Mutual-visibility in strong products of graphs via total mutual-visibility
该研究引入完全互能见度集作为工具，探究强乘积图的互能见度数，给出其两种下界，确定任意维强网格图的精确值，并得到强棱柱图的两个紧界。
2024-04-18 math.CO
Visibility polynomial of corona of two graphs
本文针对多智能体系统可见性相关的图论问题，引入$C_Q$-可见集概念，刻画了两个图冠积中互可见集的结构，建立了相关性质，深化了对冠积可见性多项式的理解。
2025-09-02 math.CO
Convex geometric (k+2)-quasiplanar representations of semi-bar k-visibility graphs
我们检查半酒吧的可见性图在平面上，并在一个圆柱体中，视线可以通过k个对象。我们证明了每一个半棒k-可见图在平面上都有一个（k+2）-拟平面表示，其顶点表示为凸位置上的点，边表示为线段。我们还证明了具有不同长度的半棒的圆柱半棒k-可见性表示的图与具有在平面上的边极大（k+2）-拟平面表示的（2k+2）-退化图是相同的，其中顶点被画为凸位置上的点，边被画为段。
2013-07-03 math.CO
Visibility Polynomial of Some Graph Classes
College of Engineering Trivandrum（特里凡得琅工程学院）
本文研究了若干基本图类的相互可视集，推导了其关联的可视多项式闭式表达式，深化了基于可视性的不变量理解。
2025-09-26 math.CO
Varieties of mutual-visibility and general position on Sierpiński graphs
本文研究了Sierpiński图$S_p^n$上的八类互见性与一般位置不变量，确定了$S_p^2$的全部值及$S_3^n$的大部分值，并枚举了相应极值集合。
2025-04-28 math.CO
On the Visibility Polynomial of Graphs
College of Engineering Trivandrum（特里凡得琅工程学院）
本文研究了图的可见性多项式，分析了某些经典图类的性质，并探讨了最大可见性集合的数量与环图的关系，以及图的连接操作对多项式的影响。
2025-07-11 math.CO
Mutual-Visibility of Tree and Its Line Graphs
College of Engineering Trivandrum（特里凡得琅工程学院）
本文研究了树及其线图的相互可见集的性质，证明了树的相互可见数在线图操作下保持不变，并给出了迭代线图的相互可见数的下界。
2026-05-19 math.CO
Multipartite and Structural Results on Transparent Rectangle Visibility Graphs
研究证明K_{3,3,3}不是TRVG，并分类了完全k-部TRVG，同时引入了ITRVG并证明其存在性。
2025-11-27 math.CO
On the mutual visibility in Cartesian products and triangle-free graphs
给定一个图$G=(V(G), E(G))$和一个集合$P\subseteq V(G)$，最近引入了以下概念：$(i)$ $P$的两个元素是\emph{mutually visible}，如果它们之间有一个最短路径，而没有进一步的$P$元素; $(ii)$ $P$是一个\emph{mutual-visibility set}，如果它的元素是成对相互可见的; $(iii)$ $G$的\emph{mutual-visibility number}是任何最大的相互可见集的大小。在这项工作中，我们继续研究这些概念。我们首先关注笛卡儿积中的互可见性。为了这个目的，我们也介绍和调查独立的相互可见性集。在两个完全图的笛卡尔积的非常特殊的情况下，该问题被证明等价于著名的扎伦凯维奇问题。我们还刻画了互可见度等于$3$的无三角形图。
2022-05-18 math.CO
On the bar visibility number of complete bipartite graphs
图的$t$ -条可见性表示将平面中的每个顶点分配到$t$水平条，使得两个顶点相邻，当且仅当一个顶点的某个条可以通过正宽度的无障碍垂直通道看到另一个顶点的某个条。使得$G$具有$t$ -条可见性表示的最小$t$是$G$的条可见性编号，由$b(G)$表示。对于完全二部图$K_{m,n}$，欧拉公式给出了$b(K_{m,n})\ge\lceil{\frac{mn+4}{2m+2n}}\rceil$的下界$b(K_{m,n})\ge\lceil{\frac{mn+4}{2m+2n}}\rceil$.我们证明了平等是成立的。
2019-05-06 math.CO
Mutual Visibility in Graphs
设$G=(V,E)$是一个图，而$P\subseteq V$是一个点集。如果两个点之间有一条最短路径而没有其他点，则这两个点相互可见。$P$是一个相互可见的集合，如果它的点是成对相互可见的。$G$的互可见性数是任何最大互可见性集的大小。本文对这种新的不变量和无向图中的互见集进行了研究。我们引入了互可见性问题，它要求找到一个大小大于给定数字的互可见性集。我们表明，这个问题是NP-完全的，而，检查是否一个给定的点集是一个互可见集是在多项式时间内可解的。然后，我们研究了特殊图类，如块图、树图、格图、环面图、完全二部图、上图等的互可见集和互可见数。我们还给出了图的互可见数与其它不变量的关系。
2021-07-15 cs.CC math.CO
Some new results on bar visibility of digraphs
有向图的可见性表示由Axenovich、Beveridge、Hutch-inson和West（\emph{SIAM J. Discrete Math.} { \bf 27}（3）（2013）1429- 1449）引入，作为无向图的$t$ -条可见性表示的自然推广。有向图$G$的{ \it $t$ -bar visibility representation}在平面中至多为每个顶点分配$t$水平条，使得当且仅当$x$的某个条沿着具有正宽度的未阻塞垂直条带“看到”其上方的$y$的某个条时，有向图中存在弧$xy$。{ \it可见性编号} $b(G)$是使得$G$具有$t$条可见性表示的最小$t$。本文解决了Axenovich等人提出的关于$b(G)$的几个问题。证明了判定有向图的条可见数是否为$2$是NP-完全的。
2021-08-27 math.CO
Independent mutual-visibility coloring and related concepts
本文研究色类为互可见集的图着色，引入独立互可见集与IMV着色，证明相关参数的计算是NP-完全或NP-难的，并给出树、字典积、Cartesian积和strong积等图类的紧界与精确值。
2025-05-07 math.CO
Unit Rectangle Visibility Graphs
在过去的二十年里，矩形可见性图产生了相当大的兴趣，部分原因是它们适用于超大规模集成电路芯片设计。在这里，我们研究单位矩形可见性图，固定尺寸的限制更紧密地建模在计算机芯片应用中的门和其他电路元件的约束尺寸。一个图$G$是一个单位矩形可见性图（URVG），如果它的顶点可以用平面中的闭单位正方形表示，其边平行于轴，内部两不相交，使得两个顶点相邻当且仅当有一个非退化的水平或垂直可见性带连接两个矩形。我们的结果包括$K_n$，$K_{m,n}$，树是URVG的充要条件，以及一些一般的边缘边界。
2007-10-11 math.CO
Upper bounds for bar visibility of subgraphs and n-vertex graphs
图的$t$ -条可见性表示将平面中的每个顶点分配到$t$水平条，使得两个顶点相邻，当且仅当一个顶点的某个条可以通过正宽度的无障碍垂直通道看到另一个顶点的某个条。使得$G$具有$t$ -条可见性表示的最小$t$是$G$的条可见性编号，由$b(G)$表示。证明了如果$H$是$G$的生成子图，则$b(H)\le b(G)+1$ .当$G$是一个$n$ -顶点图时，可以得出$b(G)\le \lceil n/6\rceil+1$.这改进了由Chang等人（SIAM J. Discrete Math.18（2004）462）获得的上界。
2019-04-18 math.CO
The Unit Bar Visibility Number of a Graph
图$G$的\textit{$t$-unit-bar representation}是平面中至多$t$水平单位长度段的集合到$G$的顶点的分配，使得（1）所有段是成对不相交的，以及（2）两个顶点$x$和$y$相邻，当且仅当存在正宽度的垂直通道连接分配给$x$的线段和分配给$y$的线段，该线段相交没有其他部分。图$G$的\textit{unit bar visibility number}，表示为$ub(G)$，是最小$t$，使得$G$具有$t$ -单位-条可见性表示。我们的研究结果包括一个线性时间算法，确定$ub(T)$时$T$是一棵树，$ub(K_{m,n})$上的界限，确定$ub(K_{m,n})$渐近时$n$和$m$是渐近相等的，和$ub(K_n)$上的界限，确定$ub(K_n)$正是当$n\equiv 1,2\pmod 6$。
2015-08-20 math.CO
k-Mutual Visibility in Graphs
College of Engineering Trivandrum（特里凡得琅工程学院）
提出k-互可见性概念，通过参数化推广经典互可见性，研究其基本性质、图类上的精确值、块图上的刻画，并证明识别问题的多项式时间算法及决策问题的NP完全性。
2026-07-01 math.CO
Recognition and Complexity of Point Visibility Graphs
点可见性图是由平面上的一组点导出的图，其中每个顶点对应于一个点，并且只要两个对应的点彼此可见，两个顶点就相邻，即它们之间的开段不包含集合中的任何其他点。研究了点可见图的识别问题：给定一个简单的无向图，判断它是否是平面上某个点集的可见图。我们表明，这个问题是完整的实的存在理论。因此，这个问题就像判定一个多项式不等式系统的实数解的存在性一样困难。证明涉及简单的子结构，迫使在所有实现的一些可见性图，这是适用于Mnëv和Richter-Gebert的代数普遍性建设共线性。这解决了一个长期悬而未决的问题，并为其他类别的可见性图的分析铺平了道路。此外，作为我们的建设之一的推论，我们表明，存在点的可见性图，不承认任何几何实现与点具有整数坐标。
2019-02-04 cs.CG math.CO
The Mutual-Visibility Problem In Directed Graphs
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）
本文研究有向图中的相互可见性问题，证明DAGs中相互可见性数恒为1，有向环中恒为2，而比赛可支持任意大的相互可见性集合，并探讨了算法复杂度及强桥的影响。
2026-02-05 math.CO
On the connectivity of visibility graphs
平面中有限点集的可见性图具有作为顶点的点和两个顶点之间的边，如果它们之间的线段不包含其他点。本文建立了可见图的边连通度和点连通度的界。除非它的所有顶点都是共线的，否则可见性图的直径至多为2，因此它遵循Plesník（1975）的结果，即它的边连通度等于它的最小度。我们加强了Plesník的结果，证明了对于直径为2的图中的任意两个顶点v和w，如果deg（v）<= deg（w），则存在长度至多为4的deg（v）边不相交的vw-路。此外，我们发现在可见性图中，每一个最小边割都是与最小度顶点关联的边的集合。对于点连通度，证明了任意n个顶点且至多l个共线顶点的可见图的连通度至少为（n-1）/（l-1），这是紧的.我们还证明了定性更强的结果，顶点连通性至少是最小程度的一半。最后，在l = 4的情况下，我们将这个界提高到最小度的三分之二。
2011-06-18 math.CO
Variety of mutual-visibility problems in hypercubes
本文定义图的全、外和对偶相互可见集及其可见数，并研究超立方体中这些相互可见性问题，给出相应结果。
2024-05-09 math.CO
Total mutual-visibility in graphs with emphasis on lexicographic and Cartesian products
本文研究了连通图的完全互见性数，给出了基于直径、阶数和连通控制数的界限与图刻画，并确定了字典序积的精确值及笛卡尔积图的界限与闭式公式。
2023-06-27 math.CO
Lower (total) mutual visibility in graphs
本文提出图的（总）互见数的下界变体$\mu^{-}(G)$和$\mu_t^{-}(G)$，证明两者差可任意大，刻画小值图，借助邻域引理给出上界，并证明相关决策问题的NP完全性。
2023-10-13 math.CO
Visibility problem in the plane
研究平面紧集在几乎所有方向上的可见部分的Hausdorff维数，利用改进的射线关联下界定理，将上界从11/6改进到3/2。
2026-08-27 math.CA math.CO math.MG
Connected Mutual-Visibility in Graphs
Department of Mathematics, College of Engineering Trivandrum（特里凡得琅工程学院数学系）
本文引入连通互可见数$\mu_c(G)$，研究其界、极值图、正则图取值及块结构局部性，并给出识别算法及NP完全性证明。
2026-09-17 math.CO
Transparent Rectangle Visibility Graphs
该研究围绕透明矩形可见性图（TRVG）展开，证明了多类图属于TRVG，推导了二部TRVG的最大边数并刻画完全二部TRVG的特征，还得到了环面情形的类似结果并探究了环的幂图及其补图的TRVG属性。
2025-06-17 math.CO
On Visibility Problems with an Infinite Discrete, set of Obstacles
本文研究欧氏空间$\mathbb{R}^d$中的可见性问题，其中障碍是无限离散集$Y\subseteq\mathbb{R}^d$中的点.点$x\in\mathbb{R}^d$称为$\varepsilon$ -对于$Y$可见（符号：$x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))$，如果存在从$x$发出的射线$L\subseteq\mathbb{R}^d$，使得对于所有$y\in Y\setminus\{x\}$和$z\in L$，$||y-z||\geq\varepsilon$。点$x\in\mathbb{R}^d$对于$Y$被称为可见（符号：$x\in\mathbf{vis}(Y))$，如果是$x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))$，对于某些$\varepsilon>0$。\\我们的主要结果如下。对于每个$\varepsilon>0$和每个相对稠密集$Y\subseteq\mathbb{R}^2$，$\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))\neq\mathbb{R}^2$。这一结果推广了Dumitrescu和Jiang的一个定理，该定理解决了Mitchell的暗森林猜想。另一方面，我们证明了存在一个相对稠密的子集$Y\subseteq \mathbb{Z}^d$，使得$\mathbf{vis}(Y)=\math…
2018-05-29 cs.CG math.CO math.MG
Visibility in graphs under edge and vertex removal
本文研究连通图在移除一条边或一个顶点后，互可见数等四个可见性不变量的变化范围，给出若干上下界，并刻画其关于阶数的可实现性。
2025-05-25 math.CO
Large Planar Point Sets Contain 4 Collinear Points or Almost 7-Cliques, and Related Results
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Indian Statistical Institute, Kolkata（印度统计学院，加尔各答）
本研究证明足够大的平面点集必含四点共线或七点近团，并推广至色数至多五或六且含色临界边的任意图，逼近大线大团猜想。
2026-09-24 cs.CG math.CO
Corner Rectangle Visibility Graphs
Willamette University（威拉姆特大学）；Washington University in St. Louis（华盛顿大学圣路易斯分校）；UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
介绍角矩形可见性图（CRVGs）及其特殊类型南和西南CRVGs，证明它们边数的上限并表明边界是紧的，还证明了\(n\)个顶点CRVGs边数范围，最后将几个图族分类为相应类型。
2026-07-17 math.CO
A family of convex sets in the plane satisfying the $(4,3)$-property can be pierced by nine points
证明了平面上满足$(4,3)$ -性质的凸集的有限族可以被$9$点穿透。这改进了Gyárfás、Kleitman和Tóth在2001年证明的$13$的界。
2020-10-25 math.CO
Maximal integral point sets in affine planes over finite fields
受欧几里德平面上整点集的启发，我们考虑了有限域上仿射平面上的整点集。整数点集是有限域$\mathbb{F}_q$上仿射平面$\mathbb{F}_q^2$中的点的集合，其中每对点的形式定义的平方欧几里德距离是$\mathbb{F}_q$中的平方。证明了$\mathbb{F}_q$上的整点集也可以刻画为确定某些预定方向的仿射点集，这与Blokhuis的工作有关。此外，在一个重要的子情况整点集可以重述为团的佩利图的平方阶。本文给出了整点集自同构的新结果，并对$q\le 47$的$\mathbb{F}_q$上的极大整点集进行了分类.进一步给出了两类极大整点集，并证明了它们的极大性。
2014-01-14 math.CO
Dominating sets in projective planes
通过建立有限射影平面的关联图的小控制集的稳定性结果，证明了控制集与块集和覆盖集之间的强相关性.我们的主要结果表明，如果$q>81$阶射影平面中的控制集小于$2q+2[\sqrt{q}]+2$（即，Baer子平面大小的两倍），则它包含一条直线的所有点，但可能只有一个点，或者包含通过一个点的所有线，但可能只有一条线。此外，我们完全刻画了大小至多为$2q+\sqrt{q}+1$的控制集。在Despermesian平面上，我们可以依靠关于阻塞集的强稳定性结果来证明，如果一个控制集足够小于3q，那么它由一个阻塞集和一个覆盖集的并集组成，除了几个点和线。
2016-03-09 math.CO
Bar 1-Visibility Graphs and their relation to other Nearly Planar Graphs
一个图被称为一个强（或。弱）条1-可见性图，如果其顶点可以被表示为平面中的水平段（条），使得其边缘全部（分别顶点对的子集），这些顶点对的条具有连接它们的$ε$粗垂直线，该垂直线至多与另一条相交。我们探讨了弱（分别）之间的关系。强）棒1-可见性图和其他近平面图类。特别是，我们研究了它们的关系1-平面图，这有一个图纸，最多有一个交叉每边;准平面图，这有一个图纸，没有三个相互交叉的边缘;平面1-流网络的平方，这是向上有向图与在或出度最多为1。我们的主要结果是，1-平面图和平面1-流网络的（无向）平方是弱棒1-可见性图，这些是准平面图。
2013-12-19 cs.CG cs.DS math.CO
On the minimum diameter of plane integral point sets
自古以来，数学家认为几何物体的边长是整数。我们考虑平面积分点集$\mathcal{P}$，这是一组$n$点在平面上的两两积分距离，不是所有的点是共线的。出现的最大距离称为其直径。由$n$点构成的平面整点集的最小可能直径$d(2,n)$的问题自然产生。我们给出了一些新的精确值，并描述了最先进的算法来获得它们。结果表明，具有最小直径的平面整点集很可能由具有许多共线点的子集组成。对于这种特殊的点集，我们证明了一个下界$d(2,n)$实现已知的上界$n^{c_2\log\log n}$的指数为常数。一个著名的问题Erdens要求平面整点集没有3点的直线和没有4点的圆。这里，我们讨论一般位置上的点集，并将相应的最小直径表示为$\dot{d}(2,n)$。最近，可通过穷举检索确定$\dot{d}(2,7)=22 270$。
2008-04-08 math.CO
Bar 1-Visibility Drawings of 1-Planar Graphs
图$G$的条1可见性绘图是$G$的绘图，其中每个顶点被绘制为称为条的水平线段，每个边缘被绘制为垂直线段，其中表示边缘的垂直线段必须连接表示端顶点的水平线段，并且对应于边缘的垂直线段与最多一个不是边缘的端点的条相交。如果$G$具有条形图1可见性图形，则图形$G$为条形图1可见。一个图$G$是1-平面的，如果$G$在一个二维平面中有一个绘图，使得一条边至多与另一条边相交。本文给出了求对角网格图和极大外1-平面图的条1-可见图的线性时间算法。我们还证明了递归四边形1-平面图和伪双轮1-平面图是棒1-可见图。
2013-02-20 cs.DM cs.DS math.CO
Stabbing non-piercing sets and face lengths in large girth plane graphs
本文证明有界独立数的连通平面集合非穿刺族可被常数个点刺扎，并据此解决大围长边极大平面图最大面长度的相关问题。
2025-08-30 math.CO
Random walks on generalized visible lattice points
我们考虑了随机行走者所访问的平面中广义可见格点的比例。我们从三个方面研究了随机游动中的可见格点：（1）沿曲线的广义可见性;（2）从多个观察点可见一个随机游动者;（3）多个随机游动者同时可见.此外，我们发现了新的现象的情况下，多个随机步行者：可见性沿一大类曲线和任何数量的随机步行者，步骤的比例，所有的随机步行者是可见的同时几乎肯定大于一个正常数。
2020-09-08 math.CO math.NT math.PR
No Krasnoselskii number for general sets in $\mathbb{R}^2$
对于$\mathbb{R}^d$中的集合族$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$的Krasnoselskii数是最小的$m$，使得对于任何$S \in \mathcal{F}$，如果$S$的每个$m$点从$S$中的公共点可见，则$S$的任何有限子集从单个点可见。35年前，Peterson问在$\mathbb{R}^d$中是否存在一般集合的Krasnoselskii数。排除结果的特殊情况下，集强拓扑限制，最有名的结果是由于布林，谁表明，如果这样的Krasnoselskii数在$\mathbb{R}^2$存在，那么它是大于$8$。在本文中，我们回答彼得森的问题，在否定表明，有没有Krasnoselskii数的家庭的所有集在$\mathbb{R}^2$。证明是非建设性的，并使用超限归纳法和良序定理。此外，我们考虑Krasnoselskii数与通过长度为$ \leq n$的多边形路径的可见性，其中Krasnoselskii定理的一个类似物由Magazanik和Perles证明。我们表明，由一个明确的建设，对于任何$n \geq 2$，有没有Krasnoselskii数的家庭一般的集合在$\mathbb{R}^2$相对于可见性通过路径的长度$\leq n$。(Here反例是线段的有限并集。）
2020-12-10 cs.CG math.CO math.LO
Sets of mutually orthogoval projective and affine planes
如果一个平面的每一条直线与另一个平面的每一条直线至多相交于两点，则同一阶且位于同一点集上的一对平面（都是射影的或都是仿射的）是正交的。在本文中，我们证明了新的建设集的相互正交的平面，投影和仿射，并审查已知的结果，相当于两个以上的相互正交的平面集。我们还讨论了相互正交的平面集和覆盖阵列之间的联系。
2022-10-21 cs.DM math.CO
Fault-tolerant mutual-visibility: complexity and solutions for grid-like networks
研究提出k-容错互见性概念，用于网格状网络中实现高效且保密的通信，通过分析其复杂性及计算难度，为网络可靠性提供理论支持。
2025-12-01 cs.DM math.CO
A note and a short survey on supporting lines of compact convex sets in the plane
在考察了平面上紧凸集的一些已知性质后，给出了支撑线可以连续缓慢滑动的一般感觉的两个严格证明。针对广大读者，我们的治疗是基本的目的。
2016-12-05 math.CO math.MG
Subsets and Freezing Sets in the Digital Plane
我们继续研究[4，2，3]中介绍的数字图像冻结集。我们证明的方法获得冻结集的数字图像（X，C_i）为X \subset Z ^2和i \in {1，2}。我们给出的例子来说明这些方法可以导致最小冻结集的确定。
2020-10-18 math.CO math.GT
Visibility cliques, cubic containers, and dense orchard cores
University of Toronto（多伦多大学）
本文研究了平面点集中的可视团和线性结构，证明了三次容器定理并结合Green-Tao定理，得出点集在无共线点时存在大可视团的结论，同时给出了密集果园核心引理和一个阻断例子。
2026-04-30 math.CO math.MG
Almost all string graphs are intersection graphs of plane convex sets
一个{ \em字符串图}是平面中一族连续弧的交图。平面凸集族的交图是弦图，但并不是所有的弦图都能用这种方法得到。本文证明了Janson和Uzzell提出的结构定理：{ \em几乎所有}弦图在$n$顶点上的顶点集可以划分成{ \em五个}团，使得其中某对团不被任何边连通（$n\rightarrow\infty$）.我们还证明了具有上述性质的图都是平面凸集的交图。作为推论，我们得到了$n$顶点上的{ \em几乎所有}弦图是平面凸集的交图.
2018-03-18 cs.CG math.CO
Coloring intersection graphs of arc-connected sets in the plane
平面上的集合族是单的，如果它的任意子族的交是弧连通的，并且它被线$L$穿过，如果它的任意成员与$L$的交是非空线段。证明了平面上被一条公共线穿过的紧致弧连通集的简单族的交图的色数受其团数的函数限制。
2014-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Computing the obstacle number of a plane graph
平面图G的障碍表示是V（G）连同一组不透明的多边形障碍，使得G是由障碍确定的V（G）上的可见性图。我们研究的问题，计算障碍表示的平面图（ORPG）的最小障碍数。我们称这个最小尺寸为G的障碍数。首先，我们证明了ORPG是NP-困难的从平面顶点覆盖约化，解决了一个问题[8]。其次，我们给出了从ORPG到最大度3平面顶点覆盖的一个约化。由于这种减少保持解决方案的价值，它遵循ORPG是固定参数易处理（FPT），并承认多项式时间近似计划（PTAS）。
2011-08-12 cs.CG cs.DM cs.DS
