。特别是，我们建立了几个方程的常系数和不定常系数的结果。常系数方程包括热传导方程、推广的Fisher-Kolmogorov方程、Swift-Hohenberg方程等。具有不定常系数的方程包括Fisher型Logistic方程、Huxley方程、Fitzhugh-Nagumo方程。本文所发展的方法也可用于求解其它几类方程的近似解，包括一维Kuramoto-Sivashinsky方程、一维修正Swift-Hohenberg方程、强阻尼波动方程和一维随机扰动Burger方程。
Long time asymptotics for fully nonlinear Bellman equations: a Backward SDE approach
本文研究了在随机控制理论中出现的完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman型抛物型方程解的大时间行为，该方程同时控制漂移系数和扩散系数.我们证明了，当时间范围趋于无穷大时，长期平均解的特征是一个非线性遍历方程。我们的结果在耗散性条件下成立，并且对扩散项没有任何非退化假设。我们的方法主要使用概率参数依赖于新的后向的非线性抛物型，椭圆型和遍历方程表示。
The master equation is a type of PDE whose state variable involves the distribution of certain underlying state process. It is a powerful tool for studying the limit behavior of large interacting systems, including mean field games and systemic risk. It also appears naturally in stochastic control problems with partial information and in time inconsistent problems. In this paper we propose a novel notion of viscosity solution for parabolic master equations, arising mainly from control problems, and establish its wellposedness. Our main innovation is to restrict the involved measures to certain…
Mild Solutions for Path-Dependent Parabolic PDEs with Neumann Boundary Conditions via Generalized BSDEs
本文通过广义BSDEs研究了具有Neumann边界条件的路径依赖抛物型PDE的温和解，建立了FBSDE系统与PDE之间的联系。
In this paper, a class of non-Markovian forward-backward doubly stochastic systems is studied. By using the technique of functional Itô (or path-dependent) calculus, the relationship between the systems and related path-dependent quasi-linear stochastic partial differential equations (SPDEs in short) is established, and the well-known nonlinear stochastic Feynman-Kac formula of Pardoux and Peng [Backward doubly stochastic differential equations and systems of quasilinear SPDEs, Probab. Theory Relat. Fields 98 (1994), pp. 209--227] is developed to the non-Markovian situation. Moreover, we obtai…
In this paper, we study fully coupled nonlocal second order quasilinear forward-backward partial differential equations (FBPDEs), which arise from solution of the mean field game (MFG) suggested by Lasry and Lions [Japan. J. Math. 2 (2007), p. 237 (Remark iv)]. We show the existence of solutions $(u,m)\in C^{1+\frac{1}{4},2+\frac{1}{2}}([0,T]\times\mathbb{R}^n)\times C^{\frac{1}{2}}([0,T],\mathcal{P}_1(\mathbb{R}^n))$, and also the uniqueness under an additional monotonicity condition. Then, we improve the regularity of our weak solution $m$ to get a classical solution under appropriate regula…
An optimal control problem for functional forward-backward stochastic systems and related Path-dependent HJB equations
本文研究了一类由泛函正倒向随机微分方程控制的随机递归最优控制问题。在标准假设下，在泛函伊藤演算的框架下，建立了动态规划原理和相应的路径依赖Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程.证明了光滑情形下的随机验证定理。最后，我们证明了该值函数是路径依赖HJB方程的黏性解。
Semi-linear Backward Stochastic Integral Partial Differential Equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process
本文研究了由布朗运动和Poisson点过程驱动的半线性倒向随机积分偏微分方程组的经典解。通过证明跳跃扩散的Itô-Wentzell公式和随机发展方程的抽象结果，得到了由布朗运动和Poisson点过程驱动的随机微分方程生成的随机流的逆的随机积分偏微分方程.通过将倒向随机微分方程的解所产生的随机场与随机流的逆相合成，构造了倒向随机积分偏微分方程组的经典解.因此，我们建立了一个随机Feynman-Kac公式。
On Girsanov's transform for backward stochastic differential equations
利用伊藤鞅表示定理中出现的密度过程在测度变化下不变的简单观察，我们建立了一类具有非线性项的拟线性抛物型方程组解的非线性版本的卡梅伦-马丁公式。二次增长。我们还构造了一个局部随机流，并建立了这类拟线性偏微分方程组的Bismut型公式。梯度估计得到的解决方案的概率表示。另一个有趣的方面指出，在文件中的非线性Cameron-Martin公式和一类向前向后随机微分方程（FBSDES）之间的联系。
Semilinear Backward Doubly Stochastic Differential Equations and SPDEs Driven by Fractional Brownian Motion with Hurst Parameter in (0,1/2)
研究了由一个布朗运动和一个Hurst参数小于1/2的分数阶布朗运动驱动的半线性分数阶倒向双重随机微分方程解的存在性.这里关于分数布朗运动的随机积分是广义发散算子，关于布朗运动的随机积分是伊藤向后积分。为此，我们利用R.Buckdahn在Wiener空间上建立的基于Girsanov定理和Malliavin演算的随机微分方程分析方法，将倒向双随机微分方程化为一个由布朗运动驱动的倒向随机微分方程.证明了半线性分数向后双重随机微分方程的解定义了由分数布朗运动驱动的半线性随机偏微分方程的唯一随机黏性解。
Optimal solution of investment problems via linear parabolic equations generated by Kalman filter
本文研究了具有不可观测随机漂移的扩散市场模型的最优投资问题。可接受的策略不使用市场参数的直接观察，而是使用历史股票价格。对于一个具有一般性能指标的非线性问题，最优投资组合策略通过求解一个标量最小化问题和一个线性抛物方程来表示，该方程的系数由卡尔曼滤波器产生.
Densities for scalar-valued BSDEs via unique continuation and backward uniqueness
本文通过结合马利亚万微积分、唯一延拓和向后唯一性，在生成元结构相容性条件下，仅要求终端条件非常数，证明了多维正向过程标量倒向分量的密度存在性。
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