Toric degenerations of integrable systems on Grassmannians and polygon spaces
在n维空间中引入了一个2-平面的Grassmannian上的完全可积系统，并计算了其Lagrange环面纤维的势函数.该系统在不同三角剖分下的矩多面体通过积分分段线性变换联系起来，相应的势函数通过Berenstein和Zelevinsky意义下的几何提升联系起来.
2019-07-04 math.AG math.SG
The Toric Geometry of Triangulated Polygons in Euclidean Space
Speyer和Sturmfels [SpSt]将$\mathrm{Gr}_2(\C^n)$的Gröbner复曲面退化$\mathrm{Gr}_2(\C^n)^{\tree}$与具有$n$叶的每个三价树$\tree$相关联。这些退化引起$M_{\br}$的复曲面退化$M_{\br}^{\tree}$，$n$空间在投影线上有序加权（由$\br$）点。本文的目的是给出复曲面纤维作为分层辛空间的几何（欧几里德多边形）描述，并将环面的紧部分的作用描述为“多边形的弯曲”。“我们证明了Foth和Hu [FH]的猜想，即复曲面纤维同胚于Kamiyama和Yoshida [KY]定义的空间。
2008-10-08 math.AG math.SG
Toric degeneration and non-displaceable Lagrangian tori in $S^2 \times S^2$
本文利用环面退化的思想，通过计算Hirzebruch曲面$F_2$的全势函数\emph{not} Fano，在$S^2 \times S^2$中构造了一个连续的Lagrange环面，它在Hamilton合痕下是不可置换的.
2010-02-08 math.SG
Period integrals from wall structures via tropical cycles, canonical coordinates in mirror symmetry and analyticity of toric degenerations
我们给出了一个简单的表达式的积分的典范全纯体积形式的退化家庭的品种建造的墙壁结构和中央纤维的一个联盟的复曲面品种。要积分的圈是由中心纤维的交叉复合体中的热带1-圈构成的。一个应用是证明镜像映射的典型形式家庭的卡-丘品种所构建的格罗斯和第二作者是平凡的。我们还表明，这些家庭是一个完整的分析家庭，没有reparametrization，他们是正式的变形的对数计划。其他应用包括规范的单参数III型退化的K3表面与规定的皮卡德集团。作为独立感兴趣的技术成果，我们发展了关于正规交叉解析空间有穷级变形的具有对数极点的周期积分理论。
2019-07-08 math.AG math.SG
Convergence of polarizations, toric degenerations, and Newton-Okounkov bodies
设$X$是一个维数为$n$的光滑不可约复代数簇，$L$是$X$上的一个非常充裕的线丛.给定$(X,L)$的复曲面退化满足一些自然的技术假设，我们构造了$X$和$H^0(X,L, J_s)$的基$\mathcal{B}_s$上的复杂结构的变形$\{J_s\}$，使得$J_0$是标准的复杂结构，并且在作为$s \to \infty$的极限中，基元接近与$X$及其复曲面退化相关的矩图的以Bohr-Sommerfeld纤维为中心的Dirac-delta分布。牛顿-奥肯科夫体理论及其相关的复曲面退化表明，上述技术假设具有一定的普遍性。我们的结果显著推广了几何量子化中的已有结果，证明了Kähler量子化与实极化之间的“极化独立性”.作为一个例子，在一般的旗品种$X=G/B$的情况下，并为某些选择的$λ$，我们的结果几何构造一个连续退化的$V_λ^*$的（对偶）规范的基础上收集的狄拉克δ功能支持在玻尔-索末菲纤维对应的晶格点的Littelmann-Berenstein-Zelevinsky弦多面体$Δ_{\underline{w}_0}(λ) \cap \mathbb{Z}^{\dim(G/B)}$。
2018-03-01 math.AG math.RT math.SG
Toric degenerations in symplectic geometry
代数几何中的环面退化是指给定的射影簇退化为环面簇的过程。然后，人们可以通过分析复曲面品种来获得关于原始品种的信息，这是一个更容易研究的对象。原田和Kaveh描述了如何将一个辛结构纳入这一进程，提供了一个非常有用的工具，解决某些问题的辛几何。下面我们将介绍这种方法在格罗莫夫宽度问题和上同调刚性问题中的应用。
2018-12-28 math.SG
Convergence of Kähler to real polarizations on flag manifolds via toric degenerations
本文在复旗流形上构造了一族复结构，它们收敛于Gelfand-Cetlin可积系统的实偏振态，即前量子线丛的全纯截面收敛于Bohr-Sommerfeld光纤上的δ函数截面.我们的结构是基于一个复曲面退化的旗品种和变形的Kähler结构复曲面品种的辛潜力。
2011-05-04 math.DG math.SG
Explicit Hamiltonian Classification in the $F_4(0)$ Toric Degeneration of $CP^2$
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；Morningside Center, Chinese Academy of Science（中国科学院晨兴数学中心）
本研究针对CP²的F₄(0) toric退化，在CP²(√2)的Oakley–Usher坐标下，给出其光滑化版本的正则拉格朗日环面纤维的哈密顿同痕类的显式坐标描述，明确了壁纤维与非壁纤维的哈密顿同痕性质。
2026-08-06 math.SG
Integrable systems, toric degenerations and Okounkov bodies
设X是一个n维光滑复射影簇，具有一个非常充分的Hermite线丛L.本文的第一部分证明了：如果X上存在满足某些自然假设（这些假设在许多情况下都是成立的）的环面退化，则X上存在辛几何意义下的完全可积系统。更准确地说，我们构造了一个实值函数H_1，. H_n在X上连续，在X的开稠密子集U上光滑，且在U上两两Poisson-可换。此外，我们证明了在许多情况下，我们可以构造可积系统，使得函数H_1，.，H_n在U上生成一个Hamilton环面作用。在第二部分中，我们证明了在Newton-Okounkov体理论中出现的环面退化满足本文第一部分的所有假设。在这种情况下，“矩映射“μ=（H_1，.，H_n）：X到R^n正是与X的齐次坐标环R相关联的奥肯科夫体Δ= Δ（R，v），以及R上赋值v的适当选择。我们的主要技术工具来自代数几何，微分（Kaehler）几何和分析。具体来说，我们使用梯度哈密顿向量场，和一个微妙的推广著名的Lojasiewicz梯度不等式的实值解析函数。由于我们的结构是有效的一个大类的投射簇X，这份手稿提供了丰富的来源，新的例子可积系统。我们讨论具体的例子，包括椭圆曲线，旗品种的任意连接复杂的还原群，球形品种，重量品种。
2015-04-08 math.AG math.SG
Hofer geometry via toric degeneration
本文利用环面退化在哈密顿微分同胚群上构造不同的齐次拟态射，研究了二次超曲面和del Pezzo曲面上的拉格朗日子流形，并证明了超重性及相关的辛拓扑应用。
2024-03-27 math.SG
Toric degenerations and symplectic geometry of smooth projective varieties
设$X$是嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$中的$n$维光滑复射影簇.我们构造了一个光滑族$\mathcal{X}$ over $\mathbb{C}$，它嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{C}$中，它的类纤维是$X$，特殊纤维是环面$(\mathbb{C}^*)^n$，通过单项嵌入嵌入在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$中.我们使用这一点表明，如果$ω$是一个积分Kähler形式的$X$，然后为任何$ε> 0$有一个开放的子集$U_ε\subset X$，使$vol(X \setminus U_ε) < ε$和$U_ε$是symplectomorphic $(\mathbb{C}^*)^n$配备了一个（合理的）复曲面Kähler形式。作为一个应用，我们得到的Gromov宽度的下限$(X, ω)$在其相关的Newton-Okounkov机构。我们还表明，如果$ω$位于类$c_1(L)$的一个非常丰富的线丛$L$，然后$(X, ω)$有一个全辛包装与$d$相等的球，其中$d$是度的$(X, L)$。
2016-03-21 math.AG math.SG
Almost toric fibrations on K3 surfaces via degenerations
本文通过Kulikov模型研究Kähler K3曲面，证明一般光滑纤维在交复形上具有几乎环面纤维化，并给出光滑Fano三维流形中反典范超曲面的辛Kulikov模型。
2026-05-28 math.SG
Toric mirror monodromies and Lagrangian spheres
该研究针对Gross-Siebert型环面退化中心纤维的同调镜像对称问题，证明Calabi-Yau情形下线丛在缠绕Fukaya范畴中的像可由拉格朗日球面表示，推进了同调镜像对称的具体几何对应研究。
2024-09-12 math.AG math.SG
Splitting the diagonal for broken maps
本文通过进一步退化匹配条件构造分裂Fukaya代数，其结构映射为热带图顶点乘积之和，并利用不变性论证证明环面拉格朗日子流形的无阻碍性，推广了Fukaya-Oh-Ohta-Ono的结果至更一般情形。
2025-04-22 math.SG
Degeneration of Kahler polarizations to mixed polarizations on toric varieties
设$(X, ω, J)$是由Delzant多面体确定的维数$2n$的复曲面簇。在本文中，我们首先利用$T^{k}$作用在$X$上的哈密顿量来构造极化$\shP_{k}$（见定理3.11）.我们将证明$\shP_{k}$是$1\le k < n$的奇异混合极化，而$\shP_{n}$是一个奇异实极化，它与\cite{BFMN}在$X$的开稠密子集上研究的实极化一致.然后，对于每个$1\le k \le n$，我们将在$X$上找到收敛于$\shP_{k}$的Kähler极化的单参数族$\shP_{k,t}$（参见定理3.12）。最后，我们将证明$\shH_{k,t}^{T}$，$T^{k}$不变$J_{k,t}$全纯截面的空间收敛于$\shH_{k}^{0}$（见定理3.18）.
2022-10-12 math.DG math.SG
Local Gromov-Witten invariants of Blowups of Fano surfaces
本文利用退化公式得到了Fano曲面的局部Gromov-Witten不变量的爆破公式。该公式使得从复曲面Fano曲面（如del Pezzo曲面）计算非复曲面Fano曲面的局部Gromov-Witten不变量成为可能。这个公式也验证了Chiang-Klemm-Yau-Zaslow的一个期望。
2010-06-22 math.AG math.SG
On Lagrangian Tori in $S^2\times S^2$
本文对 FOOO 构造的 $S^2\times S^2$ 中的环面纤维进行了全面分类，判断其是否与标准环面结构的纤维哈密顿同痕。
2024-12-20 math.GT math.SG
