Categorical Groups, Knots and Knotted Surfaces
Joao Faria Martins
我们从任意有限范畴群中定义了一个纽结不变量和一个2-纽结不变量。我们计算了一个显式的例子纺三叶草。
We define a knot invariant and a 2-knot invariant from any finite categorical group. We calculate an explicit example for the Spun Trefoil.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A knotted 2-dimensional foam with non-trivial cocycle invariant
通过对表示纽结泡沫体$5_2$的纽结图进行2-扭转旋转，得到了四维空间中具有非平凡quandle上循环不变量的纽结泡沫。
Bikei Invariants and Gauss Diagrams for Virtual Knotted Surfaces
标记顶点图提供了一种组合方式来表示$\mathbb{R}^4$中的打结表面;包括虚拟交叉允许虚拟打结表面和虚拟配边理论。Biquandle计数不变量的定义只为标记的顶点图表示打结可定向曲面，我们扩展这些不变量的所有虚拟标记顶点图考虑着色对合biquandles，也被称为bikei。我们引入了一种用高斯图表示标记顶点图的方法，并用它来刻画可定向性。
Quandle Cohomology and State-sum Invariants of Knotted Curves and Surfaces
2捻纺三叶是一个例子，一个球，是在四维空间打结。在这里，该示例被示出为不同于具有相反取向的相同球体。为了证明这一事实，一个状态和不变的经典纽结和纽结表面开发通过上同调理论的机架和quandles（也称为分配群胚）。Quandle是一个具有二元运算的集合--其公理模型是Reidemeister在3-空间中的打结和链接曲线的经典理论中的运动。利用quandle元对纽结曲线曲面图的着色以及quandle的上圈，定义了3-空间中纽结圆和4-空间中纽结曲面的状态和不变量.本文计算了各种量子点的上同调群，并将其应用于研究经典纽结、链环及其它链环曲面的状态和不变量。对于各种纽结和链环，包括三叶结和8字形纽结，证明了不变量的非平凡性，反之，纽结不变量用于证明各种quandle的上同调的非平凡性。
Finite Type Invariants of w-Knotted Objects I: w-Knots and the Alexander Polynomial
这是一系列研究w-打结物体（w-结，w-辫子，w-缠结等）的论文中的第一篇，这使得一类打结的物体比它们通常的对应物更复杂但更脆弱。W-braids群由Fenn-Rimanyi-Rourke研究（称为“{w}elded braids”），并被证明同构于自由群Fn的“基共轭”自同构的McCool群。Brendle-Hatcher，追溯到Goldsmith，已经证明这组是R3中的一组飞行环的电影。Satoh研究了几类w-纽结对象（作为“{w}eakly-virtual”），并证明它们与R4中的某些纽结曲面密切相关。所以w-纽结对象在代数和拓扑上都很有趣。本文研究w-纽结对象的有限型不变量。继Berceanu-Papadima之后，我们构造了W-辫子和W-缠结的同态泛有限型不变量（“展开式”）.我们发现，普遍的有限型不变量的w-结本质上是亚历山大多项式。我们发现w-纽结对象的“箭图”空间Aw与不一定度量化的李代数有关。许多关于w-纽结对象的问题与李代数的问题是等价的。最值得注意的是，我们发现，一个同态展开的w-knotted泡沫是本质上相同的解决方案的Kashiwara-Vergne猜想（KV），从而给出了拓扑解释的工作Alekseev-Torossian工作KV和Drinfel'd缔合。不过，w结的真正价值可能会在以后出现，因为我们希望它们能作为虚拟结研究的一个例子。我们期望v-打结对象…
On the Kontsevich integral for knotted trivalent graphs
我们构建了一个扩展的Kontsevich积分的结结三价图，它与方向开关，边删除，边unzips，和连接的总和。1997年，村上春树和Ohtsuki [MO]首先构建了这样一个扩展，建立在Drinfel'd的结合子理论上。我们构造了一个逐步的定义，使用初等Kontsevich积分方法，得到一个单参数的家庭的修正，所有产生的不变量下表现良好的图形操作。
Parametrizing some interesting knotted surfaces
本文提出了一种参数化结表面的方法，并给出了具体示例。
The algebra of knotted trivalent graphs and Turaev's shadow world
打结三价图（KTG）形成了一个丰富的代数，只有一些简单的操作：连接和，解压缩和冒泡。通过这些操作，KTG由未打结的四面体和Moebius带生成。许多以前已知的表示结，包括结图和非关联缠结，可以变成KTG表示在一个自然的方式。通常，两个KTG操作序列在所有输入上产生相同的输出。这些“基本”关系可能是微妙的：例如，有一个平面代数的KTG与一个杰出的循环。研究这些关系自然会让我们想到图拉耶夫的阴影曲面，这是一种基于简单的4-流形的2-样条的3-流形的组合表示。我们认为打结的三价图的边界，这样一个简单的脊椎的4球，并考虑莫尔斯理论sweepout的脊椎作为一个'电影'的打结图，因为它根据KTG操作的演变。对于每一个KTG呈现的结，我们可以构建这样一个电影。产生相同曲面的两个KTG运算序列在拓扑上是等价的，尽管反过来并不完全正确。
Invariants of Welded Virtual Knots Via Crossed Module Invariants of Knotted Surfaces
我们定义了一个不变量的焊接虚拟结从每个有限的交叉模块考虑交叉模块不变量的带状打结的表面，这是自然与他们。通过计算明确的例子，我们阐明了所获得的不变量是非平凡的。我们定义焊接虚拟图，并考虑他们以类似的方式定义的不变量。
Polynomially knotted 2-spheres
本文回顾经典纽结的多项式参数化，证明长2维纽结的类似结果，并为旋转与扭转旋转等纽结球面构造多项式参数化。
Knotted handle decomposing spheres for handlebody-knots
我们证明了一个外部是边界不可约的实体结有唯一的最大非嵌套集的纽结手柄分解领域的同位素和环移动。作为一个应用，我们证明了体结$6_{14}$和$6_{15}$是不等价的.我们还证明了某些亏格的两个带纽结柄的纽结分解球可以由它们的外部确定。作为一个应用，我们证明了$6_{14}$和$6_{15}$的外部不是同胚的.
A signature invariant for knotted Klein graphs
利用分支覆盖定义了一类三价打结图的签名不变量。我们将它们与结和链接的经典签名联系起来。最后，我们解释如何计算这些不变量通过木下的打结θ图的例子。
Some combinatorial aspects of movies and movie-moves in the theory of smoothly knotted surfaces in R4
对于{1，2，.}的真子集U，31}我们定义并构造了Carter-Rieger-Saito电影（表示纽结曲面）的U-正则同痕不变量，并使用这些不变量来表明存在由电影M1和M2表示的周围的同素纽结曲面，对于所述电影M1和M2，需要类型31的电影移动来从M1到达M2。
The Meridional Rank Conjecture asks whether the bridge number of a knot in $S^3$ is equal to the minimal number of meridians needed to generate the fundamental group of its complement. In this paper we investigate the analogous conjecture for knotted surfaces in $S^4$. Towards this end, we give a construction to produce classical knots with quotients sending meridians to elements of any finite order and which detect their meridional ranks. We establish the equality of bridge number and meridional rank for these knots and knotted spheres obtained from them by twist-spinning. On the other hand, …
The label bracket for knotted trivalent graphs
推广了Akimova和Manturov的结构，在$\mathbb{R}^3$中定义了三价打结图的标号括号，并证明了标号括号定义了三价打结图的一个同痕不变量.
Stably irreducible non-orientable knotted surfaces
本文提出了四维球面中纽结曲面可约性的基本障碍，并据此构造了稳定不可约的不可定向曲面。
Knotted contractible 4-manifolds in the 4-sphere
举例说明了某些紧致可缩4-流形可以在4-球面上纽结。证明了任何平衡表现的可压缩4-流形嵌入到4-球面上的可压缩4-表现完满群都是纽结群。
On handlebody-knot pairs which realize exteriors of knotted surfaces in $S^3$
本文描述了嵌入在$S^3$中的闭连通曲面的研究与实体-纽结理论之间的关系。根据Fox定理，一对双体-纽结被关联到一个嵌入在$S^3$中的闭连通曲面，在这个意义上，它们的外分支是成对同胚的。我们证明了，对于每一个与亏格两个“素双结”曲面相关联的双体结对，一个是不可约的，另一个是可约的。进一步，对于满足一定条件的两个亏格两个实体-纽结$H_1$和$H_2$，我们构造了一个“素双纽结”曲面，其关联的实体-纽结对与$H_1$和$H_2$重合.
Computations of Quandle Cocycle Invariants of Knotted Curves and Surfaces
Laurel Langford和作者在Math.GT/9903135中利用Quandle上同调引入了纽结曲线曲面的状态和不变量，本文给出了计算这类不变量的方法和实例计算。本文给出了一些量子点的上同调维数的计算机计算。对于经典的纽结，Burau表示与Maple程序一起被用来评估纽结表的不变量。对于四维空间中的纽结曲面，使用了电影方法和曲面辫理论。讨论了纽结的不变量与对称性之间的关系。
Bridge trisections of knotted surfaces in $S^4$
我们在四球面中引入了纽结曲面的桥三分性。这种描述的灵感来自于盖伊和柯比关于四流形的三分性的工作，并将三个球面中链接的桥分裂的经典概念扩展到四维。我们证明，每一个打结的表面在四球承认一个桥三分（分解成三个简单的部分），任何两个桥三分为一个固定的表面相关的序列的稳定和不稳定。我们还介绍了相应的图示表示打结的表面，并描述了一组移动，足以通过两个图之间的同一表面。使用这些分解，我们定义了一个新的复杂性措施：一个纽结表面的桥数。此外，我们还对低复杂度的桥三分性进行了分类，并将桥三分性与纽结曲面补的基本群联系起来，证明了存在桥数任意大的纽结曲面.
A knotted surface in the 4-sphere may be described by means of a hyperbolic diagram that captures the 0-section of a special Morse function, called a hyperbolic decomposition. We show that every hyperbolic decomposition of a knotted surface K defines a projection of K onto a 2-sphere, whose set of critical values is the hyperbolic diagram of K. We apply such projections, called flattenings, to define three invariants of knotted surfaces: the layering, the trunk and the partition number. The basic properties of flattenings and their derived invariants are obtained. Our construction is used to s…
On symmetry and exterior problems of knotted handlebodies
研究3维球面中亏格2纽结柄体的对称性与外部问题，确定由非整数环面Dehn手术双曲纽结构造的柄体对称群并解决其外部问题，同时推广Lee-Lee族。
There exist no Minimally Knotted Planar Spatial Graphs on the Torus
证明了环面上的可平面图的所有非平凡嵌入都包含非平凡纽结或非分裂环。这相当于表明，不存在最小纽结的平面空间图的环面上既不包含一个非平凡的结，也不包含一个非分裂的链接，其所有组件是unknots。
Embedded and Lagrangian Knotted Tori in $\BR^4$ and Hypercube Homology
在本文中，我们介绍了一种表示嵌入打结（有时拉格朗日）环面在$\BR^4$称为超立方体图，即，四维立体图我们证明了超立方体同调的存在性，这种同调在四维立方体图移动下是不变的，这种同调是基于纽结弗洛尔同调的。我们提供的例子超立方体图和超立方体的同源性，包括使用新的不变量区分（立方体移动）两个“霍普夫链接”环面。我们还给出了“三叶”环面和浸没打结环面的例子，它是$5_2$结和三叶结的融合。
An Extension of the $sl(n)$ Polynomial to Knotted 4-Valent Graphs
本文提出了一种扩展$sl(n)$多项式用于结4价图的新不变量，并给出了相关Reidemeister型移动的最小生成集。
Finite Type Invariants of w-Knotted Objects II: Tangles, Foams and the Kashiwara-Vergne Problem
本文研究 w-缠结与 w-泡沫的有限型不变量，借箭头图将其联系于非有度 Lie 代数，并证明泛有限型不变量等价于 Kashiwara-Vergne 猜想的解。
Finite Type Invariants of w-Knotted Objects: From Alexander to Kashiwara and Vergne
这个预印本被分成两部分，成为一个四部分系列的前两部分（arXiv：1405.1956，arXiv：1405：1955，还有两个在准备中）。本预印本的其余相关性是由于一系列的视频讲座（wClips），其中链接。
Bounds for Kirby-Thompson invariants of knotted surfaces
本文研究结表面的Kirby-Thompson不变量，通过两种不同方法计算其精确值，并给出下界。
Stably exotic knotted surfaces up to equivalence
该研究证明了4维流形中存在一类稳定奇异纽结曲面，其拓扑等价但经任意次内部、外部稳定化后仍不光滑等价，丰富了纽结曲面的等价性理论。
Minimal Flat Knotted Ribbons
本文给出了平面结带的数学模型，并对打三叶结和8字结所需的最小丝带长度（给定宽度）作了具体的计算。第一个猜想指出（对于宽度1），系一个开放式三叶结所需的最小丝带长度为L = 4（F + 1）/Sqrt[2 + F]，其中F =（1 + Sqrt[5]）/2是黄金分割率。第二个猜想指出，8字结的最小长度（在相同的意义上）是32/Sqrt[15]。
On a banded link presentation of knotted surfaces
我们将讨论一种方法，通过检查其莫尔斯临界点的数量和位置，在四维空间中的纽结曲面的视觉表示。利用这种方法，我们将研究具有一个指数为1的临界点的曲面纽结。然后，我们展示了无穷多个相互不同的曲面节点，它们具有两个指数为1的临界点的嵌入。接下来，我们定义一个长平面的带状链接的任何表面结，并显示图解长平面形式的$n$ -扭转旋转$(2,t)$ -环面结。
Homology of ternary algebras yielding invariants of knots and knotted surfaces
我们定义的同源性的三进制代数满足公理来自粒子散射，或等价地，从第三Reidemeister移动。我们表明，满足这些公理的三元拟群自然出现在Reidemeister，Yoshikawa和Roseman移动的不变量。我们的同调有一个退化的子复形。归一化的同源性产生的结和打结的表面的不变量。
Invariants of knotted surfaces from link homology and bridge trisections
Meier和Zupan证明了四球面中的每一个曲面都有一个桥三等分，因此可以用三个简单的缠结来表示。这就提出了将连接同源性方法应用于打结表面的可能性。我们使用链接的同源性来构建一个不变量的纽结表面（合痕），区分从某些纽结球的unknotted领域。我们还构造了桥三分曲面的一个$A_\infty$ -代数形式的不变量。这两个不变量都是由$A_\infty$ -代数与Manolescu和Ozsváth的链复形的超盒之间的一种新的联系定义的。
Knotted Hamiltonian cycles in linear embedding of $K_7$ into $\mathbb{R}^3$
1983年Conway和Gordon证明了完全图$K_7$到$\mathbb{R}^3$的任何嵌入都至少包含一个非平凡纽结作为它的哈密顿圈。在他们的工作结（也链接）被认为是抽象图的内在属性，许多后续的工作一直持续到最近。在本文中，我们对$K_7$的线性嵌入中的打结哈密顿圈感兴趣。具体地说，它表明，$K_7$的任何线性嵌入包含最多三个数字8结作为其哈密顿圈。
Linear Upper Bound on the Ribbonlength of Torus Knots and Twist Knots
结带是纽结理论中的一个重要课题。它们在自然科学中有应用，例如环状双链DNA建模。通过轻轻拉紧打结的丝带，使其变平并折叠，可以获得平的打结的丝带。纽结理论中的一个重要问题是研究平面打结带的最小长宽比。这个最小的比例叫做绳结的带长。证明了带长有一个上界和一个下界，它们都与纽结的交叉数成线性关系.在本文的第一部分中，我们使用网格图来构造平面打结带，并证明了所有非平凡结的带长的一个显式的二次上界。然后，我们改进的二次上界的线性上界的所有非平凡环面结和扭曲结。我们的方法，使用网格图来研究平面打结带是新颖的，可以用来获得更一般的家庭结的线性上界。在本文的第二部分中，我们通过构造一个平的打结带，通过多次折叠来缩短带的长度，从而得到了非平凡扭结的带长度的一个更精确的线性上界。
A Fox-Milnor theorem for the Alexander polynomial of knotted $2$-spheres in $S^4$
对于$S^3$中的结，众所周知，带状结的亚历山大多项式对于某个多项式$f(t)$分解为$f(t)f(t^{-1})$。相比之下，带状$2$结的亚历山大多项式一般甚至不是对称的。通过带状$2$ -纽结的另一种概念，给出了$2$ -纽结的一个拓扑条件，该条件蕴涵Alexander多项式的因式分解.
Reidemeister/Roseman-type Moves to Embedded Foams in 4-dimensional Space
四面体的对偶由一个顶点组成，在这个顶点上有四条边和六个面。沿着每条边，三个面会聚。一个2-泡沫是一个紧凑的拓扑空间，使得每个点都有一个邻域同胚到该复形的一个邻域。四维空间中的纽结泡沫是纽结曲面，就像纽结三价图是经典纽结一样。打结泡沫的示意图由到4-空间的通用投影组成，其中交叉信息通过破碎表面指示。在本文中，提出了一个有限集的泡沫移动是类似的Reidemeister型移动的打结图。这些移动包括用于打结表面的Roseman移动。给定一对同位素打结泡沫的图，存在从该集合中取出的移动的有限序列，当该序列被顺序地应用于一个图时，产生另一个图。
Topological triviality of smoothly knotted surfaces in 4-manifolds
已知Fintushel-Stern边缘手术的一些推广和变体可产生光滑的打结表面。我们证明了如果它们的补群的基本群是循环的，那么这些曲面是拓扑无结的。使用一个扭曲旋转建设从高维纽结理论，我们构造的例子，纽结表面的补充循环基本群。
On unique decomposition of knotted handlebodies
本文研究了3-球中打结柄体沿分解2-球因式分解的唯一性问题，在特定条件下证明了唯一性，并据此确定了$6_{10}$的手性，构造了具有同胚外部的双曲柄体结无穷族。
Alexander Numbering of Knotted Surface Diagrams
给出了三重点、分支点及其与无穷远距离的关系式。我们恢复平凡正常的欧拉类定向曲面，和公式上签署的三重点。
0-concordance of knotted surfaces and Alexander ideals
本文利用Alexander理想给出了$S^4$中纽结曲面0-协调的一个新的障碍。我们用它来证明存在无穷多个线性无关0-和谐类，并提供了第一个证明，2-节的子幺半群不是一个群体。主要结果是Alexander理想诱导了$S^4$中定向曲面结点的0-协调幺半群$\mathscr{C}_0$到$\mathbb{Z}[t^{\pm1}]$的理想类幺半群的同态.因此，任何具有非主Alexander理想的曲面纽结都不是0-切片的，事实上，在$\mathscr{C}_0$中是不可逆的。列举了许多实例。我们还刻画了理想是理想的表面结，推广的Kinoshita定理，并推广结行列式的情况下，非主理想。最后，我们证明了在纽结群的一个较弱的条件下，纽结曲面的周边子群也是0-协调不变量。
Smoothly knotted surfaces that remain distinct after many internal stabilizations
本文研究单连通$4$流形中光滑纽结曲面的内部稳定化，证明使曲面变得光滑同痕所需的稳定化次数无上界，提出微妙光滑纽结曲面对的定义，并证明这种现象具有普遍性。
One stabilization is not enough for closed knotted surfaces
本文证明存在包含成对异构纽结2-球面的光滑4-流形，其异构性在一次稳定化后仍保持，表明“一次即足够”定理不适用于同调类为特征类的闭曲面。
Observations on Lickorish knotting of contractible 4-manifolds
Lickorish已经建立了大家庭的收缩4-流形有打结嵌入在4-球，也表明，每一个numerous提出完美的群与平衡介绍发生的基本群的补充打结收缩流形。在这里，我们提出了一些意见Lickorish的建设，展示了如何将其扩展到建设可收缩的4-流形，有一个无限多的打结嵌入，也构造打结嵌入的Mazur流形的补充有平凡的基本群。
Lagrangian Surfaces in a Fixed Homology Class: Existence of Knotted Lagrangian Tori
在本文中，我们证明了存在单连通辛4-流形，它包含无穷多个纽结拉格朗日环面，即环面的拉格朗日嵌入是同伦的，但不是同位素的。此外，它们所表示的同调类可以被假定为非平凡的和本原的。这回答了Eliashberg和Polterovich的一个问题。
Knotted surfaces with simply-connected complements
研究边界为固定纽结 K 且嵌入单连通四维流形的特定曲面，证明若此类曲面同调，则在相对于边界的拓扑环境同痕下是同痕的。
Knotted surfaces in 4-manifolds and stabilizations
本文研究了4-流形中奇异纽结曲面的稳定等价，这些曲面是拓扑同位素的但不是光滑同位素的。我们证明了任何一对嵌入的表面在同一同调类成为光滑的同位素稳定后，通过处理添加周围的4-流形，而且可以假设是附加在一个标准的方式（本地和unknotedly）在许多有利的情况下。特别是，任何具有环状基本群互补的奇异纽结表面对，在经过相同数量的标准稳定化之后，都变得平滑地同位素--类似于C.T.C.。Wall关于单连通4-流形的稳定等价的著名结果。此外，我们表明，所有建设的外来knottings的表面，我们知道，这显示了各种各样的技术和想法，产生表面，成为顺利同位素后，一个单一的稳定。
Differently knotted symplectic surfaces in D^4 bounded by the same transverse knot
本文证明了在4-球中存在两个辛曲面，这两个辛曲面与同一个横结有界，具有相同的拓扑结构（如抽象曲面），并通过它们的补曲面的基本群来区分。
Movie Moves for Knotted Surfaces with Markings
我们提出了一个显着的类似卡特和齐藤的电影定理。我们选择标记的定义是为了与链接弗洛尔同调中出现的标记相一致。为了处理某些同位素所产生的并发症，我们定义了三个等价关系的标记表面和工作的等价类的标记表面时，提供我们的推广卡特和斋藤的电影定理。
Understanding the biological function of knots in proteins and their folding process is an open and challenging question in biology. Recent studies classify the topology and geometry of knotted proteins by analysing the distribution of a protein's planar projections using topological objects called knotoids. We approach the analysis of proteins with the same topology by introducing a topologically inspired statistical metric between their knotoid distributions. We detect geometric differences between trefoil proteins by characterising their entanglement and we recover a clustering by sequence …
Triangulations of the 3-sphere with knotted edge
本文证明任意纽结K可嵌入单顶点3-球面三角剖分的边中，通过构造性方法基于完全增广链环生成复杂三角剖分，并验证其在常数因子内为最小规模。
Knotted surfaces in 4-manifolds by Knot surgery and Stabilization
给定一个简单连通的闭4-流形$X$和一个光滑嵌入的定向曲面$Σ$，基于Fintushel-Stern纽结手术的各种构造在$X$中产生了新的曲面，这些曲面与$Σ$是成对同胚的，但不是同构的.我们证明，所有已知的例子，表面结构造从结手术操作，保持基本群的补充表面结，他们成为成对的双同构后，稳定连接求和与一个$S^2\tilde{\times}S^2$。当$X$是自旋的，我们表明，此外，任何表面得到的结手术的补充循环基本群成为两两同构后，一个稳定的$S^2\tilde{\times}S^2$。
On knots that divide ribbon knotted surfaces
本文研究了半带状结的 genus 和半融合数，计算了多个结的半带状 genus 并探讨了其与双可切 genus 的关系。
We seek to connect ideas in the theory of bridge trisections with other well-studied facets of classical knotted surface theory. First, we show how the normal Euler number can be computed from a tri-plane diagram, and we use this to give a trisection-theoretic proof of the Whitney-Massey Theorem, which bounds the possible values of this number in terms of the Euler characteristic. Second, we describe in detail how to compute the fundamental group and related invariants from a tri-plane diagram, and we use this, together with an analysis of bridge trisections of ribbon surfaces, to produce an i…
Intrinsically Linked Graphs with Knotted Components
我们构造一个图G，使得G到R^{3}的任何嵌入都包含两个分量的非分裂链，其中至少一个分量是非平凡结。此外，对于任意m < n，我们生成一个图H，使得H的每个嵌入都包含一个非分裂的n个分量链，其中至少m个分量是非平凡的结点。然后，我们把我们的注意力转向完全图，并表明，对于任何给定的n，每一个嵌入的足够大的完全图包含两个组件链接的环绕数是一个非零倍的n。
This paper studies properly embedded surfaces in the 4-ball that are exotically knotted (i.e., topologically but not smoothly isotopic), and leverages this local phenomenon to study surfaces in larger 4-manifolds. The main results provide a new construction of exotically knotted surfaces, including exotic slice surfaces of all genera in the 4-ball and exotic closed surfaces in larger 4-manifolds. The construction is well-suited to the complex and symplectic settings, providing the first examples of exotically knotted complex curves and symplectic 2-spheres. Along the way, we articulate some di…
Knotted fields and explicit fibrations for lemniscate knots
给出了节线为双纽线结的复映射的一个显式构造。我们审查双纽线结的属性，定义为封闭的辫子，所有股遵循相同的横向（1，$\ell$）Lissajous图，因此是一个子类的螺旋结概括环面结。然后，我们证明，这样的地图存在，实际上是纤维化与适当的选择参数。我们描述了如何这可能是有用的物理创建打结领域，在量子力学，光学和推广合理的地图与应用程序的Skyrme-Faddeev模型。我们还证明了这种结构如何扩展到具有弱孤立奇点的映射。
Z-knotted triangulations of surfaces
地图上之字形（连通图在连通闭$2$维曲面中的$2$ -胞嵌入）是满足以下条件的边的循环序列：1）任意两个连续的边位于同一个面上并且具有公共顶点，（二）对于任何三个连续的边，第一和第三边是不相交的，并且包含第一和第二边的面不同于第一和第二边。包含第二个和第三个的面。如果地图包含单个之字形，则该地图为$z$ -打结的。这类映射与高斯码问题密切相关，并具有良好的同调性质。证明了连通闭$2$维曲面的每个三角剖分都存在$z$ -knotted shredding.
Quantum knots and knotted zeros
在本文中，我们将展示如何将迈克尔·贝里的发现打结的零的量子态的氢在一般的纽结理论的背景下，在我们的配方的量子结。贝里给了一个时间无关的波函数氢，作为一个地图从三个空间的复平面，使逆像零在复平面包含一个打结曲线在三个空间。我们证明了对于三空间中的纽结，这是一个一般的情形，即三空间中的每个光滑纽结K都有一个从三空间到复平面的光滑分类映射f，使得零的逆像是纽结K。这就留下了一个问题，即当这样的f是量子系统的波函数时，如何表征它。我们可以将这个结果与马克·丹尼斯和他的合作者的工作、丹尼尔·佩拉尔塔-萨拉斯和他的合作者的工作以及李·鲁道夫的工作进行比较。我们的方法提供了很大的一般性的波函数的打结零点的结构，并开辟了许多新的途径，研究量子理论和纽结理论的关系。我们展示了这种分类建设可以与我们以前的工作在二维和三维马赛克和晶格量子结。
A knotted minimal tree
本文在R^3中的单位3-球的边界上构造了一个有限集X，它的最小树是纽结的。这个例子回答了Rob Kirby在Michael Freedman提出的“低维拓扑问题”中的问题5.17：“给定B^3的边界上的点X的有限集，设T是B^3中包含X的最小长度的树。T是不打结的吗？也就是说，在包含T的B^3中是否存在嵌入2-球的PL？''
The Distortion of a Knotted Curve
曲线的变形测量最大弧/弦长比。Gromov证明了任何闭曲线都至少有pi/2的变形，并询问了节点的变形。在这里，我们证明了任何非平凡的驯服结的扭曲至少为5 pi/3;例子表明，7.16以下的扭曲足以建立一个三叶结。我们的论点使用的最短本质割线的存在性和边界本质弧的特性。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。