On the change of epsilon factors for symmetric square transfers under twisting and applications
ISI Kolkata（印度统计研究所加尔各答中心）；HRI, Prayagraj（哈达尔巴伊·拉姆钱德拉·印迪亚研究院）
研究对称平方转移下ε因子在扭动下的变化，通过局部Weil-Deligne表示分析，确定局部表示在素数p处的对称平方转移类型，并计算对称平方转移的导数。
2024-01-08 math.NT
Product formula for p-adic epsilon factors
设X是特征为p的有限域上的光滑真曲线，证明了X上算术D-模的p-adic因子的乘积公式。特别地，我们推导出类似的公式过收敛的F-等晶体，这是以前所阐明的。p-adic乘积公式是在l-adic平展上同调（对于一个不同于p的素数l）中，关于n因子的Deligne-Laumon公式在刚性上同调中的等价。在证明这个p-adic公式的主要工具之一是一个定理的算术D-模，我们证明了微局部技术的定期驻相。
2013-10-03 math.AG math.NT
On Even Perfect Numbers II
设$k>2$是素数，使得$2^k-1$是梅森素数。令$n = 2^{α-1}p$，其中$α>1$和$p<3\cdot 2^{α-1}-1$是奇素数。继续蔡等和江的工作，我们证明了$n\ |\ σ_k(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 2^{k-1}(2^k-1)$ .此外，如果$n = 2^{α-1}p^{β-1}$对于某个$β>1$，则$n\ |\ σ_5(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 496$。
2020-01-17 math.NT
Pursuing polynomial bounds on torsion
我们证明了对于所有的ε> 0，存在一个常数C（ε）> 0，使得对于定义在数域F上的所有椭圆曲线E，其中j（E）在Q中，我们有#E（F）[tors] \leq C（ε）[F：Q]^{5/2+ ε}。本文进一步研究了数域E/F上的椭圆曲线的挠子群的大小的界，这些挠子群在[F：Q]中是多项式，且在j（E）的限制下.本文给出了非一类虚的固定二次域中的j（E）的一个无条件结果，以及两个进一步的结果，一个是GRH条件，一个是非CM椭圆曲线的素度同构的强有界性条件.
2017-05-29 math.NT
Kronecker-Weber plus epsilon
我们说一个群是{ \em几乎阿贝尔}群，如果每个换位子都是中心的且平方于单位元。现在让$G$是复数域中有理数的域$\QQ$的代数闭包的伽罗瓦群。设$G^{\ab+ε}$是$G$对几乎阿贝尔投射有限群同态泛的商，$\QQ^{\ab+ε}/\QQ$是相应的Galois扩张.我们证明了$\QQ^{\ab+ε}$是由单位根、（有理数）素数的四次方根和某些正弦单项式的平方根生成的。本文的灵感来源于P.~ Das and by S.~徐这篇论文发表于Duke Math.J.114（2002）439-475。
2001-03-15 math.NT
Equivariant epsilon conjecture for 1-dimensional Lubin-Tate groups
本文提出了一个关于等变ε-常数之间关系的猜想（与局部p-adic表示V和局部域L/K的有限扩张相关联）和V的Galois稳定\mathbb{Z}_{p} -格T的局部Galois上同调群.证明了L/K是与p互素的次数的非分歧扩张，T是一维Lubin-格T的p-adic Tate模的猜想.通过将\cite{Breu}的思想从乘法群\mathbb{G}_{m}推广到任意一维Lubin-Tate群，定义了\mathbb{Z}_{p}上的Tate群.有关\cite{BB}、\cite{FK}、\cite{Breu}、\cite{BlB}和\cite{BF}中ε-猜想的不同表述的联系，请参见\cite{Iz}。
2013-09-18 math.NT
Prime polynomials in short intervals and in arithmetic progressions
本文建立了素数上两个经典代数的函数域形式。第一个定理说，在区间（x，x+x^n]中素数的个数约为x^n/log x，第二个定理说，当d^（1+delta）<x时，与a模d全等的素数p<x的个数约为pi（x）/phi（d）。更准确地说，我们证明：设1 \leq m<k是整数，q是素数幂，f是系数在q元有限域中的k次首一多项式.则存在常数c（k），使得具有deg h \leq m的素多项式g=f+h的数目N满足|N-q^（m+1）/k| \leq c（k）q^（m+1/2）。这里，如果\gcd（q，k（k-1））>1，则我们假设m \geq 2，如果q是偶数，则m \geq 3，并且deg f' \leq 1。我们表明，这种估计失败的情况下被忽略。设π_q（k）是q元有限域\FF_q中系数为k次的一元素多项式的个数.对于互素多项式f，D \in \FF_q [t]，我们证明了与f模D全等的k次一元素多项式g的个数N'满足|N'-π_q（k）/π_q（D）|\leq c（k）π_q（k）q^{-1/2}/f（D），只要1 \leq °D \leq k-3（或\leq k-4，如果p=2且（f/D）'为常数）。我们也将这些结果推广到其他分解类型。
2014-05-22 math.NT
Genus theory and $ε$-conjectures on p-class groups
我们猜想数域K的类数的“亏格部分”可能是p-类群的经典p-秩ε-猜想的"简单证明“的障碍，更不用说是"强ε-猜想”证明的障碍：对所有d次的K，（Cl\_K \otimes \Z \_p）<<\_（d，p，n）（$\sqrt$ D\_K）^n。本文利用具有多个分歧素数的p次循环域的无限族分析了该不等式中亏格理论的权，证明了p秩ε猜想：（Cl\_K \otimes \F \_p）<<\_（d，p，p）（$\sqrt$ D\_K）^_p，对d=p和p次循环扩张族（定理2.5），并给出了任意基域的情形.强形式的可能障碍，在度p循环的情况下，是数量级的一组“例外”的p-类由一个众所周知的不可预测的算法，但控制由于最近的密度结果由于Koymans-Pagano。然后比较了全实数域K的极大交换p-分歧pro-p-扩张的Galois群的扭群TK的ε-图与Brauer-Siegel型p-adic图。我们用相应的PARI/GP程序进行了数值计算。
2019-07-08 math.NT
Epsilon dichotomy for linear models: the Archimedean case
本文研究实或四元数一般线性群中 $χ_H$-区分表示的根数，通过旗流形 $H$-轨道与 Schwartz 同调分析证明 Prasad–Takloo-Bighash 猜想的 Archimedees 版本。
2023-04-25 math.NT math.RT
Characteristic Epsilon Cycles of $\ell$-adic Sheaves on Varieties
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文研究了ℓ-adic sheaves的特征epsilon cycles，提出了一种基于奇异支撑的循环，并证明了其满足Milnor型公式，同时给出了全局epsilon因子的乘积公式及一般完美域上的推广。
2026-04-03 math.AG math.NT
On the degree of the $p$-torsion field of elliptic curves over $\mathbb{Q}_\ell$ for $\ell \neq p$
设$\ell$和$p \geq 3$是不同的素数。设$E/\mathbb{Q}_{\ell}$是具有$p$ -挠模$E_p$的椭圆曲线.设$\mathbb{Q}_{\ell}(E_p)$为$E$的$p$ -挠率场.我们提供了一个完整的描述程度的扩展$\mathbb{Q}_{\ell}(E_p)/\mathbb{Q}_{\ell}$。因此，我们得到了一个配方，以确定判别理想的扩展$\mathbb{Q}_{\ell}(E_p)/\mathbb{Q}_\ell$在$E$的标准信息。
2018-04-20 math.NT
Primes $p \equiv 1 \bmod{d}$ and $a^{(p-1)/d} \equiv 1 \bmod{p}$}
假设$d \in \{ 2, 3, 4, 6 \}$和$a \in \mathbb{Z}$与$a\neq -1$和$a$不是正方形。令$P_{(a,d)}$为不超过$x$的素数$p$的数目，使得$p \equiv 1 \pmod{d}$和$a^{(p-1)/d} \equiv 1 \pmod{p}$。本文研究了$P_{(a,d)}$的均值问题。
2019-03-22 math.NT
Deligne--Langlands gamma factors in families
设F是一个p-adic域，W_F是它的绝对Weil群，k是一个代数闭域，其素特征l与p不同. W_F的l-adic表示族有一些自然的概念，例如伽罗瓦变形理论，或者更一般地，任意Noether W（k）-代数上的族。然而，在这样的家庭中，L-F和L-因子不能很好地插值。在本文中，它表明，伽马因子，这是产品的的L-factor的比率的L-factor，插值在这样的家庭。
2017-08-09 math.NT
Even perfect polynomials over $F_2$ with four prime factors
二进制域$\F_2$上的完美多项式是等于其所有因子之和的多项式$A \in \F_2[x]$。如果是$\gcd(A,x^2-x) \neq 1$，则称$A$为偶数。已知$\F_2$上最多有3个素因子的所有偶完全多项式的列表。本文的目的是给出$\F_2$上所有具有四个素因子的偶完全多项式的列表。这些是所有已知的在$\F_2$上具有四个素因子的完美多项式。
2007-12-16 math.NT
Change of coefficients in the $p \neq \ell$ local Langlands correspondence for $GL_n$
设$\ell$和$p$是不同的素数，$n$是正整数，$F_\ell$是特征$0,$的$\ell$-adic局部域，$W(k)$表示特征$p$的代数闭域上的Witt向量环. Emerton-Helm，Helm和Helm-Moss的工作定义并构造了一个光滑的$A[{GL}_n(F_\ell)]$ -模$\tildeπ(ρ_A)$，用于$p$ -无挠约化完备局部$W(k)$ -代数$A$上的连续Galois表示$ρ_A : G_{F_\ell} \to {GL}_n(A)$，$A$内插局部Langlands对应.然而，由于$\tildeπ$不是一个函子，没有明确的方法来谈论非约化或有限特征$W(k)$ -代数上的局部朗兰兹对应。我们描述了两个自然和合理的变种的局部朗兰兹对应与任意完整的局部$W(k)$ -代数作为系数。它们是同构的，当评估的通用框架变形的伽罗瓦表示$\overlineρ$在$k$，更一般地说，我们发现一个满射在一个方向。在许多情况下，包括$n=2$或$3,$，当$ρ$具有$W(k)[p^{-1}].$的有限扩展中的系数时，它们都恢复$\tildeπ(ρ)$。在伽罗瓦方面，这需要找到伽罗瓦变形之间的最小提升。
2018-12-11 math.NT math.RT
Minimally Ramified Deformations when $\ell \neq p$
设$p$和$\ell$是不同的素数，$ρ$是特征为$p$的有限域上的$\ell$ -adic域的绝对伽罗瓦群的正交或辛表示.本文定义并研究了$ρ$“分歧不劣于$ρ$“的可提升变形条件，推广了\cite{cht08}中$GL_n$的最小分歧变形条件.关键的见解是限制变形时，相关的幂幺元不改变类型。这就需要理解相对情形下的幂零轨道和幂零元的中心化子，而不仅仅是场。
2018-07-27 math.NT
Rankin--Selberg coefficients in arithmetic progressions modulo prime powers
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
研究模素数幂的Rankin-Selberg系数分布，基于Ramanujan-Petersson猜想，证明系数具有特定分布水平。
2026-05-07 math.NT
Siegel modular forms of degree two attached to Hilbert modular forms
设E/Q是实二次域，pi_0是GL（2，A_E）的尖点、不可约、自守表示，具有平凡中心特征标和无穷型（2，2 n +2），其中n是非负整数。我们证明了存在一个非零Siegel仿模新形式F，它的权、水平、Hecke特征值、λ因子和L-函数都由pi_0显式确定.对于每个有理素数p，我们用pi_0的不变量将这些不变量列表。
2010-06-26 math.NT math.RT
The least unramified prime which does not split completely
设$K/F$是$n \geq 2$度数域的有限扩张.我们建立了$\mathbb{Q}$上1次且在$K$中不完全分歧或分裂的$F$素理想的最小范数的有效域一致无条件上界.我们改进了以前最著名的一般估计，由于X。当$F = \mathbb{Q}$为伽罗瓦时，为Li;当$K/F$为伽罗瓦时，为Murty-Patankar。当$K/F$不被假定为伽罗瓦和$F \neq \mathbb{Q}$时，我们的边界是第一个。
2017-04-11 math.NT
On some values which do not belong to the image of Ramanujan's tau-function
本文证明了Ramanujan tau函数在n≥1时，除14种情况外，不取±ℓ, ±2ℓ, ±4ℓ, ±8ℓ这些值，其中ℓ<1000为奇素数，推广了Lehmer猜想的相关结果。
2024-05-26 math.NT
Constructing Galois representations ramified at one prime
设$n>1$，$e\geq 0$和一个素数$p\geq 2^{n+2+2e}+3$，使得$p$的正则性指数为$\leq e$ .证明了在所有素数$l\neq p$上有无穷多个不可约的伽罗瓦表示$ρ: Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow {GL}_n(\mathbb{Q}_p)$是不可分歧的.此外，这些表示所示的图像包含一个固定的有限指数子群的${SL}_n(\mathbb{Z}_p)$。这样的表示是通过提升合适的残差表示$\barρ$与图像中的对角环面在${GL}_n(\mathbb{F}_p)$，全局变形问题是通畅的。
2021-06-05 math.NT
Growth of $p$-parts of ideal class groups and fine Selmer groups in $\mathbb{Z}_q$-extensions with $p\neq q$
固定两个不同的奇素数$p$和$q$。我们在两个不同的背景下研究“$p\ne q$“岩泽理论。设$K$是类号为1的虚二次域，使得$p$和$q$都在$K$中分裂。我们证明了在适当的假设下，理想类群的$p$ -部分在$K$的反分圆$\mathbb{Z}_q$ -扩张的有限子扩张上有界.设$F$是数域，$A_{/F}$是具有$A[p]\subseteq A(F)$的阿贝尔簇。本文给出了$F$的$\mathbb{Z}_q$-扩张的有限子扩张上的$A$的精细Selmer群的$p$-部分稳定的充分条件。
2023-02-27 math.NT
On the Asymptotics of a Prime Spin Relation
对于循环全实数域$K$，它具有奇素数次数$n$，奇类数，$2$惰性，且每个全正单位都是正方形，满足自旋关系spin $(\mathfrak{p},σ)$ spin $(\mathfrak{p},σ^{-1})=1$的有理素数$p$的密度由公式\[ D_K=\frac{m_Kn+1}{n2^n} \]给出，其中$\mathfrak{p}$是可计算的，数域$K$的有界不变量。由于在惰性情况下的错误，该公式在勘误表中对原始版本进行了修改。由于惰性情况是非实质性的，结果的强度没有显著变化。
2021-01-05 math.NT
Galois representations with big image in the general symplectic group $\operatorname{GSp}_4(\mathbb{Z}_p)$
设$p$是奇素数，$e_p$是它的不规则指数.如果$4e_p+8 <\frac{p-1}{2}$，我们构造了一个Galois表示，它的镜像在$\op{GSp}_4(\Fp)$的对角环面上，提升到一个特征$0$表示，它在所有素数$\ell\neq p$上都是无分歧的，镜像包含$\Symp$的一个有限指数子群。
2022-08-23 math.NT
On a character sum problem of H. Cohn
设$f$是有限域$F$上的复值函数，使得对于$x \neq 0$，有$f(0) = 0$，$f(1) = 1$和$|f(x)| = 1$. Cohn问，如果$\sum_{x \in F} f(x) \bar{f(x+h)} = -1$表示$h \neq 0$，是否可以得出$f$是一个非平凡的乘法字符。我们证明了这是有限域的素数基数的情况下，假设$f$的非零值是单位根。
2001-01-29 math.NT
The Breuil--Mézard conjecture when $l \neq p$
设$l$和$p$是素数，$F/\mathbb{Q}_p$是具有绝对Galois群$G_F$的有限扩张，$\mathbb{F}$是特征$l$的有限域，$\barρ : G_F \rightarrow GL_n(\mathbb{F})$是连续表示.设$R^\square(\barρ)$为$\barρ$的通用框架变形环。如果$l = p$，那么Breuil-Mézard猜想（由Emerton和Gee提出）将$R^\square(\barρ)$中某些循环的mod $l$约化与$GL_n(\mathcal{O}_F)$的某些表示的mod $l$约化联系起来。我们陈述一个类似的Breuil-Mézard猜想时，$l \neq p$，并证明它每当$l > 2$使用自同构提升定理。当$l$是$F$的“拟平凡”且$\barρ$是tamely分歧时，我们给出了一个局部证明.我们还分析了Schneider和Zink定义的$σ(τ)$类型的约简模$l$。
2017-10-16 math.NT
Distribution of Square Prime Numbers
该研究定义了形如$pa^2$（$p$为素数、$a\neq1$）的平方素数（SP数，对应OEIS序列A228056），探究其性质与分布密度，提出相关论断并通过计算机程序在大数范围内验证了部分猜想。
2024-12-10 math.NT
On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
2018-07-09 math.NT
On the automorphisms of the non-split Cartan modular curves of prime level
研究了素水平$p$的非分裂Cartan模曲线$X_{ns}(p)$的自同构.我们证明了如果$p\geq 37$所有的自同构保持尖点。此外，如果$p\equiv 1\text{ mod }12$和$p\neq 13$，自同构群由$\text{GL}_2(\mathbb F_p)$的非分裂Cartan子群的正规化子给出的模对合生成。我们还证明了，对于每个$p\geq 37$，使$X_{ns}(p)$有一个CM有理点，一个例外的合理的自同构的存在会产生一个例外的合理点的模曲线$X_{ns}^+(p)$相关的正规化的非分裂Cartan子群的$\text{GL}_2(\mathbb F_p)$。
2015-03-17 math.NT
A case of simultaneous non-vanishing
本文证明了对一个偶数$k>1000$和一个充分大的素数$q$，存在一个新形式的权$k$和水平$q$的$f$，使得$$ L(1/2,f)L(1/2,\text{Sym}^2 f)\neq 0. $$
2015-04-29 math.NT
Hasse-Weil Zeta Functions Modulo a Prime
本文通过有限域上分离有限型概形的有限态射，确定了在素数阶伽罗瓦群作用下zeta函数的模r约化，并应用于曲线及超椭圆/超椭圆曲线的分子。
2026-06-03 math.NT
A Local Proof of Langlands's Second Main Lemma for Local Epsilon Factors over Nonarchimedean Local Fields
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究科）
本文给出非阿基米德局部域上局部ε因子Langlands第二主引理的局部证明，填补野二分支双二次扩张情形，通过比较Lamprecht公式确定符号，完成证明。
2026-10-22 math.NT
On the congruence class modulo prime numbers of the number of rational points of a variety
设$X$是$\mathbf{Z}$上的有限型概型.对于素数的集合$p \in \mathcal{P}$，令$N_{X}(p)$是$X/\mathbf{F}_{p}$的$\mathbf{F}_{p}$ -点的数目。对于固定的$n\geq 1$和$a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbf{Z}$，我们研究了集合$\bigcap_{i=1}^{n}\lbrace p\in\mathcal{P}-Σ_{X}, N_{X}(p)\neq a_{i}\ [\bmod\ p]\rbrace$，其中$Σ_{X}$是$X$的坏约化素数的有限集合。在$\dim X\leq 3$的情况下，我们证明了该集合要么是空的，要么有正的下密度。我们还解决了在该集合中最小素数的大小的问题。使用筛的方法，例如，我们得到的最小素数的$\lbrace p\in\mathcal{P}, p\nmid N_{X}(p)\rbrace$平均在特定家庭的超椭圆曲线的大小的上限。
2016-10-02 math.NT
Metric properties of continued fractions with large prime partial quotients
School of Mathematics, South China University of Technology（华南理工大学数学学院）
研究连分数展开中存在至少两个同时大且素数的部分商的数集，建立其勒贝格测度的零一定律并确定其Hausdorff维度。
2026-05-15 math.NT
Constructing elliptic curves in almost polynomial time
本文给出了一个算法，该算法在输入一个正整数N及其素因子分解时，构造一个有限域F和F上的一条椭圆曲线E，其中E（F）的阶为N.虽然没有证明对所有N都可以这样做，但启发式分析表明，该算法的预期运行时间是2^omega（N）log N的多项式，其中omega（N）是N的不同素因子的数量。在密码学相关的情况下，N是素数，可以实现预期的运行时间O（（log N）^{4+ n}）。通过构造阶数为N= 10 ^{2004}且N=nextprime（10^{2004}）=10^{2004}+4863的点群的椭圆曲线来说明算法的有效性。
2005-11-30 math.AG math.NT
Zeta function of the projective curve $\pmb{aY^{2 l} = bX^{2 l} + cZ^{2 l}}$ over a class of finite fields, for odd primes $\pmb{l}$
设$p$和$l$是有理素数，使得$l$是奇数，并且$p$模$l$的阶是偶数。对于这样的素数$p$和$l$，以及对于$e=l, 2l$，我们考虑定义在有限域$\mathbf{F}_q$上的非奇异投影曲线$aY^e = bX^e + cZ^e$（$abc \neq 0$），使得$q=p^α\equiv 1(\bmod {e})$ .我们看到，费马曲线精确地对应于每一类（对于$e=l,2l$）中在$\mathbf{F}_q$上最大或最小的那些曲线。我们观察到，每个费马素数在特征为2的有限域上产生显式的极大和极小曲线。对于$e=2l$，我们明确地确定这类曲线的$ζ$ -函数，在$\mathbf{F}_q$上，作为变量$t$中的有理函数，对于不同的$a,b$和$c$的情况，在$\mathbf{F}_q^*$中。在每种情况下的$ζ$ -函数被认为满足这类具体曲线的韦尔定理（现在的定理）。
2006-07-26 math.NT
Growth of small generating sets in SL_n(Z/pZ)
设G=SL_n.设K=Z/pZ，p为素数。设A \subset G（K）生成G（K）.假设|A| <p^{n+1-δ}，delta>0。然后|A A a|>> |A| ^{1+ε}，其中ε>0且隐含常数仅取决于n和delta。
2010-09-10 math.CO math.GR math.NT
On Frobenius semisimplicity in Hida families
设$p\geq 5$是素数，$\ell\neq p$是不分$p$ -普通Hida族的驯服水平的素数.我们证明了Frobenius元素在$\ell$上对几乎所有算术专业化的伽罗瓦表示的作用是半单的和非标量的。若$k_f$表示尖点形式$f(z)= \sum_{n\geq 1} a_\ell(f) e^{2πi n z}$的权，则Ramanujan猜想所预言的不等式$$|a_\ell(f) | \leq 2 \ell^{(k_f-1)/2},$$，对几乎所有的族$f$都是严格不等式.
2018-01-11 math.NT
On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)
设K/Q是伽罗瓦，且eta在K* 中，其共轭是乘法独立的.对一个非分歧的素数p，设np是p的剩余度，gp是P的个数，则o P（eta）和o p（eta）分别是eta模P和p的阶.利用弗罗贝尼乌斯自同构，我们证明了对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，p^（np）-1的某些显式因子不能实现o P（eta）和o p（eta），并给出了o p（eta）的一个下界，从而得到对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，使得np \textgreater{} 1，有Prob（o p（eta）\textless{} p）$\le$ 1/p^（gp.（np-1）-n（n）），其中n = O（1/（log_2（p）;在Borel-Cantelli启发式算法下，这导致对于所有p \textgreater{} \textgreater{} 0的o\_p（eta）\textgreater{} p，使得gp.（np-1）$\ge$ 2，它覆盖了np=3的三次域和np=gp=2的四次域的“极限”情况，但不包括np=2的二次域的情况。在二次情形下，自然的猜想是，对无穷多个惰性p，o_p（eta）\textless{} p成立.用PARI程序给出了一些计算.
2017-04-03 math.NT
On a class of generalized Fermat equations of signature $(2,2n,3)$
我们考虑丢番图方程$7x^{2} + y^{2n} = 4z^{3}$ .我们确定所有的解决方案，这个方程的$n = 2, 3, 4$和$5$。我们给出了一个Kraus型判据，证明了丢番图方程$7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$对特定素数$p > 7$不存在非平凡真整数解.我们计算验证了所有素数$7 < p < 10^9$，$p \neq 13$的标准。利用辛方法和二次互易性证明了丢番图方程$7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$对正比例的素数$p$不存在非平凡的真解.本文考虑丢番图方程\cite{ChDS}，确定了$n=2$和$3$的所有解族，并给出了$n=4$和素数$n \geq 5$的解的（主要）几何描述.
2021-06-29 math.NT
Mazur's main conjecture at Eisenstein primes
University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；CNRS, Institut Galilée, Université Sorbonne Paris Nord（法国国家科学研究中心，加利勒亚研究所，索邦巴黎北大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了椭圆曲线在满足特定同源条件时的Mazur主猜想，利用反cyclotomic Iwasawa理论和Beilinson--Flach类的Euler系统同余论证。
2025-10-15 math.NT
Multiplicator freeness for restricted-ramification Galois groups over global function fields
Nanjing Normal University（南京师范大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
研究整体函数域上满足特定分歧条件的极大pro-ℓ扩张的伽罗瓦群，利用ℓ-主伊代尔类特征的因式分解结果，证明其乘法子群自由性的成立条件及特殊情况。
2026-09-02 math.NT
The Shape of cyclic number fields
令$m>1$和$\mathfrak{d} \neq 0$是整数，使得对于任何素数$p$，$v_{p}(\mathfrak{d}) \neq m$。我们构造了一个矩阵$A(\mathfrak{d})$，其大小$(m-1) \times (m-1)$仅取决于具有以下性质的$\mathfrak{d}$：对于判别式$\mathfrak{d}$的任何驯服的$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ -数域$K$，矩阵$A(\mathfrak{d})$表示$K$的整数迹零形式的格拉姆矩阵。特别地，我们得到了驯服循环数域的积分迹零形式由域的度和判别式决定。此外，如果除了上述假设之外，我们还考虑实数域，那么形状也由度和判别式决定
2022-04-12 math.NT
Selmer groups for elliptic curves in Z_l^d-extensions of function fields of characteristic p
设$F$是特征$p>0$的函数域，$\F/F$是具有$Gal(\F/F)\simeq \Z_l^d$的Galois扩张（对于某个素数$l\neq p$），$E/F$是非等平凡椭圆曲线.我们研究了Selmer群$Sel_E(L)_r$（$r$任何素数）的行为，通过适当的Mazur控制定理，研究了$L$通过$\F$的子扩张的变化.作为结果，我们证明了$Sel_E(\F)_r$是一个余生成（在某些情况下余挠）的$\Z_r[[Gal(\F/F)]]$ -模块。
2009-01-28 math.NT
On second order linear sequences of composite numbers
本文给出了Dubickas，Novikas，and Siurys在2010年的一个结果的新证明：设$(a,b)\in \mathbb{Z}^2$和$(x_n)_{n\ge 0}$是由初始值$x_0$和$x_1$定义的序列，以及$n\ge 1$的二阶线性递归\begin{equation*} x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1} \end{equation*}.假设$b\neq 0$和$(a,b)\neq (2,-1), (-2, -1)$ .则存在两个互质正整数$x_0$，$x_1$使得$|x_n|$是所有$n\in \mathbb{N}$的合数.上述定理推广了Graham在求解$(a,b)=(1,1)$时的一个结果.
2018-12-19 math.NT
An uncertainty principle for cyclic groups of prime order
设$G$是有限阿贝尔群，$f: G \to \C$是$G$上的复变函数.不确定性原理断言支持$\supp(f) := \{x \in G: f(x) \neq 0\}$通过公式$$ |\supp(f)| |\supp(\hat f)| \geq |G|$$与傅立叶变换$\hat f: G \to \C$的支持相关，其中$|X|$表示$X$的基数。本文证明了当$G$是素数阶$p$的循环群$\Z/p\Z$时，我们可以将其改进为$$ |\supp(f)| + |\supp(\hat f)| \geq p+1$$，并证明这是绝对尖锐的.作为一个结果，我们看到由$k+1$单项式组成的$\Z/p\Z$中的稀疏多项式最多可以有$k$零。另一个结果是著名的柯西-达文波特不等式的简短证明。
2004-07-22 math.CA math.NT
The Explicit Sato-Tate Conjecture For Primes In Arithmetic Progressions
令$τ(n)$是Ramanujan的tau函数，由判别模形式\[ Δ(z) = q\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^{j})^{24}\ =\ \sum_{n=1}^{\infty}τ(n) q^n \,,q=e^{2πi z} \]定义（这是权重为12且水平为1的唯一全纯归一化尖点新形式）。Lehmer猜想断言，对于所有的$n\geq 1$，都有$τ(n)\neq 0$;由于$τ(n)$是乘法的，所以研究$τ(p)$可能为零的素数$p$就足够了。假设标准的扭曲对称功率$L$ -功能相关的$τ$（包括GRH），我们证明，如果$x\geq 10^{50}$，那么\[ \#\{x < p\leq 2x: τ(p) = 0\} \leq 1.22 \times 10^{-5} \frac{x^{3/4}}{\sqrt{\log x}},\]一个实质性的改进，在以前的工作中隐含的常数。为了实现这一点，在相同的假设下，我们证明了一个明确的版本的Sato-Tate猜想素数的等差数列。
2021-01-01 math.NT
Almost Affine Invariance Over Prime Fields: Green Problem 90
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Courant Institute of Mathematical Sciences（纽约大学柯朗数学科学研究所）
研究确定在素数域上，当参数K满足K=o(log p)时，集合A在所有仿射变换下近似仿射不变，解决格林问题90。
2026-05-13 math.CO math.DS math.GR
Minimality of topological matrix groups and Fermat primes
研究了某些自然矩阵群的拓扑极小性。证明了对于特征$\neq 2$的每个局部域$\mathbb{F}$，特殊上三角群$SUT(n,\mathbb{F})$是极小的.这个结果是新的，即使是领域$\mathbb{R}$的实数，它导致了一些重要的后果。证明了特殊线性群$SL(n,\mathbb{F})$的极小性和全极小性的判别准则，其中$\mathbb{F}$是局部域的一个子域.这推广了Remus-Stoyanov（1991）和Bader-Gelander（2017）的一些已知结果。我们的主要应用之一是费马素数的一个特征，它断言，对于一个奇素数$p$以下条件是等价的：$\bullet$ $p$是一个费马素数; $\bullet$ $SL(p-1,\mathbb{Q})$是最小的，其中$\mathbb{Q}$是领域的有理数配备了$p$ -进拓扑; $\bullet$ $SL(p-1,\mathbb{Q}(i))$是最小的，其中$\mathbb{Q}(i) \subset \mathbb{C}$是高斯有理领域。
2022-10-05 math.FA math.GN math.GR
Functions which are PN on infiitely many extensions of Fp, p odd
设$p$是一个奇素数。证明了对于$m\equiv1\mod p$，$x^m$在$\mathbb{F}_{p^n}$上完全非线性当且仅当$m$是$p^l+1$，$l\in\mathbb{N}$的形式.首先，我们研究了$f(x,y)=\frac{(x+1)^m-x^m-(y+1)^m+y^m}{x-y}$的奇异性，利用Bezout定理证明了对于$m\neq 1+p^l$，$f(x,y)$有一个绝对不可约因子.然后利用Weil定理证明了f（x，y）有有理点使得$x\neq y$，这意味着$x^m$不是PN.
2012-05-03 cs.IT math.IT math.NT
Elements of prime order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over $\mathbb{Q}$
对每一个素数$p$，我们证明了在它们的Tate-Shafarevich群中存在具有非平凡$p$ -挠的几何单阿贝尔簇$A/\mathbb Q$.具体地说，对于任何素数$N\equiv 1 \pmod{p}$，令$A_f$是$J_0(N)$与阶为$p$的有理点$P$的最优商，令$B = A_f/\langle P \rangle$。则正整数$d \leq X$的个数为$\gg X/\log X$，其中$\hat B_d$是$B$的第$d$次二次扭曲的对偶。我们证明了这一点更普遍的阿贝尔簇的$\mathrm{GL}_2$型的$p$ -ischet满足一个温和的技术条件。在椭圆曲线的特殊情况下，我们给出了更强的结果，包括许多例子，其中$\mathrm{Sha}(E_d)[p] \neq 0$的整数$d$的显式正比例。
2022-09-17 math.AG math.NT
Davenport constant for semigroups II
设$\mathcal{S}$是有限交换半群. $\mathcal{S}$的达文波特常数，记为${\rm D}(\mathcal{S})$，被定义为最小正整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$\mathcal{S}$中元素的每个序列$T$包含一个适当的子序列$T'$（$T'\neq T$），其中来自$T'$的所有项的和等于来自$T$的所有项的和。设$q>2$是素数幂，$\F_q[x]$是有限域$\F_q$上的多项式环.设$R$是$\F_q[x]$与$0\neq R\neq \F_q[x]$的商环.证明了环$R$的乘法半群为$${\rm D}(\mathcal{S}_R)={\rm D}(U(\mathcal{S}_R)),$$，$U(\mathcal{S}_R)$为$\mathcal{S}_R$中的单位群.
2015-03-09 math.CO math.GR math.NT
