拉格朗日环面的不变量

单调Lagrange环面的单值性与合痕性

Monodromy and isotopy of monotone Lagrangian tori

我们定义了新的哈密顿同痕不变量的单调拉格朗日环面嵌入辛4-流形。我们表明，在标准的辛4-空间，这些不变量区分单调的克利福德环面从切卡诺夫环面。

$T^*\mathbb{T}^n$中的精确拉格朗日环面

Exact Lagrangian tori in $T^*\mathbb{T}^n$

证明了$n\geq 2$在$n$维环面$\mathbb{T}^n$的余切丛$T^*\mathbb{T}^n$中存在一个精确的拉格朗日子流形$L$，使得$L$与$T^*\mathbb{T}^n$的零截面是辛的但不是哈密顿的.

论环面辛流形中实拉格朗日子流形的拓扑

On the topology of real Lagrangians in toric symplectic manifolds

本文研究环面辛流形中由矩多面体对合对称性产生的实拉格朗日子流形，建立Delzant构造的实类比，证明其微分同胚类型由组合数据决定，并实现环面辛del Pezzo曲面上所有可能的连通实拉格朗日微分同胚类型。

奇异辛平面曲线的拉格朗日环面Luttinger手术与非合痕

Luttinger surgery along Lagrangian tori and non-isotopy for singular symplectic plane curves

我们讨论了某种类型的Dehn手术沿拉格朗日环面在辛4流形，称为Luttinger的手术，并使用这种结构提供一个纯粹的拓扑解释的非合痕结果辛平面曲线的尖点和节点奇点由于Moishezon。

紧致环面流形上的Lagrange Floer理论和镜像对称性

Lagrangian Floer theory and mirror symmetry on compact toric manifolds

本文从镜像对称的观点研究复曲面流形上的Lagrange Floer理论。我们构建了一个自然的同构的复曲面流形的（大）量子上同调的Frobenius流形结构和斋藤的理论的奇异性的势函数构建在\cite{fooo09}通过Floer上同调变形的环境周期。我们的同构的证明涉及开闭Gromov-Witten理论的一个循环。

四维压缩拉格朗日环面

Squeezing Lagrangian tori in dimension 4

我们发现的最小尺寸的4维球和polydisks到产品拉格朗日环面可以映射到一个Hamilton的同构。

切触复曲面流形中Pre-Lagrange纤维的可积性

On displaceability of pre-Lagrangian fibers in contact toric manifolds

本文分析了切触复曲面流形中的前拉格朗日复曲面纤维的可积性。虽然每一个辛复曲面流形包含至少一个非位移拉格朗日复曲面纤维和无穷多个位移的，我们表明，这是不是接触复曲面流形的情况。更精确地说，我们证明了接触环面流形$\mathbb{S}^{2d-1} (d\geq 2)$和$\mathbb{T}^k \times \mathbb{S}^{2d+k-1} (d \geq 1)$所有的前拉格朗日环面纤维是可移位的，并为所有的接触环面流形的环面行动是免费的，除了可能非平凡的$\mathbb{T}^3$ -束在$\mathbb{S}^2$，所有的前拉格朗日环面纤维是不可移位的。此外，我们还证明了，如果一个紧凑的连接接触环面流形，但所有的前拉格朗日环面纤维是不可移位的，那么它的作用必然是自由的。另一方面，正如我们将要讨论的，所有前拉格朗日复曲面纤维的可序性似乎与底层接触流形的不可序性有关。

$S^2 \times S^2$中的环面退化和不可位移拉格朗日环面

Toric degeneration and non-displaceable Lagrangian tori in $S^2 \times S^2$

本文利用环面退化的思想，通过计算Hirzebruch曲面$F_2$的全势函数\emph{not} Fano，在$S^2 \times S^2$中构造了一个连续的Lagrange环面，它在Hamilton合痕下是不可置换的.

K3曲面上的有理等价和拉格朗日环面

Rational equivalence and Lagrangian tori on K3 surfaces

通过将X中的分次拉格朗日环面L等价于Y中的点y的摩天大楼层，将辛K3曲面X同调镜像到代数K3曲面Y。证明了X中存在Maslov类为零的Lagrange环面，其类在X范畴的Grothendieck群中不是由Lagrange球面生成的。这与Y的Chow群中的“Beauville-Voisin子环”的说法是一致的，并且符合拉格朗日配边与代数圈的有理等价之间的关系。

射影辛流形中Lagrange环面的网

Webs of Lagrangian Tori in Projective Symplectic Manifolds

对于单连通射影辛流形M中的拉格朗日环面A，我们证明了M有一个与A的变形不相交的超曲面。这意味着紧致超凯勒流形中的拉格朗日环面是几乎全纯拉格朗日纤维化的纤维，对博维尔的一个问题给出了肯定的回答。我们的证明采用了两种不同的工具：代数完全可积哈密顿系统的作用角变量理论和Wielandt的次正规子群理论。

复曲面流形中拉格朗日交的注记

Remarks on Lagrangian intersections in toric manifolds

我们考虑两个自然拉格朗日相交问题的辛复曲面流形的背景下：环面轨道和环面轨道的复曲面流形的实部的可拓性。我们的评论解决了这样一个事实，即可以使用简单的笛卡儿积和辛约化的考虑，从基本的例子，更复杂的。我们特别展示了如何在加权射影空间的上述拉格朗日相交问题的刚性结果可以与这些考虑相结合，以证明类似的结果为所有单调复曲面辛流形。我们还讨论了非单调和/或非法诺的例子，包括一些连续的非位移环面轨道。

关于单调拉格朗日扭环面的注记

Notes on monotone Lagrangian twist tori

在标准辛向量空间、复射影空间和球面积中构造了单调拉格朗日环面。我们解释如何将这些拉格朗日环面分类为辛同胚和哈密顿合痕，以及如何证明它们不能被哈密顿合痕取代。

辛4-空间中Lagrange环面的单值群

Monodromy groups of Lagrangian tori in the symplectic 4-space

在辛四维空间中，我们确定了Clifford环面T的Lagrange单值群L（T）和光滑单值群S（T）。我们证明了L（T）同构于无限二面体群，S（T）由三个反射生成。我们给这两个群体的明确的公式。我们还表明，如果一个拉格朗日环面是光滑的同位素的克利福德环面，然后可以选择的光滑合痕是拉格朗日外的一个磁盘。

关于射影空间中的$BS_{can}$拉格朗日环面族

On families of $BS_{can}$ lagrangian tori in projective spaces

这个小笔记包含两个简单的评论玻尔索末菲关于反典范类拉格朗日环面在射影空间，这是最流行的例子单调辛流形。

$A_{n}$型曲面奇异性与不可位移拉格朗日环面

$A_{n}$-type surface singularity and nondisplaceable Lagrangian tori

证明了在辛4-流形上的拉格朗日2-球面线性链附近存在一个单参数的不可移位拉格朗日环面族。当辛结构是有理的时，我们证明了这些环面的变形Floer上同调群是非平凡的。证明中利用环面退化的思想来分析环面体变形的全势函数。

驯服辛流形中的拉格朗日积环面

Lagrangian product tori in tame symplectic manifolds

标准辛空间$R^{2n}$中的乘积拉格朗日环面在[Che 96]中被分类为辛同构。我们将这一分类推广到驯服辛非球面辛流形。我们通过例子表明，非球面假设不能省略。

紧致环面流形上的等变拉格朗日弗洛尔理论

Equivariant Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds

本文在带子环面作用的紧致辛环面流形上建立等变拉格朗日弗洛尔理论，将非零等变弗洛尔上同调的拉格朗日环面纤维集合等同于刚性解析空间并给出其热带化定位，同时证明此类子流形在等变哈密顿微分同胚下不可移位。

关于$\mathbb{R}^4$中拉格朗日环面的连接

On linking of Lagrangian tori in $\mathbb{R}^4$

本文证明了辛向量空间$(\mathbb{R}^4, ω)$中拉格朗日环的环链的一些结果。我们表明，某些枚举计数的全息光盘提供有用的信息链接。这使我们能够证明，例如，任何两个克利福德环面是在一个强意义上不链接。本文推广了Dimitroglou Rizell和Evans关于$\mathbb{R}^4$中单调Lagrange环面与一类非单调环面的联系的工作，并加强了他们在$\mathbb{R}^4$中单调情形下的结论.

紧复曲面流形上的Lagrange Floer理论：综述

Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds: survey

本文是对一系列文献[FOOO3，FOOO4，FOOO5]的综述，在这些文献中，我们发展了紧致复曲面流形中Lagrange环面轨道的Floer上同调的计算方法，以及它在辛拓扑和镜像对称中的应用。本文总结了计算的主要内容，并举例说明。调查的第二部分致力于讨论[FOOO5]（arXiv：1009.1648）的最新结果，其中两个Frobenius流形之间的镜像对称性源于大量子上同调和K。齐藤奇点理论成立。

可分拉格朗日环面与半单辛上同调

Disjoinable Lagrangian tori and semisimple symplectic cohomology

我们得到的拉格朗日嵌入在某些稳定的辛填充与半单辛上同调完成的限制。具有这些性质的流形可以通过将边界连通和运算推广到我们的设置来构造，并且与某些双有理运算有关，如blow-downs和flips。因此，存在许多非环面（非紧）单调辛流形，它们的包裹类范畴是适当的。

$\mathbb{CP}^2$和$\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$中单调拉格朗日子流形的环面构造

Toric constructions of monotone Lagrangian submanifolds in $\mathbb{CP}^2$ and $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$

本文从$\mathbb{CP}^2$中Chekanov-Schlenk奇异环面的复曲面模型中提取出复曲面辛流形中拉格朗日子流形的构造方法。这些构造允许对单调性进行一些控制。我们恢复这种方式，一些已知的单调拉格朗日复曲面辛流形$\mathbb{CP}^2$和$\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$以及新的例子。

辛四流形中的有效类和拉格朗日环面

Effective classes and Lagrangian tori in symplectic four-manifolds

闭辛四流形$(X, ω)$中的有效类是二维同调类它是由每个驯服的殆复结构$J$的$J$ -全纯环实现的.证明了有效类与$H_2 (X ; \Bbb{Z})$中的拉格朗日环面正交。

关于 $S^2\times S^2$ 中的拉格朗日环面

On Lagrangian Tori in $S^2\times S^2$

本文对 FOOO 构造的 $S^2\times S^2$ 中的环面纤维进行了全面分类，判断其是否与标准环面结构的纤维哈密顿同痕。

关于CP中的奇异拉格朗日环面^[2]

On Exotic Lagrangian Tori in CP^2

我们利用镜像对称的技巧在CP^2中构造了一个奇异的单调拉格朗日环面。我们表明，它的边界10个家庭的Maslov指数2全纯磁盘，它遵循的是，这种异国情调的环面不是哈密顿同位素已知的克利福德和Chekanov环面。

簇代数与单调Lagrangian环面

Cluster algebras and monotone Lagrangian tori

本文研究簇代数与单调Lagrangian环面的联系，给出充分条件构造无穷多个互不等价的单调Lagrangian环面，并应用于旗流形。

关于$\mathbb{C}P^2$和$S^2 \times S^2$中奇异单调Lagrange环面

On exotic monotone Lagrangian tori in $\mathbb{C}P^2$ and $S^2 \times S^2$

本文证明了Chekanov和Schlenk构造的奇异单调Lagrange环面和Biran的圆丛构造的奇异单调Lagrange环面在$\mathbb{C}P^2$和$S^2 \times S^2$中是Hamilton同位素的.

拉格朗日环面上辛向量场关于纤维化的分解

Decomposition of symplectic vector fields with respect to a fibration in lagrangian tori

给定一个辛流形的拉格朗日环面纤维化，我们证明了每个辛向量场分裂成两部分：第一部分是哈密顿的，第二部分是辛的，并保持纤维化。然后我们给出了这个结果在研究完全可积系统的正则变形中的一个应用。

Polyhedral approximation by Lagrangian and isotropic tori

We prove that every smoothly immersed 2-torus of $\mathbb{R}^4$ can be approximated, in the C0-sense, by immersed polyhedral Lagrangian tori. In the case of a smoothly immersed (resp. embedded) Lagrangian torus of $\mathbb{R}^4$, the surface can be approximated in the C1-sense by immersed (resp. embedded) polyhedral Lagrangian tori. Similar statements are proved for isotropic 2-tori of $\mathbb{R}^{2n}$.

论 K3 曲面中的 Lagrangian 环面

On Lagrangian tori in K3 surfaces

研究 K3 曲面中 Lagrangian 环面的 Maslov 指标与同调非平凡性之间的等价关系，将已知结论推广至 Maslov 指标模 4 为零的情形。

最小拉格朗日环面和作用角坐标

Minimal Lagrangian tori and action-angle coordinates

本文研究了在$2n$维复曲面Kähler流形$M$上的$n$维环面作用的轨道是最小的.换句话说，我们研究的极小子流形出现的纤维的矩映射的环面Kähler流形。除其他问题，我们调查，并给出部分答案如下：（1）有多少这样的最小拉格朗日环面存在？(2)作为区域功能的临界点，它们的稳定性是否可以仅仅从周围的几何形状来表征？(3)给定一个环面辛流形，对于哪些轨道集$S$，是否存在相容的环面Kähler度量，其最小拉格朗日轨道集是$S$？

高维射影空间中的无穷多个单调 Lagrangian 环面

Infinitely many monotone Lagrangian tori in higher projective spaces

本文将 Vianna 在复射影平面中构造的无穷多个奇异单调 Lagrangian 环面提升到高维射影空间，并借助 Pascaleff–Tonkonog 穿墙公式证明它们互不同痕等价。

$\mathbb{R}^6$中的无穷多个单调Lagrange环面

Infinitely many monotone Lagrangian tori in $\mathbb{R}^6$

我们在$\mathbb{R}^6$中构造了无穷多个单调拉格朗日环面族，其中没有两个族与Hamilton合痕（或辛同胚）相关。这些家庭的区别是（任意大）家庭的马斯洛夫指数2伪全纯光盘，他们绑定。

用SYZ变换从环面流形的镜像的Lagrange截面得到环面流形上的全纯线丛

Holomorphic line bundles on projective toric manifolds from Lagrangian sections of their mirrors by SYZ transformations

由Landau-Ginzburg模型$(Y,W)$给出了射影环面流形$X_Σ$的镜像.在$(Y,W)$中引入了一类拉格朗日子流形，证明了在SYZ镜像变换下，它们可以变换为$X_Σ$上全纯线丛上环面不变的厄米度量.通过这种几何对应关系，我们还确定了厄米-爱因斯坦度量，这是由杰出的拉格朗日部分，其潜力满足一定的拉普拉斯型方程的镜子。

打包拉格朗日环面

Packing Lagrangian tori

本文研究辛流形中积分拉格朗日环面的填充问题，证明 $S^2 \ imes S^2$ 中克利福德环面具有极大性，并证明当 $a,b>2$ 时辛多圆盘 $P(a,b)$ 的标准积分拉格朗日环面补集中仍存在其他积分拉格朗日环面。

$S^2\times S^2$中一类单调Lagrange环面的Hamilton无结性

Hamiltonian unknottedness of certain monotone Lagrangian tori in $S^2\times S^2$

证明了$S^2\times S^2$中的单调拉格朗日环面与Clifford环面是Hamilton同位素的，该环面适当地位于具有两个部分的辛纤维化中。

Grassmann 流形中的奇异 Lagrangian 环面

Exotic Lagrangian tori in Grassmannians

本文基于 Marsh-Rietsch 镜像 Landau-Ginzburg 模型的簇代数结构，迭代构造复 Grassmann 流形中的 Lagrangian 环面，并给出不可位移且互不同痕的单调环面例子，证明其在 Fukaya 范畴谱分解中支撑不同非零对象。

实拉格朗日环面和Versal变形

Real Lagrangian Tori and Versal Deformations

一个给定的拉格朗日子流形能被实现为一个反辛对合的不动点集吗？如果是，则称为\emph{real}。给出了闭的拉格朗日子流形成为实子流形的一个障碍，它依赖于附近拉格朗日量的位移能。应用这个障碍环面纤维，我们得到的许多（可能是所有）环面单调辛流形的中心纤维是真正的，只有当相应的时刻多面体是中心对称的。此外，我们嵌入Chekanov环面在所有的环面单调辛流形，并表明它是奇异的，而不是真正的，推广金的结果（arXiv：1909.09972）$S^2 \times S^2$。在$S^2$的内积中，我们证明了Chekanov环面的所有乘积是两两不同的，也不是实数.这些结果表明，真正的环面是罕见的。我们的方法是初等的，因为我们不使用~ $J$ -全纯曲线。相反，我们依赖于辛约化和$\mathbb{R}^{2n}$中乘积环面的位移能。

关于Clifford环面的Lagrangian Hofer几何

On the Lagrangian Hofer geometry of Clifford tori

本文证明在复射影空间或四维二次曲面中，与Clifford环面Hamilton同伦的Lagrangian空间在Chekanov Hofer度量下包含实数轴的拟等距副本，从而具有无限直径。

跨壁公式与拉格朗日突变

The wall-crossing formula and Lagrangian mutations

我们证明了一个一般形式的跨壁公式，该公式将单调拉格朗日子流形的圆盘势与它们的Floer理论行为联系起来。我们定义的几何操作称为突变的拉格朗日环面在del Pezzo表面和环面的Fano品种的更高的维度，并研究相应的跨壁公式，计算磁盘潜在的突变环面从原来的。在德尔佩佐表面的情况下，这证明了Vianna的环面和Landau-Ginzburg种子突变理论之间的联系。在更高的维度，这提供了新的拉格朗日环面复曲面Fanos对应于不同的腔室的镜子品种，包括那些从包含标准复曲面纤维的腔室被无穷多个墙壁隔开。

紧环面流形上的不可置换环面纤维

Non-displaceable toric fibers on compact toric manifolds via tropicalizations

我们给出了一种组合的方法来定位不可移位拉格朗日环面纤维的紧环面流形。通过采取交叉点的某些热带化来自组合数据的时刻多面体，我们找到所有强批量平衡的纤维介绍[FOOOSurv]。作为一个应用，我们证明了[FOOOToric2]中定义的每一个体积平衡光纤都是强体积平衡的。因此，该方法确实检测到所有不可移位纤维的位置，这些纤维可以通过在[FOOOToric1]和[FOOOToric2]中开发的拉格朗日弗洛尔理论检测到。

几乎所有C ^n中的标准拉格朗日环面都不是哈密顿体积极小化的

Almost all standard Lagrangian tori in C^n are not Hamiltonian volume minimizing

1993年，Y. G. Oh提出了C ^n中的标准拉格朗日环面在C ^n的Hamilton合痕下是否体积极小化的问题。本文证明了当维数n大于2时，大多数的非线性系统不具有这一性质。我们还讨论了紧致复曲面Kahler流形的Hamilton非体积极小化Lagrange环面轨道的存在性。

Lectures on Lagrangian torus fibrations

This is a book aimed at graduate students and researchers in symplectic geometry, based on a course I taught in 2019. The primary message is that the base of a Lagrangian torus fibration inherits an integral affine structure, which you can use to "read off" a lot of interesting geometry of the total space. Topics covered include: action-angle coordinates, symplectic reduction, toric manifolds, visible and tropical Lagrangians, almost toric systems, Milnor fibres of cyclic quotient singularities, mutation of polygons, non-toric blow-up, an almost toric view on Lisca's classification of fillings…

环面超Kahler流形的全纯Lagrange纤维化

Holomorphic Lagrangian fibrations of toric hyperkahler manifolds

由于hyperk{ä}hler SYZ猜想的存在，寻找全纯Lagrange纤维化成为一个重要的问题。复曲面超k {}hler流形是实维$4n$非紧的超k {}hler流形，它是复曲面簇的四元数模拟. $n$维剩余圆作用在它上允许一个超k {ä}hler矩映射.我们利用这个矩映射的复部分构造了一个具有$(\mathbb{C}^*)^n$的泛纤维的全纯拉格朗日纤维化，并研究了奇异纤维。

关于拉格朗日嵌入的新约束及形状不变量

New constraints on Lagrangian embeddings and the shape invariant

该研究通过计算对称域的哈密顿形状不变量，确定了可被哈密顿微分同胚映射的拉格朗日 тор，并探讨了交集刚性的消失条件。

Lagrange环面的Maslov类与Floer上同调的量子积

The Maslov class of Lagrangian tori and quantum products in Floer cohomology

利用Floer上同调证明了Audin的一个猜想的单调版本：C^n中单调拉格朗日环面的最小Maslov数为2。我们的方法是基于研究的量子上积的Floer上同调，特别是行为的哦的谱序列就这个产品。作为进一步的应用，我们证明了存在的全纯磁盘的边界上的拉格朗日以及新的结果拉格朗日相交。

闭四维流形中某些Lagrange环面的弗洛尔同调计算

Computations of Floer Homology for certain Lagrangian Tori in closed 4-manifolds

本文计算了由Fintushel-Stern纽结手术所产生的闭单连通辛4-流形中某些环面的Lagrangian Floer上同调群。这些流形通常不是辛非球面的。作为计算的结果，我们观察到的例子中，$HF(L_0)\cong HF(L_1)$和$L_0$和$L_1$是顺利的同位素，但$L_0,L_1$不是辛同位素，并区分为$HF(L_0,L_1)$。

关于Fano Toric流形中实Lagrange量的量子同调

On the Quantum Homology of Real Lagrangians in Fano Toric Manifolds

利用Z/2 Z上Laurent多项式环中的系数，研究了最小陈数至少为2的Fano复曲面流形的实部的Lagrange量子同调.我们表明，这些拉格朗日是广泛的，在这个意义上说，他们的量子同源同构作为一个模块，他们的经典同源张量与这个环。此外，我们还证明了量子同调作为环同构于周围辛流形的量子同调。

环面区域中的极值拉格朗日环面

Extremal Lagrangian tori in toric domains

研究辛流形中拉格朗日环面的辛面积最大化问题，证明在单位球和一类环面区域中极值拉格朗日环面位于边界上，并给出反例说明一般情形不成立。

辛4-流形中Lagrange环面的连接与嵌入障碍

Linking of Lagrangian Tori and Embedding Obstructions in Symplectic 4-Manifolds

我们分类弱精确的，合理的拉格朗日环面$T^* \mathbb{T}^2- 0_{\mathbb{T}^2}$的哈密顿合痕。这一结果与$\mathbb{T}^n$上的闭$1$ -型的分类理论有关，并且在辛拓扑中也有应用。作为第一个推论，我们加强了由于独立Eliashberg-Polterovich和Giroux描述拉格朗日环面在$T^* \mathbb{T}^2-0_{\mathbb{T}^2}$这是同源的零节的结果。作为第二个推论，我们展示了对不相交的全实环面$K_1, K_2 \subset T^*\mathbb{T}^2$，其中每一个都是通过全实环面到零截面的同位素，但这样的联盟$K_1 \cup K_2$甚至不是光滑的拉格朗日同位素。本文的第二部分研究了$(\mathbb{R}^4, ω)$和有理辛$4$ -流形中Lagrange环面的连接。我们证明了这样的环面的链接属性是由纯粹的代数拓扑数据，这往往可以推导出枚举磁盘计数在单调的情况下。我们也用这个结果来描述某些拉格朗日嵌入障碍。

傅里叶变换与环面拉格朗日配边群的滤子

Fourier transforms and a filtration on the Lagrangian cobordism group of tori

本文针对极化热带仿射环面，证明对应辛流形的纤维拉格朗日配边群存在有限长度自然几何滤子，构造对偶辛环面Fukaya范畴间的傅里叶变换并结合同调镜像对称关联Mukai的傅里叶变换，揭示该滤子与阿贝尔簇Chow群的Bloch滤子的镜像对应关系。

$S^2 \times S^2$ 中的拉格朗日分裂环面与台球

Lagrangian split tori in $S^2 \times S^2$ and billiards

本文证明 $S^2 \times S^2$ 中分裂拉格朗日环面的哈密顿同痕分类等价于矩形台球问题，并据此解决拉格朗日填充数、环面空间拓扑及辛球嵌入像等问题。

del Pezzo曲面中的无穷多个单调拉格朗日环面

Infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces

我们构造几乎环面纤维化（ATF）的所有del Pezzo表面，赋予单调辛形式。除$\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$和$\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$外，我们还得到了三角形的几乎复曲面基图（ATBD），并证明了当k= 0，3，4，5，6，7，8时，在$\mathbb{C}P^2 \# k \overline{\mathbb{C}P^2}$中存在无穷多个单调拉格朗日环面的辛同胚（特别是Hamilton合痕）类.我们将其命名为tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$。利用Karpov-Nogin的工作，我们能够对所有三角形的ATBD进行分类。我们能够证明，$\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$也有无穷多个单调拉格朗日环面的辛同胚，我们猜想，同样适用于$\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$。最后，在del Pezzo曲面$X$内的拉格朗日环面$Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$可以看作是ATF的单调纤维，使得在其边缘上存在一个固定的反正则辛环面$Σ$。我们认为，$Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$产生无穷多个确切的拉格朗日环面在…

CP中无穷多奇异单调拉格朗日环面

Infinitely many exotic monotone Lagrangian tori in CP^2

与从CP ^2到CP（a^2，b^2，c^2）的每次退化相关，对于（a，b，c）一个马尔可夫三元组-满足a^2 + b^2 + c^2 = 3abc -的正整数，存在一个单调拉格朗日环面，我们称之为T（a^2，b^2，c^2）。我们采用辛域论的技术来证明，没有两个他们是哈密顿同位素彼此。

论 ${\u000bC}^2$ 中扭曲 Lagrangian 环面的 Hamilton 平稳性

On Hamiltonian stationarity of twisted Lagrangian tori in ${\mathbb{C}}^2$

本文研究 ${\u000bC}^2$ 中由平面简单闭曲线扭曲生成的 Lagrangian 环面，证明在 Hamilton 形变下只有乘积环面面积极小，从而说明 Chekanov 奇异环面在其同痕类中不是面积极小。