Non-displaceable Lagrangian links in four-manifolds
令$ω$表示$S^2$上的区域形式。考虑具有$0<a<A$的闭辛4-流形$M=(S^2\times S^2, Aω\oplus a ω)$.我们表明，有家庭的可移位拉格朗日环面$L_{0,x},\, L_{1,x} \subset M$，$x \in [0,1]$，使两个组件的链接$L_{0,x} \cup L_{1,x}$是不可移位的每个$x$。
2021-02-22 math.AG math.SG
Toric degenerations in symplectic geometry
代数几何中的环面退化是指给定的射影簇退化为环面簇的过程。然后，人们可以通过分析复曲面品种来获得关于原始品种的信息，这是一个更容易研究的对象。原田和Kaveh描述了如何将一个辛结构纳入这一进程，提供了一个非常有用的工具，解决某些问题的辛几何。下面我们将介绍这种方法在格罗莫夫宽度问题和上同调刚性问题中的应用。
2018-12-28 math.SG
Twist tori and pseudo toric structures
扭曲环面是奇异单调拉格朗日环面的例子，在[1]中提出。这个例子树是在第一个例子--在[2]和[3]中构造的圆环$Θ\in \R^4$上发展起来的。另一方面，在[4]和[5]中，我们提出了一种新的结构，它推广了复曲面结构的概念。我们称这种推广为伪环面结构，并给出了几个例子，证明某些环面辛流形可以具有这种结构，某些非环面辛流形也可以具有这种结构.下面，我们将展示在[1]中定义的任何扭曲环面$Θ^k \subset \R^{2k+2}$，可以通过伪环面考虑来构造。由于这一点，可以明确地表明，每个$Θ^k \subset \R^{2k+2}$是可替换的。
2010-04-15 math.SG
Explicit Hamiltonian Classification in the $F_4(0)$ Toric Degeneration of $CP^2$
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；Morningside Center, Chinese Academy of Science（中国科学院晨兴数学中心）
本研究针对CP²的F₄(0) toric退化，在CP²(√2)的Oakley–Usher坐标下，给出其光滑化版本的正则拉格朗日环面纤维的哈密顿同痕类的显式坐标描述，明确了壁纤维与非壁纤维的哈密顿同痕性质。
2026-08-06 math.SG
Hofer geometry via toric degeneration
本文利用环面退化在哈密顿微分同胚群上构造不同的齐次拟态射，研究了二次超曲面和del Pezzo曲面上的拉格朗日子流形，并证明了超重性及相关的辛拓扑应用。
2024-03-27 math.SG
Almost toric fibrations on K3 surfaces via degenerations
本文通过Kulikov模型研究Kähler K3曲面，证明一般光滑纤维在交复形上具有几乎环面纤维化，并给出光滑Fano三维流形中反典范超曲面的辛Kulikov模型。
2026-05-28 math.SG
Displacing Lagrangian toric fibers via probes
本文利用探针研究了单调矩多面体（光滑Fano多面体的顶点）的几何结构。后者是在小平面的内点处进入多面体的线段，并且其方向整体地横向于该小平面。如果一个点位于多面体的小于一半的位置，那么这个点可以被探针置换.利用一个由Shuaya-Oh-Ohta-Ono提出的结构，我们证明了每个有理多面体都有一个中心点，这个中心点不能被探针置换.在单调（或更一般地，自反）的情况下，这个中心点是它唯一的内部积分点。在单调的情况下，每一个其他的点是可置换的探针，当且仅当多面体满足星埃瓦尔德条件。(This是一个强版本的埃瓦尔德猜想有关的积分对称点的多面体。此外，在维数达到并包括3的情况下，每个单调多面体都是星形埃瓦尔德。这些结果与复曲面辛流形的拉格朗日纤维的弗洛尔同调调的Shakaya-Oh-Ohta-Ono计算密切相关，并可应用于Entov-Polterovich提出的关于这些纤维的同调性的问题.
2011-07-24 math.AG math.CO math.SG
Lagrangian Floer theory on Woodward's multiplicity-free $U(2)$-manifolds
本文研究Woodward提出的流形家族，利用辛割应用toric Lagrangian Floer理论，识别非可移除Lagrangian子流形并证明Fukaya子category的开闭映射是同构。
2026-03-17 math.SG
Toric degenerations of Gelfand-Cetlin systems and potential functions
定义了射影流形上可积系统的环面退化，证明了A型旗流形上Gelfand-Cetlin系统环面退化的存在性.作为应用，我们计算了Gelfand-Cetlin系统的拉格朗日环面纤维的势函数。
2009-06-05 math.AG math.SG
Toric degenerations, tropical curves and Gromov-Witten invariants of Fano manifolds
本文给出了计算特殊类型Fano流形的Gromov-Witten型不变量的热带方法。这种方法适用于那些法诺流形承认环面退化环面法诺品种与奇点允许小的决议。例子包括（广义）旗流形的类型A，和一些模空间秩二丛亏格二曲线。
2010-01-18 math.AG math.SG
On an exotic Lagrangian torus in $\mathbb{C}P^2$
我们在半环面系统中发现了一个不可位移的拉格朗日环面纤维，它相对于某些辛准态是超重的。特别地，这证明了拉格朗日$\RR P^2$不是$\CC P^2$中的茎，回答了Entov和Polterovich的一个问题。
2013-08-16 math.SG
Potential functions via toric degenerations
这是arXiv：0810.3470的一个简短的配套文件。在具有复曲面退化的Fano流形的开子集上构造了一个可积系统，并在中心纤维为复曲面Fano簇的情况下，计算了其Lagrange环面纤维的势函数.
2010-02-28 math.AG math.SG
Toric degenerations of weight varieties and applications
我们表明，一个重量品种，这是一个商的旗品种的极大环面，承认一个平坦的退化的复曲面品种。特别地，我们证明了空间多边形的模空间退化为极化复曲面簇，其矩多面体由其对角线的长度定义。我们将这些结果推广到更一般的关于射影空间乘积的行列式的Flaschka-Millson Hamilton算子。我们还研究边界复曲面因子和某些真正的轨迹。
2004-06-25 math.AG math.SG
Convergence of Kähler to real polarizations on flag manifolds via toric degenerations
本文在复旗流形上构造了一族复结构，它们收敛于Gelfand-Cetlin可积系统的实偏振态，即前量子线丛的全纯截面收敛于Bohr-Sommerfeld光纤上的δ函数截面.我们的结构是基于一个复曲面退化的旗品种和变形的Kähler结构复曲面品种的辛潜力。
2011-05-04 math.DG math.SG
A critical point analysis of Landau--Ginzburg potentials with bulk in Gelfand--Cetlin systems
利用Schubert圈的Floer上同调的体变形和对Oh-Ono体变形势函数的非阿基米德分析，证明了具有单调Kirillov-Kostant-Souriau辛形式的完备旗流形$\mathrm{Fl}(n)$（$n \geq 3$）具有不可置换的Lagrange环面的连续体，该环面在Hausdorff极限退化为非环面纤维.特别是，拉格朗日$S^3$纤维在$\mathrm{Fl}(3)$是不可取代的，回答了这个问题所提出的野原-上田谁计算其Floer上同调是消失。
2019-11-11 math.SG
An invitation to toric degenerations
这是一篇简要的论文，探讨了作者的论文“从仿射几何到复几何”，arXiv：0709.2290的想法。我们通过大量具体的、越来越复杂的例子来解释后一篇论文的基本思想。
2009-07-23 math.AG math.SG
Splitting the diagonal for broken maps
本文通过进一步退化匹配条件构造分裂Fukaya代数，其结构映射为热带图顶点乘积之和，并利用不变性论证证明环面拉格朗日子流形的无阻碍性，推广了Fukaya-Oh-Ohta-Ono的结果至更一般情形。
2025-04-22 math.SG
Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds II : Bulk deformations
这是一个延续的第一部分在一系列的文件拉格朗日弗洛尔理论复曲面流形。利用Floer上同调的环境圈的变形，我们称之为体积变形，我们发现了一个连续的不可位移的拉格朗日纤维的一些紧凑的环面流形。我们还提供了一种方法，找到所有的纤维与非零Floer上同调的体积变形在任意紧凑的复曲面流形，我们称之为体积平衡拉格朗日纤维。
2011-03-05 math.AG math.SG
Floer theory and flips
我们表明，爆破或反向翻转（在极小模型程序的意义上）的理性辛流形与点中心创建Floer非平凡拉格朗日环面。作为应用，我们证明了Hamilton不可移位拉格朗日环面的存在性，例如，小辛爆破的紧凑辛流形和多边形的模空间。这些结果的一部分，生成器的一个紧凑的辛流形与奇性自由运行的极小模型程序的Pakaya类别的代数描述。
2022-07-20 math.SG
Symplectomorphism group relations and degenerations of Landau-Ginzburg models
本文描述了复曲面的辛同构群中的显式关系。为了定义所涉及的元素，我们构造了一个适当的复曲面堆叠与紧化边界表示复曲面退化。我们的关系是通过研究这个堆栈的一维地层而产生的。然后，从同调镜像对称的角度来研究结果，我们认为序列的关系作为最大退化的朗道-金兹伯格模型。然后我们研究了B模型对这些退化的镜像，这为极小模型程序提供了一种新的镜像对称方法。
2015-12-02 math.AG math.SG
On intrinsic homological mirror symmetry for toric degenerations
本文针对Calabi--Yau流形的极大单能退化，利用固定点Floer上同调构造候选镜像族，并在热带拉格朗日截面存在时建立导出范畴到Fukaya范畴的完全忠实嵌入，验证了若干环带退化情形。
2026-09-21 math.AG math.SG
Lagrangian fibers of Gelfand-Cetlin systems
受Nishinou-Nohara-Ueda关于复偏旗流形上Gelfand-Cetlin系统的Floer理论的研究启发，我们给出了Gelfand-Cetlin纤维拓扑的完整描述.我们证明了所有纤维都是\emph{smooth}迷向子流形，并利用Gelfand-Cetlin多胞形的组合学给出了纤维是Lagrange子流形的完整描述.然后研究了拉格朗日纤维的（非）可展性。经过一些组合和数值试验的可拓性，使用体积变形的Floer上同调的Schubert循环，我们证明了每一个完整的旗流形$\mathcal{F}(n)$（$n \geq 3$）与单调Kirillov-Kostant-Souriau辛形式携带一个连续的不可置换的拉格朗日环面退化到一个非环面纤维的Hausdorff极限。特别地，$\mathcal{F}(3)$中的拉格朗日$S^3$ -纤维是不可置换的，这一问题由Nohara-Ueda提出，他计算出其Floer上同调为零。
2018-01-23 math.SG
Toric degenerations of integrable systems on Grassmannians and polygon spaces
在n维空间中引入了一个2-平面的Grassmannian上的完全可积系统，并计算了其Lagrange环面纤维的势函数.该系统在不同三角剖分下的矩多面体通过积分分段线性变换联系起来，相应的势函数通过Berenstein和Zelevinsky意义下的几何提升联系起来.
2019-07-04 math.AG math.SG
The Toric Geometry of Triangulated Polygons in Euclidean Space
Speyer和Sturmfels [SpSt]将$\mathrm{Gr}_2(\C^n)$的Gröbner复曲面退化$\mathrm{Gr}_2(\C^n)^{\tree}$与具有$n$叶的每个三价树$\tree$相关联。这些退化引起$M_{\br}$的复曲面退化$M_{\br}^{\tree}$，$n$空间在投影线上有序加权（由$\br$）点。本文的目的是给出复曲面纤维作为分层辛空间的几何（欧几里德多边形）描述，并将环面的紧部分的作用描述为“多边形的弯曲”。“我们证明了Foth和Hu [FH]的猜想，即复曲面纤维同胚于Kamiyama和Yoshida [KY]定义的空间。
2008-10-08 math.AG math.SG
Convergence of polarizations, toric degenerations, and Newton-Okounkov bodies
设$X$是一个维数为$n$的光滑不可约复代数簇，$L$是$X$上的一个非常充裕的线丛.给定$(X,L)$的复曲面退化满足一些自然的技术假设，我们构造了$X$和$H^0(X,L, J_s)$的基$\mathcal{B}_s$上的复杂结构的变形$\{J_s\}$，使得$J_0$是标准的复杂结构，并且在作为$s \to \infty$的极限中，基元接近与$X$及其复曲面退化相关的矩图的以Bohr-Sommerfeld纤维为中心的Dirac-delta分布。牛顿-奥肯科夫体理论及其相关的复曲面退化表明，上述技术假设具有一定的普遍性。我们的结果显著推广了几何量子化中的已有结果，证明了Kähler量子化与实极化之间的“极化独立性”.作为一个例子，在一般的旗品种$X=G/B$的情况下，并为某些选择的$λ$，我们的结果几何构造一个连续退化的$V_λ^*$的（对偶）规范的基础上收集的狄拉克δ功能支持在玻尔-索末菲纤维对应的晶格点的Littelmann-Berenstein-Zelevinsky弦多面体$Δ_{\underline{w}_0}(λ) \cap \mathbb{Z}^{\dim(G/B)}$。
2018-03-01 math.AG math.RT math.SG
Period integrals from wall structures via tropical cycles, canonical coordinates in mirror symmetry and analyticity of toric degenerations
我们给出了一个简单的表达式的积分的典范全纯体积形式的退化家庭的品种建造的墙壁结构和中央纤维的一个联盟的复曲面品种。要积分的圈是由中心纤维的交叉复合体中的热带1-圈构成的。一个应用是证明镜像映射的典型形式家庭的卡-丘品种所构建的格罗斯和第二作者是平凡的。我们还表明，这些家庭是一个完整的分析家庭，没有reparametrization，他们是正式的变形的对数计划。其他应用包括规范的单参数III型退化的K3表面与规定的皮卡德集团。作为独立感兴趣的技术成果，我们发展了关于正规交叉解析空间有穷级变形的具有对数极点的周期积分理论。
2019-07-08 math.AG math.SG
Fibrations by Lagrangian tori for maximal Calabi-Yau degenerations and beyond
IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊克尔巴斯克，巴斯克科学基金会）；BCAM, Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；UPV/EHU（巴斯克大学）；University of Warsaw, Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics（华沙大学数学、信息学和机械学院）；Jagiellonian University, Faculty of Mathematics and Computer Science（雅盖隆大学数学与计算机科学学院）
介绍在凯勒流形退化中构造拉格朗日环面纤维化的通用技术，该技术利用阿坎波空间边界及辛联络，证明极大卡拉比 - 丘退化附近纤维一般区域有符合期望渐近性质的拉格朗日环面纤维化。
2026-07-13 math.AG math.SG
Remarks on Lagrangian intersections in toric manifolds
我们考虑两个自然拉格朗日相交问题的辛复曲面流形的背景下：环面轨道和环面轨道的复曲面流形的实部的可拓性。我们的评论解决了这样一个事实，即可以使用简单的笛卡儿积和辛约化的考虑，从基本的例子，更复杂的。我们特别展示了如何在加权射影空间的上述拉格朗日相交问题的刚性结果可以与这些考虑相结合，以证明类似的结果为所有单调复曲面辛流形。我们还讨论了非单调和/或非法诺的例子，包括一些连续的非位移环面轨道。
2012-01-17 math.GT math.SG
Degeneration of Kahler polarizations to mixed polarizations on toric varieties
设$(X, ω, J)$是由Delzant多面体确定的维数$2n$的复曲面簇。在本文中，我们首先利用$T^{k}$作用在$X$上的哈密顿量来构造极化$\shP_{k}$（见定理3.11）.我们将证明$\shP_{k}$是$1\le k < n$的奇异混合极化，而$\shP_{n}$是一个奇异实极化，它与\cite{BFMN}在$X$的开稠密子集上研究的实极化一致.然后，对于每个$1\le k \le n$，我们将在$X$上找到收敛于$\shP_{k}$的Kähler极化的单参数族$\shP_{k,t}$（参见定理3.12）。最后，我们将证明$\shH_{k,t}^{T}$，$T^{k}$不变$J_{k,t}$全纯截面的空间收敛于$\shH_{k}^{0}$（见定理3.18）.
2022-10-12 math.DG math.SG
$A_{n}$-type surface singularity and nondisplaceable Lagrangian tori
证明了在辛4-流形上的拉格朗日2-球面线性链附近存在一个单参数的不可移位拉格朗日环面族。当辛结构是有理的时，我们证明了这些环面的变形Floer上同调群是非平凡的。证明中利用环面退化的思想来分析环面体变形的全势函数。
2018-07-25 math.SG
On Certain Lagrangian Submanifolds of $S^2\times S^2$ and $C P^n$
我们考虑$C P^n, S^2\times S^2$的单调拉格朗日子流形和$C P^n$的二次超曲面的各种构造。在$S^2\times S^2$和$C P^2$，我们表明，几种不同的已知结构的外来单调环面产生的结果是哈密顿同位素彼此，特别是回答吴的问题，表明单调纤维的复曲面退化模型的$C P^2$是哈密顿同位素的切卡诺夫环面。将我们的构造推广到更高的维度，使我们考虑二次曲面和$C P^n$的单调拉格朗日子流形（通常不是环面），这可以用$T^*S^n$上的测地线流或Biran圆丛构造来理解。与以前已知的单连通闭辛流形的单调拉格朗日子流形不同，我们的许多高维拉格朗日子流形是可移位的。
2013-11-20 math.SG
Infinitely many exotic monotone Lagrangian tori in CP^2
与从CP ^2到CP（a^2，b^2，c^2）的每次退化相关，对于（a，b，c）一个马尔可夫三元组-满足a^2 + b^2 + c^2 = 3abc -的正整数，存在一个单调拉格朗日环面，我们称之为T（a^2，b^2，c^2）。我们采用辛域论的技术来证明，没有两个他们是哈密顿同位素彼此。
2016-01-29 math.SG
Tightness of Chekanov's bound on displacement energy for some Lagrangian knots
本文计算了Chekanov环面和Brendel奇异环面的位移能量与最小面积，证明二者相等，并给出$e>\hbar$的例子及奇异环面无穷多性的新证明。
2026-09-21 math.SG
Integrable systems, toric degenerations and Okounkov bodies
设X是一个n维光滑复射影簇，具有一个非常充分的Hermite线丛L.本文的第一部分证明了：如果X上存在满足某些自然假设（这些假设在许多情况下都是成立的）的环面退化，则X上存在辛几何意义下的完全可积系统。更准确地说，我们构造了一个实值函数H_1，. H_n在X上连续，在X的开稠密子集U上光滑，且在U上两两Poisson-可换。此外，我们证明了在许多情况下，我们可以构造可积系统，使得函数H_1，.，H_n在U上生成一个Hamilton环面作用。在第二部分中，我们证明了在Newton-Okounkov体理论中出现的环面退化满足本文第一部分的所有假设。在这种情况下，“矩映射“μ=（H_1，.，H_n）：X到R^n正是与X的齐次坐标环R相关联的奥肯科夫体Δ= Δ（R，v），以及R上赋值v的适当选择。我们的主要技术工具来自代数几何，微分（Kaehler）几何和分析。具体来说，我们使用梯度哈密顿向量场，和一个微妙的推广著名的Lojasiewicz梯度不等式的实值解析函数。由于我们的结构是有效的一个大类的投射簇X，这份手稿提供了丰富的来源，新的例子可积系统。我们讨论具体的例子，包括椭圆曲线，旗品种的任意连接复杂的还原群，球形品种，重量品种。
2015-04-08 math.AG math.SG
Toric degenerations and symplectic geometry of smooth projective varieties
设$X$是嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$中的$n$维光滑复射影簇.我们构造了一个光滑族$\mathcal{X}$ over $\mathbb{C}$，它嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{C}$中，它的类纤维是$X$，特殊纤维是环面$(\mathbb{C}^*)^n$，通过单项嵌入嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$中.我们使用这一点表明，如果$ω$是一个积分Kähler形式的$X$，然后为任何$ε> 0$有一个开放的子集$U_ε\subset X$，使$vol(X \setminus U_ε) < ε$和$U_ε$是symplectomorphic $(\mathbb{C}^*)^n$配备了一个（合理的）复曲面Kähler形式。作为一个应用，我们得到的Gromov宽度的下限$(X, ω)$在其相关的Newton-Okounkov机构。我们还表明，如果$ω$位于类$c_1(L)$的一个非常丰富的线丛$L$，然后$(X, ω)$有一个全辛包装与$d$相等的球，其中$d$是度的$(X, L)$。
2016-03-21 math.AG math.SG
Equivariant Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds
本文在带子环面作用的紧致辛环面流形上建立等变拉格朗日弗洛尔理论，将非零等变弗洛尔上同调的拉格朗日环面纤维集合等同于刚性解析空间并给出其热带化定位，同时证明此类子流形在等变哈密顿微分同胚下不可移位。
2023-10-31 math.AG math.SG
Exotic Lagrangian tori in Grassmannians
本文基于 Marsh-Rietsch 镜像 Landau-Ginzburg 模型的簇代数结构，迭代构造复 Grassmann 流形中的 Lagrangian 环面，并给出不可位移且互不同痕的单调环面例子，证明其在 Fukaya 范畴谱分解中支撑不同非零对象。
2021-06-12 math.GT math.SG
On Lagrangian Tori in $S^2\times S^2$
本文对 FOOO 构造的 $S^2\times S^2$ 中的环面纤维进行了全面分类，判断其是否与标准环面结构的纤维哈密顿同痕。
2024-12-20 math.GT math.SG
Singular symplectic spaces and holomorphic membranes
我们建立了一个辛流形退化为奇异空间的拓扑框架，特别关注拉格朗日流形及其全纯膜的行为。我们发现，退化成奇异环面品种提供了一个来源的异国情调的拉格朗日环面。
2022-08-28 math.AG math.GT math.SG
Toric mirror monodromies and Lagrangian spheres
该研究针对Gross-Siebert型环面退化中心纤维的同调镜像对称问题，证明Calabi-Yau情形下线丛在缠绕Fukaya范畴中的像可由拉格朗日球面表示，推进了同调镜像对称的具体几何对应研究。
2024-09-12 math.AG math.SG
Cluster algebras and monotone Lagrangian tori
本文研究簇代数与单调Lagrangian环面的联系，给出充分条件构造无穷多个互不等价的单调Lagrangian环面，并应用于旗流形。
2025-08-06 math.AG math.RT math.SG
