Stability theorems for some Kruskal-Katona type results
经典的Kruskal-Katona定理给出了$r$ -一致超图$\mathcal{H}$的大小作为其阴影大小的函数的一个紧上界。Keevash证明了如果$\mathcal{H}$的大小接近于最大值，则$\mathcal{H}$在结构上接近于完全$r$ -一致超图。我们证明了两类超图相似的稳定性结果，这两类超图的极值性质已经被许多研究者研究过：可消超图和没有团扩张的超图。
2021-04-04 math.CO
The Kruskal-Katona Theorem for Graphs
在图论中，已知一个图g具有r个顶点的完全子图的个数，限制了它具有s个顶点的完全子图的个数，其中s > r。一个有用的上界是由Kruskal-Katona定理提供的，但这个界往往不是紧的。在本说明中，我们添加到已知的情况下，这个界限是紧的，也调查的情况下，它不是。最后，我们看看一个有用的技术，实际上找到一个图的完全子图的数量。
2018-12-23 math.CO
Kruskal-Katona type Problem
Kruskal Katona定理在20世纪60年代被证明。在定理中，我们给出了一个整数$r$和集合族$\mathcal{A}\subset \mathbb{N}^{(r)}$和$\mathcal{B}\subset\mathbb{N}^{(r-1)}$，使得对于每个$A\in\mathcal{A}$，大小为$r-1$的$A$的每个子集都在$\mathcal{B}$中。我们感兴趣的是在给定$r$和$a=|\mathcal{A}|$的固定值的情况下找到$b=|\mathcal{B}|$的最小尺寸。Kruskal Katona定理指出，当$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$都是共晶序的初始片段时，这个最小值出现。Kruskal Katona定理是非常有用的，并有许多应用和推广。在本文中，我们感兴趣的是一个特定的推广，而不是每个子集的$A$的大小$r-1$是在$\mathcal{B}$，我们将改为问，只有$k$的，其中$k$是一些整数小于$r$。请注意，设置$k=r$正好是Kruskal Katona定理。我们将首先找到$0\leq k \leq 3$ .对于$k\geq 4$，我们不会完全解决这个问题，但是，我们将找到无穷多个$a$的精确结果。我们还将提供一个公式，该公式在所有$a$的正确结果的某些附加常数范围内。
2018-05-01 math.CO
Kruskal-Katona's function and a variation of cross-intersecting antichains
我们证明了Kruskal-Katona函数的一些性质，并应用于以下交叉交叉反链的变化。令$n\ge 4$为偶数，$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$为至多具有$k$不相交对的$\mathbb{N}_n$的两个交叉交叉反链，即对于所有$A_i\in \mathscr{A}$，$B_j\in\mathscr{B}$，仅当$i=j\le k$时为$A_i\cap B_j=\emptyset$。证明了$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|$的一个最佳可能上界。进一步证明了极值族只包含$\frac{n}{2}$和$(\frac{n}{2}+1)$ -集.
2020-07-13 math.CO
A Kruskal-Katona type result and applications
受Kruskal-Katona定理的启发，研究了一个极小化问题，其中阴影的作用被增函数幺半群的作用的图像所代替。我们的一个主要结果表明，压缩集是这个问题的解决方案。讨论了单纯复形的几个应用。
2019-03-07 math.AC math.CO
A grid generalisation of the Kruskal-Katona theorem
对于集合$A\subseteq\left[k\right]^{n}=\left\{ 0,\dots,k-1\right\} ^{n}$，我们将$A$的$d$ -阴影定义为通过将$A$中某个点的非零坐标之一翻转为零而获得的点集。令$\left[k\right]_{r}^{n}$为$\left[k\right]^{n}$中具有精确的$r$非零坐标的那些点的集合。鉴于$A$的大小，我们应该如何选择$A\subseteq\left[k\right]_{r}^{n}$，以尽量减少$d$ -阴影？注意，情形$k=2$由克鲁斯卡尔-卡托纳定理回答。本文的目的就是要对这个问题给出一个确切的答案。特别是，我们表明，集$\left[t\right]_{r}^{n}$是极值的每个$t$。我们也给出了一个确切的答案“不受限制”的问题时，我们只是有$A\subseteq\left[k\right]^{n}$，例如，显示的一组点至少有$r$零是极值的每$r$。
2020-10-12 math.CO
On Colorful Kruskal--Katona Theorems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究利用熵技术确定了边染色图中彩虹三角形的最大数量上界，并揭示了最优构造与仿射平面的关联，同时探讨了更大团计数的奇偶性差异。
2026-10-02 math.CO
Extremal families for the Kruskal--Katona theorem
本文通过证明一个新的组合不等式，给出 Kruskal–Katona 定理的简单证明，并刻画阴影最小化问题的极值族，回答了 Füredi 和 Griggs 的公开问题。
2023-04-11 cs.DM math.CO
Kruskal--Katona-Type Problems via the Entropy Method
本文利用熵方法研究给定边数条件下固定子图最大副本数的Kruskal--Katona型极值问题，证明了3-边着色图中彩虹三角形数量至多为$\sqrt{2RGB}$的紧界，并给出蕴含多个先前结果的Kruskal--Katona定理推广。
2024-06-02 cs.IT math.CO math.IT
A Quadratic Vertex Threshold for Isolated Cliques in the Minimum Degree Kruskal-Katona Problem for 3-Uniform Hypergraphs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
研究3-均匀超图最小度克鲁斯卡尔-卡托纳问题，通过图变换正则化邻域结构，将问题简化为计数论证，证明对足够大的\(t\)，当\(|X|\)满足一定条件时，极值超图含\(K_{t + 1}^3\)孤立副本，给出二次阶阈值。
2026-07-08 math.CO
Kruskal-Katona for convex sets, with applications
组合学中著名的Kruskal-Katona定理表明（在温和的条件下）每个单调布尔函数$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$都具有非平凡的“密度增量”。“这意味着，输入的汉明重量$k+1$的分数，$f=1$是显着大于输入的汉明重量$k$的分数，$f=1.$我们证明了一个类似的声明，凸集。非正式地，我们的主要结果说，（在温和的条件下）每个凸集$K \subset \mathbb{R}^n$有一个非平凡的密度增量。这意味着位于$K$内的半径- $r$球体的分数显著大于位于$K$内的半径- $r'$球体的分数，因为$r'$适当地大于$r$。对于中心对称的凸集，我们证明了我们的密度增量结果本质上是最优的。作为我们的Kruskal-Katona型定理的结果，我们得到了第一个有效的弱学习算法的凸集高斯分布下。我们表明，任何凸集可以弱学习，以有利于$Ω(1/n)$在$\mathsf{poly}(n)$时间下的任何高斯分布和任何中心对称凸集可以弱学习，以有利于$Ω(1/\sqrt{n})$在$\mathsf{poly}(n)$时间。我们还给出了一个信息理论的下限表明，后者的优势本质上是最佳的$\mathsf{poly}(n)$时间弱学习算法。作为Kruskal-Katona定理的另一个结果，我们给出了高噪声率下凸集的第一个非平凡高斯噪声稳定性界。我们的结果推广了已知的$ \{0,1\}…
2019-11-01 cs.CC math.CO
Tight bounds for Katona's shadow intersection theorem
极值集合论的一个基本结果是Katona的阴影相交定理，它通过给出$k$ -集的相交族的阴影大小的下界来扩展Kruskal-Katona定理。我们改进了这个经典的结果和Ahlswede，Aydinian和Khachatrian的相关结果，证明家庭的紧界限，可以很小。例如，当$k=3$时，我们的结果对于具有$n$点和至少$3n-7$三元组的所有族都是尖锐的。Frankl将Katona定理推广到匹配数为$s$的族。我们改进了Frankl的结果，给出了大$n$的紧界.
2020-05-14 math.CO
On the extremal families for the Kruskal--Katona theorem
本文进一步发展了Kruskal-Katona定理极族的性质，推广了Füredi-Griggs/Mörs定理，证明了极族数量随k-二项式分解系数间隙严格增长，并给出了快速判定算法及新的等式刻画。
2023-05-17 cs.DM math.CO
On minimally tough chordal graphs
针对极小坚韧弦图问题，在已有t∈(1/2,1]无弦图、t≤1/2已刻画的基础上，提出t>1时无极小t-坚韧弦图的猜想并给出支持结果，证明t>1/2时强弦图等三类图非极小t-坚韧。
2025-07-08 cs.DM math.CO
A new short proof of the EKR theorem
如果族F的任何两个成员有非空交集，则族F相交。Erdos，Ko和Rado证明了|F| \leq {n-1 \choose k-1}对于[n]的k-子集的相交族成立：={1，2，3，.，n}，n \geq 2k.对于n> 2k，唯一的极值族由所有包含固定元素的k-子集组成。这里提出了一个新的证明。它甚至短于经典证明的卡托纳使用轮换，或一个发现戴金应用克鲁斯卡尔-卡托纳定理。
2011-08-10 math.CO
Kahn--Lovász-type inequalities for graph factors
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文将Kahn–Lovász定理推广到F-因子情形，得到F-因子的渐近精确上界，还证明其多重图类似结果，进而得到一类连通图F的Kruskal–Katona型界。
2026-08-21 math.CO
On the densities of cliques and independent sets in graphs
令r，s >= 2为整数。设完全图K_n的边的红/蓝染色中蓝r-团的个数已知且固定.在这个假设下，红色s-集团的最大可能数量是多少？著名的Kruskal-Katona定理回答了r=2或s=2的问题。利用极值集合论中的移位技术和一些分析论证，我们在一般情况下解决了这个问题，并证明了在极值着色中，蓝边或红边形成一个团.
2013-12-08 math.CO
Minimal toughness in subclasses of weakly chordal graphs
University of Primorska（波雷奇大学）
研究弱弦图子类中最小韧性图的特性及分类，揭示其在不同子类中的结构特征。
2026-03-05 cs.DM math.CO
Edge Erasures and Chordal Graphs
我们证明了弦图和加权弦图的几个结果，重点是暴露的边缘。这些是正确包含在一个最大完全子图中的边。这导致了弦图的特征通过从完全图中删除一系列暴露的边。最有趣的是，在这种情况下，暴露边的边-诱导子图的连通分支是2-边连通的。我们使用这后一个事实中的加权情况下，给Kruskal的第二个算法的修改版本，找到一个最小生成树的加权弦图。这种改进的算法在一个重要的意义上受益于局部性。
2018-08-14 cs.DM math.CO math.GT
On the boundary of the region defined by homomorphism densities
Kruskal-Katona定理与Razborov定理一起确定了有限图中由边和三角形的同态密度定义的点集的闭包。该区域的边界是代数曲线的可数并，特别地，它几乎处处可微。我们可以更一般地考虑由一系列给定图的同态密度定义的区域，并询问边界是否像三角形和边的情况那样表现良好。为了回答这个问题的否定，我们构造的例子表明，限制的边界，某些超平面可以无处可微的部分。
2016-12-30 math.CO
When Joints Meet Extremal Graph Theory: Hypergraph Joints
本研究提出超图接头的概念，通过关联接头问题推广了接头定理，得到超图接头数量的上界，进而推导出任意超图的部分影子现象，同时推广了Friedgut-Kahn定理与Finner研究的Hölder不等式推广形式。
2024-10-09 math.CA math.CO
Many cliques with small degree powers
本文在图的顶点度数 $p$-范数受约束的条件下，证明了 $t$-团数量的渐近锐利上界，统一了 Kruskal--Katona 定理与 Gan--Loh--Sudakov 猜想，并揭示极值构造在 $p_0=t-1$ 处从单团到多团的二分现象。
2024-11-19 math.CO
Solution to a problem of Katona on counting cliques of weighted graphs
针对卡托纳关于加权图团计数最小化的问题，本文确定了反例图类，并推广斯佩纳定理，证明斯佩纳图、完全多部图及弦图在最大独立集上均匀加权时团数最小。
2023-12-30 cs.DM math.CO
The feasible region of induced graphs
图$F$的可行域$Ω_{\rm ind}(F)$是单位正方形中的点$(x,y)$的集合，使得存在一系列图，其边密度接近$x$，并且其导出的$F$ -密度接近$y$。对于任何具有至少四个顶点的$F$，其不是团或独立集，$Ω_{\rm ind}(F)$的完整描述是未知的。可行域提供了大量关于$F$的组合信息。例如，在所有$(x,y)\in Ω_{\rm ind}(F)$上的$y$的上确界是$F$的归纳，而$Ω_{\rm ind}(K_r)$产生Kruskal-Katona和团密度定理。我们通过证明关于$Ω_{\rm ind}(F)$的形状的一些一般性陈述和给出一些特定图$F$的结果来开始对$Ω_{\rm ind}(F)$的系统研究。我们的许多定理适用于量子图的更一般的设置。例如，我们证明了量子图的一个界，它推广了Bollobás关于给定边密度的图中团数的一个旧结果。我们还考虑了当$F=K_r^-$，$F$是星，或$F$是完全二部图时确定$Ω_{\rm ind}(F)$的问题.在$K_r^-$的情况下，我们的结果锐化的边缘统计猜想的Alon等预测。同时也扩展了Hirst关于$K_4^-$的一个定理，该定理是用计算机辅助技术和标志代数证明的。情况下的4-循环似乎特别有趣，我们猜想，$Ω_{\rm ind}(C_4)$是由解决三角形密度问题，这已解决了拉兹博罗夫。
2022-07-07 math.CO
Many cliques in bounded-degree hypergraphs
本文研究有界 i-度的 s-超图中 t-团数量的极值问题，在顶点数、边数及固定 u-团数三种情形下给出紧界，并刻画极值结构为 Steiner 系的影子。
2023-08-11 math.CO
Toward a KKL Theorem for any HDX
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文提出一种局部到全局方法，证明任何链接满足KKL定理的单纯复形整体也满足KKL型定理，并给出组合高维扩展器上非扩展函数的首次刻画。
2026-06-28 cs.CC cs.DM math.CO
