Kruskal-Katona函数与交叉交叉反链的一种变形
Kruskal-Katona's function and a variation of cross-intersecting antichains
摘要：
我们证明了Kruskal-Katona函数的一些性质，并应用于以下交叉交叉反链的变化。令$n\ge 4$为偶数，$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$为至多具有$k$不相交对的$\mathbb{N}_n$的两个交叉交叉反链，即对于所有$A_i\in \mathscr{A}$，$B_j\in\mathscr{B}$，仅当$i=j\le k$时为$A_i\cap B_j=\emptyset$。证明了$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|$的一个最佳可能上界。进一步证明了极值族只包含$\frac{n}{2}$和$(\frac{n}{2}+1)$ -集.
英文摘要：
We prove some properties of the Kruskal-Katona function, and apply to the following variation of cross-intersecting antichains. Let $n\ge 4$ be an even integer and $\mathscr{A}$ and $\mathscr{B}$ be two cross-intersecting antichains of $\mathbb{N}_n$ with at most $k$ disjoint pairs, i.e. for all $A_i\in \mathscr{A}$, $B_j\in\mathscr{B}$, $A_i\cap B_j=\emptyset$ only if $i=j\le k$. We prove a best possible upper bound on $|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|$. Furthermore, we show that the extremal families contain only $\frac{n}{2}$ and $(\frac{n}{2}+1)$-sets.
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