On symmetry problems
A. G. Ramm
讨论了几个抽象的对称性问题。这些问题包括庞培问题和热方程和波动方程的类似问题。
withdrawn Several symmetry problems are discussed. These include the Pompeiu problem and similar conjectures for the heat and wave equations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Solution to the Pompeiu problem and the related symmetry problem
假设$D\subset \mathbb{R}^3$是一个有界区域，具有$C^1-$光滑边界。我们的结论是：{ \bf定理1}。{ \em如果$D$具有$P-$属性，则$D$是球。} Pompeiu问题的四个等价公式进行了讨论。如果存在一个$f\neq 0$，$f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^3)$，使得所有$y\in \mathbb{R}^3$和所有$g\in SO(2)$的$\int_{D}f(gx+y)dx=0$，其中$ SO(2)$是旋转群，则域$D$具有$P-$属性。关于相关的对称性问题得到的结果是：{ \bf定理2}。{ \em如果$D$、$u|_S=1$、$u_N|_S=0$和$k>0$中的$(\nabla^2 +k^2)u=0$是常数，则$D$是球。}
Solution of the Pompeiu problem (II)
这篇论文已被作者撤回。
Solution of the Pompeiu problem (I)
由于存在一些错误，本文已被作者撤回。
Regularity of a free boundary with application to the Pompeiu problem
在单位球B（0，1）中，令$u$和$Ω$（$\R$中的一个域）解以下超定问题：$$Δu =χ_Ω\quad \hbox{in} B(0,1), \qquad 0 \in \partial Ω, \qquad u=|\nabla u |=0 \quad \hbox{in} B(0,1)\setminus Ω,$$其中$χ_Ω$表示特征函数，且方程在分布意义下满足。如果$Ω$的补图在原点处不产生尖点奇点，则证明了$\partial Ω$在原点的某个小邻域内是解析的。这个结果可以修改以得到更一般的散度型算子。作为这一点的一个应用，我们得到了一个没有庞培性质的区域的边界的正则性，只要它的补没有尖点奇点。
A solution to the Pompeiu problem
设$f \in L_{loc}^1 (\R^n)\cap \mathcal{S}$，其中$\mathcal{S}$是Schwartz分布类，和$$\int_{σ(D)} f(x) dx = 0 \quad \forall σ\in G, \qquad (*)$$，其中$D\subset \R^n$是一个有界区域，其闭包$\bar{D}$是一个闭球，$S$是它的边界。则comp $ is connected and path connected. By $ G $ the group of all rigid motions of $ \R^n $ is denoted. This group consists of all translations and rotations. A proof of the following theorem is given. Theorem 1. {\it Assume that $ n=2 $, $ f \not \equiv 0 $, and (*) holds. Then $ D $ is a ball.} Corollary. {\it If the problem $（\nabla^2 +k^2）u=0 $ in $ D $, $ u_N|_S=0 $, $ u|_S=const \neq 0 $ has a solution, th…
A bounded domain $Ω$ in a Riemannian manifold $M$ is said to have the Pompeiu property if the only continuous function which integrates to zero on $Ω$ and on all its congruent images is the zero function. In some respects, the Pompeiu property can be viewed as an overdetermined problem, given its relation with the Schiffer problem. It is well-known that every Euclidean ball fails the Pompeiu property while spherical balls have the property for almost all radii (Ungar's Freak theorem). In the present paper we discuss the Pompeiu property when $M$ is compact and admits an isoparametric foliation…
The Pompeiu problem
令$f \in L_{loc}^1 (\R^n)\cap \mathcal{S}'$，其中$\mathcal{S}'$是Schwartz分布类，和$$\int_{σ(D)} f(x) dx = 0 \quad \forall σ\in G, \qquad (*)$$，其中$D\subset \R^n$是有界区域，其闭包$\bar{D}$同构于闭球。然后连接$\bar{D}$的补码并连接路径。这里$G$表示$\R^n$中所有刚体运动的组。该组由所有平移和旋转组成。假设$f\neq 0$和（*）成立，则$D$是球。其他的结构，相当于上述之一，制定和讨论。对已有的结果给出了几个新的简短证明。
A computer-assisted counterexample to the planar Pompeiu and Schiffer conjectures
该研究构造了一个十重对称共形映射生成的非圆形区域，作为平面Pompeiu问题与Schiffer猜想的计算机辅助反例，通过算子方程的后验收缩证明了其为对应方程的精确零点。
Scattering of plane waves
针对线性亥姆霍兹方程平面波散射中庞佩尤或希弗问题的二维自然变体，确立波数和入射方向条件以确保散射场非零，为相关散射问题分析提供基础。
Curves in the Fourier zeros of polytopal regions and the Pompeiu problem
本文利用指数线性组合增长性的初等论证简化多面体 Pompeiu 性质的证明，并证明其 Fourier–Laplace 变换零集不能包含非平面有理参数化曲线及相关亚纯参数曲线。
On the symmetry of minimizers in constrained quasi-linear problems
我们提供了一个简单的证明径向对称的任何非负极小一般类的拟线性极小化问题。
On symmetry and asymmetry in a problem of shape optimization
研究了一类Polya-Szego型形状最优化问题，证明了极值域的对称性和不对称性的一些结果.
Uniqueness and radial symmetry of minimizers for a nonlocal variational problem
在本文中，我们证明了唯一性和径向对称的变分问题的极小模型的几个现象。唯一性是泛函凸性的结果。主要技术是回火分布的傅里叶变换。
Symmetry in Serrin-type overdetermined problems
本文将Serrin对称性结果推广到非光滑有界区域中可能退化椭圆的超定问题，并对环形区域建立类似对称性，证明基于连续Steiner对称化与逼近论证。
The Soap Bubble Theorem and Serrin's problem: quantitative symmetry
这篇博士论文于2019年2月18日在佛罗伦萨大学答辩。
Monotonicity and symmetry of singular solutions to quasilinear problems
研究了拟线性椭圆型方程在零Dirichlet边界条件下的奇异解.在适当的非线性假设下，利用改进的移动平面方法，得到了正解的对称性和单调性。
Morse Index and Symmetry for Elliptic Problems with Nonlinear Mixed Boundary Conditions
在Morse指标条件下，证明了一类非线性混合边界条件椭圆问题解的对称性结果.作为一个中间步骤，我们与莫尔斯指数的解决方案的混合边界条件线性本征值问题，我们构建序列的特征值，并提供变分表征。
Multiplicity of solutions for polyharmonic Dirichlet problems with exponential nonlinearities and broken symmetry
证明了一类具有指数非线性项的非对称狄利克雷问题无穷多解的存在性。这里是域$Ω\subset\subset \mathbb{R}^{2l}$，其中$2l$是方程的阶。被认为是没有对称性要求的域上的问题，在一个环上的径向问题，和一个球上的径向问题与Hardy潜在的长期。
A Symmetry problem for some quasi-linear equations in Euclidean space
本文通过证明相关极限问题正解的对称性与唯一性，推导出欧氏空间中某些非线性 $p$-Laplace 方程正解梯度的精确渐近估计。
We consider positive singular solutions of PDEs arising from double phase functionals. Exploiting a rather new version of the moving plane method originally developed by Sciunzi, we prove symmetry and monotonicity properties of such solutions.
Symmetry breaking results for problems with exponential growth in the unit disk
研究了单位圆盘上二维变分问题极值的一些渐近性质。给出了解的非径向性的一些结果。
Solutions without any symmetry for semilinear elliptic problems
本文证明了非线性Klein-Gordon或薛定谔方程$$ Δu-u+ u^3 =0 , $$在${\bf R}^2$中存在无穷多个能量有限且最大对称群约化为恒等的孤波.
Symmetry breaking solutions for a two-phase overdetermined problem of Serrin-type
本文考虑一类具有分段常系数的二相椭圆算子的Serrin型超定问题。我们证明了非平凡对称破缺解的无穷多分支的存在性，这些解是从满足某些系数条件的任何径向对称构型分叉出来的。
On a class of variational problems with linear growth and radial symmetry
本文讨论二维区域上能量密度线性增长的径向对称数据的变分问题。在较弱的椭圆性假设下，证明了广义极小解的光滑性。进一步的结果关注的径向对称的解决方案，以及精确描述其行为附近的边界。
Symmetry and rigidity for the hinged composite plate problem
复合材料板问题是一个与四阶算子$(-Δ)^2$有关的特征值最优化问题。在本文中，我们继续在[10]中开始的研究，集中在铰接复合板问题的情况下的对称性和刚度问题，一个特定的情况，使我们能够利用经典的技术，如移动平面方法。
Asymptotic symmetry for a class of quasi-linear parabolic problems
研究了一类具有变分结构的拟线性椭圆型方程弱正解的对称性。在此基础上，研究了相应的抛物型方程整体解的渐近性态。特别是，如果域是一个球，$ω$ -极限集的元素是非负的径向对称解的平稳问题。
Symmetry and uniqueness of nonnegative solutions of some problems in the halfspace
在低维半空间$\R^N_+$中，我们得到了一类椭圆型方程组非负解的一维对称性和唯一性或不存在性结果。我们的方法是基于一个组合的傅里叶级数和刘维定理。
We deal with Monge-Ampère type equations modeled upon general anisotropic norms $H$ in $\mathbb R^n$. An overdetermined problem for convex solutions to these equations is analyzed. The relevant solutions are subject to both a homogeneous Dirichlet condition and a second boundary condition, designed on $H$, on the gradient image of the domain. The Wulff shape symmetry associated with $H$ of the solutions is established.
Symmetry and asymmetry in a multi-phase overdetermined problem
本文研究多相超定扭转问题中的径向对称性条件，证明两相情形需要两个边界超定条件才能保证径向对称，并进一步构造出三层及以上多相问题中满足可数无穷多个超定条件的非径向构型，揭示了对称性随相数增加而失效的现象。
Symmetry problems on stationary isothermic surfaces in Euclidean spaces
设$S$是一个光滑超曲面，它以$N \geq 3$嵌入$\mathbb R^N$中，并考虑它的管状邻域$\mathcal N$ .我们表明，如果热流过$\mathcal N$与适当的初始和边界条件有$S$作为一个固定的等温表面，那么$S$必须有某种对称性。
Symmetry results for some overdetermined obstacle problems
本文针对两类超定障碍问题（Serrin型与两相问题）证明对称性，分别利用比较原理与上调和性，以及Serrin移动平面法。研究背景与问题、方法细节、结论与意义均完整覆盖。
A negative answer to a one-dimensional symmetry problem in the Heisenberg group
De Giorgi证明了Ginzburg-Landau方程的有界单调解在超平面上是常数，本文证明了在Heisenberg群中这一猜想在中心方向上不成立.
Existence and Symmetry results for some overdetermined free boundary problems
本文证明了证明某个积分不等式的区域或者（严格）包含在某个自由边界问题的解中，或者与一个$N$ -球重合.我们还提出了新的超定值问题，有一个$N$球作为解决方案。为了得到我们的结果，我们使用了一个积分恒等式，其中涉及到狄利克雷问题的解决方案的区域导数。
A weak-strong convergence property and symmetry of minimizers of constrained variational problems in $\mathbb{R}^N$
证明了$W^{1,p}$上形式为$\int_{\mathbb{R}^N} j(x, u, Du)\,dx$的泛函沿等积序列的弱-强收敛结果.然后我们将利用它来研究推广的Polya-Szegö不等式中的等式的情形，并讨论这样的结果在证明一类多约束下包含非局部项的变分问题极小解的对称性中的应用.
Symmetry and Approximate Symmetry of a Nonlinear Elliptic Problem over a Ring
针对环域上非单调非线性项的奇异摄动自由边界椭圆问题，本文改进移动平面法证明径向对称性，并利用抛物比较原理建立区域轻微偏移时的近似对称稳定性。
Symmetry problems in harmonic analysis
阐述并解决了调和分析中的对称性问题。其中一个问题等价于作者最近证明的精化的希弗猜想。设$k=const>0$是固定的，$S^2$是$\mathbb{R}^3$中的单位球面，$D$是具有$C^2-$光滑边界$S$的连通有界区域，$j_0(r)$是球面贝塞尔函数.调和分析对称性问题在下列定理中陈述：{PDMATHAMT定理A.} { \em}假设所有$β\in S^2$的$\int_S e^{ikβ\cdot s}ds=0$。则$S$是半径为$a$的球体，其中$j_0(ka)=0$。{PDMATHAMT定理B.} { \em}假设所有$β\in S^2$的$\int_D e^{ikβ\cdot x}dx=0$。$D$是一个球。
Symmetry, existence and regularity results for a class of mixed local-nonlocal semilinear singular elliptic problem via variational characterization
本文利用变分刻画和分解性质，结合比较原理与移动平面方法，研究一类混合局部-非局部奇异椭圆问题弱解的对称性、存在性、不存在性与正则性，并用非光滑临界点理论分析跳跃问题。
The main thrust of our current work is to exploit very specific characteristics of a given problem in order to acquire improved compactness for supercritical problems and to prove existence of new types of solutions. To this end, we shall develop a variational machinery in order to construct a new type of classical solutions for a large class of supercritical elliptic partial differential equations.\\ The issue of symmetry and symmetry breaking is challenging and fundamental in mathematics and physics. Symmetry breaking is the source of many interesting phenomena namely phase transitions, inst…
A symmetry result for polyharmonic problems with Navier conditions
本文考虑一个在有界穿孔区域上满足Navier条件的任意阶椭圆型多调和问题。我们证明了如果区域在一个方向上是凸的，并且关于由法向超平面到这样一个方向引起的反射对称，那么解在这个反射下必然是对称的，并且在相应的方向上是单调的。
Antisymmetric maximum principles and Hopf's lemmas for the Logarithmic Laplacian, with applications to symmetry results
本文为对数拉普拉斯算子建立反对称最大值原理和Hopf型引理，并应用于证明半线性问题解的对称性及平行曲面问题的刚性结果。
Splitting theorems, symmetry results and overdetermined problems for Riemannian manifolds
我们的工作提出了一个统一的方法，在一般的黎曼设置三个不同的主题：分裂定理，对称性结果和超定椭圆问题。利用半线性方程$-Δu = f(u)$在具有非负里奇曲率的黎曼流形上的稳定解的存在性，我们能够对解和流形进行分类.我们还讨论了单调（相对于一些Killing向量场的方向）的解决方案的分类，在德Giorgi猜想的精神，和刚性功能的超定椭圆问题的子流形上的边界。
Perturbation from symmetry and multiplicity of solutions for elliptic problems with subcritical exponential growth in R^2
考虑如下边值问题-Δu= g（x，u）+ f（x，u）\in Ω u=0 \in Ω其中$g(x,-ξ)=-g(x,ξ)$和$g$在$\mathbb{R} ^2$中具有次临界指数增长性.利用Bolle提出的方法，证明了在适当的条件下，该问题在$g(u)$和$f(u)$的增长上有无穷多个解。
A tool for symmetry breaking and multiplicity in some nonlocal problems
我们证明了一些基本不等式的Gagliardo-Nirenberg范数的对称函数$u$上$\mathbb R^n$和其扰动$uφ_μ$，其中$φ_μ$是一个适当选择的本征函数的Laplace-Beltrami运营商的球$\mathbb S^{n-1}$，从而提供了一个技术，但相当强大的工具来检测对称性破缺和多重性现象的变分方程驱动的分数拉普拉斯算子。给出了分数阶Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式在一个问题中的具体应用.
We continue the study of positive singular solutions of PDEs arising from double phase functionals started in [6]. In particular, we consider the case $p<q < 2$, and we relax the assumption on the capacity of the singular set using an intrinsic notion of capacity.
One-dimensional symmetry for the solutions of a three-dimensional water wave problem
我们证明了一个一维对称性结果的加权狄利克雷到诺依曼问题所产生的模型中的水波在3维。更精确地说，我们证明了极小和有界单调解决方案只依赖于一个欧几里德变量。在De La Llave和第三作者的一篇文章中建立了二维情况下（并且没有权重）的类似结果。在本文中，一个关键的成分，在证明中给出了通过比较参数获得的极小的能量估计。
Existence and symmetry results for a Schrödinger type problem involving the fractional Laplacian
本文研究了一类非局部薛定谔方程$$ \displaystyle (-Δ)^s u + u = |u|^{p-1}u \ \ \text{in} \ \mathbb{R}^N, \quad \text{for} \ s\in (0,1). $$，证明了解的存在性和对称性结果，在分数索伯列夫空间$u$中.我们的结果与经典的局部对应物，即当$s=1$。
We study symmetry and quantitative approximate symmetry for an overdetermined problem involving the fractional torsion problem in a bounded domain $Ω\subset \mathbb R^n$. More precisely, we prove that if the fractional torsion function has a $C^1$ level surface which is parallel to the boundary $\partial Ω$ then the domain is a ball. If instead we assume that the solution is close to a constant on a parallel surface to the boundary, then we quantitatively prove that $Ω$ is close to a ball. Our results use techniques which are peculiar to the nonlocal case as, for instance, quantitative version…
Counterexamples to Symmetry for Partially Overdetermined Elliptic Problems
我们展示了几个反例表明，著名的Serrin的对称性半线性椭圆超定问题的结果可能不成立的部分超定问题，也就是说，当Dirichlet和Neumann边界条件只规定的部分边界。我们的反例启发了前两位作者对这类部分超定组的正对称性结果，并证明了他们的假设。
In this work, we employ the technique developed in arXiv:2109.11255 to prove rotational symmetry for a class of Serrin-type problems for the standard laplacian. We also discuss in some length how our strategy compares with the classical moving plane method.
Two symmetry problems in potential theory
考虑两个椭圆型超定边值问题。J.Serrin在1971年的经典结果有不同的变体，并且具有相同的结论，即域应该是强制的欧几里德球。
We obtain the radial symmetry of the solution to a partially overdetermined boundary value problem in a convex cone in space forms by using the maximum principle for a suitable subharmonic function $P$ and integral identities. In dimension $2$, we prove Serrin-type results for partially overdetermined problems outside a convex cone. Furthermore, we obtain a Rellich identity for an eigenvalue problem with mixed boundary conditions in a cone.
Some existence results for the Webster scalar curvature problem in presence of symmetry
在给定曲率的某些自然对称性的假设下，证明了Heisenberg群和${\mathbb C}^{n+1}$的单位球面上Webster数量曲率问题的一些存在性结果.我们使用变分和扰动技术。
On the Webster scalar curvature problem on the CR sphere with a cylindrical-type symmetry
利用变分方法，在一定的假设条件下，当参数足够小时，对一类圆柱对称曲率CR球上的Webster数量曲率问题构造了多峰解.我们还得到了解的渐近性态。
Symmetry Analysis of Initial and Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations in Caputo sense
本文研究了含Caputo分数阶导数的偏微分方程初边值问题的Lie对称性分析。根据Bluman关于偏微分方程组对称性分析的定义和定理，给出了含Caputo分数阶导数偏微分方程组对称性分析方法的一般定义和定理。研究了分数阶扩散方程和三阶分数阶偏微分方程（FPDE）初边值问题的对称性分析。并给出了解决方案。
We consider the problem of shock reflection on a solid wall in plane symmetry for a barotropic fluid. We establish a local in time solution after the point of reflection, thereby determining the state behind the reflected shock. The location of the reflected shock in space time being unknown the problem constitutes a free boundary problem. Furthermore, the quantity describing the thermodynamic state of the fluid along the wall being also unknown, complete data for the problem is only given in a single point, the reflection point.
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