具有正熵的分段仿射压缩映射
A piece-wise affine contracting map with positive entropy
摘要:
我们构造了一个最简单的具有两点吸引子的混沌系统。
英文摘要:
We construct the simplest chaotic system with a two-point attractor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
A piece-wise affine contracting map with positive entropy
Boris Kruglikov, Martin Rypdal
我们构造了一个最简单的具有两点吸引子的混沌系统。
We construct the simplest chaotic system with a two-point attractor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
Complexity of injective piecewise contracting interval maps
研究了区间上单射分段压缩映射行程的复杂性。我们证明了任何这样的地图的复杂性函数的任何行程最终仿射。我们还证明了复杂性的增长率是有界的,从上面的数量$N-1$的不连续的地图。为了证明这个界是最优的,我们构造了分段仿射压缩映射,其行程都具有复杂性$(N-1)n +1$。在这些例子中,渐近动力学发生在包含所有不连续的最小康托尔集中。
In this paper, we first show that any nonlinear monotonic increasing contracting maps with one discontinuous point on a unit interval which has an unique periodic point with period $n$ conjugates to a piecewise linear contracting map which has periodic point with same period. Second, we consider one parameter family of monotonic increasing contracting maps, and show that the family has the periodic structure called Arnold tongue for the parameter which is associated with the Farey series. This implies that there exist a parameter set with a positive Lebesgue measure such that the map has a per…
On the Asymptotic Properties of Piecewise Contracting Maps
研究了紧空间上分段压缩映射的渐近动力学。这些映射是Lipschitz连续的,Lipschitz常数小于1,当被限制到一个有限的和稠密的不相交的开放片的联合的任何片。我们专注于拓扑和动力学性质的(全球)吸引子的轨道,仍然在这个联盟。作为一个出发点,我们表明,吸引子由一有限集的周期点时,它不相交的边界的收缩片,这补充了类似的结果证明了更具体的类分段收缩映射。然后,我们探讨的情况下,吸引子相交这些边界提供的例子,显示这些系统的丰富的现象。由于不连续性,渐近行为并不总是正确的吸引子中的动态表示。因此,我们引入广义轨道来描述渐近动力学及其递归性和传递性。我们的例子包括传递和经常性的吸引子,要么是有限的,可数的,或不相交的联盟的康托尔集和可数集。我们还证明了分段压缩映射的吸引子通常是一个勒贝格测度零集,并给出了保证它是全不连通的的条件。最后给出了一个吸引子为区间的具有正拓扑熵的分段压缩映射的例子。
A spectral decomposition of the attractor of piecewise contracting maps of the interval
研究了定义在紧区间上的分段压缩映射的渐近动力学。对于地图,不一定是内射的,但有一个有限数量的局部极值和不连续点,我们证明了存在的分解的支持的渐近动态到一个有限数量的最小组件。每个分量要么是一个周期轨道要么是一个极小康托尔集,并且使得区间中(几乎)每个点的$ω$ -极限集恰好是这些分量之一。此外,我们表明,每个组件是$ω$ -极限集,或封闭的轨道,单边极限的地图在一个不连续点或在一个局部极值。
Piecewise contracting maps on the interval: Hausdorff dimension, entropy and attractors
本文研究紧区间上单射分段压缩映射的吸引子,利用轨道复杂度证明其拓扑熵与豪斯多夫维数均为零。
We analyze the two-point motions of iterated function systems on the unit interval generated by expanding and contracting affine maps, where the expansion and contraction rates are determined by a pair $(M,N)$ of integers. This dynamics depends on the Lyapunov exponent. For a negative Lyapunov exponent we establish synchronization, meaning convergence of orbits with different initial points. For a vanishing Lyapunov exponent we establish intermittency, where orbits are close for a set of iterates of full density, but are intermittently apart. For a positive Lyapunov exponent we show the existe…
A continuous, piecewise affine surface map with no measure of maximal entropy
已知分段仿射曲面同胚总是具有极大熵测度。这在不连续的情况下很容易看出是失败的。在这里,我们描述了一个分段仿射,全球连续的表面映射,没有最大熵的措施。
Absolutely continuous invariant measures for some piecewise hyperbolic affine maps
研究了平面有界子集上的一类分段仿射双曲映射。它表明,如果从这个类的地图是足够的面积扩张,然后几乎肯定这个地图有一个绝对连续的不变测度。
Singular stationary measures for random piecewise affine interval homeomorphisms
我们证明了一些随机系统的两个分段仿射同胚的区间是奇异的,部分验证了一个猜想Alsedà和Misiurewicz和有助于一个问题的Navas的绝对连续性的平稳措施,考虑在设置半群的分段仿射圆同胚。我们专注于共振边界导数的情况下。
Forcing of periodic orbits for interval maps and renormalization of piecewise affine maps
证明了对于区间上的连续映射,存在n-圈意味着存在n-1个点,这些点缠绕在原点上并被映射置换。然后,我们使用这个组合的结果表明,分段仿射映射(没有零斜率)不能无限重正化。
Dynamics of a Continuous Piecewise Affine Map of the Square
我们提出了一个单参数家庭的连续,分段仿射,面积保持的广场,这是受对策论中的动力系统。感兴趣的随机和(准)周期性行为的共存,我们调查不变的圆环分离。对于一定的参数值,我们明确地构造了有理和无理旋转数不变的圆,并给出了由这些圆所界定的环上的动力学的数值实验。
Interval maps quasi-symmetrically conjugated to a piecewise affine map
考虑具有非平坦临界点的$C^3$的多模态区间图$f$。在$f$是拓扑正合的且它的所有周期点都是双曲相斥的情况下,建立了映射$f$与分段仿射映射拟对称共轭的几个刻画.特别是,我们给出了一个否定的答案,由亨克布鲁因张贴在\cite{Bru96}的问题。
We construct a chaotic discrete-time continuous-state Hopfield network with piecewise-affine nonnegative activation functions and weight matrix with small positive entries. More precisely, there exists a Cantor set $C$ in the state space such that the network has sensitive dependence on initial conditions at initial states in $C$ and the network orbit of each initial state in $C$ has $C$ as its $ω$-limit set. The approach we use is based on tools developed and employed recently in the study of the topological dynamics of piecewise-contractions. The parameters of the chaotic network are explici…
Maximal Entropy Measures for Piecewise Affine Surface Homeomorphisms
从熵的角度研究了分段仿射曲面同胚的动力学性质。在正拓扑熵的假设下,建立了极大熵的多个遍历不变概率测度的存在性,并证明了周期点个数的一个乘性下界.这是为了作为一个步骤的理解表面的仿射。我们继续建立一个跳跃变换,不使用第一个回报,但仔细选择的“好”回报,以免除马尔可夫分割。我们通过一些熵和遍历参数来控制这些良好的回报。
Matching in a family of piecewise affine maps
考虑了一类单参数区间映射族,并研究了度量(分别为)拓扑)熵随着参数的变化而变化。我们表明,在许多情况下,熵显示半正规的行为,即它是光滑的开放和密集集。这个特征是由于一种叫做匹配的组合属性
Let $\{S_i\}_{i\in Λ}$ be a finite contracting affine iterated function system (IFS) on ${\Bbb R}^d$. Let $(Σ,σ)$ denote the two-sided full shift over the alphabet $Λ$, and $π:Σ\to {\Bbb R}^d$ be the coding map associated with the IFS. We prove that the projection of an ergodic $σ$-invariant measure on $Σ$ under $π$ is always exact dimensional, and its Hausdorff dimension satisfies a Ledrappier-Young type formula. Furthermore, the result extends to average contracting affine IFSs. This completes several previous results and answers a folklore open question in the community of fractals. Some ap…
Dimension of the repeller for a piecewise expanding affine map
本文研究了Michael Barnsley提出的欧几里得空间中一类分段仿射系统的维数论,并将其应用于分形图像压缩.这是一个更一般的版本的类考虑在工作的基恩,西蒙和Solomyak [维数图有向吸引子重叠的线,与应用的问题,在分形图像识别。{ \it Fund. Math.},{ \bf 180}(3):279-292,2003],可以认为是[On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps. { \it Proc. Amer. Math. Soc.},{ \bf 144}(10):4427-4440,2016],[关于三角自仿射集的维数。{ \it Erg.日\& Dynam。Sys.},出现)。作者。最后给出了所得结果在广义Takagi函数和分形插值函数上的应用。
Growth of heights in piecewise-affine planar maps
我们考虑增长的高度点的轨道(分段)仿射映射的平面,合理的参数。我们分析了全局和局部($p$ -adic)高度的渐近增长率,用于划分参数的素数$p$。我们证明了几乎所有的点在一个区域的线性(如一个椭圆岛的面积保持映射)有相同的指数增长性率。我们还表明,收敛的$p$ -adic高度可能是不均匀的,任意大的波动发生任意接近任何点。我们探讨数值的行为高度在混乱的地区,在面积保持和耗散系统。
Topological dynamics of piecewise λ-affine maps
设$-1<λ<1$和$f:[0,1)\to\mathbb{R}$是分段$λ$ -仿射映射,即存在点$0=c_0<c_1<\cdots <c_{n-1}<c_n=1$和实数$b_1,\ldots,b_n$,使得对每个$x\in [c_{i-1},c_i)$都有$f(x)=λx+b_i$.证明了对几乎所有的$δ\in\mathbb{R}$,Lebesgue映射$f_δ=f+δ\,({\rm mod}\,1)$是渐近周期的.更准确地说,$f_δ$最多有$2n$个周期轨道,并且每个$x\in [0,1)$的$ω$ -极限集都是周期轨道。
We study maps of the unit interval whose graph is made up of two increasing segments and which are injective in an extended sense. Such maps $f_{\p}$ are parametrized by a quintuple $\p$ of real numbers satisfying inequations. Viewing $f_{\p}$ as a circle map, we show that it has a rotation number $ρ(f_{\p})$ and we compute $ρ(f_{\p})$ as a function of $\p$ in terms of Hecke-Mahler series. As a corollary, we prove that $ρ(f_{\p})$ is a rational number when the components of $\p$ are algebraic numbers.
Entropy via multiplicity
研究了分段仿射映射的拓扑熵。结果表明,只有当存在角膨胀时,奇点才可能对熵有贡献,并且我们通过映射的膨胀率来约束熵。作为推论,我们推出非扩张共形分段仿射映射的拓扑熵为零。我们估计分段仿射斜积的熵。异常熵增长的例子。
Teichmüller dynamics, dilation tori and piecewise affine circle homeomorphisms
本文研究了具有两个奇点的膨胀环面的模空间的粗糙几何和Teichmuller流作用在这个模空间上的动力学性质。这导致了一个证据,垂直叶理的膨胀环面几乎总是莫尔斯-斯梅尔。作为推论,我们得到了关于勒贝格测度的具有两个断点的一般分段仿射圆同胚是Morse-Smale.
Dynamics of 2-interval piecewise affine maps and Hecke-Mahler series
设$f : [0,1)\rightarrow [0,1)$是一个$2$ -区间分段仿射增映射,它是单射的但不是满射的.这样的映射$f$具有旋转数并且可以由三个实数参数化。我们充分明确的动力学$f$感谢两个特定的功能$δ$和$ϕ$取决于这些参数,其定义涉及Hecke-Mahler系列。作为应用,我们证明了当三个参数为代数数时,$f$的旋转数是有理数.
Multidimensional self-affine sets: non-empty interior and the set of uniqueness
令$M$是$d\times d$收缩矩阵。本文考虑自仿射迭代函数系统$\{Mv-u, Mv+u\}$,其中$u$是循环向量.我们的主要结果如下:如果$|\det M|\ge 2^{-1/d}$,则吸引子$A_M$具有非空内部.我们还考虑了$A_M$中具有唯一地址的点的集合$\mathcal U_M$。我们表明,除非$M$属于一个非常特殊的(非通用)类,豪斯多夫维数的$\mathcal U_M$是积极的。对于这个特殊的类,也给出了$\mathcal U_M$的完整描述。本文继续我们的工作开始在前两篇论文。
Periodicity of certain piecewise affine planar maps
确定了欧氏平面上某些分段仿射映射的周期点和非周期点。利用这些映射,我们证明了对于$λ\in\{\frac{\pm1\pm\sqrt5}2,\pm\sqrt2,\pm\sqrt3\}$,所有满足$0\le a_{k-1}+λa_k+a_{k+1}<1$的整数序列$(a_k)_{k\in\mathbb Z}$都是周期的.
One of the most basic, longstanding open problems in the theory of dynamical systems is whether reachability is decidable for one-dimensional piecewise affine maps with two intervals. In this paper we prove that for injective maps, it is decidable. We also study various related problems, in each case either establishing decidability, or showing that they are closely connected to Diophantine properties of certain transcendental numbers, analogous to the positivity problem for linear recurrence sequences. Lastly, we consider topological properties of orbits of one-dimensional piecewise affine ma…
Sofic systems and extreme points of self-affine limit sets
本文针对共享同一压缩矩阵的仿射IFS,通过凸包边上的有向图刻画吸引子极端点,并给出凸包为有限多边形及吸引子等于凸包的条件。
Periodic solutions of piecewise affine gene network models: the case of a negative feedback loop
本文证明了一类3维及3维以上的分段仿射微分方程在其相互作用结构为负反馈环的情况下,稳定周期轨道的存在性和唯一性。它还表明,相同的系统收敛到一个唯一的稳定的平衡点,在2维。这扩展了Snoussi定理,该定理仅证明了这些轨道的存在。所考虑的一类方程通常作为基因调控网络的模型来研究。没有假设所有的衰变率都是相同的,这在生物学上是不相关的,但在绝大多数以前的研究中已经这样做了。我们的工作依赖于经典的结果单调,凹算子作用于正变量的不动点。此外,所使用的技术很可能适用于更一般的情况,为未来的工作开辟方向。
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