Statistically self-similar fractal sets
Konstantin Igudesman
本文定义了统计自相似集，并利用K.J.Falconer的方法求出了统计自相似集的豪斯多夫维数.
In the present paper we define statistically self-similar sets, and, using a modification of method described K.J.Falconer find a Hausdorff dimension of a statistically self-similar set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Intersection of Dynamical Covering Sets with Fractals
设$(X,\mathscr{B}, μ,T,d)$是具有指数混合性质的保测度动力系统，$μ$是Ahlfors $s$ -正则概率测度.动态覆盖问题涉及被$x\in X$的轨道无限次覆盖的点的集合$E(x)$。本文证明了$E(x)$与任意正则分形$G$的交的Hausdorff维数等于$\dim_{\rm H}G+α-s$，其中$α=\dim_{\rm H}E(x)$ $μ$ -a.e.此外，我们还得到了$E(x)\cap G$的packing维数和对任意解析集$G$的$\dim_{\rm H}(E(x)\cap G)$的估计。
Dimension conservation for self-similar sets and fractal percolation
我们介绍了一种技术，利用分形渗流的投影特性，建立确定性自相似集的部分尺寸守恒的结果。例如，假设$K$是具有Hausdorff维数$\dim_H K >1$的$\mathbb{R}^2$的自相似子集，使得底层相似性的旋转分量生成完整旋转群。然后，对于所有$ε>0$，将$π_θ$写为在$θ$方向上投影到线$L_θ$上，对于正勒贝格测度的$x \in L_θ$集合，对于除了Hausdorff维数为0的集合中的方向之外的所有方向$θ$，截面的豪斯多夫维数满足$\dim_H (K\cap π_θ^{-1}x)> \dim_H K - 1 - ε$。对于一类自相似集，我们在所有方向上得到了类似的结论，只是用较低的盒维数代替了截面的豪斯多夫维数.我们得到了关于Mandelbrot渗流集的截面维数的类似不等式。
Geometric rigidity of a class of fractal sets
研究了一类略大于自共形集集合的分形的几何刚性。也就是说，使用一种新的方法，我们将证明这类集合包含在一个光滑子流形或完全展开。
Projections of fractal percolations
本文研究了随机Cantor集$E\subset \mathbb{R}^2 $的径向投影、正交投影和距离集，称之为Mandelbrot逾渗或逾渗分形。证明了如下命题几乎必然成立：若$E$的豪斯多夫维数大于1，则到\textbf{every}直线的正交投影、以\textbf{every}为中心的径向投影以及到\textbf{every}点的距离集都包含区间.
On some fractal sets only containing irrationals
本文证明了许多由相关的动力系统生成的分形集只包含无理数。作为应用，我们显式地构造了一些仅由无理数组成的重叠自相似集。
Topological pressure and fractal dimensions of cookie-cutter-like sets
定义了一系列经典cookie-cutter映射的极限集为类cookie-cutter集。对于这个切饼集，证明了拓扑压力函数的存在性，并证明了其豪斯多夫维数、packing维数和计盒维数等分形维数都等于压力函数的唯一零点$h$.证明了$h$维Hausdorff测度和$h$维packing测度是有限的正测度.
Pisot substitution sequences, one dimensional cut-and-project sets and bounded remainder sets with fractal boundary
利用$\mathbb{R}^d$中的有界余集与$\mathbb{R}$中的切割投影集之间的联系，以及一维Pisot置换序列与某个格的有界距离等价的事实，构造了几个具有分形边界的有界余集.此外，它示出，有切割和投影集是不是有界的距离彼此相等，即使它们是局部不可区分的，更准确地说：即使它们包含在同一外壳。
Fractal curvatures and Minkowski content of self-conformal sets
对于自相似分形，Minkowski容度和分形曲率被引入作为其平行集的几何特征的适当限制，即，均匀的薄分形涂层。对于某些自共形集，已知存在曲面和Minkowski容度。共形迭代函数系统是比相似性更灵活的模型。这一工作统一并推广了这些结果到R^d中的一般自共形集。我们证明了平行集的重标体积，表面积和曲率收敛于极限的Cesaro平均意义。分形Lipschitz-Killing曲率方向措施本地化这些限制对组成的一个基点的分形和它的任何正常方向。有一个积分公式。我们只假设一阶几何的流行的开集条件，并删除大量的几何假设。对于曲率，我们还假设规则的欧氏距离函数的分形，如果周围的维数超过3，和一个统一的可积性条件，以限制曲率的“重叠集”。一个有限的逆证明了可积性条件是尖锐的。我们讨论更简单的充分条件。主要工具来自于遍历论。独立的兴趣是一个乘法遍历定理：失真，有多少共形迭代函数系统偏离其线性化，收敛。
Perturbation of self-similar sets and some regular configurations and comparison of fractals
我们考虑两个点集之间的距离，这是修改的Hausdorff度量，并应用它们来描述一些分形，如$δ$ -拟自相似集，和其他一些几何概念，在欧几里得空间，如平铺与准原型和模式与准图案。对于满足开集条件的$δ$ -拟自相似集，我们得到了与P.A. P.莫兰。本文试图从分形的“形式”的角度来探讨分形，并提出一些相关的问题。最后，我们试图探讨一个问题--近似晶体的非晶态固体表现出什么性质和行为？
Analysis of non-linear fractal functions on PCF self-similar sets
本文利用Edelstein压缩建立PCF自相似集上非线性分形插值函数的一般构造框架，分析其能量、法向导数与图像盒维数界，并通过Sierpinski垫、von-Koch曲线及多组数值示例验证。
On the Stability of Fractal Differential Equations
本文对标准微积分的扩展--分形微积分进行了综述。分形微积分适用于在全不连通的的分形集如中间$μ$康托集上不可微或不可积的函数。给出了分形微分方程渐近性态的类似李雅普诺夫函数和特征。定义了分形微分在李雅普诺夫意义下的稳定性。对于所提出的分形微分方程，给出并证明了解的稳定性、一致有界性和收敛性的充分条件。我们提出的例子和图表的结果的更多细节。
Micromeasure distributions and applications for conformally generated fractals
本文研究了自共形分形上有限型子移位的Gibbs测度的标度性及其在Falconer距离集问题和投影维数中的应用。我们的分析包括双曲朱利亚集，Schottky群的极限集和图定向自相似集。
Strict Hölder equivalence of self-similar sets
本文研究分形集的严格Hölder等价问题，完全刻画了两类自相似集（完全断开的分形立方体与满足强分离条件的双分支自相似集）的严格Hölder等价性。
Quantifying inhomogeneity in fractal sets
非均匀分形集是指在不同点上表现出不同标度行为的分形集。一个集合的Assouad维数是一个找到覆盖该集合的“最困难的位置和尺度”的量，它与盒维数的差异可以被认为是该集合不均匀程度的第一级总体度量。对于下一个层次的分析，我们开发了一个定量的理论不均匀性，考虑的措施，周围的一组点，该集表现出一定程度的不均匀性在一定的规模。对于一组例子，一个家庭的$(\times m, \times n)$不变的子集的2-环面，我们表明，这个数量满足大偏差原则。我们比较这个家庭的成员，演示率函数如何让我们更深入地了解他们的不均匀性。
Fractal curvature measures and Minkowski content for one-dimensional self-conformal sets
证明了满足开集条件的一维共形迭代函数系的不变集的分形曲率测度存在的充要条件是其对应的几何势函数是非格的.在非格情形下，我们得到了Minkowski容度的存在性，并证明了分形曲率测度是$δ$ -共形测度的常数倍，其中$δ$表示不变集的Minkowski维数.对于第一个分形曲率测度，这个常数因子与不变集的Minkowski容度一致。在格的情况下，我们给出了充分条件的Minkowski内容的不变集存在，对比的事实，Minkowski内容的自相似格分形从来没有存在。然而，每一个满足开集条件的自相似集都有一个Minkowski可测的$\mathcal{C}^{1+α}$同构像。无论是在晶格和非晶格的情况下，平均版本的分形曲率措施总是存在的。
Topological, metric and fractal properties of one family of self-similar sets
本文研究了一类自相似集的拓扑、度量和分形性质，证明其为Cantorval，并计算了其测度和边界维度。
Generic Hölder level sets and fractal conductivity
定义在分形上的一般连续函数的水平集的豪斯多夫维数可以给出与分形集$F$相对应的“网络”的“厚度/窄横截面”的信息。由此引出分形的拓扑豪斯多夫维数的定义。在本文中，我们继续我们的研究一般$1$ -Hölder- $α$功能的水平集。虽然在以前的文件中，我们给出了初始定义，并建立了这些通用的水平集的一些属性，在本文中，我们提供了数值估计的情况下的谢尔皮斯基三角形。这些计算提供了更好的洞察力，并说明了为什么人们可以认为这些通用的$1$ -Hölder- $α$水平集是测量分形“网络”的“厚度/窄截面/电导率”的东西。我们还给出了一个例子，我们称之为$D_{*}(α, F)$相变的现象。这大致意味着，对于某个较低的范围{$α$ s }，只有$F$的几何形状决定了$D_{*}(α, F)$，而对于较大的值，Hölder指数$α$也很重要。
Sets of beta-expansions and the Hausdorff Measure of Slices through Fractals
我们研究自然措施集的β-扩张和切片通过自相似集。在β-展开式的背景下，这些结果使我们能够更好地理解随机β-变换的最大熵的度量，并重新解释Lindenstrauss，Peres和Schlag关于等分布的一个结果。这些应用程序中的每一个都与伯努利卷积的研究有关。在分形设置，这使我们能够了解如何分解豪斯多夫措施切片，导致条件下，几乎每一个切片通过自相似集有积极的豪斯多夫措施，推广长期已知的结果几乎处处的价值观的豪斯多夫维数。
From fractal groups to fractal sets
本文是对群、半群及其作用的自相似性的一些观点和概念的综述，并给出了一些证明。它试图将这些概念与更熟悉的概念联系起来，如分形、自相似集和可重正化的动力系统。特别是，它提出了一个似是而非的定义什么是“分形组”应该是，并给出了许多这样的群体的例子。一类特别有趣的例子，来自单值群的迭代分支覆盖，或等价地从伽罗瓦群的迭代多项式，提出。这类包含有趣的群从代数的角度来看（恰好非可解群，群的中间增长，分支群，.），并且同时群的几何是明显的，因为群的极限自然地与覆叠映射的朱利亚集一致。在综述中，本文讨论了有限状态变换、群和语言的增长、群的极限空间、双曲空间和群、动力系统、Heck型算子、C^*-代数、随机矩阵、遍历定理和非交换变换的熵。自相似的群体就像一条自然的线，贯穿了这些看似不同的主题。
A note on Diophantine-type fractals for α-Lüroth systems
给出了某些实数集合用α-Lüroth展开式描述的豪斯多夫维数.
On arithmetic sums of fractal sets in ${\Bbb R}^d$
称紧集$E\subset {\Bbb R}^d$是算术厚的，如果存在正整数$n$，使得$E$的$n$ -倍算术和具有非空内部.我们证明了$E$的算术厚度，如果$E$是一致非平坦的，在这个意义上，存在$ε_0>0$，使$x\in E$和$0<r\leq {\rm diam}(E)$，$E\cap B(x,r)$从来没有停留$ε_0r$ -接近超平面在${\Bbb R}^d$。此外，我们证明了几类分形集的算术厚度，包括自相似集，自共形集在${\Bbb R}^d$（与$d\geq 2$）和自仿射集在${\Bbb R}^2$不位于超平面，和某些自仿射集在${\Bbb R}^d$（与$d\geq 3$）在特定的假设下。
Assouad dimension and fractal geometry
这是一本将于2020年由剑桥大学出版社出版的书（数学丛书）。它集中于欧几里得空间中集合和测度的Assouad维数，以及Assouad维数的许多变体，包括低维和Assouad谱。它认为这些概念的设置分形几何和主题包括：弱切线，自相似集，自仿射集，Mandelbrot渗流，极限集的Kleinian群，正交投影，距离集，和Kakeya集。它还考虑了这些思想在其他领域的应用，包括：嵌入理论，数论，概率论和泛函分析。它以一系列悬而未决的问题结束。
Conjugacies provided by fractal transformations I : Conjugate measures, Hilbert spaces, orthogonal expansions, and flows, on self-referential spaces
定理和明确的例子被用来显示如何自相似集（一般意义）之间的转换可能是连续的几乎处处相对于固定措施的集合，并可用于进行众所周知的流量和谱分析从熟悉的设置到新的。这项工作的重点是一些令人惊讶的应用程序，包括（一）我们所谓的分形傅里叶分析，其中的图形的基础功能是康托集，是不连续的一个可数密集的一组点，但有很好的近似性能;（二）勒贝格测度保持流动，多边形层，其波前是分形。其核心思想是利用分形变换提供定义在迭代函数系统吸引子上的希尔伯特空间之间的酉变换。一些例子涉及到工作的奥克斯托比和乌拉姆关于遍历流的地区所界定的多边形。
Large intersection classes on fractals
研究了一类共形迭代函数系的极限集，引入了极限集的子集类，并证明了该类在可数交下是闭的，且该类中的所有集合都具有大的豪斯多夫维数.我们展示了它在遍历论、丢番图逼近和复动力学中的一些应用。
Measuring Fractal Dimension using Discrete Global Grid Systems
本研究提出使用离散全球网格系统作为覆盖集计算地理空间矢量数据的分形维数，在合成数据上误差小于1%，并验证了其理论有效性与实用优势。
Unveiling the Fractal Structure of Julia Sets with Lagrangian Descriptors
在本文中，我们探讨的方法，拉格朗日描述符的朱利亚集产生的复杂的地图，我们分析其背后的动力学。特别是，我们看一看两个经典的例子：二次映射$z_{n+1} = z^2_n + c$，和应用牛顿法找到复多项式的根所产生的地图。为了实现这一目标，我们提供了这种标量诊断的扩展，它能够揭示复平面中开放映射的相空间，使我们能够避免轨道以越来越大的速度逃逸到无穷大的潜在问题。简单的想法是计算拉格朗日描述符的p-范数版本，不是针对复平面上的点，而是针对它们在扩充复平面中的黎曼球面上的投影。我们用几个例子表明，这种技术成功地揭示了朱利亚集及其分形结构的丰富和复杂的动力学特征。
General fractals represented by $\mathcal{F}$-limit sets of compression maps
本文提出利用集值压缩映射将一般非齐次分形表示为固定参数化空间中的 $\mathcal{F}$-极限集，证明了其计算复杂度与序列无关，并引入“一致覆盖条件”估计极限集的 Hausdorff 维数下界。
Self-similar fractals related to regular tetrahedron and imaginary cubes
考虑三维欧氏空间中与正四面体相关的自相似集。Sierpi ${\rm \acute{n}}$ ski四面体就是这样一个自相似集合。在本文中，我们研究了整个家庭的这些集。我们的动机是获得三维类似物的分形$n$-ε。特别是，我们专注于这些集的几何性质从“虚立方”的观点。一个虚立方体是一个集合$A$，其中存在某个立方体$C$，使得$A$在$C$的面的方向上的投影等于$C$的这些投影。已知Sierpi ${\rm \acute{n}}$ ski四面体是一个假想的立方体。得到了自相似集是虚立方体的一个判别准则。此外，我们还从旋转对称性或连通性的角度给出了虚立方体集合的一些性质。
Dimensions of some fractals defined via the semigroup generated by 2 and 3
我们计算的Hausdorff和Minkowski维数的符号空间$Σ_m=\{0,...,m-1\}^\N$的子集是不变的乘整数。结果适用于集合$\{x\in Σ_m: \forall\, k, \ x_k x_{2k}... x_{n k}=0\}$，其中$n\ge 3$。我们证明，对于这样的集合，豪斯多夫维度和闵可夫斯基维度通常不同。
Box dimension of generic Hölder level sets
本文研究一般Hölder水平集的盒维数，扩展了之前关于Hausdorff维数的研究，发现下盒维数与Hausdorff维数行为相似，而上盒维数则不同，并通过对Sierpiński三角形的估计说明差异。
Fractal Transformations in 2 and 3 Dimensions
我们提出了一些工作有关的分形变换的掩蔽迭代函数系统，并演示如何众所周知的算法生成分形变换可以修改这些系统。我们还表明，这些算法同样适用于三维数据集时，并提出了一些可能的应用特殊效果和建模。
Fractal Models for Normal Subgroups of Schottky Groups
对于具有至少两个生成元的自由群$\F_d$的正规子群$N$，我们引入了$N$关于与$\F_d$相关联的图向马尔可夫系统$Φ$的径向极限集$\Lr(N,Φ)$.这些集示出提供分形模型的径向极限集的正规子群的Kleinian群的肖特基型。我们的主要结果表明，如果$Φ$是对称的和线性的，那么我们有$\dim_{H}(\Lr(N,Φ))=\dim_{H} \Lr(\F_d,Φ))$当且仅当商群$\F_d /N$是顺从的，其中$\dim_{H}$表示豪斯多夫维数。这将Brooks关于Kleinian群的正规子群的一个结果推广到一个大类的分形集。此外，我们表明，如果$\F_d /N$是不服从，然后$\dim_{H}(\Lr(N,Φ))>\dim_{H}(\Lr(\F_d,Φ))/2$，这扩展了由Falk和Stratmann和Roblin的结果。
A survey on Newhouse thickness, fractal intersections and patterns
在这篇文章中，我们引入了一个称为厚度的集合的大小概念，它可以用来保证两个康托集合相交（间隙引理），并显示厚度，施密特游戏和模式之间的联系。我们主要在实线上工作，但我们也在更高的维度上介绍这个主题。
Hausdorff dimension of intersections between the Jarník sets and Diophantine fractals
研究了Jarník集与迪奥菲内分数集合交集的Hausdorff维度，证明其为满维，并指出无理数指数大于2且部分商有界的集合维度为1。
Projections of self-similar and related fractals: a survey of recent developments
近年来，人们对理解许多具体分形集和测度的投影产生了很大的兴趣，并取得了很大的进展。总的目标是能够超越一般的结果，如马斯特兰德定理，并量化每个投影的大小-或至少在一些非常小的集合之外的每个投影。本文调查了其中的一些结果和技术，以获得它们，重点是线性投影的平面自相似集和措施。
Fractal analysis for sets of non-differentiability of Minkowski's question mark function
在本文中，我们研究了各种分形几何方面的闵可夫斯基问号功能$Q.$我们表明，单位间隔可以写为工会的三个集$Λ_{0}:=\{x:Q'(x)=0\}$，$Λ_{\infty}:=\{x:Q'(x)=\infty\}$，和$Λ_{\sim}:=\{x:Q'(x)$不存在和$Q'(x)\not=\infty\}.$的主要结果是，Hausdorff维数的这些集是相关的以下方式。$\dim_{H}(ν_{F})<\dim_{H}(Λ_{\sim})= \dim_{H} (Λ_{\infty}) = \dim_{H} (\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}}))<\dim_{H}(Λ_{0})=1.$这里，$\mathcal{L}(h_{\mathrm{top}})$是指在Farey映射$F,$的拓扑熵$h_{\mathrm{top}}=\log2$处的Stern-Brocot多重分形分解的水平集，而$\dim_{H}(ν_{F})$表示与$F.$相关的动力系统的最大熵测度的Hausdorff维数。
Topological properties of fractal Julia sets related to the signs and magnitudes of the real and reactive powers
在交流电气系统中，功率取决于由电阻元件产生的有功功率（P）和由电感和电容元件产生的无功功率（Q），这通常通过使用相量和标量方法来研究。因此，本文着重于应用分形Julia集来观察与电路消耗或提供的有功和无功功率的符号和幅度相关的拓扑性质。为了实现这一点，使用不同的功率组合来表示分形图，并使用考虑Julia集的数学模型的算法。该研究考虑了三种类型的负载：第一项研究考虑了无功功率固定时的有功功率变化;第二项研究处理了有功功率固定时的无功功率变化;最后，第三项研究考虑了有功功率和无功功率的变化。此外，研究了复平面四个象限中功率的分形图，以确定每个符号和幅度所代表的拓扑性质。定性分析的图表有助于确定复杂的电力负荷呈现一些分形图形模式，相对于在复杂的平面的不同象限中考虑的符号和幅度。在复平面中表示的图保存了与所研究的其他点的形式和结构的关系，得出结论，功率与其他象限中的其他图形有关。因此，这一结果允许一个新的研究的电力在电路中的行为，显示了一个清晰的关系，不同的分形图，朱莉娅集获得。
Fractal representation of the power daily demand based on topological properties of Julia sets
在电力系统中，负荷需求考虑两个分量，例如由于电阻元件的有功功率（P）和由于电感或电容元件的无功功率（Q）。基于Julia集的拓扑性质，提出了电力需求的图形表示，目的是观察不同图形模式及其与时负荷消耗的关系。一个算法，迭代与功率相关的复数被用来表示负荷需求的每个分形图。结果显示了与每个功耗值相关的一些代表性模式以及分形图中的类似行为，这使得可以了解一天中不同时间的消费行为。这项研究允许在一天中的不同消费之间建立关系，以创建导致预测曲线的不同行为模式的关系。
Additive and geometric transversality of fractal sets in the integers
本文在整数离散背景下定义对应于环面 $\times r$ 不变集的分形集，证明同时不变集分类、交集与和集横截性及迭代和集维数结果。
Measure and dimension theory of permeable sets and its applications to fractals
本文研究可渗透集合与 Lebesgue 测度及多种维数概念的关系，证明维数小于 d-1 的子集通常可渗透，并利用 Nagata 维数刻画自相似集的可渗透性。
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