Curves with constant curvature ratios
J. Monterde
${\mathbb R}^n$中的曲线，其两个连续曲率之间的比率是常数，其特征在于它们的切线指标是平坦环面中的测地线。对于$n= 3,4$，也研究了这种球面曲线，并与球面中的内禀螺旋线进行了比较。
Curves in ${\mathbb R}^n$ for which the ratios between two consecutive curvatures are constant are characterized by the fact that their tangent indicatrix is a geodesic in a flat torus. For $n= 3,4$, spherical curves of this kind are also studied and compared with intrinsic helices in the sphere.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The equi-affine and Frenet curvatures of curves in pseudo-Riemannian 2-manifolds
对于伪Riemann（包括Riemann）2-流形中的任意非退化曲线，利用其Frenet（测地）曲率来表示等仿射曲率.
Non-collapsing for nearly spherical closed curves under power curvature flow
利用两点方法证明了幂曲率流下\mathbb{R}^2中近似球形闭凸曲线的演化是不坍缩的。
Curvature equivalence for Legendre curves in the unit tangent bundle over Euclidean plane
本文研究了欧几里得平面单位切 bundle 上 Legendre 曲线的曲率等价性，探讨其性质并给出局部和全局分类。
On the Patterns of Principal Curvature Lines around a Curve of Umbilic Points
本文研究光滑曲面脐点曲线附近的主曲率线的性质。
Approximating the Nonlocal Curvature of Planar Curves
本文研究平面曲线非局部曲率的分解与逼近，通过将定义扩展到曲线外点并利用不完全 beta 函数给出线段公式，证明了 Hölder 正则曲线的非局部曲率可由线性插值样条的非局部曲率逼近。
The geodesic total curvature of spherical curves
分析了可求长球面曲线的测地全曲率。我们扩展到高维领域的情况下，明确的公式，适用于曲线支持到2球。为此目的，我们利用一些新的积分几何公式有关的欧氏和测地的全曲率的球面曲线。
Ancient Solutions to Curve Shortening with Finite Total Curvature
我们构造古老的解决方案，曲线缩短在平面上的全曲率是一致有界的任意链的给定的死神沿其共同的渐近线粘合在一起。
Curvatures of curves in $\mathbb{R}^{2}$ endowed with a canonical linear connection
研究配备典范线性联络的 $\mathbb{R}^2$ 中平面曲线的几何，引入切向和测地曲率，证明给定曲率曲线的存在唯一性定理，并分类常曲率曲线及推广曲率为弧长线性函数的曲线。
The equi-affine curvatures of curves in 3-dimensional pseudo-Riemannian manifolds
本文借助于三维伪黎曼流形中非零非退化曲线的Frenet标架和Frenet曲率，刻画了Cartan标架和等仿射曲率.这样一条曲线的Frenet曲率的恒定性总是意味着等仿射曲率的恒定性。我们表明，相反的声明一般不成立。最后，我们研究了三维Lorentz流形中零曲线的等仿射曲率，并证明了它们与伪挠率有关。
Closed Constant Curvature Space Curves
我们利用常微分方程和对称性参数构造了闭常曲率空间曲线，首先是柱面上，然后是环面上，最后是Frenet-Serret方程。
The Curvatures of Regular Curves and Euclidean Invariants of their Derivatives
众所周知的公式表示的曲率和挠曲线在$R^3$在其导数的欧几里德不变量。对于$R^n$中的所有曲线的曲率，我们都得到了这种表达式。因此，$R^n$中的曲线由其n阶导数的范数确定直到等距。我们将这些观察推广到任意黎曼流形中的曲线。
k-harmonic curves into a Riemannian manifold with constant sectional curvature
J.Eells和L. Lemaire引入了k-调和映射，T. Ichiyama，J. Inoguchi和H.Urakawa给出了一阶变分公式。本文将$3$ -调和曲线的常微分方程描述到具有常截面曲率的黎曼流形中，证明了双调和曲线是k-调和曲线$(k\geq 2)$ .
Whitney-Graustein Homotopy of Locally Convex Curves via a Curvature Flow
设$X_0, \widetilde{X}$是平面上两条光滑、闭、局部凸且卷绕数相同的曲线。构造了一个带非局部项的曲率流，将$X_0$演化为$\widetilde{X}$ .证明了该流全局存在，并保持了演化曲线的局部凸性和弹性能量。如果两条曲线具有相同的弹性能量，则曲率流随着时间趋向于无穷大而将演化曲线变形为目标曲线$\widetilde{X}$。
Existence of curves with constant geodesic curvature in a Riemannian 2-sphere
证明了在任意黎曼2-球面上，对几乎所有给定曲率，均存在常测地曲率的浸入闭曲线。为了实现这一点，我们开发了一个加权长度泛函的最小-最大方案。
Evolution of curves and surfaces by mean curvature
本文介绍了中曲率流，一些关于它的发现，以及一些尚未解决的问题。
A geometric estimate for a periodic Schrödinger operator whose potential is the curvature of a spherical curve
我们从下面的几何数据估计的周期Sturm-Liouville算子$- 4 d^2/ds^2 + κ^2 (s)$的特征值与潜在的闭曲线的曲率。
Curvature criteria of A-simple singularities R,0-> R^2,0 and their parallel curves
本文提出了一种确定A-简单奇点R,0→R²,0曲率准则的方法，并探讨了其平行曲线的奇点类型。
Remarks on the boundary curve of a constant mean curvature topological disc
讨论了具有解析边界的共形浸入常中曲率拓扑圆盘上全纯二次Hopf微分存在性的一些结果。特别是，我们推导出一个公式的中曲率作为加权平均的法曲率的边界曲线，和一个条件的表面是完全脐的法曲率。
On bounds of entropy and total curvature for ancient curve shortening flows
全曲率和熵的界是中曲率流的两个常见条件。我们证明了这两个假设对于一类古代完全嵌入光滑平面曲线缩短流是等价的，这类流是一维中曲率流。作为应用，我们给出了嵌入在$\mathbb{R}^2$中的具有有限熵的古光滑完备非紧曲线缩短流在无穷远处切流唯一性的一个简短证明。
Curvatures of moduli space of curves and applications
本文利用向量丛的直像层的曲率性质，研究曲线的模空间的几何性质。证明了亏格为$g>1$的曲线的模空间$(M_g, ω_{WP})$具有双Nakano负曲率和半Nakano负曲率，特别地，它具有非正的Riemann曲率算子和非正的复截面曲率.作为应用，我们证明了$M_g$中的任意子流形如果是$A_g$中的全测地子流形且具有有限体积，则必是球商.
The relation between parameter curves and lines of curvature on canal surfaces
耳道表面是具有变化半径的移动球体的包络，由其中心的轨迹C（t）（脊曲线）和半径函数r（t）定义。在本文中，我们调查时，参数曲线的渠道表面也是曲率线。最后，对于特殊的脊柱曲线，我们得到了椎管曲面的半径函数。
Submersions and curves of constant geodesic curvature
考虑黎曼淹没，我们找到了次黎曼正规测地线投影到第一测地曲率不变或第二测地曲率不变且为零的曲线的充要条件.我们描述了次黎曼度量的一个典型扩张，并研究了所得到的黎曼流形的几何性质。这项工作包含几个例子说明的结果。
Torus Curves With Vanishing Curvature
设T是R^3中的标准旋转环面，半径为b和1，0<b<1。设α是T上的（p，q）环面曲线.我们证明了对于T的可变半径b=p^2/（p^2+q^2），α上存在曲率为零的点。曲线α对于所有其他b值都具有非零曲率。此外，对于这个b值，α上恰好有q个曲率为零的点。
Curves of Constant Curvature and Torsion in the 3-Sphere
本文描述了三维圆球中常曲率（测地线）和挠率曲线。这些曲线是一个点的轨迹，该点的运动是正交平面内两个圆周运动的叠加。整体行为可能是周期性的，或者曲线可能是密集的Clifford环面嵌入在三个球体。这种行为与三维欧几里得空间中的螺旋非常不同，三维欧几里德空间中的螺旋也具有恒定的曲率和挠率。
Darboux transforms and spectral curves of constant mean curvature surfaces revisited
研究了常中曲率曲面的达布变换的几何性质，并利用这些达布变换得到了常中曲率环面的代数几何表示.我们发现，所有的达布变换的CMC环面的空间有一个自然的子集，这是一个代数曲线（称为频谱曲线）和所有的达布变换表示的频谱曲线上的点是CMC环面。使用达布变换得到的谱曲线不是双有理的，但具有与使用更传统的可积系统方法得到的谱曲线相同的归一化。
The classification of constant weighted curvature curves in the plane with a log-linear density
本文对平面上具有对数线性密度的常权曲率曲线类进行了分类，换句话说，对$\Bbb R^2.$中具有常强迫项的所有行进曲线锋进行了分类。分类给出了一些有趣的现象和结果，包括：当曲线的加权曲率（或等价地，行进曲锋的强迫项）趋于无穷大，这是文[13]中一个主要结果的简单证明，也是关于有密度平面上等周问题$e^y.$的一些已知事实
Visualization of curvature on curve and surface by tangential angle parametrization
本文提出基于切向角参数的统一曲率可视化方法，通过在等切向角增量处放置标记或绘制曲率线，自然揭示平面曲线的拐点与顶点以及旋转曲面的脊线和抛物曲线，无需任意调参即可为分析与设计提供几何洞察。
Curvature Functionals for Curves in the Equi-Affine Plane
在给出了这类泛函的一般变分公式后，本文进一步研究了面积约束下等仿射曲率积分的临界点和全仿射弧长的临界点。
Finiteness of the total first curvature of a non-closed curve in $\mathbb{E}^{n}$
考虑$\mathbb{E}^n$中的正则平滑曲线，使得其坐标分量是$n$阶微分方程$ y^{(n)} (x) - y(x) = 0 ,$ $x \in \mathbb{R} $的基本解.我们证明了这条曲线的总第一曲率对于奇数$n$是无限的，对于偶数$n$是有限的。
Curves in R^n with finite total first curvature arising from the solutions of an ODE
我们利用一个n阶至少为2的实常微分方程的解集来构造R^n中的一条平滑曲线C。我们描述了当C是具有有限总第一曲率的无限长的真嵌入时。
Planar closed curves with prescribed curvature
本文利用变分方法并结合Struwe的单调性技巧，通过引入参数获得有界Palais-Smale序列，从而证明某些曲率函数类下具有指定曲率的平面闭曲线的存在性。
On the motion of a curve by its binormal curvature
我们提出了一个弱公式的副法向曲率流的曲线在$\R^3.$这个公式是足够广泛的积分流作为初始数据，并足够强大的弱-强唯一性举行，只要不发生自相交。我们还证明了一个整体存在定理在该框架。
Constant curvature curves in dual affine and dual Lorentz-Minkowski planes
本文研究了双仿射和双洛伦兹-闵可夫斯基平面中曲率恒为双常数的曲线性质，揭示了其几何特征和分类方法。
Criteria and Curvatures for Singularities of Finite Multiplicities of Curves in $\boldsymbol{R}^N$
本文提出构建有限乘数曲线奇点准则的系统方法，给出乘数二、三、四的显式准则，包括仅出现在三维及以上空间的特定尖点，并推广标准化曲率函数和尖点曲率到R^N中的奇异曲线，重新解释Fukui在R^N中有限乘数曲线的存在唯一性定理。
The total intrinsic curvature of curves in Riemannian surfaces
我们处理包含在光滑，封闭，紧凑的曲面的不规则曲线。对于具有有限总固有曲率的曲线，在索博列夫环境中明确定义了切向量场平行输运的弱概念。另外，平行输运的角度是具有有界变差的函数，并且其全变差等于取决于曲线的正切的导数的“切向”分量的能量泛函。我们证明了不规则曲线的总内禀曲率与这样的能量泛函一致。利用等距嵌入，以前的结果，然后扩展到包含在黎曼曲面的不规则曲线。最后分析了它与平滑曲线位移概念的关系。
Constrained elastic curves and surfaces with spherical curvature lines
本文考虑具有一族或两族球面曲率线的曲面。我们表明，每一个表面的一个家庭的球面曲率线可以本地生成的一对初始数据：一个合适的曲线的李球变换和球面勒让德曲线。然后，我们提供的条件，这样的表面是李适用的初始数据，一类可积的表面，包括CMC和伪球面。特别地，我们证明了在某些空间型中，一条约束弹性曲线的提升必然会生成一个具有恰好一族球面曲率线的Lie适用曲面。基于这一目标，我们利用一类联络的多项式守恒量给出了约束弹性曲线的Lie球几何刻画。
Approximations of periodic functions to R^n by curvatures of closed curves
我们证明了对于任意n个实周期函数f_1，.，f_n具有相同的周期，使得对于i<n，f_i>0，且实数e >0，则在R^{n+1}中存在曲率为k_1，.的闭曲线，k_n，使得|k_i（t）-f_i（t）|对于所有的i和t。这既不适用于双曲空间H^{n+1}中的闭曲线，也不适用于R^{n+1}中的闭曲线的参数族。
Visual Curve Completion and Rotational Surfaces of Constant Negative Curvature
如果一幅图片的轮廓在视觉上缺失了一部分，那么大脑倾向于使用平面的单位切丛的某种次黎曼测地线R2 × S1来完成它。这些测地线可以通过提升平面中的全曲率型能量的极值曲线来获得。我们完全解决了这个变分问题，几何。此外，我们还显示了一种方法，通过发展这些极值曲线下，其相关的副法线流与指定的速度，在R3中的常负曲率的旋转曲面。最后，我们证明了在局部情况下，R3的所有旋转常负曲率曲面都被这些能量的极值曲线所分割。因此，我们的结论是，存在一个一对一的对应关系的亚黎曼测地线用于大脑的视觉曲线完成和这些旋转表面的R3。
Differential geometry of curves in dual space
该研究引入对偶空间$\boldsymbol{\text{d}}^3$中曲线的Frenet理论，定义曲率与挠率并分类常曲率对偶平面曲线，建立存在性基本定理且分类常曲率常挠率的对偶曲线。
Two nonlocal inverse curvature flows of convex closed plane curves
本文提出两类非局部逆曲率流，使闭凸曲线长度递减、面积递增，并在无奇点时光滑收敛至圆。
On an area-preserving inverse curvature flow for plane curves
本文研究凸闭平面曲线的1/κⁿ型保面积非局部逆曲率流，证明其全局存在、曲线长度非递增且最终在C^∞度量下收敛为圆，丰富了平面曲线保面积流的理论结果。
Curvature types of planar curves for gauges
本文将曲线微分几何中的结果从赋范平面推广到规范平面上，而这些结果是在忽略对称性公理的情况下得到的。基于巴拿赫空间理论中Birkhoff正交性概念的规范模拟，我们研究了规范平面上曲线的所有曲率类型，从而推广了它们在赋范平面上的完整分类。我们表明，（在子情况下的赋范平面）有四个这样的类型，我们称之为类似闵可夫斯基，正常，圆形，弧长曲率。我们研究它们之间的关系和扩展，在此基础上，也渐屈线和渐开线的概念，以衡量飞机。
On a General Linear Nonlocal Curvature Flow of Convex Plane Curves
受Pan-Yang [PY]和Ma-Cheng [MC]的启发，我们研究了凸闭平面曲线的一般线性非局部曲率流，讨论了该流的短时存在性和渐近收敛性.由于流动的线性结构，该偏微分方程问题可以使用常微分方程方法来解决，同时借助于线性热方程的解的表示公式。
Spherical curves whose curvature depends on distance to a great circle
本文引入球面角动量，研究曲率由到大圆或点的距离决定的球面曲线，刻画多种已知曲线并得到可用初等或 Jacobi 椭圆函数表示的新曲线族及其弧长参数化。
On Vertices and Focal Curvatures of Space Curves
在欧氏空间$\R^{m+1}$中，浸入光滑曲线$γ:s\mapsto γ(s)$的{ \em焦点曲线}由其密切超球面的中心组成。聚焦曲线可以根据$γ$（${\bf t},{\bf n}_1, ...,{\bf n}_m$）的Frenet坐标系参数化为$C_γ(s)=(γ+c_1{\bf n}_1+c_2{\bf n}_2+...+c_m{\bf n}_m)(s)$，其中系数$c_1,...,c_{m-1}$是我们称为$γ$的{ \em聚焦曲率}的平滑函数。我们发现了一个将$γ$的欧几里德曲率$κ_i$、$i=1,...,m$与其焦曲率联系起来的公式。我们发现，焦点曲率满足一个系统的弗伦方程（不是矢量，但标量！）。我们使用的焦点曲率的属性，以便给，为$k=1,...,m$，密切$k$维球的半径是关键的必要和充分条件。给出了$γ$中的点是顶点的充分必要条件。最后，明确地给出了$γ$的Frenet标架和欧氏曲率与其焦线$C_γ$的Frenet标架和欧氏曲率的关系.
The weak Frenet frame of non-smooth curves with finite total curvature and absolute torsion
讨论了欧氏空间中具有有限全曲率和全绝对挠率的非光滑曲线的弱副法线和弱主法线的概念。通过分段线性方法，我们首先介绍了多边形曲线的类似符号，其中的极性性质被利用，然后利用密度参数。我们的弱副法线和法线都是自然存在于射影平面中的可求长曲线。特别地，弱副法线的长度与给定曲线的总绝对挠率一致。此外，弱法线是切指标线和弱副法线的适当参数化的向量积。在具有正曲率的平滑曲线的情况下，弱副法线和法线产生（直到提升）副法线和法线的经典概念。
Lc helices and harmonic curvatures in space forms (hypersurface)
在n维欧几里得空间E ^n中，给出了Özdamar和Hacisalihoellu [4]定义的非退化曲线的调和曲率.本文定义了一种新的曲线类型，即LC螺旋线，当这类曲线的切线与空间型中LC平行向量场的夹角为常数时，我们称之为LC螺旋线。进一步，利用调和曲率给出了这些曲线的几个特征。特别地，在三维空间形式中，我们得到了结果[5]。
Characterization of manifolds of constant curvature by spherical curves
众所周知，所谓的旋转最小化（RM）框架允许通过涉及决定RM框架运动的系数的特定线性方程来简单而优雅地表征欧几里得、双曲和球面空间中的测地线球面曲线（da Silva，da Silva in Mediterr J Math 15：70，2018）。在这里，我们将证明相反的情况，即，证明了如果黎曼流形上的所有测地球面曲线都由某个线性方程刻画，则所有半径足够小的测地球面都是全脐的，从而该流形具有常截面曲率.我们还提供了另外两个刻画：（i）涉及测地球的中曲率和它们的曲线的曲率函数的不等式;（ii）在三维流形的情况下闭球面曲线的全挠率为零。最后，我们还证明了同样的结果对于常截面曲率的半黎曼流形也是有效的。
A note on expansion of convex plane curves via inverse curvature flow
最近，Andrews和Bryan [3]发现了一个比较函数，该函数允许他们将曲线缩短流将平面中嵌入的闭曲线收缩为圆形点这一众所周知的事实的经典证明缩短。使用这个比较函数，他们从下面根据端点之间的弧长和经过的时间来估计任何弦的长度。他们将这一估计应用于短线段，并直接推导出最大曲率以指数方式衰减到具有相同长度的圆的曲率。我们考虑凸曲线的逆（平均）曲率流下的扩展，并表明上述比较功能也适用于这种情况下，以获得一个新的证明的事实，即流动存在的所有时间，并成为圆形，即顺利收敛到单位圆后，适当的重新缩放。
Analytic Continuation of the Frenet Curvature Form of an Analytic Plane Curve
研究解析平面曲线能否由曲率确定特殊保形坐标网，通过弗伦内曲率1 - 形式的全纯延拓，利用重构公式等确定保形坐标网，给出对偶网映射导数表示，证明曲线可借此确定邻域内特殊保形坐标网。
Concepts of curvatures in normed planes
赋范平面上的经典曲线类型的理论并没有得到很好的发展。特别是，现有的平面曲线的曲率的概念的知识是广泛的，而不是系统化的文献。给出了一个全面的概述的几何性质和所有引入的曲率概念之间的关系，我们试图填补这一空白。当然，这为进一步的研究和整个现有框架的可能扩展奠定了基础。此外，我们得出各种新的结果，指的是在充分的广泛性各种已知的曲率类型在赋范平面。这些新的结果涉及到常曲率曲线的特征，新的特征的拉冬平面和欧几里德的子情况下，和类似的经典语句，如四顶点定理和基本定理的平面曲线。我们还介绍了一种新的曲率类型，我们验证相应的属性。作为应用的小理论发展在我们的简要文件中，我们研究的曲率行为的曲线的恒定宽度，并获得新的结果，如渐屈线，渐开线，平行曲线的概念。
Generalized Similar Frenet Curves
本文研究了在直接相似条件下确定Frenet曲线的微分几何不变量。这些不变量可用球指标的弧长表示的欧氏曲率来表示。然后，这些不变量表示为曲线的焦曲率。然后给出渐屈线曲率与形曲率的关系。然而，这些不变量给出了几何解释。
Immersed solutions of Plateau's problem for piecewise smooth boundary curves with small total curvature
在Gamma的全曲率小于6*Pi的条件下，给出了C^2类空间中任意分段可求长的闭Jordan曲线Gamma至少有一个盘型浸入极小曲面的新证明.在对比的方法，由于Osserman，格列佛和Alt，我们的证明依赖于折线逼近技术，利用存在的沉浸解决方案的高原问题的多边形边界曲线，提供了第一作者的成就卡尼尔的想法。
Affine subspaces of curvature functions from closed planar curves
给定一对实函数$(k,f)$，研究了对于所有实$λ$，它们使$k+λf$为闭平面曲线弧长上的曲率所需满足的条件.指出了几个等价条件，证明了某些周期性行为是必不可少的，并明确地构造了一类这样的对。同时也研究了该问题的离散对应问题。最后，得到的表征是用来表明，一个充分的模拟的4顶点定理不能开发。
Curves in Lorentz-Minkowski plane with curvature depending on their position
受经典欧拉弹性曲线的启发，David A.辛格在1999年提出的问题，确定一个平面曲线的曲率是在其位置。我们在Lorentz-Minkowski平面上提出了同样的问题，重点讨论了类空曲线和类时曲线。本文研究了$\mathbb{L}^2$中曲率依赖于到原点的Lorentz伪距离的曲线，以及曲率依赖于通过水平或垂直测地线到固定类光测地线的Lorentz伪距离的曲线.分别利用几何角动量（关于原点）和几何线动量（关于固定类光测地线）的概念，通过求积得到了确定这类曲线的两个抽象可积性结果.用这种方法，我们找到了几类新的洛伦兹螺线、特殊弹性曲线和Grim-reaper曲线，它们的内禀方程用初等函数表示。此外，我们提供的母线曲线的Enneper的表面的第二类和洛伦兹版本的一些众所周知的曲线在欧几里德设置，如伯努利双纽线，心形线，正弦螺旋线和一些非退化二次曲线的唯一性结果。我们能够得到他们的弧长参数化，他们描绘图形。
Contracting Convex Immersed Closed Plane Curves with Slow Speed of Curvature
研究了凸浸入平面曲线以速度（1/α）k^{α}的收缩，其中α在（0，1]中为常数，并证明了如果曲率的爆破率为1型，则它将收敛到位似自相似解.我们还讨论了第二型爆破的一种特殊对称情形，并证明了它收敛于平移自相似解。在曲线缩短流的情况下（即，当α=1时），这种平移自相似解是熟悉的“死神”（M. Grayson [GR]）。
Curvatures of embedded minimal disks blow up on subsets of C^1 curves
在欧氏空间的开子集U中适当嵌入的极小圆盘的任何序列都有一个子序列，使得曲率在U的相对闭子集K上爆炸，并且使得圆盘在K的补中收敛到U的极小层\K。利用Colding-Minicozzi的结果和Meeks的推广，我们证明了这样的爆破集K必包含在C^1嵌入曲线中.
A necessary condition for cylindrical curves in terms of curvature and torsion
本文基于曲率和挠率建立圆柱曲线存在的必要条件，通过引入关键函数ψ，将几何包含问题转化为多项式方程与微分方程的兼容性条件，并推导出仅涉及曲率和挠率的ODE。
Classification of rotational surfaces with constant skew curvature in 3-space forms
本文对$3$ -空间型中具有常斜曲率的旋转曲面进行了分类。我们还给出了这些曲面的轮廓曲线的变分表征为涉及曲线曲率指数的曲率能量的临界点。最后，我们提供了一个逆过程，以产生所有的旋转曲面的常数斜曲率的基础上的关键曲线下的副法线向量场流与指定的速度的演变。
Surfaces with one constant principal curvature in three-dimensional space forms
本文研究了黎曼和洛伦兹三维空间型中具有一个常主曲率的曲面。远离脐点，它们被表征为由常曲率曲线构成的单参数叶理，这些曲线中的每一条以规则曲线的一点为中心并包含在其法平面中。在某些情况下，观察到一种截线现象：叶理的曲线可以是圆、双曲线或单周期，这取决于恒定的主曲率分别是大的、小的还是等于1（不一定是这个顺序）。我们明确地描述了一些例子表明，确实存在一个常数主曲率享受脐点和非脐点的完整曲面。
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