有限群的二次互易性
Quadratic reciprocity in a finite group
摘要：
本文定义了有限群的二次符号，并证明了其值的一个互反律。
英文摘要：
In this article we define a quadratic symbol for a finite group and prove a law of reciprocity for its value.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
相关论文
Selmer群与二次互易
Selmer Groups and Quadratic Reciprocity
在本文中，我们研究数域$F$的2-Selmer群以及一些相关群，并给出与$F$中二次互反律的联系。
math.NT
对埃西尔斯坦证明二次互反律的involution视角
An involutive perspective on Eisenstein's proof of quadratic reciprocity
CEA, DAM, DIF（法国原子能和替代能源委员会，核能研究与发展部）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学，法国原子能和替代能源委员会，极端条件下物质实验室）
基于埃西尔斯坦的几何证明，明确其内在involution对称性，通过Legendre符号作为有限矩形中的格点计数，构造简单无固定点的involution，揭示二次互反律从基本组合配对原理中浮现。
math.NT
实二次域的志村互反律
Shimura Reciprocity for Real Quadratic Fields
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文在假设Stark猜想下，给出实二次域上Shintani--Faddeev模余循环实乘值的伽罗瓦作用显式公式，并提出新猜想。
math.NT
台球、跳棋与二次互反律
Billiards, Checkers, and Quadratic Reciprocity
该研究通过算术台球和奇偶跳棋两种趣味数学活动，为二次互反律提供了简洁证明，虽因分析并行未得到独立双证明，但补充了现有三百余种证明的趣味视角。
math.NT
Hermite恒等式与二次互反律
Hermite's identity and the quadratic reciprocity law
利用高斯引理和厄米恒等式给出了二次互反律的一个简短证明。
math.HOmath.NT
二次互反律的又一证明
Yet another proof of the quadratic reciprocity law
给出了著名的二次互反律的一个新的证明。我们的证明是基于群论。
math.HOmath.NT
更多相关论文收起更多论文
二次互反律的最简证明
A Minimalist Proof of the Law of Quadratic Reciprocity
最短的已知证明的法律二次互易性（无补充）。
math.HOmath.NT
二次互反八讲
Eight lectures on quadratic reciprocity
卢梭对二次互反律的简单证明，接着证明了它与希尔伯特乘积公式的等价性。希尔伯特符号的互易同构的解释，并确定的地方Q。
math.HOmath.NT
祖洛塔列夫的二次互反律奇妙证明
Zolotarev's Magical Proof of Quadratic Reciprocity
本文通过祖洛塔列夫的巧妙方法重新诠释了二次互反律的证明，展示了其独特的数学见解。
math.COmath.NT
二次互易性与某些“不可微”函数
Quadratic reciprocity and Some "non-differentiable" functions
黎曼不可可微函数和高斯的二次互反律引起了许多研究者的注意。在\cite{RM} Murty和Pacelli了一个有益的证明二次互惠通过θ变换公式和热尔\cite{G1}是第一个证明微分/不可微的Riemnan函数。这里的目的是调查在这两个问题上所做的一些工作，并将更多的精力集中在第一作者与Kanemitsu和Li \cite{K1}的近期工作上。在该工作\cite{K1}中，使用了θ函数的积分形式，其优点在于，虽然θ函数$Θ(τ)$是上半平面中的驻留者，但其积分形式$F(z)$是包括实线的扩展上半平面中的驻留者，因此可以考虑实变量增量下的行为，其中积分是沿着水平线的。
math.NT
θ函数与互易律
Theta Functions and Reciprocity Laws
在第一部分中，我们考虑广义二次高斯和作为Jacobi θ函数的有限模拟，并将高斯和的互反律作为它们的变换公式。我们附加有限狄利克雷级数高斯和使用默比乌斯变换，并显示他们有一个函数方程，欧拉积因式分解，和根只在临界线上。第二部分利用Siegel上半空间上Riemann θ函数的变换公式，证明了任意元有理二次型指数和的一个一般互反律。
math.NT
Scholz互易律的一个补充
A Supplement to Scholz's Reciprocity Law
本文将对Scholz互反律作一个补充，并讨论它在二次数域的2-类群结构中的应用。
math.NT
Iwasawa理论中的显式互反律——以Lubin-Tate设为侧重点的综述
Explicit Reciprocity Laws in Iwasawa Theory -- A survey with some focus on the Lubin-Tate setting
本文从二次互反律出发，梳理高阶与广义互反律的发展，并聚焦Lubin-Tate设定下的Iwasawa理论显式互反公式。
math.NT
有限Weil表示下的二次互易性与高斯和的符号
Quadratic reciprocity and the sign of the Gauss sum via the finite Weil representation
给出了数论中两个基本结果的新证明：二次互反律和高斯和的符号。我们表明，这些结果是编码的离散傅里叶变换和Weyl元素的Weil表示模p，q和pq之间的关系。
math.NTmath.RT
$k=2,3,4$的小素数$k$次幂剩余：互易律方法
Small prime $k$th power residues for $k=2,3,4$: A reciprocity laws approach
Nagell证明，对于每个总理$p\equiv 1\pmod{3}$，$p > 7$，有一个总理$q<2p^{1/2}$是一个立方剩余模$p$。在这里，我们表明，对于每个固定的$ε> 0$，和每个素数$p\equiv 1\pmod{3}$与$p > p_0(ε)$，素数立方剩余数$q < p^{1/2+ε}$超过$p^{ε/30}$。我们的论证和内格尔的论证一样，都是基于立方互反定律;令人有些惊讶的是，性格和估计并不起作用。我们用同样的方法建立了关于素二次剩余和双二次剩余的相关结果。例如，对于所有大素数$p$，有多于$p^{1/9}$的素数二次剩余$q<p$。
math.NT
${\mathbb Q}(\sqrt{5})$和${\mathbb Q}(\sqrt{17})$上的费马大定理
Fermat's Last Theorem over ${\mathbb Q}(\sqrt{5})$ and ${\mathbb Q}(\sqrt{17})$
我们证明了费马大定理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$和${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的素指数$p \ge 5$在某些同余类模$48$通过使用模块化的方法和Brauer-Manin障碍明确给出的二次互易约束的组合。用于处理${\mathbb Q}(\sqrt{5})$的情况的互易性约束是对Chen-Siksek所使用的实二次基域的推广。对于${\mathbb Q}(\sqrt{17})$的情况下，这是不够的，我们推广了一个互易性约束Bennett-Chen-Dahmen-Yazdani使用希尔伯特符号从有理域到某些实二次域。
math.NT
局部-整体猜想在广义圆排列中不成立
The Local-Global Conjecture is False for Generalized Circle Packings
本文扩展了Haag等人对Apollonian圆排列中局部-整体猜想的反驳，针对四种积分圆排列类型发现二次不变量，揭示了二次互反律对猜想的阻碍，同时展示了曲率的可预测互反结构。
math.NT
阿廷互惠定律的先驱。III。Gauss引理与Artin转移
Harbingers of Artin's Reciprocity Law. III. Gauss's Lemma and Artin's Transfer
本文用经典理想论语言简要回顾了Artin互反律，然后研究了Artin互反律与用Gauss引理证明二次互反律之间的联系。
math.HOmath.NT
有限个三角和的精确求值与互等定理
Exact evaluations and reciprocity theorems for finite trigonometric sums
我们评估在封闭形式的几类有限三角和。使用两种通用方法。第一个是新的，涉及的总和根的单位。第二个使用轮廓积分，并扩展了以前的方法使用的两个作者。还建立了某些三角和的互易定理。
math.NT
关于 $\mathbb{F}_{q}[t]$ 中互易律的探讨
On the reciprocity law in $\mathbb{F}_{q}[t]$
South China University of Technology（华南理工大学）
本文在Rousseau方法基础上，为$\mathbb{F}_{q}[t]$中的$d$次剩余符号互易律提供新的初等证明，其中$d$为$q-1$的任意因数。
math.NT
阿廷互惠定律的先驱。I.辅助素数的后续故事
Harbingers of Artin's Reciprocity Law. I. The Continuing Story of Auxiliary Primes
在这篇文章中，我们提出了历史上的辅助素数用于证明互惠法律从二次阿丁的互惠法律。我们还表明，在勒让德的证明差距可以关闭一个简单的应用高斯的亏格理论。
math.HOmath.NT
论有限域与高次互反律
On Finite Fields and Higher Reciprocity
本文系统阐述有限域、乘法特征及 Gauss/Jacobi 和，并在此基础上建立三次互反律、讨论素数2的三次剩余条件，最后综述四次互反律。
math.NT
一类广义共形场论的二次互易性
Quadratic reciprocity from a family of adelic conformal field theories
我们考虑二维自由标量场理论的变形，通过提高拉普拉斯算子到一个正的实幂。结果表明，所得到的非局部广义自由作用量在整体共形对称代数的两个交换作用量下是不变的，尽管它在全Witt代数下不再是不变的.此外，有一个adelic版本的这个家庭的共形场论，参数化的选择一个数域，连同一个赫克字符。Tate的论文给出了这些理论的格林函数，并保证了这些格林函数满足一个广义乘积公式。特别是，当地的$L$ -因素有助于这些格林函数的前因子。二次互易性原来是一个结果的adelic版本的全纯因式分解属性的这个家庭的理论上的二次扩展$\mathbb{Q}$。我们解释说，在阿基米德的地方，所需的全纯因式分解如下的全球共形对称。
hep-thmath-phmath.MP
阿廷互惠定律的先驱。II。分圆多项式的不可约性
Harbingers of Artin's Reciprocity Law. II. Irreducibility of Cyclotomic Polynomials
在本系列的第一篇文章中，我们介绍了从勒让德证明二次互反律到阿丁互反律的辅助素数的历史。我们还看到，阿廷互反律的证明由几个步骤组成，其中第一个步骤是验证分圆扩张的互反律。在这篇文章中，我们将表明，这一步可以确定与戴德金的证明之一的不可约的分圆多项式。
math.HOmath.NT
互易与马洛夫相位
Reciprocity and the Maslov Phase
论文通过metaplectic方法证明互易律，利用三组拉格朗日子空间的Kashiwara-Maslov相位，展示局部相位与Weil指数的关系，并通过全局步骤比较局部与adelic实现，最终得出互易律及二次互易律的结论。
math.NTmath.RT
有限下降阻塞与非交换互易
Finite descent obstruction and non-abelian reciprocity
对于数域$F$上的好代数簇$X$，丢番图几何的中心问题之一是在$X(\A_F)$中精确定位集合$X(F)$，其中$\A_F$表示$F$的adèles环.有限下降阻塞是解决这一问题的一种方法，它定义为$X$上$F$上（某些）有限代数群格式的顶点集，这些顶点可以提升到挠曲线的扭转.最近，Kim提出了$X(\A_F)$另一个子集的迭代构造，该子集包含有理点集。本文对这两种结构进行了比较。我们的主要结果表明，这两种方法本质上是等价的。
math.NT
关于有限域上简单正规交叉簇的倒易映射的核
On the kernel of the reciprocity map of simple normal crossing varieties over finite fields
本文研究有限域上某些简单正规交叉簇的倒易映射的核，并给出一个简单正规交叉曲面的例子，其倒易映射对任何有限标量扩张都不是内射的.
math.AGmath.NT
半伽罗瓦范畴 IV：Siegel 模函数的变形互反律
Semi-galois Categories IV: A deformed reciprocity law for Siegel modular functions
本文将虚二次域上代数Witt向量的模性定理扩展至CM域，从Siegel模函数变形族特殊值构造代数Witt向量，并给出其伽罗瓦理论刻画以例证一般伽罗瓦对应结果。
math.NT
关于多重平移卷积和
On Multiple Shifted Convolution Sums
本文利用圆法及多种标准工具，对二次扭曲的 GL2 L-函数平移卷积和平均值给出了强估计。
math.NT
超椭圆函数域的支配域
Governing fields for hyperelliptic function fields
本文研究超椭圆函数域类群的8-秩，证明其由支配域中的分裂条件决定，并引入函数域的Rédei互反律以证明支配域的存在。
math.NT
有限阿贝尔群上含零和序列的一个互易性
A reciprocity on finite abelian groups involving zero-sum sequences
本文给出了有限阿贝尔群上含零和序列的一个互易性。设$G$和$H$是具有$(|G|,|H|)=1$的有限阿贝尔群.对于任何正整数$m$，令$\mathsf M(G,m)$表示长度为$m$的$G$上的所有零和序列的集合。我们有以下互惠$$|\mathsf M(G,|H|)|=|\mathsf M(H,|G|)|.$$此外，我们提供了一个组合的解释，上述互惠使用理性加泰罗尼亚组合学的想法。我们还利用不变量理论的方法给出并解释了有限阿贝尔群上的其他一些对称关系。除其他外，我们部分回答了Panyushev提出的一个问题，在一个广义的版本。
math.ACmath.COmath.NT
Rankin--Eisenstein类与显式互反律
Rankin--Eisenstein classes and explicit reciprocity laws
本文构造了模形式Rankin卷积的三变量$p$-adic伽罗瓦上同调类族，证明了其与L函数临界值相关的显式互反律，并由此得出L值非零时椭圆曲线Selmer群的有限性结果。
math.NT
含零和序列的有限阿贝尔群的一个互易性II
A reciprocity on finite abelian groups involving zero-sum sequences II
设$G$是有限交换群.对于任何正整数$d$和$m$，令$φ_G(d)$是$d$阶的$G$中的元素数，而$\mathsf M(G,m)$是长度为$m$的所有零和序列的集合。本文证明了对任意有限交换群$H$，$$|\mathsf M(G,|H|)|=|\mathsf M(H,|G|)|$$当且仅当对任意$d|(|G|,|H|)$，$φ_G(d)=φ_H(d)$.我们还考虑了这个结果的推广到非阿贝尔群的不变理论。
math.COmath.NT
兰茨伯格-沙尔关系的有限方法证明
A proof of the Landsberg-Schaar relation by finite methods
Landsberg-Schaar关系是二次高斯和之间的经典恒等式，通常用作证明二次互易性的垫脚石。Landsberg-Schaar关系本身通常通过仔细地在雅可比θ函数的函数方程中取极限来证明。在这篇文章中，我们提出了一个直接的证明，避免任何分析。
math.NT
在SL(2,Z)中的半群轨道中的互惠障碍
Reciprocity obstructions in semigroup orbits in SL(2, Z)
Saint Mary's University（圣玛丽大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
研究SL(2,Z)中半群轨道的互惠障碍，推翻了关于有限字母表连分数展开的猜想。
math.NT
超有限域上多项式环的高次互反律及 Grunwald–Wang 定理的类比
Higher reciprocity law and An analogue of the Grunwald--Wang theorem for the ring of polynomials over an ultra-finite field
本文研究有限域非主超积上的多项式环，建立显式高次互反律，并据此证明特征 0 与特征 p 下 Grunwald–Wang 定理的类比。
math.LOmath.NT
局部因子、互易性与Vinberg幺半群
Local Factors, Reciprocity and Vinberg Monoids
本文讨论了当地因素的存在问题，即，附在局部域上约化群的表示及其L-群的不可约有限维表示上的根数和L-函数，以及通过局部朗兰兹对应它们与Artin因子的根数和L-函数的相等性。最后，我们总结了Braverman-Kazhdan，Ngo和Vinberg的幺半群理论，将Godement和Jacquet的方法推广到任意设置及其与Langlands-Shahidi方法的联系。
math.NT
Sylvester关于Frobenius Coin问题的一个结果的推广及Jacobi符号的Eisenstein引理的初等证明
Generalization of a Result of Sylvester Regarding the Frobenius Coin Problem and an Elementary Proof of Eisenstein's Lemma for Jacobi Symbols
在最近的工作中，作者推广了Gauss关于二次互易的一个基本结果，并证明了Gauss的上述结果等价于Sylvester关于Frobenius硬币问题的一个著名结果的一个特例.在本文中，我们使用这种等价性来证明高斯结果的上述推广自然导致西尔维斯特结果的有趣推广。精确地说，对于给定的互质正整数$a$和$b$，以及$k$在区间$0 \leq k < (a-1)(b-1)$中的一族值，我们求出非负整数$\leq k$的个数，对于非负整数$x$和$y$，这些非负整数可以表示为$ax+by$。我们还给出了一个初等证明的爱森斯坦引理的雅可比符号使用地板功能和。我们的证明提供了一个自然的简单推广的高斯-爱森斯坦证明的法律的二次互易雅可比符号。
math.NT
局部域上开曲线的类域理论
Class field theory for open curves over local fields
局部域上开曲线的理论。在引入互易映射之后，我们确定了该映射的核和上核。此外，还研究了互易映射的Pontrjagin对偶。在某些假设下，这给出了有限阿贝尔代数覆盖集与理想类群的有限指数开子群集之间的一一对应，就像经典类域理论中那样。
math.NT
利用K理论局部化的Hilbert互易性
Hilbert reciprocity using K-theory localization
通常，在K理论局部化中，边界映射只在$K_{2}$处给出驯服符号。它看到希尔伯特符号的驯服分支部分，但没有野生分支。吉莱已经展示了如何使用这样的边界映射来证明韦伊互易性。这意味着有限域上曲线的希尔伯特互易性。然而，以类似的方式描述数域的希尔伯特互易性是失败的，因为它关键地取决于狂野的分歧效应。我们解决了这个问题，除了p=2。我们的想法是在分支轨迹附近收缩奇点。这就丰富了K理论，并使野生符号作为边界图可见。
math.KTmath.NT
三重乘积$L$-函数一阶矩的谱互反性及其应用
Spectral Reciprocity for the first moment of triple product $L$-functions and applications
本文研究数域上三重乘积$L$-函数的一阶矩，通过谱方法得到扭曲一阶矩的谱互反公式，并应用于水平方面的次凸问题，给出相应次凸界。
math.NT
$q$ -单位圆
The $q$-unit circle
我们定义了全局函数域的单位圆。我们证明了这个单位圆（在$q$元素的有限域$\mathbb{F}_q$之后，亲切地称为\emph{$q$-unit circle}）享有类似于经典单位圆的所有性质：中心，曲率，完备化中的单位根，完整性条件，嵌入到实直线上的有限维向量空间中，将周围空间划分为同心圆，莫比乌斯变换，狄利克雷近似定理，互易定律，等等。我们将Carlitz的多项式指数作用推广到实数线的作用。我们发现，相互相切的horoball解决了笛卡尔型的关系所产生的互惠。定义了双曲平面，证明了它是由$q$ -单位圆唯一确定的。给出了相应的模形式和Eisenstein级数。
math.NT
p-adic域上有理函数域的Hilbert第十问题
Hilbert's Tenth Problem for rational function fields over p-adic fields
设K是p进域（某个Q_p的有限扩张），K（t）是K上的有理函数域.定义了一种环K上多项式的二次互易符号，并应用它证明了一类环K（t）上二次型的迷向性.利用这个结果，我们给出了K（t）中谓词v_t（x）>= 0的存在性定义.这意味着K（t）上的丢番图方程是不可判定的。
math.LOmath.NT
有限域上二次剩余的子集和
Subset Sums of Quadratic Residues over Finite Fields
本文给出了有限域上二次剩余的$k$ -子集和个数的一个显式组合公式。
math.NT
有限二次型的等变高斯和
Equivariant Gauss sum of finite quadratic forms
经典的二次高斯和可以被认为是附加在循环群上的二次型上的指数和。本文对任意有限二次型引入了高斯和的等变形式，它是一个受正交群作用扭曲的指数和。证明了简单的算术公式对二次型的某些基本类成立。在应用中，这种不变量出现在某些向量值模形式的维数公式中。
math.NT
有限二次模与格
Finite quadratic modules and lattices
本文给出有限二次模可分解为不可分解模的新证明，并为每个不可分解模构造最小秩的格和正定格，其判别模为给定模，且格由Gram矩阵显式给出。
math.NT
Q2有限扩张上SL（2）的Bruhat-Tits树上二次点的稳定子
Stabilizers of quadratic points on the Bruhat-Tits tree of SL(2) over finite extensions of Q2
对Q ~ 2的有限扩张F和F的二次扩张E，计算SL（2，E）的Bruhat-Tits树中一点在SL（2，F）中的稳定子.
math.NT
有理多边形格点计数的Dedekind-Rademacher和公式
Explicit and efficient formulas for the lattice point count in rational polygons using Dedekind-Rademacher sums
我们给出了明确的，多项式时间计算公式的整数点的数量在任何二维有理多边形。有理多边形是其顶点具有有理坐标的多边形。我们发现，我们的公式的基本积木是Dedekind-Rademacher和，这是多项式时间可计算的有限傅里叶级数。作为一个副产品，我们重新推导出这些款项由于Gessel，这推广了经典的Dedekind和的互易定律的互易定律。此外，我们的方法表明，Gessel的互惠法是一个特殊的情况下的Dedekind-Rademacher总和，由于Rademacher。
math.COmath.NT
定义在Q上的二次后临界有限有理映射的普查
A census of quadratic post-critically finite rational maps defined over Q
我们发现所有的二次后临界有限（PCF）的理性映射定义的理性。我们描述了一种算法来搜索可能的PCF地图。使用该算法，我们消除了所有，但12个有理映射，所有这些都是可验证的PCF。我们还给出了一个完整的描述可能的理性预周期结构的二次PCF映射定义在Q。
math.NT
关于有限域上的二次曲线
On quadratic curves over finite fields
有限域上代数曲线的几何是一个丰富的研究领域。在以前的工作中，作者研究了经典单位圆的有限域上几何的一个特殊方面，即圆方程的解的个数如何依赖于有限域$\mathbb{F}_{p^n}$的特征$p$和度$n\geq 1$.本文对经典圆锥曲线的二元二次方程所定义的二次曲线在有限域上的几何作了类似的研究。特别是二次方程的混合项是有趣的，我们的结果显示了丰富的各种可能性的解决方案，这个方程的数量在有限域。
math.NT
有限二次模的Weil表示
Weil representations associated to finite quadratic modules
对于有限二次模，即有限阿贝尔群D和非奇异二次型Q：D --> Q/Z，可以将模群SL（2，Z）或其亚复盖Mp（2，Z）的表示与D的群代数C[D]相关联。这种表示通常被称为与有限二次模相关的Weil表示。本文的主要结果是这种表示的矩阵系数的一般显式公式。该公式涉及到二次模的p-adic不变量，并以一种易于在计算机上实现的方式给出。所提出的结果完成了Scheithauer的早期结果的韦尔表示相关联的判别形式的偶签名。
math.NT
有限域上二次多项式因式分解迭代的一个精化猜想
A Refined Conjecture For Factoring Iterates Of Quadratic Polynomials Over Finite Fields
Jones和Boston证明了有限域上不可约二次多项式迭代的因式分解过程可用Markov模型来近似。在本文中，我们发现了一些二次多项式，特别是尾部大小为1的二次多项式的意外和复杂的行为。我们还提出了一个多步马尔可夫模型，比琼斯和波士顿的模型更好地解释了这些新的观察。
math.NT
有限域上范数、双线性和二次方程的可解性
The sovability of norm, bilinear and quadratic equations over finite fields via spectra of graphs
本文对最近用Fourier分析方法得到的关于有限域上某些方程组可解性的几个结果给出了统一的证明。粗略地说，我们表明，几乎所有的系统的范数，双线性或二次方程的有限域是可解的任何大子集的向量空间在有限域。
math.COmath.NT
二次域上矩阵的有限群
Finite groups of matrices over quadratic number fields
本文提出一种基于有限群表示理论的算法，用于确定数域上的所有有限矩阵群。
math.GRmath.NTmath.RT
