On the $L_{\infty}$-bialgebra structure of the rational homotopy groups $π_{*}(ΩΣY)\otimes \mathbb{Q}$
本文引入了向量空间上的 $L_{\infty}$-双代数结构概念，并证明了悬挂 $ΣY$ 的环路空间 $ΩΣY$ 的有理同伦群具有该结构，从而在有理同伦等价意义下表征了原空间 $Y$。
2023-11-26 math.AT
Matrads, Biassociahedra and A_{\infty}-Bialgebras
我们引入矩阵M = { M_{n,m} }的概念，它的子模M_{*,1}和M_{1,*}是非Sigma运算.我们定义了每个二度（m，n）上的单点生成的自由矩阵H_{\infty}，并将H_{\infty}实现为双缔合多面体KK_{n,m} = KK_{m,n}上的胞元链，其中KK_{n,1} = KK_{1,n}是缔合多面体K_{n} .我们构造了从矩阵到PROP的泛包络函子，定义了一个A_{\infty} -双代数为H_{\infty}上的代数.
2010-12-06 math.AT
On Bialgebras, Comodules, Descent Data and Thom Spectra in $\infty$-categories
本文为研究不一定交换双代数及其余模范畴在$\infty$范畴中的作用奠定了基础。我们证明了双代数上的余模范畴和模范畴总是允许适当结构的monoidal结构，其中张量积取在环境范畴中（而不是双代数的底层代数或余代数上的相对（co）张量积）。我们给出了两个高阶余代数结构的例子：首先，在Hess之后，我们证明了对于$\mathbb{E}_n$ -环谱$ϕ\colon A\to B$的映射，伴随的下降数据的$\infty$ -范畴等价于$B\otimes_A B$上的余模范畴，即所谓的下降核;第二步，我们表明，托姆光谱是规范配备了一个高度结构化的comomosit结构，这是相当于$\infty$ -分类的Thom对角线的Ando，Blumberg，Gepner，霍普金斯和Rezk（我们明确描述），这种高度结构化的对角线分解的Thom同构的定向Thom频谱在预期的方式。
2021-08-19 math.AT
Cyclic Gerstenhaber-Schack cohomology
证明了计算双代数的Gerstenhaber-Schack上同调的对角复形（即支配双代数变形的上同调理论），如果双代数是一个（不一定是有限维的）具有可逆对极的霍普夫代数，如果对极是对合的，则运算是偶循环的，则可以给出一个乘法运算的结构.因此，任何这样的霍普夫代数的Gerstenhaber-Schack上同调都带有Gerstenhaber相应. Batalin-Vilkovisky代数结构;特别地，人们获得了生成Gerstenhaber括号的上积和循环边界B，并且允许定义循环Gerstenhaber-Schack上同调。如果所讨论的霍普夫代数是有限维的，则Gerstenhaber括号在上同调中为零，因此有趣的结构不是由这个e_2-代数结构给出的，而是由所得的e_3-代数结构给出的，它用上积和B表示。
2020-06-14 math.AT math.KT math.QA
Lie bialgebras and the cyclic homology of $A_\infty$ structures in topology
$A_\infty$范畴是出现在拓扑域论、弦拓扑和辛拓扑中的数学结构。本文研究了一类Calabi-Yau $A_\infty$范畴的循环同调，证明了它是一个等变拓扑共形域论，特别地，它包含一个对合李双代数.给出了该理论在弦拓扑和Brackaya范畴中的应用;特别地，证明了从具有接触型边界的辛流形的Brackaya范畴的循环上同调到边界的线性化接触同调之间存在一个李双代数同态.
2010-04-22 math-ph math.AT math.MP
Splitting the Goldman-Turaev Lie bialgebra along a simple separating curve
Purdue University（普渡大学）
研究沿着简单分离曲线拆分戈德曼 - 图拉耶夫李双代数，引入双李双模范畴概念及代数构造，通过几何应用将相关运算组装成双李双模范畴，证明了该李双代数的分解定理。
2026-07-14 math.AT math.GT math.QA
Higher Homotopy Hopf Algebras Found: A Ten Year Retrospective
寻找更高的同伦霍普夫代数（今天被称为A_ \infty -双代数）开始于1996年在瓦萨学院举行的一次会议上纪念吉姆Stasheff在今年他60岁生日。在一个题为“在搜索高同伦霍普夫代数“的演讲中，我指出，DG霍普夫代数可以被认为是一些（未知的）具有平凡高阶结构的高同伦结构，并使用Gerstenhaber和Schack的双代数变形理论的分级版本进行变形。回顾过去，Gerstenhaber和Schack的微分定义变形上同调中编码的双（余）模结构检测了一些（但不是全部）A_infty-双代数结构关系。然而，这激发了S. 2005年的Saneblidze和我自己。
2010-12-06 math.AT
The Morse complex is an $\infty$-functor
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文展示了一个紧致李半群的Morse复合体可以赋予f-bialgebra结构，并证明这一赋值定义了一个∞-函子，从而得到两个将闭合光滑流形映射到其Morse复合体的∞-函子，以及带有紧致李群作用的流形到其Morse复合体的u-bimodule结构。
2026-04-07 math.AT math.CT math.GT
The universal Hall bialgebra of a double 2-Segal space
霍尔代数和相关的构造在数学和物理学中有着广泛的应用，从表示论和量子群到唐纳森-托马斯理论和BPS态的代数。$2$ -Segal空间的理论是由Dyckerhoff-Kapranov和Gálvez-Carrillo-Kock-Tonks独立引入的，作为霍尔代数的统一框架：每个$2$ -空间定义了一个在$\infty$ -范畴中的代数，不同的霍尔代数对应于这个泛霍尔代数的不同线性化。一个反复出现的主题是霍尔代数往往可以配备一个余积，使他们成为一个双代数，可能高达一个'扭曲'。本文将用$2$空间理论解释这些双代数结构的出现：构造双$2$空间的泛Hall双代数，它是双潘的$(\infty,2)$ -范畴中的一个松弛双代数.此外，我们还展示了双$2$ -Segal空间的例子是如何从Waldhausen的$S$ -构造中产生的。
2017-11-28 math.AG math.AT math.CT
Multiplicative structures on comodules in higher categories
本文在$\infty$-范畴背景下研究双代数余模的乘法结构，证明了任意$\infty$-算畴$\mathcal{O}$下，混合双幺$\infty$-范畴中双代数余模的$\infty$-范畴具有$\mathcal{O}$-幺半$\infty$-范畴结构。
2025-03-02 math.AT math.CT
Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality
本文的第一个目标是精确地联系双代数和$E_2$ -代数的同伦理论。为此，我们构造了一个保守的和完全忠实的$\infty$ -函子从点幂零同伦双代数到增广$E_2$ -代数，其中包括在一个适当的“cobar”建设。证明了双代数上同伦双代数结构的（导）形式模问题等价于该“cobar”结构上$E_2$ -代数结构的（导）形式模问题.因此，我们表明，$E_3$ -代数结构的高Hochschild复杂的cobar建设，解决方案，以更高的Deligne猜想，控制变形理论的双代数。这意味着在dg双代数的变形复形上存在$E_3$ -结构，解决了Gerstenhaber-Schack的一个长期猜想。在此基础上，通过证明对称双代数的变形复形的$E_3$ -形式，解决了Kontsevich的一个长期存在的猜想.这提供了一个新的证明作为推论的Etingof-Kazdhan变形量子化的李双代数推广到同伦dg李双代数，是独立于选择的一个结合子。一路上，我们建立了新的一般结果的独立利益的变形理论的代数结构，这揭示了一个新的光各种变形复合体和上同调理论的研究文献。
2016-06-05 math.AT math.QA
Adams-Hilton models and higher Whitehead brackets for polyhedral products
本文构造了球面积$(\underline{S})^{\mathcal{K}}$和Davis-Januszkiewicz空间$\left(\mathbb{C} P^{\infty}\right)^{\mathcal{K}}$的Adams-Hilton模型.我们表明，在这些情况下，亚当斯-希尔顿模型可以选择，使它符合cobar建设的同调余代数。我们将由此产生的模型的研究迭代更高的Whitehead产品在$\left(\mathbb{C} P^{\infty}\right)^{\mathcal{K}}$。也就是说，我们明确地构建了一个链的cobar结构表示的同调类的Hurewicz图像的Whitehead产品。
2022-03-14 math.AT
Homotopy algebras and noncommutative geometry
研究了强同伦代数$A_\infty, C_\infty$和$L_\infty$ -代数的上同调理论，建立了Hochschild的Hodge分解和$C_\infty$ -代数的循环上同调，推广了Loday和Gerstenhaber-Schack的工作.这些结果被用来表明，一个$C_\infty$ -代数的不变内积的上同调可以唯一地扩展到辛$C_\infty$ -代数（$\infty$ -推广的交换Frobenius代数Kontsevich）。作为另一个应用，我们证明了“弦拓扑”操作（循环产品，循环括号和字符串括号）是同伦不变量，可以定义在任何Poincare对偶空间的同调或等变同调。
2004-10-29 math.AT math.QA
Formality criteria in terms of higher Whitehead brackets
给出了微分分次李代数在高阶Whitehead括号中的形式性的两个判定准则，高阶Whitehead括号是微分分次结合代数的Massey积的李类比.我们还证明了微分分次李代数的形式不等价于Quillen谱序列的坍缩。最后，我们利用$L_\infty$代数和Quillen的有理同伦理论，恢复和改进了Sullivan极小模型中高阶Whitehead积的一个经典判定定理，并给出了一些应用.
2019-02-08 math.AT
Box operads and higher Gerstenhaber brackets
引入描述矩形标记盒子演算的对称operad $\square p$，证明其作用于quiver的Gerstenhaber-Schack对象并诱导出控制lax prestack形变理论的 $L_{\infty}$-结构。
2023-06-28 math.AT math.KT
Symplectic $A_\infty$-algebras and string topology operations
在本文中，我们建立了存在的某些结构的正常和等变的同调的自由闭路空间的流形上，或更一般地说，一个正式的庞加莱对偶空间。这些结构; Chas和Sullivan在“弦拓扑”的总标题下介绍和研究了环积、环括号和弦括号。我们的方法是基于$C_\infty$ -代数的阻塞理论和有理同伦理论。由此产生的字符串拓扑操作显然是同伦不变量。
2007-08-15 math.AT math.QA
Calculus of multilinear differential operators, operator $L_\infty$-algebras and ${\it IBL}_\infty$-algebras
我们提出了一个运算框架，适合于描述代数结构的操作是多线性微分算子的不同的顺序，或更一般地说，正式系列这样的运营商。该框架是建立在一个线性运算的多重过滤的概念推广的概念过滤的结合代数。我们描述了一种特殊的方式来构建和分析multifiltrations的基础上提出的一个线性操作的发电机和关系。特别是，这使我们能够观察到一个特殊的作用，在这种情况下发挥的李，李容许和L-无穷大结构。作为一个主要的应用程序，和原来的动机，目前的工作，我们展示了如何推广的著名的大括号建设Lecomte \textendash罗杰和Kosmann-Schwarzbach涵盖同伦对合李双代数的情况下，可以得到。
2021-12-16 math.AT math.QA
The Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in higher genera
本文研究高亏格曲面上的Goldman-Turaev形式化问题，通过定义并求解新的高亏格Kashiwara-Vergne问题，建立了GT形式化映射，并揭示了其与Grothendieck-Teichmüller群的联系。
2023-10-23 math.AT math.GT math.QA
The L_\infty-deformation complex of diagrams of algebras
利用P的极小（或更一般地说，余模）模型定义了着色PROPP上的代数的变形复形，证明了它具有L_ \infty -代数的结构，该代数诱导了上同调的分次李括号.作为例子，构造了结合代数态射g的变形复形上的L_ \infty -代数结构，其基础上链复形同构于g的Gerstenhaber-Schack复形.另一个例子是李代数态射的变形复形。最后一个例子是描述向量空间的两个互逆态射的图。它的L_ \infty -形变复形具有非平凡的常数项.给出了上述例子中L_ \infty -运算的显式公式。代数图的典型变形复形是具有非平凡高阶运算的完全L_ \infty -代数。
2009-01-16 math.AT math.RA
