Algebraic functions and closed braids
Lee Rudolph
这篇文章最初发表在Topology 22（1983）。目前的hyperTeXed修订包括对1983年后结果的引用作为附录，并纠正了一些印刷错误。(See数学。GT/0411115，以获得21年后出现的对该主题的更全面概述。）
This article was originally published in Topology 22 (1983). The present hyperTeXed redaction includes references to post-1983 results as Addenda, and corrects a few typographical errors. (See math.GT/0411115 for a more comprehensive overview of the subject as it appears 21 years later.)
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Properties of closed 3-braids
我们发现，3-辫子链接与给定的（非零）亚历山大或琼斯多项式是多个，可以有效地确定。我们在封闭的3-辫子强拟正和纤维的，并表明3-辫子链接有一个唯一的不可压缩的塞弗特表面之间进行分类。我们还对Morton-Williams-Franks界为3的正辫子词进行了分类，证明了辫子指数为3的闭正辫子是闭正3-辫子。对于更多的字符串上的封闭辫子，我们研究交替链接发生。特别地，我们对辫子指数为4的那些进行了分类，并证明了它们的Morton-Williams-Franks不等式是精确的。最后，我们使用的Burau表示，以获得新的辫子指数的标准，包括一个有效的4-辫子测试。
Semi-Adequate Closed Braids and Volume
在本文中，我们证明了一个家庭的A-适当的封闭辫子的体积可以有界上下的扭曲数，辫子串的数量，可以从一个给定的封闭辫子图的组合学读取的数量。我们还表明，许多这些封闭的辫子的体积可以有界的一个单一的稳定系数的有色琼斯多项式，从而表明，这个集合的封闭辫子满足粗体积猜想。通过扩展到一个更广泛的家庭封闭的辫子，我们也得到了体积界的数量方面的积极和消极的扭曲区域在一个给定的封闭的辫子图。此外，对于一个家庭的A-适当的封闭3-辫子，我们表明，体积可以有界的参数$s$从Schreier正常形式的3-辫子。最后，我们表明，对于同一个家庭的A-适当的封闭3-辫子，参数$k$和$s$从Schreier规范形式实际上可以读出原来的3-辫子字。
Closed 3-braids are nearly fibred
Ozsváth和Szabó指出，结弗洛尔同调检测到了重复的连接。我们将对闭3-辫证明这个猜想，通过分类闭3-辫。特别是，给定一个非平凡的闭3-辫，它要么是双绞的，要么它与双绞的链环相差半捻。证明使用Gabai的圆盘分解方法。
Braid ordering and the geometry of closed braid
研究了辫序与其闭包几何的关系。我们证明了，如果闭辫的补空间中的本质闭曲面$F$相对于辫的Dehornoy底具有较小的亏格，则$F$在Birman-Menasco的辫叶理论意义下是圆叶的.作为结果的一个应用，我们证明了当辫子的Dehornoy底大于3时，辫子的Nielsen-Thurston分类与其闭包补的几何是一一对应的.利用这一结果，我们从映射类群的伪Anosov元显式地构造了无穷多个双曲纽结。
The dealternating number and the alternation number of a closed 3-braid
给出了闭3-辫子的去交错数的一个上界。作为应用，我们确定了一些闭正3-辫的去交错数、交错数和Turaev亏格。我们还证明了存在无穷多个具有任意去交错数（或任意交错数）和任意辫指数的正纽结。
Crossing changes in closed 3-braid diagrams
如果改变交叉不改变结的类型，则结中的交叉无效。利用某些类型的封闭3-辫子图的不变量，我们证明了，如果一个封闭的3-辫子包含一个无效交叉，那么它的辫子指数是一个或两个。这证明了林晓松提出的一个关于无效穿越的猜想的一个特例。
The Burau matrix and Fiedler's invariant for a closed braid
它示出了如何费德勒的“小状态和”不变的辫子可以计算从2变量亚历山大多项式的链接，其中包括封闭的辫子连同辫子轴。
The Alexander polynomial for closed braids in lens spaces
我们提出了一个简化的Burau表示的混合辫群上的一个链表示链接在透镜空间，并显示如何计算亚历山大多项式的链接直接从混合辫子。
The Multivariable Alexander Polynomial for a Closed Braid
一个简单的多变量版本的减少Burau矩阵构造任何辫子。它示出了如何多变量亚历山大多项式的封闭的辫子可以直接从这个矩阵中找到。
Diagrammatic representations of knots and links as closed braids
这是一篇关于通过编织物在各种设置中的结和链接的图解表示的简要文章。
Second-to-Top Term of \hat{HFK} of Closed 3-Braids
本文通过 skein 精确序列等技术，计算闭合3辫的HFK次顶项，并验证了Sivek的秩不等式猜想。
Studying surfaces via closed braids
这是一篇关于Bennequin-Birman-Menasco机器的评论文章，用于研究三维空间中嵌入的不可压缩曲面通过它们的“辫状叶理”。调查了两起案件：情形（1）曲面有非空边界，边界是一个纽结或链环，表示为闭辫;情形（2）曲面是闭的，但它位于一个纽结或链环的补集中，表示为闭辫。在该领域的主要成果是建立了充分的证据，在一个系统的方式，着眼于使他们访问的开始读者。有一些新的贡献，在导言中详细介绍。
The skein polynomial of closed 3-braids
利用3-股辫群的带表示，证明了3-辫链的亏格可以从它们的绞链多项式中读出。给出了一些应用，特别是Morton不等式的一个简单证明和判定某些多项式（如9_{49}的多项式）不被3-辫环所接纳的一个条件.最后，对辫状指数为3的交错链环进行了分类.
One-cocycle invariants for closed braids
我们引入了新的多项式同痕不变量。它们被构造为多项式值{ \em高斯图1-cocycles}上的完整旋转的封闭编织$\hat β$周围的核心相应的固体环面评估。它们可以相对于编织物长度用多项式复杂度计算，并且在$x=1$上评估的它们的导数是闭合编织物的有限型不变量。设实环面V是标准嵌入在3-球面中，设L是互补实环面$S^3\setminus V$的核。我们给出的例子表明，我们的不变量的自然细化可以检测（即使是线性复杂性相对于辫子长度，如果股的数量是固定的，并与二次复杂性，如果它不是固定的）的不可逆性的2-分量链接$\hat β\cup L\hookrightarrow S^3$，量子不变量不能做什么。
A Categorical Model for the Virtual Braid Group
本文在严格幺半范畴SC中给出了虚辫群的一个新的解释，该范畴由一个对象和三个态射自由生成，其中两个态射对应于基本纯虚辫，一个态射对应于对称群中的一个转置.这种方法的关键是将纯虚拟辫子作为主要的。纯虚辫群的生成元是代数杨-巴克斯特方程的抽象解。这一观点通过代数杨-巴克斯特方程的解阐明了虚辫群和纯虚辫群的表示。在这个范畴框架中，虚辫群是与代数辫结构相关联的自然群。然后，我们指出，SC范畴是如何相关的范畴与量子代数和霍普夫代数和量子不变量的虚拟链接。
The algebraic crossing number and the braid index of knots and links
证明了在极小辫表示中，链环的代数交叉数是唯一确定的。这个猜想对许多类的纽结和链环都是成立的。Morton-Franks-Williams不等式给出了辫子指数的一个下界。纽结型不等式的尖锐性暗示了纽结型猜想的正确性。我们证明，有无穷多的例子，结和链接的不等式是不尖锐的，但猜想仍然是真实的。我们还证明了，如果猜想对K和L成立，那么它对K的（p，q）-电缆和K与L的连通和也成立。
On a structure of random open books and closed braids
Malystan的一个结果表明，在映射类群上的随机游动产生一个元素，其分数Dehn扭曲系数足够大或足够小。我们表明，这导致随机3-流形和链接的几个属性。例如，随机闭合的辫子和打开的书是双曲线的。
On closed 3-braids with unknotting number one
我们证明了，如果一个交替的3-辫子结有unknotting数1，那么一定存在一个unknotting交叉在任何交替图，它，我们列举了这样的结。这个论证结合了Ozsváth和Szabó利用Heegaard弗洛尔同调提出的解开第一个的障碍，以及来自唐纳森定理A的障碍。
On the kinkiness of closed braids
本文证明了一个闭辫的正扭结性的下界，并利用它导出了一个链节在其Seifert系统下的正扭结性的估计。作为一个应用程序，我们表明，某些椒盐卷饼结不能解开只使用积极的交叉变化。我们还描述了一个子群的无限秩的光滑纽结和谐群，其中没有任何元素有一个强拟正的代表。
The HOMFLY Polynomial of Links in Closed Braid Form
众所周知，任何链环都可以用辫的闭合来表示。在一个辫子中所需要的最少的字符串的数量，其封闭表示一个给定的链接被称为辫子指数的链接和著名的莫顿弗兰克威廉姆斯不等式揭示了一个链接的HOMFLY多项式和它的辫子指数之间的密切关系。在一个链接已经呈现在一个封闭的辫子形式的情况下，耶格推导出一个特殊的公式的HOMFLY多项式。本文证明了Jaeger结果的一个变体及其对偶版本，与Jaeger的原始推理依赖于表示论不同，我们的证明仅使用初等几何和组合观测.使用我们的变体和它的对偶版本，我们提供了一个直接的和基本的事实证明，辫子指数的链接，具有$n$ -字符串封闭编织图，也减少和交替，正是$n$。直到知道这一事实只知道作为一个结果，由于Murasugi纤维链接是明星产品的基本环面链接和事实，即交替编织纤维。
Algebraic, combinatorial and topological properties of singular virtual braid monoids
本文讨论了奇异虚辫的代数、组合和拓扑性质。在代数方面，我们陈述了经典奇异对象和虚奇异对象之间的关系，此外，我们还讨论了虚奇异对象的一个Birman猜想。在拓扑和组合方面，我们证明了奇异抽象辫子、水平高斯图和奇异虚辫子之间存在一个双射，特别是利用水平高斯图我们得到了奇异纯虚辫子幺半群的一个表示.
The Khovanov width of twisted links and closed 3-braids
Khovanov同调是一个二阶Z-模，它是Jones多项式的范畴。Khovanov同调的支集依赖于有限个关于双分次的斜率为2的直线。科瓦诺夫宽度本质上是两条这样的线之间的最大水平距离。我们表明，它是可能的，以产生无限家庭的链接具有相同的Khovanov宽度从链接图满足一定的条件。因此，我们计算所有封闭的3-辫子的Khovanov宽度。
Homogeneous links and closed homogeneous braids
任何正结都是正辫的闭合吗？不，但是如果我们考虑正性，根据伯尔曼、柯和李提出的辫群的生成元，那么答案是肯定的。在本文中，我们证明了同样的情况下，考虑均匀性。在这种方式中，我们证明了两个曲面的铅垂是BKL-齐次曲面当且仅当两个和项都是BKL-齐次曲面，一个平行的结果鲁道夫涉及拟正曲面。BKL-齐次曲面实际上是拟正曲面的自然推广。
A non-degenerate exchange move always produces infinitely many non-conjugate braids
我们表明，如果一个链接$L$有一个封闭的$n$ -辫子代表承认非退化的交换移动，交换移动，不明显保持共轭类，$L$有无限多个非共轭封闭$n$ -辫子代表。
Invariants of closed braids via counting surfaces
高斯图是一种简单的组合方式来表示链接。众所周知，任何瓦西里耶夫不变量都可以从高斯图公式中获得，该公式涉及对某些组合类型的子图进行计数。在本文中，我们提出了简单的公式，一个无限家庭的不变量计数表面的某一种属和边界组件的数量在高斯图与一个封闭的辫子。然后，我们确定由此产生的不变量与偏导数的HOMFLY-PT多项式。
Meridian twisting of closed braids and the Homfly polynomial
假设$β$是$n$股上的辫子，其指数和为$w$。设$Δ$为Garside半捻编织物。证明了$β$闭包的Homfly多项式中$v^{w-n+1}$的系数等于$(-1)^{n-1}$乘以$βΔ^2$闭包的Homfly多项式中$v^{w+n^2-1}$的系数.这种巧合意味着较低的Morton-Franks-Williams估计$v$-度的Homfly多项式的$\hatβ$是尖锐的，当且仅当较高的MFW估计是尖锐的$v$ -度的Homfly多项式的$\hat{βΔ^2}$。
Mutual braiding and the band presentation of braid groups
本文研究了封闭辫与其轴线在鲁道夫意义下的“互辫”。它涉及封闭的辫子是不结的链接，最简单的情况是封闭的辫子，目前的unknot。相互编织的几何条件指的是存在一个密切的控制方式，其中整个家庭的纤维表面满足家庭的盘跨越编织轴。我们展示了如何这样的辫子可以自然地呈现为一个词的“带发电机”的辫子群讨论的伯曼，高和李在他们最近的帐户带介绍的辫群。在这种情况下，我们能够相互编织的条件转换成存在一个合适的序列的带关系和其他移动的辫子字，并得出一个组合的方法来决定是否辫子是相互编织。
Artin Presentations of the Trivial Group and Hyperbolic Closed Pure $3$-Braids
本文研究源自六缠结的特殊带标架链环，分析六缠结对称性并给出平凡群的Artin n-表示列表，同时借助已有结果确定了双曲闭纯3-辫的范围。
Ordering pure braid groups on closed surfaces
证明了闭可定向曲面上的纯辫群是双序的，而闭非可定向曲面上的纯辫群具有广义挠，因而它们不是双序的.
Recognizing trace graphs of closed braids
一个封闭的辫子在一个坚实的环面，我们相关联的轨迹图在加厚环面在这样一种方式，封闭的辫子是同位素的当且仅当他们的轨迹图可以相关的三面体和四面体移动。对于一个固定数量的股封闭的辫子，我们认识到迹图的同伦和三面体的移动在多项式时间相对于辫子的长度。
Quasi right-veering braids and non-loose links
我们引入了一个概念，“准右转向”封闭的辫子，这起着类似的作用，“右转向”的开放书籍。我们表明，一个横向链接$K$在接触3-流形$(M,ξ)$是非松散的当且仅当每个辫子代表$K$关于每个开卷分解，支持$(M,ξ)$是准右转向。我们还表明，几个定义的“右转向”封闭的辫子是等价的。
On a relation between the self-linking number and the braid index of closed braids in open books
我们证明了一个推广的琼斯-川室猜想，涉及到自环绕数和辫子指数的封闭辫子，平面打开书与某些附加条件和修改。我们证明了我们的结果在某种意义上是最优的，给出了几个反例的天真的推广的琼斯-川室猜想。
On 3-braids and L-space knots
我们分类封闭的3-辫子，这是L-空间结。
Isotopy invariants for closed braids and almost closed braids via loops in stratified spaces
设$ϕ: S^1\times D^2\to S^1$为自然投影。一个定向纽结$K\hookrightarrow V = S^1\times D^2$被称为几乎闭辫，如果$ϕ$对K的限制恰好有两个（非退化）临界点（如果$ϕ$的限制根本没有临界点，则K是闭辫）。我们引入了新的同痕不变量的封闭辫子和几乎封闭辫子的固体环面V。这些不变量完善有限型不变量。它们仍然可以用关于K的交叉数的多项式复杂度来计算。设立体环面V是标准嵌入在三维球面中，设A是互补立体环面$S^3\setminus V$的轴。我们给出的例子表明，我们的不变量可以检测不可逆的2-分量链接$K\cup A\hookrightarrow S^3$。注意，所有量子链路不变量都不能做到这一点，并且不知道是否存在可以检测2分量链路的不可逆性的有限型不变量。
A note on transversal knots that are closed 3-braids
这篇6页的论文的内容已被归入13页的论文，“关于闭合3-辫子的说明”，arXiv：0802.1072 [math.GT]。这篇论文是正确的，但比新论文包含的信息少。结是封闭的辫子的拓扑分类，导致横向结是封闭的3-辫子的分类定理。给出了一个列表的所有低交叉的横向非简单结的例子，是封闭的3-辫子。
Birman's conjecture for singular braids on closed surfaces
设$M$是亏格$g\ge 1$的闭定向曲面，$B_n(M)$是$M$在$n$弦上的辫群，$SB_n(M)$是相应的奇异辫子幺半群.本文的目的是证明在Vassiliev不变量的定义中引入的去奇异化映射$η: SB_n(M) \to \Z [B_n(M)]$（用于曲面上的辫子）是内射的。
Braid monodromy for a trinomial algebraic equation by means of Mellin-Barnes integral representations
我们建立了满足包含三项的代数方程（三项方程）的函数的辫子单值表示。我们遵循全球解析延拓的根三项式代数方程表示的Mellin-Barnes整表示。我们描绘了由单值性围绕所有分支点产生的辫子。全球辫子monodromy描述的合理扭曲的股，产生一个经典的阿丁辫子表示的代数函数。作为推论，我们得到了三项式代数方程的伽罗瓦群的精确描述。
Presentations for the monoids of singular braids on closed surfaces
我们给出了闭曲面上奇异辫的幺半群的生成元和关系式。这些演示文稿的有效性的证明也可以应用于验证，在一个新的方式，演示文稿Birman奇异Artin辫子的幺半群。
The Bennequin number of n-trivial closed n-braids is negative
Bennequin的一个著名结果表明，对于任何代表解开的辫子，Bennequin数都是负数。我们将这个结果推广到所有的n-平凡闭n-辫子。这是一类在取镜像下闭的无穷多个纽结。我们的证明依赖于Homfly多项式的非标准参数化。
Generalizations of the groups $G_{n}^{k}$: graphs, moduli spaces, algebraic geometry, spherical braids
本工作将$G_n^k$理论推广到任意超图，结合球形辫子的模空间分层研究相关群的映射性质，并提出其在阿贝尔簇上适用性的待解决问题。
Algebraic structures among virtual singular braids
该研究证明n股虚拟奇异辫子幺半群可嵌入群VSGₙ，给出其半直积结构与VSPGₙ的表示及子群分解，为虚拟奇异辫子的代数结构分析提供基础。
Bonded braids and the Markov theorem
本文为键合辫子建立代数理论，定义键合辫子幺半群，证明键合版Alexander和Markov定理，并引入键合Burau表示，分析其低维忠实性。
A survey of surface braid groups and the lower algebraic K-theory of their group rings
本文综述了面辫群的理论及其群环的下代数K理论。我们回顾几个定义和描述的各种性质的表面辫群，如存在的扭转，有序性，线性，以及它们的关系与映射类群和与同伦群的2-球面。2-球面和实射影平面的辫群由于具有有穷级的元素而引起人们的特别兴趣，我们详细讨论了它们的挠率以及它们的有限子群和虚循环子群的分类.最后，我们概述的方法来研究较低的代数K理论的群环的表面辫群，突出最近的结果有关的辫群的2-球面和真正的射影平面。
On the virtual singular braid monoid
研究了虚奇异辫幺半群$VSB_n$和虚奇异纯辫幺半群$VSP_n$的代数结构.幺半群$VSB_n$是$VSP_n$通过对称群$S_n$的可分裂扩张。我们还构造了一个表示的$VSB_n$。
Isotopy and homeomorphism of closed surface braids
闭合可定向曲面$Σ$中的编织物的闭合是$Σ\times S^1$中的链接。我们分类这样的闭曲面辫子同胚和同胚（与一个小的不确定性的闭球面辫子的同胚），代数方面的表面辫群。我们发现，在正亏格中，辫子接近于同素环当且仅当它们是共轭的，而接近于同胚环当且仅当它们在曲面辫群模其中心上的映射类群的外作用的同一轨道上.
Braid groups of the projective plane, mapping class groups of non-orientable surfaces and algebraic K-theory of their group rings
该研究刻画了3弦实射影平面辫群及3标记点实射影平面映射类群整群环的低次代数K理论，并给出了k≥3个标记点的不可定向曲面映射类群群环的代数K理论群一般公式。
Closures of T-homogeneous braids are real algebraic
本研究针对实代数链环的纤维化逆猜想，证明了一大类纤维化链环（含T-齐次辫子闭包等）是实代数的，构造了对应半全纯实多项式映射并给出次数信息。
Alexander Polynomials of closed alternating braids
本文证明了特定交错4辫结的Alexander多项式满足Fox梯形猜想，并为一大类交错n辫链环给出了符号差及Alexander多项式前4个系数的显式公式，验证了其对数凹性。
Braiding link cobordisms and non-ribbon surfaces
我们在$S^3 \times [0,1]$中定义了编织链配边的概念，它推广了$\mathbb{R}^4$中的Viro闭曲面编织。我们证明了任意适当嵌入的定向曲面$W \subset S^3 \times [0,1]$在这个特殊位置上与曲面是同向的，并且当$\partial W$已经由闭辫构成时，同向可以取为相对边界.这些曲面与$D^2 \times D^2$中的另一个曲面编织概念密切相关，称为带帽编织曲面，它是Rudolph编织曲面的推广。我们提到了几个应用程序的编织表面与帽，包括使用它们来应用代数技术从辫群研究表面在4-空间，以及构造奇异纤维化光滑4-流形从一个给定的手柄分解。
On the tail of Jones polynomials of closed braids with a full twist
对于一个全正捻且有k个负交叉的闭n-辫子L，0 \leq k \leq n，我们确定了Jones多项式V_L（t）的前n-k+1项.我们证明了V_L（t）满足辫子指数约束，即（1-t^2）V_L（t）的前两个非零系数之间至少有一个长度为n-k的间隙.对于一个封闭的正n-辫子与一个完整的正扭转，我们将我们的结果扩展到有色琼斯多项式。对于N>n-1，我们确定了归一化的N次有色Jones多项式的前n（N-1）+1项。
Braid positive surgery diagrams
研究证明闭合定向连通3流形可通过辫正链环的Dehn手术得到，核心方法是辫正链环的构造与性质分析。
Real algebraic links in $S^3$ and braid group actions on the set of $n$-adic integers
我们在复平面上的$n-1$不同非零点的位形空间上构造了一个覆盖空间的无限塔。这导致辫群$\mathbb{B}_n$对所有自然数$n\geq 2$的$n$进整数集$\mathbb{Z}_n$的作用。我们研究这些行动的一些性质，如连续性和传递性。构造的行动涉及一种新的方式相关联的任何辫子$B$的辫子，其辫子类型是不变量的$B$的无限序列。我们提出了计算的情况下，$n=2$和$n=3$，并使用这些显示，一个无限的家庭编织接近真正的代数链接，即，实多项式$\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2$的孤立奇点链。
$n$-bridge braids and the braid index
本文提出了$n$-桥辫辫指数的闭式公式，该方法初等且自包含，并证明了文献中扭转环面结定义的一致性。
Singularization of knots and closed braids
构造了第一个值在3-空间中奇异长纽结的合痕类的$ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$ -模中的组合1-上圈，它表示长纽结拓扑模空间中的一个非平凡的上同调类.它可以被解释为一个不变量，其值在$S^3$中的一个卫星纽结的补的映射类群的无限阶元的3-流形生成的$ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$ -模中。对于不是卫星的长结，1-上循环似乎在所有环上都是微不足道的，但在任何复合结的Fox-Hatcher环上、在由{ \em拖动}三叶草穿过另一个三叶草组成的环上以及在三叶草的2-cable的{ \em scan-arc}上，它已经不是微不足道的了。将一个纽结拖过另一个纽结的1-上循环的值的{ \em正则分解}导致所有无框架定向纽结类型的自由$ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$ -模上的对称双线性型进入其自身。我们猜想它的根只包含平凡纽结。例如，在应用于相关二次型的1-上循环的值上评估用于奇异结的考夫曼-沃格尔HOMFLYPT多项式，导致两个新的3-变量结多项式。对于含有半扭的闭正4-辫，我们还构造了第一个非平凡1-上圈。它的值取于具有二重点的闭正4-辫的合痕类的$ \mathbb{Z}$ -模的对称幂。
Braids, entropies and fibered 2-fold branched covers of 3-manifolds
Sakuma和Brooks证明了：任何具有亏格$g$的Heegaard分裂的闭可定向$3$ -流形都存在一个$2$ -fold分支覆盖，该覆盖是一个双曲$3$ -流形和一个圆上的亏格$g$曲面丛.本文研究双曲纤维$3$ -流形的伪Anosov么半群的熵.证明了存在无穷多个闭的可定向$3$ -流形$M$，使得作为$3$ -流形$M$的$2$ -fold分支覆盖的圆上的所有双曲亏格$g$曲面丛的最小熵与$1/g$相当.
The algebraic structure of hyperbolic graph braid groups
本文研究了 $3$ 股图形辫群的字双曲性，证明了 sun 图的 $3$ 股辫群是自由的，并为大多数 pulsar 图的 $3$ 股辫群包含曲面子群提供了简单证明及额外的结构定理。
Pointed Racks and Their Applications to Braid Theory
该研究定义了带点 rack 这一新代数结构，构造出 n-辫子的环境同痕不变量，包括整数值与矩阵值不变量，其可确定已有 rack 着色不变量，还给出了能被区分的辫子示例。
A note on closed 3-braids
结和链接是封闭的3-辫子是一个非常特殊的类。像2桥结和链接，他们是足够简单，承认一个完整的分类。与此同时，它们也足够丰富，可以作为例子的来源，幸运的话，研究人员可以在这些例子上测试各种假设。这篇评论文章的目的是收集在一起，在一个地方，一些工具，特别是结和链接的编织指数3，在一种形式，可能是有用的那些谁需要计算，并需要确切地知道所有的例外情况。我们还利用它作为一个机会，审查什么是已知的，并提出一些开放的问题。
Braids, links, cobordisms and formal groups
V.V. Sharko在他的论文和书籍中研究了流形和配边函数。辫子与流形上的函数密切相关。这些连接由相应圆盘的映射类群、相应穿孔圆盘的基本群以及某些其它拓扑或代数结构表示。本文介绍了与V.V. Sharko的研究有关的辫子、链环、配边的代数方法和结果。这些包括组理论成果的辫子和链接，无穷小辫群的关系和连接以及连接连贯光滑概形，我们的算法的草图构建的Lazard的一维通用交换正式组和选定的结果交换形式群的应用，以cobordism理论。
Simple Braids
本文研究了无平方正辫的一个子集，给出了它的一些代数刻画和一个几何刻画：闭包为非链的正辫集。我们描述这些辫子和共轭类的规范形式。
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